CC BY
12
УДК 533.951
ИНКРЕМЕНТЫ "КОРОТКОВОЛНОВОЙ" МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ШИРОКИХ СПЕКТРОВ ЛЕНГМЮРОВСКИХ волн
С. И. Попель1
Получены инкременты "коротковолновой" модуляционной неустойчивости спектров ленгмюровских волн для различных ситуаций. Показано, что существует ряд случаев, когда ее развитие существенным образом отличается от развития "коротковолновой" модуляционной неустойчивости монохроматической волны накачки.
Модуляционная неустойчивость широких спектров ленгмюровских волн изучалась в работах [1-3]. При этом в [1,2] были рассмотрены инкременты "коротковолновойг модуляционной неустойчивости лишь в некоторых частных случаях, тогда как в [3] затрагивался лишь вопрос об инкрементах "длинноволновой" модуляционной неустой чивости. Вместе с тем, исследование модуляционной неустойчивости широких спектров нижнегибридных волн [4] показало, что в "коротковолновом" режиме развитие модуляционной неустойчивости одномерных спектров нижнегибридных волн весьма сходно с ее развитием для монохроматической волны накачки. Этот вывод важен для описания ряда экспериментальных ситуаций, например, при описании токов увлечения нижнегибридными волнами [4, 5], где должна быть учтена конечная ширина (в к-пространстве) спектра нижнегибридных волн [6]. Представляет интерес выяснить, является ли вывод о схожести развития "коротковолновой" модуляционной неустойчивости для волновых спектров и для монохроматической волны накачки общим для всех типов волн во всех ситуациях. К сожалению, результаты работ [1, 2] недостаточны для ответа на этот вопрос для случая ленгмюровских волн.
Институт динамики геосфер РАН. Работа выполнена в Институте общей физики РАН
Целью данной работы является детальное изучение "коротковолновой" модуляционной неустойчивости широких спектров ленгмюровских волн и ее сопоставление с "коротковолновой" модуляционной неустойчивостью монохроматической волны накачки. Будет продемонстрировано, что даже в случае одномерных спектров ленгмюровских волн их развитие существенно отличается друг от друга.
Случай "коротковолновой" модуляционной неустойчивости спектров ленгмюровских волн соответствует следующим неравенствам: |к'| |к|, |к'| |£к|, где |к| - характерная длина волнового вектора в спектре, |<5к| - характерная ширина (в к-пространстве) спектра волн, к' - волновой вектор модуляционных возмущений. Модуляционная не устойчивость описывается следующей системой уравнений для корреляционных функций [1]:
Ы» +ек+к,)Ск>к, = | Е Ц] |кцк1||к + к1|к1 + к,, онО^Лкг+ [[{к+кО^кх+к-Щк-к!] гКк+к'УЩкг-к'Укг]
+ ] ¡кН^Цк + к'Цкх + к'| |к||кх||к + к'||кх - к'| ^
г [(к + кО-к^^кх-кр-к] 1
+ У |к||к1||к + к'||к1-к'|
г, + \г- /[(к-кО-кКСкд-кО-к,]
(е-к+к'+е_к+к1)Ск^ - |Е Ц] |кцкг|(к _ к,||к1 _ к,, +
г[(к-к')-(к1--к')][к-к1] [[(к-к'укЖЪ+к'Укг]
+ У ¡кПкЛк-к'Пк, -к'| ||к - к'ПЬ + к'| ^
|к||кх||к—к'||кх—к'| ^ 1 ' У |к||кг||к - к'||ка + к'
мск-кО-к^Ккх + кО-к] \
1 |к||к1||к — к'Пкг + к'|
+
где 4-векторы к и к\ (к = {и, к}) относятся к волнам в спектре, тогда как к' = {о/, к'} описывает модуляционные возмущения, - корреляционная функция полей ленг-
мюровских волн в спектре, ек - линейная диэлектрическая проницаемость, - нелинейная диэлектрическая проницаемость:
г [(к ± к') • кх]2 „ч
= |к±к'|2|кх|2 а±к*к^Е V**; (3)
1 |к'|ч2
г" £±к+к'
Як1 =
если |к'|«Г1- < и/ < |к'|иТе,
А1ГПоТеш'2 — |к'|2г>2
~~А-(гг , ггЛ если и/ < |к'|ит,-,
47г п0(Те + Г,)
(4)
где п0 - невозмущенная концентрация электронов, Тещ - электронная (ионная) температура, = (Ге/т,)1/2 - скорость звука, Уте({) = (Т'е(,)/те(,-))1у'2 - тепловая скорость электронов (ионов), те(,) - масса электрона (иона). Ниже предполагается, что Г, <С Те. Дисперсионное уравнение для модуляционной неустойчивости представляет собой условие разрешимости системы уравнений (1), (2).
