CC BY
103
Теория колебаний
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3), с. 283-291
УДК 530.182, 537.86, 538.913
ОСОБЕННОСТИ ЯВЛЕНИЯ МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ДВУМЕРНЫХ РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМАХ
© 2011 г. О.И. Канаков, А.А. Тихомиров
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 30.05.2011
Обсуждаются свойства явления модуляционной неустойчивости волн, специфические для двумерных решеточных систем по сравнению с одномерными решетками и пространственно-непрерывными системами. Приводятся качественные соображения на основе теории резонансного взаимодействия волн, аналитический расчет в приближении медленно меняющихся амплитуд и результаты численного расчета на двумерной нелинейной решетке Клейна-Г ордона.
Ключевые слова: модуляционная неустойчивость, взаимодействие волн, решеточные системы.
Введение
Явление модуляционной неустойчивости состоит в самопроизвольном возникновении амплитудной (а также фазовой) модуляции изначально гармонической волны в нелинейных средах вследствие неустойчивости волны по отношению к малым возмущениям. В пространственном спектре волновых чисел (или волновых векторов) этот процесс выглядит как нарастание боковых спектральных составляющих, расположенных симметрично относительно волнового числа (вектора) исходной волны. Этот вид неустойчивости относится к самым универсальным проявлениям нелинейности, наряду с генерацией гармоник и нелинейным сдвигом частоты, и наблюдается в различных волновых системах с дисперсией (включая волны на поверхности воды, электромагнитные волны в плазме и других нелинейных средах). Требование наличия дисперсии связано с тем, что в средах без дисперсии преобладают более сильные нелинейные явления, например образование ударных волн.
В силу упомянутой универсальности интерес к данному явлению не ослабевает до настоящего времени, несмотря на его почти полувековую историю (см., например, обзор [1]): первые общие теоретические результаты относятся к 1965 - 1966 годам [2, 3], а в 1967 - 1968 годах опубликованы первые экспериментальные свидетельства: для волн на поверхности воды [4] (соответствующая теория представлена в [5]) и для электромагнитных волн [6].
В связи с технологическими достижениями последних лет и появлением новых объектов
исследования в современной физике наблюдается возрастающий интерес к волновой динамике решеточных систем.
Так, возможность целенаправленного использования волновых свойств упругих колебаний в кристаллических решетках (фононов) появилась лишь с достижением наноскопических масштабов в твердотельных устройствах. В самом деле, макроскопическую длину свободного пробега (то есть расстояние, на котором сохраняется квазигармонический характер волны) в твердом теле имеют лишь низкочастотные (акустические) моды с длиной волны, существенно превышающей период решетки. Эти волны описываются в рамках механики сплошных сред, тем самым не проявляя характерных свойств дисперсии, присущих волнам в решеточных системах, и составляют лишь малую долю от общего числа фононных мод. Типичная же длина свободного пробега фононов, например в кремнии, при комнатной температуре имеет порядок 50-200 нм [7]. На макроскопических масштабах эти моды проявляются лишь как тепловое движение решетки, а их волновые свойства практически незаметны. С недавним достижением технологией пространственных масштабов порядка длины свободного пробега фононов стало возможным наблюдение волновых свойств таких фононов и целенаправленное управление ими (например, управление видом их дисперсионных характеристик [7]).
Другой пример систем, допускающих описание в виде решеточных волновых моделей, представляют бозе-эйнштейновские конденсаты в решеточных оптических ловушках. Техника эксперимента с такими системами, вклю-
чающая получение сверхнизких температур порядка 10-6 ^ была отработана к концу 1990-х годов [8, 9] и отмечена Нобелевскими премиями по физике 1997, 2001 гг. Интерес исследователей к этим системам обусловлен как относительной новизной, так и возможностями их использования в качестве удобной физической модели процессов, протекающих в кристаллических решетках.
В качестве дальнейших примеров решеточных систем, проявляющих волновые свойства, приведем нелинейные оптические волноводные решетки [10, 11], микро- и наномеханические системы [12], а также магнитные (спиновые) системы [13].
Поскольку все резонансные волновые взаимодействия (в частности, модуляционная неустойчивость) сильно зависят от вида дисперсии волн, а дисперсия в решеточных системах обладает специфическими чертами (анизотропия, периодическая зависимость от волнового вектора), исследование модуляционной неустойчивости именно в решеточных системах выделяется в самостоятельный круг проблем.
