CC BY
38
как для положительных, так и для отрицательных значений момента. Отметим, что минимум зависимости и1 = / (ш) наблюдается на частоте - 44,64 эл. рад/с при положительных значениях электромагнитного момента и 44,64 эл. рад/с при отрицательных его значениях. Именно
на этой частоте происходит изменение знака функции = / (ш).
Выводы:
1) Для постановки и решения задачи оптимизации мощности потерь в обмотках асинхронного двигателя в зависимости от частоты скольжения целесообразно использовать математическое описание обобщенной электрической машины в установившемся режиме.
2) Показано, что критериями оптимизации могут быть мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь.
3) В ходе решения задачи оптимизации аналитическими методами получено выражение оптимальной частоты скольжения, а также соотношение между величинами токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе асинхронного двигателя.
4) Результаты численного решения задачи оптимизации позволили выявить, что мощность потерь и удельная мощность потерь от частоты вращения ротора не зависят. Каждая из этих зависимостей является унимодальной функцией. Кроме того, установлено, что зависимости КПД от частоты скольжения при различных частотах вращения ротора обладают свойством подобия и имеют точку явно выраженного максимума.
4) В ходе численного решения задачи оптимизации получены зависимости фазных напряжений статора от частоты вращения при различных значениях электромагнитного момента. Эти зависимости подобны, каждая из них является унимодальной функцией.
УДК 62-83: 621-31
Гурентьев Е.А., Ишматов З.Ш. (Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, ка£е[email protected])
МОДИФИЦИРОВАННАЯ МЕТОДИКА СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА
Любая система управления электроприводом функционирует в условиях изменяющихся с течением времени параметров и при наличии внешних и внутренних возмущающих воздействий. Эти факторы препятствуют качественному управлению координатами замкнутой системы. Применение метода полиномиальных уравнений (ПУ) для синтеза
регуляторов позволяет синтезировать системы управления со слабой параметрической чувствительностью и улучшенной отработкой возмущающих воздействий [1-4].
Рассмотрим двухмассовую электромеханическую систему промышленного асинхронного электропривода (ЭП) как объект регулирования в векторной системе управления.
На такую систему ЭП действует ряд внешних и внутренних возмущающих факторов. Большинство внешних возмущений возникает случайным образом и варьируется в широких пределах. Примерами могут служить: изменение момента нагрузки двигателя, флюктуации значения напряжения контактной сети подвижных составов (трамваи, троллейбусы), «просадки» напряжения в «слабых» сетях (например, при питании электроприводов буровых установок, карьерных экскаваторов от длинных кабельных линий) и т.д. К внутренним возмущающим воздействиям можно отнести влияние перекрестных связей, которые обусловлены составляющими в уравнениях статорных цепей (основную роль в них играет ЭДС вращения), момент упругости механической связи между двигателем и исполнительным механизмом, вязкое трение в механических передачах и т.д.
Основными источниками вариации параметров в системах асинхронного ЭП являются асинхронный двигатель (АД) и исполнительный механизм. К таким параметрам можно отнести активные сопротивления обмоток статорных Я, и роторных Яг цепей АД, суммарные приведенные моменты инерции элементов, жестко связанных с двигателем J1 и механизмом J2, приведенная эквивалентная жесткость С12, характеризующая безынерционную упругую связь между этими массами.
Все перечисленные выше параметры меняются в некотором ограниченном диапазоне. Если известны границы вариации этих параметров, то объект регулирования можно представить в виде «интервальной» передаточной функции:
„,, ч Р(ж)
)- (1)
т п
где Р(ж) = и )($) = - интервальные полиномы, в
к=0 к=0 которых коэффициенты принадлежат ограниченному интервалу
рк е[рк;рк] и Цк ]; Рк, рк - нижние и верхние границы
коэффициентов полинома Р(,) ; , Цк - нижние и верхние границы
коэффициентов полинома )(ж); I - количество интегрирующих звеньев в объекте, причём для степеней полиномов выполняется соотношение т < I+п .
Если параметры объекта зафиксировать, то объект регулирования можно представить в виде «точечной» передаточной функции:
(2)
т
п
Здесь коэффициенты полиномов Р^) = и =
к
к=0
к=0
имеют фиксированные значения.
Объект с передаточной функцией (1) далее будем называть «интервальным», а объект с передаточной функцией (2) - «точечным» объектом. Таким образом, интервальный объект - это множество, образованное точечными объектами, параметры которых находятся в указанных интервалах.