Рассмотрим случай, когда выполнены неравенства: и/ <С <С |к'|г>5, 6ш <С |6к|и5. Здесь 8ш - ширина волнового спектра по частотам. В этом случае а& ~ ~
Ок-к!±к' ~ —1/47гп0Те. Найти условие разрешимости системы уравнений (1), (2) удается в предположении, что спектр волн в к-пространстве - одномерный, а модуляционные возмущения распространяются под углом в по отношению к направлению распространения волн в спектре. При этом е±к+к, ~ сое2 0е±к, а уравнения (1), (2) могут быть представлены в виде:
{е±к+к> + cos2 ве»к) Gkk, = / <**i [(l + cos2 в) G±uk, - 2 cos2 вО^}. (5)
Введем функции
Sf,'= JdhGtk" (6)
Из уравнения (5) получаем:
S± = -If, [ (l + cos2 В) Sf, - 2 cos2 , (7)
где
4irn0Te £±k+k' + COS2 9e^k '
Исключая Sk, из уравнений (7), находим дисперсионное уравнение для рассматриваемого случая:
1 =_4 cos4 0IkiIki_
" (l + [1 + cos2 0]4+) (l + [1 + COS2 6]Ik,) '
Представляя е±к+к' + £±k в явном виде, следует соответствующим образом "перенормировать" частоту ленгмюровских волн [7], включив в нее нелинейный сдвиг так, что ек + ек = 0. Таким образом, е±*+*» + cos2 ве±к и ±2ш'/шре - 3|k'|2?4e/u>2e + (cos2 в -
1) / dkilE+^'l^/AirnoTe, где шре - электронная плазменная частота. Записывая уравне ние (8) в явном виде, получаем
и/2 9 |k'|V
ш2 4 ш
ре ре
и>|, v J 4я-поГе
Уравнение (9) позволяет вычислить инкремент модуляционной неустойчивости 7 (ы' ¿7). Неустойчивость имеет место при
/
> (10) 47гп0Те 4 w*.
Максимальное значение инкремента 7тах достигается, когда левая часть неравенства (10) значительно превосходит его правую часть, a cos2 9 = 1, т.е. модуляционные возмущения распространяются параллельно направлению распространения волн в спектре. Оно равно
7max = \/2|k'|u, (11)
где
* ' (12) 87Г J Ппте
\ЕН0)\1
п0те
представляет собой квадрат амплитуды движения электрона в поле волн. Итак, как и в случае одномерной модуляционной неустойчивости монохроматической волны накачки (где 7тах = |к'|г> при й<Си, (см., например, [8])), максимальный инкремент неустойчи вости в рассматриваемой ситуации определяется значением г>. В этом смысле имеется аналогия между развитием модуляционной неустойчивости монохроматической ленг-мюровской волны накачки и спектра ленгмюровских волн при о/ <С 8и> <С |к'|и4, 8ш <С |6к|иа. Подобные выводы остаются справедливыми также и для случая 8и |к'|? ,,
8ш <С |6к|иа, рассмотрение которого полностью аналогично проведенному выше.
Рассмотрим случай о/ <С 8и <С |к'|ив, 8ш |6к|ив. В этом случае сх.^! ~ о^—^ — 1/4пп0Те, 1 <С |, а <С Система уравнений (1), (2) может быть
представлена в виде:
(- _ г (к-к^.кО , ± V
(е±к+к> + е±к+к.) ик к, - ] ¿к, |к||к1||к/|2 ~ 2Скик1) .