Явление модуляционной неустойчивости в одномерных решеточных системах (цепочках) к настоящему времени весьма широко освещено в литературе. В 1992 году [14] оно было продемонстрировано в численном моделировании на дискретном нелинейном уравнении Клейна-Гордона, были аналитически получены условия такой неустойчивости в приближении медленно меняющихся амплитуд (которое приводит к дискретному нелинейному уравнению Шредингера). За этой работой последовали многочисленные публикации, посвященные исследованию модуляционной неустойчивости в различных конкретных цепочечных системах, а также различных явлений, возникающих вследствие такой неустойчивости (формирование дискретных бризеров, дискретных солито-нов и т.д.).
В частности, в 2002 году [15] был предсказан фазовый переход между состояниями сверхтекучести и непропускания в бозе-эйнштейнов-ских конденсатах в одномерных решеточных оптических ловушках, связанный именно с классическим явлением модуляционной неустойчивости, в отличие от квантового (моттов-ского) перехода, который наблюдался в этих системах ранее [16]. В следующем году были опубликованы результаты эксперимента [17], согласующиеся с теоретическими предсказаниями [15]. Несмотря на то, что атомарные конденсаты в двух- и трехмерных оптических решетках доступны в эксперименте, теория моду-
ляционной неустойчивости в таких системах до сих пор не построена и соответствующие эксперименты не проводились.
В одномерных оптических решеточных волноведущих структурах явление модуляционной неустойчивости экспериментально наблюдалось для случаев как фокусирующей [18], так и дефокусирующей нелинейности [19]. Для двумерных же волноводных решеток экспериментальные и теоретические результаты по модуляционной неустойчивости отсутствуют, хотя наблюдались более сильные нелинейные эффекты, как, например, дискретные бризеры [11].
Теоретические исследования модуляционной неустойчивости в двумерных решетках к настоящему времени ограничиваются лишь специфическими частными случаями. Так, в работах [20, 21 ] анализ проведен в приближении плавной огибающей (или, что эквивалентно, узкого пакета в пространстве волновых векторов), которое, как будет показано в следующем разделе, в случае двумерных систем может оказаться несправедливым даже в пределе малой нелинейности. Проводились исследования и вне упомянутого приближения, но лишь для отдельных волновых мод, в частности для моды на нижней границе оптической зоны (волновой вектор к=(0, 0)) в непрерывно-дискретном нелинейном уравнении Шредингера [22], а также для моды на верхней границе акустической зоны (волновой вектор к=(п, п)) в модели Ферми-Паста-Улама [23].
Цель данной работы - исследование модуляционной неустойчивости в двумерной решеточной системе для произвольных бегущих волн без использования приближения плавной огибающей. В разделе 1 явление модуляционной неустойчивости в одномерных и двумерных системах рассматривается качественно на основе теории резонансного взаимодействия волн. Показывается, что в двумерном случае, в отличие от одномерного, неустойчивость может иметь место в некоторой конечной (не малой) окрестности волнового вектора исходной волны. В разделе 2 метод [14], изначально разработанный для одномерных систем, обобщается на случай двумерной решетки. Формулируется условие модуляционной неустойчивости для бегущей гармонической волны в двумерном нелинейном дискретном уравнении Шрединге-ра. Исследуется вид областей неустойчивости в пространстве волновых векторов огибающей (без предположения о малости этого вектора) в зависимости от волнового вектора исходной волны. В разделе 3 приводятся результаты численного моделирования динамики двумерного
дискретного нелинейного уравнения Клейна-Гордона.