Для синтеза регуляторов обычно используют точечный объект, параметры которого соответствуют номинальным значениям. Однако такой подход, как правило, приводит к разным по качеству процессам на концах возможного интервала изменения параметров. Это связано как с разным влиянием параметра на качество при его уменьшении и увеличении, так и с различной кратностью изменения параметра в сторону его уменьшения и увеличения.
Поэтому для синтеза регулятора из множества точечных объектов, составляющих интервальный объект (1), нужно выбрать один - расчетный (или эталонный) такой, чтобы отработка управляющих воздействий замкнутой САР на границах интервалов варьируемых параметров объекта была наилучшей, а именно: потребуем, чтобы изменение качества регулирования на обоих концах интервала было одинаковым.
Для решения этой задачи можно использовать одну из известных интегральных оценок качества. Наиболее просто может быть вычислена интегральная оценка:
где 0Е(«) - передаточная функция замкнутого контура по ошибке
Е^) . Геометрически величина I^ - это площадь под кривой ошибки и
она может быть найдена аналитически. Возможно использование и интегральной квадратичной оценки
(3)
о
Ц = ( Ж() , (4)
которая тоже может быть вычислена аналитически на основе теоремы Парсеваля.
Тогда параметры расчетного точечного объекта можно определить, например, из равенства
I0-1 = 1-1° (5)
где 10 - величина интегральной оценки качества САР для расчетного
точечного объекта; I, I - величины интегральной оценки качества
САР на границах изменения параметров объекта в сторону уменьшения и увеличения соответственно.
Зная границы изменения параметров объекта, это уравнение решают относительно искомой расчетной величины параметра объекта.
Существуют два подхода к синтезу цифровых регуляторов. Первый подход предполагает синтез регуляторов в непрерывной области с последующей аппроксимацией методом прямоугольников и пригоден при относительно невысоком быстродействии электропривода (в технической литературе такой подход получил название «метода непрерывного аналога»). При этом дискретностью системы управления, силового полупроводникового преобразователя и датчиков пренебрегают. Этот подход применим при относительно малых периодах дискретности, ограничиваемых, например, неравенством [4]:
т(10 о)"1, (6)
где - среднегеометрический корень характеристического уравнения замкнутой системы.
Для эффективного управления электроприводами с высоким требованием к быстродействию необходим учет дискретных свойств полупроводникового преобразователя частоты и системы управления. Поэтому второй подход к процедуре синтеза цифровых регуляторов основан на получении систем управления непосредственно в дискретной области. При этом объект регулирования должен быть представлен в дискретном виде:
^(г)=—Р I . (7)
(г-1))(г)
Синтез традиционных и робастных регуляторов методом ПУ, выполненный на основе обоих подходов, хорошо освещен в литературе [1-4], поэтому здесь не приводится.
Модифицированная методика синтеза робастных САР будет представлена ниже в аналоговом виде. Синтез робастного регулятора непосредственно в цифровом виде выполняется аналогично.
Традиционные регулятор и фильтр, полученные на основе минимального решения Пу, имеют вид:
) = M(s)&(s) , Wô(s). (8)
p s_N (s)PK(s) M (s)
Обычно в системах электропривода числитель фильтра L(p) = 1.
Структурная схема системы регулирования с традиционным регулятором показана на рис.1, б.