Обозначим на этот раз
^-/^мёК*- (14)
Из уравнений (13) находим
= -It' {St - 2SZ) , (15)
где
fdk |Д+(О)1Пк-к02 1 J 4тгп0Те |к|2|к'|2 e±k+k' + £±к+к''
£ , £лг W Jk'IM, , tih l^lU^-kQ2
Дисперсионное уравнение для модуляционной неустойчивости принимает вид:
1 _
(i+e)(i + «)- 1
В рассматриваемой ситуации удается полностью рассмотреть случаи, когда спектр волн в k-пространстве одномерный или изотропный. В случае одномерного спектра волн дисперсионное уравнение (16) может быть преобразовано к виду (9). Соответственно, справедливо условие (10), а максимальный инкремент дается формулой (11). В случае изотропного спектра волн дисперсионное уравнение совпадает с (9), в кото ром произведена замена cos2 в —> 1/3. Таким образом, в случае изотропного спектра неустойчивость возникает при
/
а максимальное значение инкремента равно
7тах = \Ь№ (18)
Случай 8и> См' |к'|и5, 8ш ¡¿к^ рассматривается аналогично случаю ш' <С 8ш <С |к>„ 6ш > |<5к|гл,.
Рассмотрим ситуацию ш' <С 8и>, 8ш |к'|иа. В этом случае |а*/| >■ 1, »
|»А;-А;1±А;'|, а значения е^С^/, пренебрежимо малы по сравнению с правыми
частями уравнений (1), (2). Уравнения (1), (2) преобразуются к виду:
= <^\ЕН°'\1 / Д.(кДь,-|,'° Км - ЙЫ ■ <19>
Условие разрешимости этих уравнений относительно имеет вид
^/»^(тЬ+ТЬ)^ (20>
(к • к')2 / 1 1 '|к|2|к'|2 ^Н-*' + е-к+к,
Уравнение (20) является дисперсионным уравнением для модуляционной неустойчиво сти в рассматриваемом случае. При вычислении £±к+к> в (20) следует учеть малость £к в данной ситуации и считать, что £к ~ 0. Правая часть приближенного выражения
2
1 + 1 ^ б[к'[Ч>ре
ек+к, е-к+к, 4а,'2/< - 9|кГ4е/<
не содержит киш. Таким образом, множитель, содержащий е±к+к> в (20), может быть вынесен за знак интеграла в рассматриваемой ситуации. Учитывая зависимость ак< (см. (4)), нетрудно показать, что уравнение (20) превращается в дисперсионное уравнение, описывающее "коротковолновую" модуляционную неустойчивость монохроматической волны накачки (см. (2.147) в [8]), если сделать следующую замену:
/
\ЕН0)\1 _ (к°-к')21М лв (21)
|к|2 |к'|2 |к0|2|к'|2 2
и учесть, что |к'| >> |к0|. Здесь ко - волновой вектор монохроматической волны накачки, Е0 - ее амплитуда. Таким образом, в данной ситуации развитие модуляционной неустойчивости спектров волн аналогично ее развитию для случая монохроматической волны накачки.
Рассмотрим случай ш' » 6ш, ш' » |к'|и3, 8ш |#к|иа. В этом случае |а*»| « \ак-к1±к'\ < К-^!, ак-к 1 ~ -1/47гп0Те, а > Уравнения (1), (2) могут
быть записаны в виде:
/ , лг \ _ \Е+{0)\1 [ » (к-кО ±
В случае одномерного спектра волн (когда (к • к1)/|к||кх| = 1) из уравнения.(22) для Ок к, следует, что
1 —/ДГ"» 1 „ ■ (23)
1 4тгп0Те ек+к. + е£+к,
При вычислении ек+к' + ек+к, следует учесть, что > и ек + = 0. Таким
образом,
ек+к, + ек+к, -3— - _ 2- - 3— - ] ¿Ъ
Из уравнения (23) получаем:
ш' \к'\2у1
2--З1 \Те=0. (24)
"ре
Неустойчивость в данном случае отсутствует. Изотропный случай рассматривается аналогично. Для этого надо ввести аналогично [1] векторы
и учесть в уравнениях для Ск, (являющихся следствием (22))
У 4тгп0Ге + |к|2 '
1 к(к •
'к'
что в изотропном случае единственным выделенным направлением, вдоль которого может быть направлен в*, является к'. В рассматриваемой ситуации неустойчивость изотропного спектра отсутствует.
