Коэффициентные методы оценки робастности линейных непрерывных систем управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

О.В.Буланова

Расчет показателей статической устойчивости систем электроснабжения,

Аналогияные характеристики получены для синхронных двигателей. Их характер зависит от ряда факторов, в том числе от характера момента приводимого механизма, коэффициента загрузки, паспортных данных, для синхронных двигателей - способа регулирования возбуждения. Для расчетов целесообразно пользоваться комплексными характеристиками узла, которые могут быть получены при известном составе потребителей и их характеристик.

Генераторы также могут быть введены в расчет своими статическими характеристиками,

характер которых определяется системой авто -матического регулирования по частоте и на -пряжению.

Таким образом, разработанная программа позволяет производить точный расчет установившегося режима с учетом изменения напряжения и частоты, строить статические характеристики отдельных электр о прием ников и комплексной нагрузки, определять запас статической устойчивости. Это позволит прогнозировать режимы ра-боты сети и определять мероприятия, повышающие ее надежность.

Библиографический список

1. Куликов Ю.А. Переходные процессы в электрических системах: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. 283 с.

2. Жданов П.С. Вопросы устойчивости энергетических систем / Под ред. Л.А.Жукова. М.: Энергия, 1979. 456 с., ил.

3. Гуревич Ю.Е., ЛибоваЛ.Е., Хачатрян Э.А. Устойчивость нагрузки электрических систем. М.: Энергоиздат, 1981. 208 с., ил.

4. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. 2-е изд., перераб. и доп. М.:

Высш. шк., 1970. 472 с., ил.

УДК 62-83: 621-31

З.Ш. Ишматов

КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РОБАСТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

1. Понятие робастной системы

Любая система автоматического управления функционирует в условиях меняющихся с течением времени параметров. Источником нестабильности объекта может быть старение элементов, их износ, температурные изменения параметров, изменение взаимного расположения отдельных элементов системы, конфигурации рабочего органа, изменения параметров технологического процесса и т.д. Кроме того, на этапе проектирования параметры объекта, как правило, точно не известны. Поэтому, хотя проектирование системы осуществляется для номинального объекта (с номинальными, или расчетными, значениями параметров), спроектированная система должна быть работоспособна и при оговоренных пределах изменения тех или иных параметров. Систему, сохраняющую свои свойства при заданном ограниченном диапазоне изменения параметров, называют робастной. Так, система, сохраняющая устойчивость при заданном диапазоне изменения параметров, называется робастно устойчивой. Робастно устойчивые системы, гарантирующие те или иные показатели процесса (например, степень устойчивости, степень колебательности и т.п), называют робастно модальными системами.

Радикальное решение проблемы построения робастных систем может дать использование принципов адаптации. Однако высокая сложность адаптивных алгоритмов управления, трудности реализации и плохие динамические свойства контура адаптации часто становятся непреодолимыми препятствиями на этом пути.

Вместе с тем удовлетворительной работы системы управления в условиях изменения ее параметров часто можно добиться без использования адаптации Для этого синтезируют систему с постоянными параметрами регулятора таким образом, чтобы даже при действии указанных возмущающих факторов ка -чество ее работы не опускалось ниже допустимого уровня. Такие системы в общем случае не могут соперничать с адаптивными системами, которые могут оптимально перестраиваться вслед за изменением параметров объекта. Однако в тех случаях, когда не требуется предельно высокое качество регулирования, существенное преимущество таких систем, состоящее в простоте реализации, очеввдно.

Синтез робастных систем с постоянными параметрами регулятора может быть выполнен на основе различных идей и методов. Это и методы, полученные в теории чувствительности и теории инвариант -

ности, минимаксный метод, использующий I#112 -норму или I#11^ -норму, ц-анализ, частотные методы

ит.д. Как правило, это достаточно сложные методы, требующие большого объема вычислений.

Вместе с тем сравнительно простой метод оценки робастной устойчивости и робастной модальности можно получить на основе анализа характеристического полинома замкнутой системы. Рассмотрим этот подход. Для этого сначала остановимся на коэффициентных методах оценки устойчивости и качества [1] систем управления.

2. Коэффициентные методы исследования устойчивости

Пусть характеристический полином замкнутой системы имеет ввд:

A(p) = anpn + a„_ipn~l +... + ap + a0, at > 0. (1)

Для систем первого и второго порядка положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости, а при n > 3 - только необходимым , но не достаточным.