1. Модуляционная неустойчивость как четырехволновое взаимодействие
Одним из эффективных подходов к описанию слабонелинейных процессов в волновых системах является гамильтонов аппарат классической нелинейной теории поля [3, 24]. В рамках этого подхода вводятся канонические переменные, отвечающие собственным модам линеаризованной задачи, а влияние нелинейности учитывается с помощью теории возмущений как слабое взаимодействие между этими модами. В случае пространственно однородных систем в качестве таких мод выступают гармонические бегущие волны. Нелинейность п-й степени в гамильтониане (что соответствует (п-1)-й степени в уравнениях движения) приводит к взаимодействию волн в первом порядке теории возмущений, если сумма их волновых векторов, взятых с какой-либо комбинацией знаков, обращается в нуль1 (правила отбора):
к ±к2 ±...±к„ = 0 . (1)
Данное взаимодействие происходит эффективно, если еще и аналогичная комбинация частот взаимодействующих волн оказывается близка к нулю (условие резонанса):
®(кх) ±ю(к 2) ±... ±ю(к п)» 0. (2)
В рамках такого описания модуляционная неустойчивость представляет собой четырехволновое взаимодействие, соотношение (1 ) для которого имеет вид
к о ^ к о = к + + к _,
где к0 - волновой вектор исходной волны, а к+ и к_ - пара векторов, расположенных симметрично относительно к0:
к + = к 0 + с,
к _ = к 0 - с,
(4)
здесь с имеет смысл волнового вектора огибающей2. Это взаимодействие можно рассматривать как классический аналог квантового процесса слияния двух квантов с последующим распадом на два новых кванта. Условие частотного резонанса (2) для такого взаимодействия принимает вид
га(к0) + га(к0) «ю(к+) + га(к_). (3)
Известно, что данное взаимодействие приводит к параметрической неустойчивости (то есть к экспоненциальному нарастанию амплитуд волн к+ и к_) в случае, если разность Д правой и левой частей этого соотношения не только достаточно мала (по сравнению с величиной, зависящей от силы нелинейности), но и имеет определенный
знак, противоположный знаку нелинейного сдвига частоты волн в системе (критерий Бен-джамина-Фейра-Лайтхилла [1, 2, 5]).
Оценим частотную расстройку Д сначала для одномерного случая, заменяя волновые векторы в выписанных соотношениях скалярными волновыми числами:
Д = га(к+) _ 2га(к0) + га(к_) =
= ю"(к0) • с2 + 0(с4).
Величина Д в данном случае выражается как центральная разность второго порядка для дисперсионной характеристики га (к). Разложение зависимости Д(с) по степеням волнового числа огибающей с состоит из удвоенных членов второй, четвертой и последующих четных степеней разложения га (к) в ряд Тейлора в окрестности к0.
Заметим, во-первых, что расстройка Д автоматически становится малой при достаточно малом |с|, при этом на вид дисперсионной характеристики не накладывается дополнительных условий. Этим и объясняется упомянутая во введении универсальность модуляционной неустойчивости как нелинейного явления (в отличие, например, от трехволновых взаимодействий).
Во-вторых, знак Д совпадает со знаком второй производной дисперсионной характеристики в точке к0. Это означает, что модуляционная неустойчивость волны с заданным волновым числом имеет место лишь для нелинейности определенного знака, который указывается критерием Бенджамина-Фейра-Лайтхилла: жесткой (положительный сдвиг частоты с увеличением амплитуды), если характеристика га(к0) выпукла вверх (га "(к0)<0); либо мягкой (отрицательный сдвиг частоты с увеличением амплитуды), если га (к0) выпукла вниз (га "(к0)>0).
В-третьих, поскольку при заданной величине нелинейности неустойчивость имеет место только при достаточно малых |Д|, то при любом ненулевом значении га"(к0) из этого следует и ограничение на величину |с|, которая в случае малой нелинейности также должна быть достаточно малой (что эквивалентно плавности огибающей для возникающей модуляции).
При переходе к многомерному (в частности, двумерному) случаю квадратичный член в (4) заменяется соответствующей квадратичной формой, которая задается гессианом дисперсионной характеристики:
Д = га(к+) _ 2га(к0) + га(к_) =
д2 га
.. дк дк,
у 1 і
с1с1 + 0(| с |4)
(5)
к=к
Если указанная квадратичная форма является положительно определенной (то есть если дисперсионная характеристика га (к) выпукла вниз в точке к0) либо отрицательно определенной (га (к) выпукла вверх в точке ко), то все соображения, высказанные выше для одномерного случая, остаются справедливыми и в двумерном случае (в частности, существование неустойчивости только при определенном знаке нелинейности и лишь в малой окрестности исходного волнового вектора, если нелинейность мала).