Найдем передаточные функции:
а) разомкнутой системы
Ô(s)=_Ms)_=_M(s)_. (9)
si+jN (s) QH(sl.P (s )Q (s) s^s)^.^) v Ph(s) Q(s)P(s) Ph(s)
б) от задающего воздействия х(t ) к выходу y (t ) (при f (t) = 0 )
C(s)=^P>=--: „„,
X(p) M (s)+si+-_N (s) Qh(s) .W (s)
PH(s)
в) от выходного сигнала фильтра хх ( t ) к ошибке системы s (t ) (при f (t ) = 0 )
G ( ) = E(p) =__
s(s) = Xi(p) = M(S)Ph(S) W(s)+si+_' (11) N(S)Qh(S) V '
Кф (в)
X (1) Ь( в) х1 (1)
М (в) *
Кр (в)
™ои (в)
/ (*)
к0/ (в)
м (в) е к( в) и ( * ) Ри ( в ) Рг ( в ) У (*)
к в^ ( в ) Рк( в ) в1- е и (в) * в1/й / (в)
Ко( в)=р (в)/[ ве (в)]
а)
Кф (в)
1 х (*) Ь( в)
9 — М (в)
•О
В ( * )
Кр (в)
К0и (в) / (*)
М (в )б к( в)
в(в) Рк( в)
и (*)
Ри ( в )
в'ийи ( в )
I *) I
К07 ( в )
Рг ( в )
в1/йг ( в )
Б (в)
ЛВ (г)
,г+}
N (в )в н(в)
М (в) Рн( в)
Р (в)
в1й (в)
У м( *)
У (*)
Лу (*)
б)
Рис. 1. Структуры замкнутых систем на основе минимального (а) и общего (б) решений ПУ
г) от возмущающего воздействия / (*) к выходу у(*) или ошиб ке системы ) (при х) = 0 )
У (р) Р/ («) si+j-i/ £ (s) = у' ' =__/у '____ (12
^ Р(р) й/(^ м^^+¿+1
N ^)йнм
Поскольку параметры объекта управления (1) имеют интервальные значения, а параметры традиционного регулятора (8) - точечные, то переходные процессы в системе регулирования будут отличаться от желаемых. Этим обусловлено возникновение в составе передаточных функций (9)-(12) в качестве дополнительного сомножителя выражения
п (s )=-=-. В дальнейшем это выражение будем называть
й(s)^(s)
«интервальный множитель».
Робастный регулятор и фильтр на входе системы имеют вид:
^) (s)PK(s) ' ^ М_(s) . (13)
Полиномы робастного регулятора М и N (s) находятся на
основе модифицированной методики, отличающейся от приведенной в [1-4], следующим образом:
М_ = М (s )Pн(s)+si+jD(s)N (s)йн(s), (14) (s)=N^)Рн^)[1—D(s)], (15)
1 1
D(s)=-=-, (16)
^ AD ^) ^+1)'
где AD(s) - устойчивый полином, содержащий желаемые полюсы замкнутой системы; TD - настроечный параметр робастного регулятора; V = I+j+Пм — Пй — Пм — Пр - из условия реализуемости звена
м ).
На рис. 1, б показана структурная схема робастной САР, полученной с помощью эквивалентных преобразований, описанных в [2-4]. Из структурной схемы видно, что в состав полученного робастного регулятора входят традиционный минимальный регулятор (8) и внутренняя «точечная» модель объекта, параметры которой рассчитаны по (5).
Невязка, равная разнице выходных сигналов реального объекта и его модели Ay(t) = y(t)—y (t), проходя через звено с передаточной ■ + N ( s )Q H( s )
функцией s1 J- преобразуется в сигнал As(t), равный
M ( s ) Ph( s )
разнице ошибок замкнутых систем с реальным «интервальным» и эталонным «точечным» объектами. Далее через звено D(p), которое
является в общем случае фильтром, он подается на вход системы. Описанный способ коррекции динамических систем придает САР новые свойства.
Постоянную времени TD полинома AD (s) выбирают достаточно малой по сравнению с быстродействием замкнутого контура. Поэтому при анализе свойств робастной системы влиянием полинома AD (s)
можно пренебречь (т.е. принять D(s ) «1 ). Найдем передаточные функции
а) разомкнутой системы:
M ( s)+si+JN ( s) Qh(s) D( s) Ô(s)=-pH<s-= (17)
si+JN ( s) QH(s).P ( s)Q( s) [1—D( s)]
V Ph(s) Q(s)P(s)L V Л
M ( s) Ad ( s)+si+JN ( s) Q^
= si+J+1N(s)QH(sl. Р(ШAD(s)'
V 'PH(s) Q(s)P(s) D f
где ADj(s) = [Ad (s)—1]/s - устойчивый полином степени (v—1) ;
б) замкнутой системы, соответствующие передаточным функциям (9) - (12):
ч L(s)
G( s)=-+-Ô7Ï) -:—; (18)
M ( s)+si+JN ( D(s s)+[1—D( s)]W ( s)}
PH( s )
si+J [1—D( s)]W ( s)
G (s) = M(s)P (s) • —^-:—; (19)
M ( s !PH:s )+si+J { D( s)+si+J [1—D( s)]W ( s)}
N ( s )QH( s )
G (s)=-Ш._si+j—f[1-P(s)W(s)_(2o)
' Q (S) Mu S)P"(S) + si+j{D(s)+[1-D(s)]W(s)} N ( s)Q"( s)
Из этих передаточных функций видно, что при соответствующем выборе дробно-рациональной функции D ( s ) появляется возможность значительно уменьшить влияние интервального множителя
~ . P( s)Q ( s)
W ( s) =-=-, причем чем меньше величина постоянной време-
Q ( s ) P( s )
ни TD у функции D(s), тем эффективнее подавляется влияние внутренних возмущений в объекте, тем ближе переходные процессы к стандартным желаемым.