Для систем выше второго порядка введем вспомогательные параметры Xi, образуемые четверками рядом стоящих коэффициентов полинома А(р):

Л = 1,2,..., П - 2. (2)

a , a ^

г-1 i+2

^ я a,a2 . a2 a3

Так, =-, А2 =-- и т.д. Параметры \ называют показателями устойчивости. Для них

a0a3 a1a4

сформулированы следующие необходимые и достаточные условия устойчивости [1].

Чтобы система с характеристическим полиномом (1) была устойчива, необходимо выполнение условий:

Аг> 1, г 1,2=;..,n-2. (3)

Приведенные необходимые условия позволяют отбросить заведомо неустойчивые системы и задают область, содержащую точную область устойчивости, навденную по необходимым и достаточным условиям устойчивости, например критериям Гурвипа или Рауса.

Чтобы система с характеристическим полиномом (1) была устойчива, достаточно выполнения условий:

Аг> 2,148, i = 1,2,..., n - 2. (4)

Область устойчивости, построенная по этим неравенствам, будет находиться внутри точной области устойчивости. Как правило, при использовании этих условий сужение области устойчивости незначительно и происходит это за счет отбрасывания систем с малыми запасами устойчивости.

3. Робастная устойчивость

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы (1), коэффициенты которого могут

принимать значения в интервале ai е [ai, ai ], 0 < ai < ai . Такой полином называют интервальным.

В соответствии с известной теоремой Харитонова [2] необходимым и достаточным условием робастной устойчивости полинома (1) является устойчивость лишь четырех полиномов с коэффициентами:

1) a0 aj a2 a3 a4 a5 a6 ...

2) a0 aj a2 a3 a4 a5 a6

- - - - (5)

3) a0 aj a2 a3 a4 a5 a6

4) a0 ax a2 a3 a4 a5 a6

В [2] показано, что на основе достаточного условия устойчивости (4) и теоремы Харитонова можно доказать следующую теорему.

Для робастной устойчивости интервального характеристического полинома (1) (т.е. устойчиво-

стидля всехзначений а. е [а., а. ], 0 < а. < а. ) достаточно, чтобы удовлетворялись следующие п-2 условия:

X? > 2,148, . = 1,2,...,п -2, (6)

где Хр = Ца!+1 . Доказательство теоремы легко получить, выписав значения показателей устойчи-

а.-1 а.+2

вости А. для всех четырех полиномов (5) и выбрав среди каждой четверки X. с одинаковыми ивдекса-ми наименьший показатель устойчивости, который и будет равен Хр .

Аналогично на основе необходимого условия устойчивости (3) и теоремы Харитонова можно пока -зать, что необходимым условием робастной устойчивости являются п-2 неравенства:

хр > 1, I 1,2=.., п - 2. (7)

Понятно, что применение теоремы о необходимых условиях робастной устойчивости ограничива-ется теми случаями, когда требуется показать, что исследуемая система не обеспечивает робастной устойчивости.

Таким образом, если известен диапазон изменения физических параметров системы управления, то для оценки ее робастной устойчивости необходимо по ним вычислить верхние а1 и нижние а1 значения коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы. Далее вычисляются показатели устойчивости Хр и проверяются достаточные условия робастной устойчивости (6). Если они выполняются, то при любых изменениях параметров в рассматриваемом диапазоне система остается устойчивой. Если хотя бы одно из условий (6) не выполняется, проверяются необходимые условия (7). Если хотя бы одно из не -обходимых условий не выполняется, то система не является робастно устойчивой. В противном случае необходимы дополнительные исследования на основе теоремы Харитонова и необходимых и достаточных критериев устойчивости, например Гурвипа или Рауса. Такой подход позволяет сократить объем расчетов по сравнению с непосредственным применением теоремы Харитонова.

Очевидно, что приведенные условия робастной устойчивости могут быть использованы и для ре -шения обратной задачи, т.е. определения допустимого диапазона изменения коэффициентов характеристического полинома и физических параметров системы, а также для сопоставления различных систем по величине области робастной устойчивости и последующего выбора системы с максимальной областью.

4. Коэффициентные методы исследования качества

В теории автоматического управления качество и точность систем управления оценивают по различным показателям:

1) временным, определяемым по форме переходного процесса (время переходного процесса и другие характерные времена, перерегулирование, установившаяся ошибка и т.д.);

2) частотным, определяемым формой различных частотных характеристик (частота среза идругие характерные частоты, запасы устойчивости по амплитуде и фазе, добротность и т.д.);

3) корневым, определяемым расположением нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы (модули коней характеристического полинома, степени устойчивости и колебательности, а также аналогичные показатели нулей передаточной функции);

4) коэффициентным, определяемым набором коэффициентов передаточной функции.