Ситуация качественно меняется, если квадратичная форма в (5) не является знакоопределенной, иными словами, если дисперсионная характеристика не является выпуклой функцией в точке к0 (то есть поверхность га (к) не лежит по какую-либо одну сторону от касательной плоскости, проведенной в этой точке). Тогда расстройка Д может обращаться в нуль (а условие резонанса (3) - в строгое равенство) на некотором множестве ненулевых значений вектора с.
Множество этих значений с (обозначим его Ь), являющееся решением уравнения Д(с)=0, включает две кривые, касающиеся каждой из двух главных осей квадратичной формы (5) в точке с=0 (подобно тому, как сепаратрисы состояния равновесия типа «седло» касаются соответствующих характеристических направлений), либо одну кривую, пересекающую себя в точке с=0 с касанием обеих главных осей.
Это означает, что модуляционная неустойчивость имеет место теперь при любом знаке нелинейности, а область экспоненциально нарастающих мод уже не ограничивается малой окрестностью точки с=0 (то есть точки к=к0) даже в случае малой нелинейности (вместо этого она ограничивается малой окрестностью множества Ь). Это явление можно охарактеризовать как нелокальность пространственного спектра модуляционной неустойчивости. Очевидно, этот случай не может быть исследован в приближении плавной огибающей (что подразумевает |с|—>0).
Эта особенность двумерных (и многомерных) систем отмечалась в классических работах [3, 25]. Однако работа [3] ограничивалась лишь случаем пространственно-изотропных систем, а в [25] этот результат фактически означал выход за пределы применимости используемого описания (метод параболического уравнения). В решеточных системах это явление может быть особенно существенным в силу анизотропии и периодичности дисперсионной характеристики га (к).
2. Приближение медленно меняющихся амплитуд
Для получения более детальных сведений
о модуляционной неустойчивости волн в двумерных решетках проведем исследование стационарной волны на устойчивость в рамках приближения медленно меняющихся амплитуд, обобщая на двумерные решетки подход, реализованный в [14] для случая одномерной системы.
В качестве примера рассмотрим безграничную квадратную решетку из одинаковых консервативных нелинейных осцилляторов с одной степенью свободы, связанных линейным взаимодействием:
Хг + га02хг + а хг3 = кУ (хг - - хг), (6)
Г '
где г - двумерный вектор целочисленных индексов, нумерующий узлы решетки; Хг - колебательная степень свободы узла с индексом г; га0 - собственная частота малых колебаний изолированного осциллятора; а - параметр нелинейности, случаи а>0 (а<0) соответствуют жесткой (мягкой) нелинейности; к - параметр линейного взаимодействия; суммирование по г здесь и далее ведется по четырем ближайшим соседям узла г (случай локальных связей).
Перейдем к новым переменным - комплексным амплитудам Лг(?) путем замены хг(^ = Лг(^ exp(/гa0?) + к.с., где к.с. - комплексно-сопряженное выражение. В случае если как ширина спектральной зоны волн в линеаризованной системе, так и сдвиг частоты вследствие нелинейности малы по сравнению с га0, амплитуды Лг(?) мало меняются на периоде быстрых колебаний 7=2л/га0, и динамика системы может быть приближенно описана в рамках метода Ван-дер-Поля (метод медленно меняющихся амплитуд). Для этого усредним уравнения движения на периоде Т, полагая при этом все комплексные амплитуды постоянными на интервале усреднения. В результате получается дискретное нелинейное уравнение Шредингера для амплитуд Лг(?):
ИгаоЛг =кУ ( Аг - А) - 3а | А |2 А. (7)
г'
Отметим, что уравнениями такого типа описывается динамика решеточных консервативных систем различной природы, если справедливо предположение об узости спектральной зоны линейных волн и слабой нелинейности (в часятности, бозе-эйнштейновских конденсатов [15] и оптических волноводных решеток [11]).
к sin2(c2/2) A sin2(c2/2)
1 __________________________, 1 _________________________
(а) (Ь) (с) ' '
Рис. 1. Варианты вида области неустойчивости (отмечена штриховкой) на плоскости волновых векторов огибающей
Заметим также, что в рассматриваемом приближении предполагается только медленность изменения амплитуд во времени. Плавность их изменения по пространственной координате не требуется.