При малых TD, например, T$<(10 0)-1, можно считать D(s)«1. Тогда выражение [1—D(s)]«0 и оно фактически «поглощает» интервальный множитель W(s). При этом передаточная функция замкнутой системы по управлению G( s) с интервальным объектом (1) будет соответствовать стандартной желаемой, а передаточные функции по ошибке (19) и внешнему возмущению (20) стремятся к нулю.
Кроме того, замкнутые системы управления с робастным регулятором имеют улучшенную отработку внешних возмущающих воздействий по сравнению с традиционными системами, поскольку робастный регулятор (13) по сравнению с традиционным (8) имеет увеличенный на единицу порядок астатизма.
С помощью этой методики были получены робастные регуляторы тока и скорости для векторной системы управления асинхронным ЭП.
Экспериментальные исследования робастной векторной САР скорости выполнены на лабораторном испытательном стенде. Достаточно простая структура робастного регулятора скорости позволила реализовать его в стандартном преобразователе, допускающем произвольное изменение пользователем структуры системы управления. Таким преобразователем был выбран преобразователь частоты фирмы «SIEMENS» SIMOVERT MASTERDRIVE Vector control. При этом исходная типовая векторная САР скорости дополняется внутренней эталонной моделью объекта, составленной из элементов библиотеки «Свободные блоки» в программе «Drive Monitor».
Для оценки свойств робастной системы в ходе экспериментов также получены переходные процессы для векторной САР с традиционными П- и ПИ-регуляторами скорости
со. л/2
V N
V '. с
\
ч г <3
/, С
а) б) в)
Рис. 2. Реакция контура регулирования скорости на ступенчатое изменение задающего воздействия при вариации 1 - при номинальном 2 - при уменьшении 3Е в 3,5 раза, 3 - при увеличении 3Е в 3,5 раза
со, !
* Г" со.
т
и с
а) б) в)
Рис. 3. Реакция контура регулирования скорости на ступенчатое изменение задающего воздействия при упругой связи двигателя и механизма
Результаты экспериментов представлены на рис.2 и рис.3. На всех рисунках а - векторная система регулирования с П-регулятором; б - с ПИ-регулятором; в - с робастным регулятором. Все переменные представлены в относительных единицах, в долях от номинальных значений. На рис.3 масштаб момента составляет 1:3.
На рис.2 представлены реакции САР скорости на ступенчатое изменение задающего воздействия при вариации 3Е. На рис.3 представлены реакции контуров регулирования скорости на ступенчатые изменения задающего и возмущающего воздействий при заметном влиянии упругой связи между двигателем и механизмом.
Эксперименты показали, что система электропривода с робастным регулятором скорости не только обладает слабой параметрической чувствительностью и улучшенной отработкой возмущающих воздействий, но и позволяет значительно снизить упругие колебания по сравнению с системами с традиционными П- и ПИ-регуляторами скорости.
Практически важным является то обстоятельство, что синтезированный методом ПУ робастный регулятор скорости, благодаря своей простоте, позволяет реализовать его в стандартном преобразователе без дополнительных капитальных затрат. При этом расчёт и наладка такой системы не вызывает особых затруднений. Все это позволяет рекомендовать полученные робастные регуляторы для использования в современных системах управления электроприводами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ишматов З.Ш., Плотников Ю.В., Гурентьев Е.А. Робастная цифровая система управления асинхронным электроприводом. // Электротехника. 2009. №9. С. 34-41.
2. Ишматов З.Ш., Гурентьев Е.А. Синтез методом полиномиальных уравнений систем электропривода, инвариантных к параметрическим и внешним возмущениям. // Электротехника. 2007. №11. С. 30-37.
3. Ишматов З.Ш., Гурентьев Е.А. Синтез адаптивных регуляторов электропривода методом полиномиальных уравнений // Электротехнические системы и комплексы: Межвузовский сборник научных трудов / Под ред. А.С. Сарварова.- Магнитогорск: МГТУ, 2007.- Вып.14. С. 22-32.
4. Ишматов З.Ш. Микропроцессорное управление электроприводами и технологическими объектами. Полиномиальные методы: монография / З. Ш. Ишматов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. 278 с.