Отметим, что коэффициенты передаточной функции наиболее просто и непосредственно связаны с физическими параметрами системы. Задача анализа качества и точности с использованием всех перечисленных показателей всегда разрешима и решение однозначно. Для решения задачи синтеза необходимо иметь обратные зависимости, позволяющие перейти от требуемых показателей качества и точности к искомым параметрам системы. Поэтому вполне очеввден интерес к созданию методики, позво-

ляющей формулировать требования к качеству и точности системы, ее робастности непосредственно в коэффициентной области. Для этого нужно иметь простые аналитические зависимости между теми или иными показателями устойчивости и качества системы и коэффициентами ее передаточной функции. Однако такие зависимости обычно легко могут быть найдены только для систем первого и второго порядка , для систем более высокого порядка они могут быть получены лишь приближенно.

Выше были рассмотрены коэффициентные методы исследования устойчивости (в том числе робастной) для линейных непрерывных систем. Рассмотрим теперь аналогичные методы применительно к каче-ственным показателям работы системы.

Для этого введем ряд параметров, характеризующих форму процессов в системе и ее быстродействие (по аналогии с показателями устойчивости X). Как показано в [1], форму процессов в системе с характеристическим полиномом (1) (без нулей в числителе передаточной функции) однозначно можно охаракте-ризовать n-1 показателем ввда:

8t =-3—, * 1,2,...,n-1, (8)

ai-1ai+1

а показателем быстродействия может служить величина

®0 = aj a0. (9)

Заметим, что л, = 8i8i+1, i =1,2,..., n — 2.

Достаточно часто при решении задачи синтеза выдвигается требование апериодичности процессов в замкнутой системе, что равносильно требованию отрицательности и вещественности всех корней характеристического полинома. Принципиально это задача решается с помощью известной теоремы Штурма, дающей необходимые и достаточные условия апериодичности процессов, но такой путь слишком сложен для решения практических задач и может быть использован только для анализа систем. Наиболее просто эта задача в коэффициентной области решается с использованием следующего достаточного условия апериодичности, сформулированного в [1].

Если для устойчивого характеристического полинома (1) при n > 2 выполняются неравенства

8,i > 4, i 1,2=..., n -1, (10)

то все его корни вещественные и отрицательные, что соответствует апериодическому характеру процессов в замкнутой системе (разумеется, при отсутствии нулей в ее передаточной функции). Условие робастной апериодичности интервального полинома приведено в [3] на основе теоремы, аналогичной теореме Харитонова: апериодичность первых двух полиномов (5) необходима и достаточна для робастной апериодичности полинома (1) в интервале at е [at, at ], 0 < at < at .

Если требование апериодичности отсутствует, то часть корней характеристического уравнения могут быть комплексными, при этом процессы в системе могут носить колебательный характер. Колебательность процессов можно оценить по максимальной степени колебательности всех пар комплексно сопряженных корней Напомним, что степенью колебательности ц пары комплексно сопряженных корней называют модуль отношения мнимой части корня к его вещественной части.

Если задана требуемая степень колебательности ц устойчивой системы, то все корни характеристического уравнения должны располагаться в секторе, ограниченном лучами, которые составляют с

отрицательным направлением вещественной оси угол ф = arctg fJ., \ф\ < nj2 .

Для того, чтобы все корни характеристического полинома (1) располагались в секторе ±ф, необходимо выполнение неравенств (при n > 2 ) [1]:

(n - i +1)( i +1) 2

5i ^----:----=-----cos ф, i 1,2,...,n-1. (11)

(n - i )i

To есть, если для данного полинома приведенные неравенства нарушаются при каком-либо значении (р, то хотя бы одна пара комплекс ных корней этого полинома лежит за пределами заданного сектора +ф .

Таблица 1

Зависимость 8Я от порядка системы п и размера сектора (степени колебательности р)

Для того, чтобы все корни характеристического полинома (1) располагались в секторе +ф, достаточно выполнения неравенств [1]:

5г >5Д (п,ф), 4 1,2,..., п -1, (12)

где 8Д (п,ф) определяется из табл. 1.