Уравнение (7) допускает решение в виде стационарной гармонической волны
Аг (г) = А ехр(/ 5юг - / к0 • г), (8)
где ко - безразмерный волновой вектор, сдвиг частоты 8ю определяется нелинейным дисперсионным соотношением
2к
®0
. 2 К .2 k2 sin — + sin —
2
2
+
За | A I2 2w0
здесь к1, к2 - компоненты вектора к0. Использованное предположение о медленности А() остается непротиворечивым в том случае, если |8ю|<<ю0, то есть при выполнении условий к <<ю02 , |оА2| <<ю02.
Для исследования волны (8) на устойчивость подставим в уравнения (7) слабовозмущенное решение
Аг (г) = (А + гг (г)) ехр(/ 5юг - / к0 • г), линеаризуем полученные уравнения по малым комплексным добавкам полагая ^ << |А|, и исследуем нулевое состояние равновесия в линейных уравнениях для 2Х на устойчивость по отношению к отклонениям, имеющим вид гармонической огибающей
гг = аехр((Х + Ю)г-1с • г) ,
где е=(сь с2), О, X - действительные волновой вектор, частота и инкремент нарастания огибающей, соответственно. Опуская выкладки, приведем результат для инкремента X:
Х = — 7- В(В + 6а | А |2) ,
2юл
где B = 4к
co ski sin — + cosk9 sin 1 2 2
(9)
Огибающая, имеющая заданный волновой вектор с, экспоненциально нарастает во времени (это означает, что нарастают симметричные «боковые гармоники» исходной волны с волновыми векторами k0±c), если подкоренное выражение положительно. Это выполняется, если величина B заключена между границами B=0 и B=-6a|A|2. Инкремент нарастания достигает максимума при B=-3a|A|2. Заметим, что, согласно определению величины B в (9), три упомянутых значения B задают три параллельные прямые на плоскости (sin2(ci/2), sin2(c2/2)). Введем для этих прямых обозначения (a), (c) и (b), соответственно (см. рис. 1). Область неустойчивости, соответствующая нарастающим огибающим, заключена на указанной плоскости между прямыми (a) и (c), а максимальный инкремент достигается на прямой (b), расположенной между ними. При этом имеют смысл (то есть соответствуют действительным c1, c2) только точки, принадлежащие «единичному квадрату», включающему значения от 0 до 1 по каждой из осей.
В случае когда cos k1 и cos k2 имеют одинаковый знак, прямые (a), (b), (c) имеют отрицательный угловой коэффициент (см. рис. 1 слева). При этом область неустойчивости непуста, если параметр нелинейности a имеет знак, противоположный знаку cos k12. При этом в пределе малой нелинейности (то есть при |(3aA2)* х(2к cosk12)|<<1) область неустойчивости также мала и представляет собой треугольник на плоскости (sin2(c1/2), sin2(c2/2)), которому, согласно соотношению k=k0±c, соответствует малый эллипс с центром в k0 на плоскости k.
Сравним этот результат с выводами, полученными в разделе 1 исходя из критерия Бен-джамина-Фейра-Лайтхилла. Вариант cosk12>0 реализуется при 0<|k12|<n/2, при этом дисперсионная характеристика 8®(k) в точке k=k0=
У
2
1.0 -0.5 0.0 0.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5
к\/тт к\/п
Рис. 2. Снимки логарифмических пространственных спектров мощности волн 1п 5к при развитии модуляционной неустойчивости в решётке для случаев, представленных на рис. 1
= (к\, к2) выпукла вниз, а неустойчивость, согласно выводу, сделанному в предыдущем абзаце, реализуется только при а<0 (мягкая нелинейность). Вариант со8к1>2<0 означает п/2< <|к12|<п, тогда, наоборот, дисперсионная характеристика 8га (к) выпукла вверх в точке к=ко, а неустойчивость реализуется только при а>0 (жесткая нелинейность). Оба варианта согласуются предсказаниями раздела 1 и не проявляют качественного отличия от одномерного случая, рассмотренного в [14].
Если же со8к1 и со8к2 противоположны по знаку, то прямые (а), (Ь), (с) имеют положительный угловой коэффициент (см. рис. 1 справа). Область неустойчивости тогда непуста при любом знаке нелинейности и простирается от начала координат до одной из границ «единичного квадрата». Это означает, что при сколь угодно малой нелинейности область неустойчивых мод не ограничивается малыми значениями |с|, то есть принципиально не описывается в рамках приближения плавной пространственной огибающей, использованного в [20, 21]. Более того, по одной из координатных осей (с1 либо с2) область неустойчивости охватывает весь период обратной решетки от -п до п.