Рассмотрим случай о/ >> ¿ш >> |<5к|г»5, и/ |к'|и5. В этой ситуации удается найти условие совместной разрешимости уравнений (1), (2) при |к'|2и2/и/2 >• |^к|2г>2/6ш2, когда \ак'\ ~ \ctk-ki а <С [е^ц.д./1- Уравнения (1), (2) при этом принимают вид
/ .V \ |Д+(0)1! / 1к'1Ч2 (к • к'Хкх • ко ( ± х
Для решения (26) можно использовать в форме (14). Из (26) получаем следующие соотношения:
= - 28$) , (27)
где
г± 1к'1Ч2 Г ,,1^+(0)1Пк-кО
V- ^/2 у аК4тгпоГР |к|21к'|
4тгп0Ге |к|2|к'|2£±*+*,+
£±fc+fc' + £±k+k' ~ --3
,|k'|V
Те
UJt
f (к--к,)2 1 4ТГ П0Ге |к'|2|ка|2'
_Е1Х /
u/2 J
Ре ~ре
Используя (27), находим дисперсионное уравнение для модуляционной неустойчивости в рассматриваемом случае:
1 =
4 I^Iy
(28)
(1 - (1 - Ц) '
В случае одномерного (в к-пространстве) спектра дисперсионное уравнение (28) может быть преобразовано к виду:
U1
/2
9 |k'|V
Те | olkf
к''2"*2
ш
12
J 4пп0Те
(29)
!1У— ! И-11 Т1 п /
"ре ■"■ "ре ре
Уравнение (29) может быть преобразовано к виду биквадратного уравнения, которое имеет неустойчивое решение с инкрементом:
7 =
\
8 ш2
ч ре
8 ш2
ре
1/2
(30)
Максимальный инкремент 7max = 21/4|к'|л/у1у (по виду, с точностью до численного множителя, совпадающий с соответствующим инкрементом одномерной неустойчиво сти монохроматической волны накачки (см., например, (2.156) в [8])) реализуется при cos2 в = 1 и
/
те
(31)
47Г п0Те
В случае изотропного (в k-пространстве) спектра волн дисперсионное уравнение для модуляционной неустойчивости совпадает с (29), в котором произведена замена cos2 в —> 1/3. Таким образом, максимальный инкремент в этом случае реализуется при условии (31) и имеет вид:
Тшах = |к'|-\/иД
(32)
где V дается выражением (12).
Таким образом, во многих случаях максимальные инкременты "коротковолновой модуляционной неустойчивости с точностью до численного множителя порядка единицы
совпадают с максимальными инкрементами неустойчивости монохроматической волны. Тем не менее,-существуют ситуации (например, при ш' 6ш, ш' |k'|us, 8ш <С |¿k|u,), когда развитие "коротковолновой" модуляционной неустойчивости спектров волн существенным образом отличается от развития "коротковолновой" модуляционной неустойчивости монохроматической волны накачки. Это связано, в частности, с тем, что в спектре каждая мода не может быть неустойчивой независимо от других мод. Становятся существенными их корреляции [8], и в ряде случаев происходит подавление неустойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р о р е 1 S. I., Т s у t о v i с h V.N., and V 1 a d i ш i г о v S.V., Phys. Plasmas, 1, 2176 (1994).
[2] P о p e 1 S. I. and T s y t o v i с h V. N., Contrib. Plasma Phys., 34, 695 (1994).
[3] V 1 a d i m i г o v S. V. and P o p e 1 S. I., Phys. Rev. E, 51, 2390 (1995).
[4] Попель С.И., Препринт ИОФАН N 4, М., 1997.
[5] Р о р е 1 S. I. and Т s у t о v i с h V. N., Contrib. Plasma Phys., 32, 77 (1992).
[6] F i s с h N. J., Rev. Mod. Phys., 59, 175 (1987).
[7] T s y t o v i с h V. N., Lectures on Non-Linear Plasma Kinetics. Berlin, Springer, 1995.
[8] V 1 a d i m i r o v S. V., T s y t o v i с h V. N., P o p e 1 S. I., and К h a k i m o v F. Kh. Modulational Interactions in Plasmas. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1995.
Поступила в редакцию 25 апреля 1997 г.