Степень устойчивости^ линейной непре-рывной системы определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего к этой оси корня характеристического полинома и определяет скорость протекания самых «медленных» составляющих переходного процесса. То есть степень устойчивости может служить мерой быстродействия системы.

Достаточные условия заданной степени устойчивости можно получить, осуществив в характеристическом полиноме (1) замену р на новую переменную д подстановкойр=д-ц и использовав достаточное условие устойчивости (4). Их можно сформулировать следующим образом [1]. Чтобы все корни характеристического полинома (1) лежали левее вертикальной прямой, проходящей через точку (-^, у'0) , 0 < ^ , достаточно выполнения условий:

8п(п,Ф) при ф, град.

п 0 30 45 60 90

(м=0) (м=0,577) М,0) (м=1,732) (м=~)

2 2 1 0

3 1

4 4 3 1 + >/2 * 2,41 2 у[2 * 1,41

5 и более 1,465

4 аг - агтт(« - і -1)^ 0, і 1,2=..., п -1;

А*А*+1 > 2,148, к = 1,2,...,п-2;

(13)

а

-ал + 2а2^2/3 > 0.

Использование приведенных показателей формы 5, и показателя быстродействия соо позволяет выполнить как анализ качества разработанной системы и сравнение различных вариантов ее построения, так и синтез замкнутой системы по заданным показателям качества (быстродействие, апериодичность, степень устойчивости, степень колебательности). Кроме того, используя приведенные выше выражения, можно исследовать влияние переменных параметров системы на ее качество или установить область изменения этих параметров, при которых качество регулирования не выходит за определенные пределы.

5. Исследование чувствительности коэффициентными методами

Степень влияния отдельных параметров замкнутой системы на ее устойчивость и качество можно оценивать также и по чувствительности. При исследовании системы управления применяют различные оценки чувствительности. Это и прямые оценки, определяемые какчастные производные координат сис-темы или показателей качества и точности по варьируемым параметрам, и косвенные логарифмические или полулогарифмические оценки, и функции чувствительности передаточных функций или частотных характеристик и т.д. Однако их применение связано с определенными трудностями. Поэтому более удоб-ными оказываются оценки чувствительности введенных выше косвенных показателей качества и точности: показателей устойчивости X, показателей формы процессов 5, и показателя быстродействия юо. Введем следующие нормированные функции (коэффициенты) чувствительности к параметру а:

чувствительность показателя устойчивости

^0 С>_ Г аа+1 1

а=а0 Ло до V аг -1аг+2 )

Ло

чувствительность показателя формы

&=-

Сто дд{ ^0 Ґ а2 ]

а=Оо до і аг -1аг+1)

і 1,2..........п - 2;

і 1,2,...,п -1;

(14)

(15)

чувствительность показателя быстродействия

^0 5®0 _°0 5 г а 1

®00 до ст=ст0 ®00 v a0 )

= = ш , (16)

где сто - исходное (расчетное) значение параметра а; Л,-0, 5г0, ®оо - значения показателей устойчивости, качества и точности при расчетном значении параметра ст0. Если известен характер вхождения параметра а в коэффициенты характеристического полинома (или полиномов передаточной функции регулятора и объекта), то не составляет труда получить аналитические зависимости оценок чувствительности от параметра а во всем диапазоне его изменения.

На практике можно широко пользоваться приведенными выше функциями чувствительности. Изменяемыми параметрами могут быть как один из конструктивных параметров регулятора, возможный разброс которого может приводить к изменению качественных показателей системы, так и переменные параметры объекта управления, изменяющиеся в процессе работы системы в некоторых известных пределах.

В качестве примера использования коэффициентных оценок качества и их чувствительности рассмотрим контур регулирования тока якоря с полученными в [4] регуляторами Расчетные (или номинальные , исходные) значения параметров объекта

к / Я

К (р) = т (17)

Т Р +1

примем равными кш0=50, Яя0=0,1 Ом, Хя0=0,01 Гн и Гя0=Хя0/Яя0=0,1 с. Будем считать, что в процессе работы возможно изменение коэффициента усиления преобразователя кш и сопротивления якорной цепиЯя, что, в свою очередь, приводит к изменению постоянной времени Тя.