В этом случае характеристика 8га (к) невыпукла в точке к=к0=(к1, к2), а полученный вывод также согласуется с предсказаниями раздела 1. В одномерных системах этот случай не реализуется.
Заметим еще, что полученные выводы относятся к уравнению для медленных амплитуд (7), применение которого подразумевает, в частности, малость параметра взаимодействия к. При конечном к области выпуклости и невыпукло-сти дисперсионной характеристики исходного уравнения (6) изменяются. Для исследования
случая конечного к требуется отказ от приближения медленных амплитуд, что может составить предмет отдельного исследования.
3. Численное моделирование
Для проверки аналитических результатов было проведено численное моделирование квадратной решетки (6) размера 80x80 элементов с периодическими граничными условиями. Начальные условия задаются в виде слабовозмущенной гармонической волны хг (0) = 2 А со Б(к0 • г) + ^г,
Хг (0) = 2Ага(к0)Бт(к0 • г) + ^г, где £,г, "Лг - независимые случайные величины, распределенные равномерно на интервале [-V, V], у=5-10-4; значения волнового вектора к0 выбираются таким образом, чтобы начальные условия удовлетворяли периодическим граничным условиям; частота га (ко) вычисляется из линейной дисперсионной характеристики уравнения (6):
к2
2 2
Система уравнений (6) интегрируется с помощью симплектического метода Верле. При обработке полученных результатов рассчитываются комплексные амплитуды гармонических мод (бегущих волн) ак согласно соотношениям (см. [24])
Чк = -/= X хг ехР(-к • г)
2 2 I 2 к -2
га — юЛ + 4к| Б1П — + Б1П
4м і
Рк ~1м
^Хг ехр(-гк • г),
Л/2га(к) Цк — ак + а к,
Ц2/ га(к) Рк — «к - «-к ■
г
г
Здесь М=6400 - полное число узлов решетки; волновой вектор к пробегает конечный дискретный набор значений, соответствующих собственным модам ограниченной решетки (то есть обеспечивающих удовлетворение периодических граничных условий), в интервале [-п, п) по каждой из проекций (число таких значений к равно числу узлов решетки). Далее рассчитывается пространственный спектр мощности волн в решетке путем усреднения квадрата модуля полученных значений амплитуд ак по 100 реализациям случайной составляющей начальных условий £г, "пг:
\ — (К|2).
На рис. 2 приведены снимки таких пространственных спектров (уровнем серого обозначены значения Іп^к; черный цвет соответствует значениям 1п£к >-4) в момент времени /=400 для значений параметров га0=1, а=0.25 (жесткая нелинейность), к=0.1, А=0.2, ко=(27л /40, 3л /4) - вариант слева и к0=(27л /40, л /4) - вариант справа. Интегрирование проводилось с шагом й=0.1 << 2л /га0. Выбранные значения параметров соответствуют случаям, рассмотренным в разделе 2 и представленным на рис. 1 слева и справа.
Аналогично обозначениям рис. 1, сплошными черными и штриховыми белыми линиями на рис. 2 отмечены, соответственно, границы области нарастающих мод и линия максимального инкремента, предсказываемые аналитическим результатом (9)4.
Как видно из рисунков, вид областей спектра, занятых нарастающими модами, а также положение линии максимального инкремента хорошо согласуются с аналитическими предсказаниями. В частности, подтверждается вывод о возможности нелокального спектра неустойчивости с охватом всего периода от -п до п по одной из проекций волнового вектора (см. рис. 2 справа). Небольшие различия между аналитическим предсказанием области неустойчивости и численным результатом связаны, по-видимому, с использованием в аналитическом расчете приближения медленно меняющихся амплитуд. Изолированные пики в пространственном спектре (проявляющиеся на рисунках в виде темных точек) обусловлены генерацией гармоник на нелинейности. Также наблюдается нарастание мод вне области модуляционной неустойчивости вследствие процессов взаимодействия более высоких порядков. Эти процессы, однако, развиваются медленнее, чем модуляционная неустойчивость.