Тогда передаточная функция замкнутого контура тока с компенсационным (компенсирующим полюс объекта) регулятором

К (р) = Кя0 (Т°Р +1) , (18)

Р Кп0ТэР

где Тэ=0,02 с, примет ввд: о (Р) =

_ ДяОктпТяО Р+1/ Тя0 _ 10 кТП (0,1Р +1)

ЯяктпОТэТ Р 2 + КяктпОТ + ЯяОктпТяО р | Яя0ктп р2 + (100Яя + ктп )р + 1 0ктп

К к ТТ Як ТТ

я тпО эя я тпО э я

При расчетных значениях параметров объекта нуль р =10 сокращается с соответствующим полюсом и

О (р ) = -------^2-------------= —^.

р + к + 100Я -10 р + 50

тп я *

С другим вариантом компенсационного регулятора

К (р) = Яя0(Т° Р +1) , (19)

2ктЫ}Тцр(Тмр+1) ^ '

где Тц=0,01 с, передаточная функция замкнутого контура имеет ввд:

G (Р) =

Ко ктпТяО Р + 1/Тя0

2Rk^T2T 3 , T + Тц 2 { 2Яяктп0Тц+ RJTJM , ДЯ0ктп

Р + Р 4----------------^77—^2----------------Р4-2

ТЯТ^ 2 R ктп0Т^Тя 2Дяктп0Т;Тя

1000ктп (0,1р +1)

Р3 +100(1 + R)p2 +100(100R + к )р +1000к

Г V я ' ЛТ V Я ТП ' * Т]

Таблица 2

Коэффициентные оценки устойчивости и качества

Показатель Системас компенсационным регулятором Системас некомпенсационным регулятором

(18) (19) (20) (21)

^ _ а1а2 а0 а3 - 10(100 к + ктп )(1+кя ) к ТП - (190 К, + 3,62 ктп )(1,9 + К ) 2к ТП

2 8,= а а0 а2 (100КЯ + ктп )2 10 к тп (100КЯ + ктп )2 10к (1 + К ) тп ^ я ' (100 Кя + 1,8ктп )2 100 к тп (190 К, + 3,62 ктп )2 200к (1,9 + К ) тп V 5 я'

8 = а2 а1а3 - 100(1 + К )2 100К + к я тп - 100(1,9 + К, )2 190К + 3,62к я 5 тп

а1 ©0 = — 0 а0 100КЯ + ктп 10 к тп 100КЯ + ктп 10 к тп 100К +1,8ктп 100к ТП 190КЯ + 3,62ктп 200к ТП

При расчетных значениях параметров нуль числителя иодин из нулей знаменателя сокращаются и

О ( ) =_________________100^____________________= 5000

р2 + (100Кя + 90)р +100ктп + 9000Кя - 900 р2 +100р + 5000'

Отсюда ввдно, что отклонение параметров объекта от расчетных в системе с компенсационным регулятором приводит к повышению порядка характеристического полинома на единицу относительно расчетного.

Передаточная функция замкнутого контура тока с не компенсационным (не компенсирующим полюсы объекта) регулятором

ж (р) = кЛщр+1)

р к,и0п0р

(20)

где п0 - 2Т2 / ¥я0; т1 2Т^~ п0; т= 1; Т= 0,01с, с учетом фильтра Жф (р) = 1/(т1 р +1) на входе

примет вид:

О (р) = К*°1 -

КякТП0Т^я

2 К ктп0Т2Тя

100 к

р2 + (100Я +1,8к )р + 100к

Г V я 5 тп'* тп

При расчетных значениях параметров

^ \ 5000

О (р) = -----------------.

р2 +100 р + 5000

Использование другого варианта некомпенсационного регулятора К р) = Яя0 (т\Р + т0)

Кп0(П1р + П0)р

(21)

где п1 = 8Т3 /^; п0 (8Т;2 - п1)/ Т^; т1 = 4Г - п0; т 1; Т 0,005 с, дает:

О (р) =

ап

20000к

р + а2 р + а1 р + а0 р + (100Кя +190) р + (19000Кя + 362ктп ) р + 20000кт

где: а2

T - T

яО U

G —------------Ь

TT T

я яО ц

Rs0kтпT -2TMTso + 2T2)

2RS kTT

При расчетных значениях параметров

ao =

G (p) =

106

p3 + 200p2 + 2-104 p +106

Порядок характеристического уравнения замкнутой системы с некомпенсационным регулятором при изменении параметров не меняется и остается равным расчетному.

Навдем сначала выражения для коэффициентных оценок устойчивости X, и качества (показателей формы 8і и показателя быстродействия щ) этих систем и их значения при номинальных значениях параметров объекта. Результаты расчетов приведены в табл. 2, 3.

Из табл. 3 ввдно, что коэффициентные показатели устойчивости и качества для систем с компенсационными регуляторами существенно отличаются от аналогичных показателей для систем с некомпенсационными регуляторами, хотя переход ные функции всех этих систем достаточно близки. Связано это с на -личием нулей в передаточных функциях замкнутых систем с компенсационным и регуляторами, которые оказывают существенное влияние на качество процессов. Поэтому сравнение качества двух систем по коэффициентным показателям можно производить только в том случае, когда числители их передаточных функций одинаковы, а также совпадают порядки характеристических уравнений

Тем не менее, коэффициентные оценки устойчивости и качества можно использо- Таблица 4

вать для оценки чувствительности этих сис- Нормированные чувствительности коэффициентных

тем к изменению параметров объекта. Для оценок устойчивости и качествапри

этого можно использовать два подхода: во- номинальныхзначенияхпараметров

первых, найти зависимость коэффициентных оценок от параметров объекта при их изменении в заданных пределах (результаты расчетов приведены на рис. 1, 2), во-вторых, вычислить коэффициенты чувствительности оценок устойчивости и качества по варьируемым параметрам в расчетной точке (результаты приведены в табл. 4).

При этом для удобства сравнения целесообразно использовать относительные значения как показателей качества и точности, так и варьируемых параметров. Разумеется, корректным будет сравнение между собой систем одинакового порядка, т.е. система с регулятором (18) должна сравниваться с системой с регулятором (20), а (19) - с (21).

Таблица 3

Численные значения коэффициентных оценок устойчивости и качества при номинальных значениях параметров объекта

Пока- затель Система с компенсационным регулятором Система с некомпенсационным регулятором

(1B) (19) (20) (21)

А™ - 13,2 - 4

*0 7,2 6,545 2 2

&D - 2,017 - 2

(Odd 0,12 0,12 0,02 0,02

Функция чувствительности Система с компенсационным регулятором Система с некомпенсационным регулятором

(1B) (19) (20) (21)

0 Л _ R«o R -^я0 - 0,258 - 0,145

АЗ т) R Л0 BR

oil _ k™ 0Я1 kTn = kTno - -0,167 - -0,095

kl° 40 dk 10 тп

«А _ R«o ^ R =Ri0 0,333 0,242 0,2 0,14

R 510 dR 10 я

«Si kTno ^ kTn = kTno 0,667 0,667 0,8 0,81

k" *10 dK„

«А Ro d52 R = ^я0 - 0,015 - 0,005

R *20 dR 20 я

C* kтп0 552 kTn = kTno - -0,833 - -0,905

k™ S20 dk 20 тп

0®o Rn0 ^®0 R = ^я0 0,167 0,167 0,1 0,095

R” ®oo dR

C®0 _ kтп0 ^®0 kTn = kTno -0,167 -0,167 0,1 -0,095

k'° co00 dk 00 тп

Рис. 1. Относительные значения показателя формы б і и показателя быстродействия ыо в контуре тока с регуляторами (18) (слева) и (20) (справа) при изменении сопротивления якорной цепи & и коэффициента усиления преобразователя ктп

/?я//?яО

/?я/і?яО

2

1.8 I \ /бі/5ю ■

1.6 1 \

1.4 \ \

1.2 \ \

1 Ш0/(О00

0.8 \ "

0.6

0.4 “ §2/§20

0.2

35 ктп/ктО

2,5

35 ктп/ктО

Рис. 2. Относительные значения показателей формы б і и б 2 и показателя быстродействия ыо в контуре тока с регуляторами (19) (слева) и (21) (справа) при изменении сопротивления якорной цепи &я и коэффициента усиления преобразователя ктп

За базовое значение показателей качества 5г0, сооо на рис. 1 и 2 и в табл. 4 приняты их значения, навденные при номинальных параметрах объекта (см. табл. 3).