Заключение
Был рассмотрен эффект нелокальности пространственного спектра модуляционной неустойчивости в двумерных решеточных системах. Вообще говоря, возможность этого эффекта в системах пространственной размерности два и выше известна из классических работ [3, 25]. Условием такой нелокальности является невы-пуклость дисперсионной характеристики в точке волнового вектора исходной волны. Мы ожидаем, что в решеточных системах этот эффект должен быть особенно существенным в силу сложного вида их дисперсионных характеристик. Это соображение было подтверждено на примере решетки локально связанных одинаковых нелинейных осцилляторов. Даже в столь простой модели доля первой зоны Бриллюэна, занимаемая областями невыпуклости дисперсионной характеристики, в пределе слабого взаимодействия составляет 1А (доли областей выпуклости вверх и вниз, где модуляционная неустойчивость ведет себя аналогично одномерному случаю, составляют по % для каждой). Более того, при такой нелокальной неустойчивости типичной оказывается ситуация, когда область пространственного спектра, занимаемая нарастающими модами, в проекции на одну из координатных осей покрывает весь период обратной решетки.
Описанный эффект приводит к существенному увеличению области неустойчивости в спектре нормальных мод при равной нелинейности, что означает ускорение диссипации энергии исходной волны по спектру. Скорость диссипации увеличивается дополнительно благодаря нелинейным процессам более высоких порядков, которые также ускоряются (см. рис. 2 справа, ср. с рис. 2 слева). С точки зрения фононной теории, это означает существенное сокращение длины свободного пробега соответствующих фононов, что представляется важным, например, для теории теплопроводности. Имеются предварительные численные свидетельства того, что такая неустойчивость существенно менее благоприятствует формированию дискретных бризеров, нежели «классическая» модуляционная неустойчивость с плавной пространственной огибающей.
С другой стороны, если нелинейность и область нелинейного взаимодействия достаточно малы, рассматриваемый эффект можно трактовать как вынужденное рассеяние волны под большими углами даже в пределе малой нелинейности, причем эффект чувствителен по отношению к изменениям волнового вектора падающей волны. Это позволяет говорить о потенциальных приложениях для создания оптических
переключающих устройств и в задачах спектроскопии.
Авторы благодарят В.В. Петрова за полезные дискуссии в ходе работы. Рисунки построены с помощью открытого ПО Мк^саре и Scilab.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракт №П1467, а также РФФИ, грант №10-02-00865-а.
Примечания
1. В решеточных системах волновой вектор определен с точностью до трансляции на период обратной решетки, в этом же смысле следует понимать условие равенства в (1); в данной статье, однако, рассматриваются только взаимодействия, где равенство (1) выполняется строго.
2. В системах пространственной размерности два и выше часто вводят разную терминологию для разных проекций вектора с: неустойчивость, связанную с составляющей с, сонаправленной с k0, называют модуляционной, а связанную с поперечными проекциями - самофокусировочной. Следуя [1], мы объединяем эти явления под общим названием модуляционной неустойчивости.
3. Множество L, вообще говоря, может включать также другие элементы, не упомянутые здесь и не расположенные в окрестности точки с=0. Такие случаи, однако, в данной статье не рассматриваются.
4. При сравнении областей неустойчивости на рис. 1 и 2 необходимо учитывать, что на рис. 1 по осям отложены нелинейные функции компонент вектора с, а на рис. 2 - компоненты вектора k=k0+c.
Список литературы
1. Zakharov V.E., Ostrovsky L.A. Modulational instability: The beginning //Physica D. 2009. V. 238. P. 540-548.
2. Lighthill M.J. Contribution to the theory of waves in non-linear dispersive systems //Journ. Inst. Math. Appl. 1965. V. 1. P. 269-306.
3. Захаров В.Е. Об устойчивости волн в нелинейных средах с дисперсией //ЖЭТФ. 1966. Т. 51. Вып. 4(10). С. 1107-1114.
4. Benjamin T.B. Instability of periodic wavetrains in nonlinear dispersive systems //Proc. Roy. Soc. A. 1967. V. 299. P. 59-75.
5. Benjamin T.B., Feir J.E. The disintegration of wave trains on deep water. Part 1. Theory //Journ. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 417-430.