Анализ рисунков и таблицы показывает, что чувствительность систем с компенсационными регуляторами оказывается в целом выше, чем систем с некомпенсационными регуляторами. Так, чувствительность к изменению сопротивления якорной цепи Яя или, что то же самое, электромагнитной постоянной времени Тя, показателей устойчивости и качества в 1,7—1,8 раза выше у систем с компенсационными регуляторами. Это объясняется тем, что увеличение порядка характеристического уравнения происходит только при изменении Яя, при изменении кш порядок характеристического уравнения остается расчетным. Исключение составляют лишь чувствительности показателей качества 81 и 52 к изменению кш, которые на 10-20% выше у систем с некомпенсационными регуляторами

Справедливость сделанных выводов подтверждают и переходные процессы в рассматриваемых системах при изменении параметров объекта в 2 раза в сторону уменьшения или увеличения, приведенные на рис. 3. Из рисунка также ввдно, что системы с некомпенсационными регуляторами менее чувствительны и к возмущающим воздействиям.

Таким образом, коэффициентные оценки устойчивости и качества, а также их чувствительности, позволяют выполнить исследование свойств системы при заданном ограниченном изменении пара -метров. На основе полученных аналитических выражений этих оценок может быть решена и обрат -ная задача - оценен допустимый разброс параметров, при котором сохраняются требуемые свойства системы. Кроме того, они могут быть полезны при сравнении альтернативных проектных решений.

Рис. 3. Реакция на ступенчатые задающее и возмущающее воздействия в контуре тока с компенсационными (18) - (а), (19) - (б) и некомпенсационными (20) - (в), (г) - (21) регуляторами при:

1 - номинальных значениях параметров; 2 - уменьшении Rя в 2 раза; 3 - увеличении Rя в 2 раза;

4 - уменьшении /Стп в 2 раза; 5 - увеличении ктп в 2 раза

Библиографическим список

1. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами: Инженерные методы анализа и синтеза / Б.Н.Петров, Н.И.Соколов, А.В.Липатови др. М.: Машиностроение, 1986. 256 с.

2. ДжуриЭ.И. Робастность дискретных систем. Обзор // Автоматикаи телемеханика. 1990. № 5. С. 3-28.

3. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных дискретных систем // Доклады АН СССР. 1991, Т. 316. № 4. С. 842-846.

4. Ишматов З.Ш., Волков М.А., Плотников Ю.В. Мегсд полиномиальных уравнений для синтеза непрерывных регуляторов // Электротехническиесистемы и комплексы: Межвуз. сб. науч. трудов. Вып.11. Магнитогорск: МГТУ, 2006.

УДК 621.313.333:001.891.57 А.С. Сарваров, С.А. Демин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОПРИВОДА МАШИНЫ ЦЕНТРОБЕЖНОГО ЛИТЬЯ ВАЛКОВ НА БАЗЕ СИСТЕМЫ АВК

Анализ состояния электроприводов ценгро-бежных машин горизонтального типа для отливки листопрокатных валков как отечественных, так и зарубежных производителей показывает, что основная часть подобных систем реализована на базе электропривода переменного тока. Ввиду того, что исполните ль ные механизмы та -ких установок обладают весьма большим моментом инерции и характеризуются высоким электропотреблением , актуальным остается вопрос снижения общего потребления электроэнергии и возможности ее рекуперации в сеть.

На кафедре электроники и микроэлектроники Магнитогорского государственного техническо-

го университета разработан проект реконструкции машины центробежного литья валков, действующей в цехе изложниц ЗАО «МРК» ОАО «ММК». В настоящее время вращение привод -ных роликов центробежной машины осуществляется двумя гвдравлическими двигателями, которые питаются от одной гвдросистемы. Давление в ней создается гвдронасосом, электропривод которого реализован на базе асинхронного двигателя мощностью 200 кВт (номинальное напряжение 0,4 кВ, ток статора 350 A). Основным недостатком такой системы является отсутствие возможности рекуперации запасенной механической энергии вращения в электрическую сеть при торможении, что становится возможным только при переходе к электроприводу переменного тока [1].

Предполагается реализация привода установки по системе АВК (асинхронный вентильный каскад) [1] на базе двух асинхронных двигателей с фазным ротором. Разработана оригинальная силовая схема 2-двигательного АВК с возможностью работы в режиме торможения противовк-люче нием (рис. 1).

Особенностью построения данной схемы является соединение между собой статорных и роторных цепей двух двигателей. В двигательном режиме их статоры подключаются к сети через общее коммутирующее устройство, что обеспечивает одновременную подачу питающего напряжения. В режиме противовключения предложено реализовать последовательное соединение статорных обмоток двигателей, что позволяет в два раза снизить напряжение на каждом из них. При этом, что очень важно, величина начальной ЭДС скольжения ротора в режиме противовключения будет такой же, как и в момент пуска двигателей при питании их полным напряжением.