6. Загрядская Л.И., Островский Л.А. Наблюдение самовоздействия модулированных волн в нелинейной линии передачи //Известия вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11. С. 948-950.
7. Balandin A.A., Pokatilov E.P., Nika D.L. Phonon Engineering in Hetero- and Nanostructures //Journ. of Nanoelectronics and Optoelectronics. 2007. V. 2. P. 140-170.
8. Jessen P.S., Deutsch I.H. Optical Lattices //Advances In Atomic, Molecular, and Optical Physics. 1996. V. 37. P. 95-138.
9. Metcalf H.J., Van der Straten P. Laser cooling and trapping. New York: Springer Verlag, 1999. 347 р.
10. Eisenberg H.S., Silberberg Y., Morandotti R. et al. Discrete Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays //Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 3383-3386.
11. Fleischer J.W., Carmon T., Segev M. et al. Observation of Discrete Solitons in Optically Induced Real Time Waveguide Arrays //Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. P. 023902-1-023902-4.
12. Zalalutdinov M.K., Baldwin J.W., Marcus M.H. et al. Two-dimensional array of coupled nanomechanical resonators //Applied Physics Letters. 2006. Vol. 88. P. 143504-1-143504-3.
13. Sato M., Sievers A.J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an anti-ferromagnet //Nature. 2004. Vol. 432. P. 486-488.
14. Kivshar Yu.S., Peyrard M. Modulational instabilities in discrete lattices //Phys. Rev. A. 1992. V. 46. No.
6. P. 3198-3207.
15. Smerzi A., Trombettoni A., Kevrekidis P.G., Bishop A.R. Dynamical Superfluid-Insulator Transition in a Chain of Weakly Coupled Bose-Einstein Condensates //Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. No. 17. P. 170402-
1 -170402-4.
16. Jaksch D., Bruder C., Cirac J.I. et al. Cold Bosonic Atoms in Optical Lattices // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. No. 15. P. 3108-3111.
17. Cataliotti F.S., Fallani L., Ferlaino F. et al. Superfluid current disruption in a chain of weakly coupled Bose-Einstein condensates //New Journal of Physics. 2003. V. 5. P. 71.1-71.7.
18. Meier J., Stegeman G.I., Christodoulides D.N. et al. Experimental Observation of Discrete Modulational Instability //Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. No. 16. P. 163902-1-163902-4.
19. Stepic M., Wirth C., Ruter C.E., Kip D. Observation of modulational instability in discrete media with self-defocusing nonlinearity //Optics Letters. 2006. V. 31. Iss. 2. P. 247-249.
20. Pouget J., Remoissenet M., Tamga J.M. Energy self-localization and gap local pulses in a twodimensional nonlinear lattice //Phys. Rev. B. 1993. V. 47. P. 14866-14874.
21. Huang G., Konotop V.V., Tam H.-W., Hu B. Nonlinear modulation of multidimensional lattice waves //Phys. Rev. E. 2001. V. 64. No. 5. P. 056619-1-056619-10.
22. Hadzievski L., Stepic M., Skoric M.M. Modulation instability in two-dimensional nonlinear Schro-dinger lattice models with dispersion and long-range interactions //Phys. Rev. B. 2003. V. 68. No. 1. P. 014305-1-014305-8.
23. Dauxois T., Khomeriki R., Ruffo S. Modulational instability in isolated and driven Fermi-Pasta-Ulam lattices //The European Physical Journal - Special Topics. 2007. V. 147. No. 1. P. 3-23.
24. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн //Успехи физических наук. 1997. Т. 167. №. 11. С. 1137-1167.
25. Литвак А.Г., Таланов В.И. Применение параболического уравнения к расчету полей в диспергирующих нелинейных средах //Известия вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10. № 4. С. 539-551.
SOME FEATURES OF MODULATION INSTABILITY IN TWO-DIMENSIONAL LATTICE SYSTEMS
O.I. Kanakov, A.A. Tikhomirov
Specific features of the wave modulation instability of two-dimensional lattices are discussed as compared to one-dimensional lattices and spatially continuous systems. We present some qualitative considerations based on the resonant wave interaction theory, an analytical calculation in the approximation of slowly varying amplitudes and numerical simulation results for a two-dimensional nonlinear Klein-Gordon lattice
Keywords: modulation instability, wave interaction, lattice systems.
