Модификация метода внутренней аппроксимации области работоспособности симплициальным множеством Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аноп М.Ф., Катуева Я. В.

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ВНУТРЕННЕЙ АППРОКСИМАЦИИ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ СИМПЛИЦИАЛЬНЫМ МНОЖЕСТВОМ^

Введение

Проектирование технических устройств и систем с учетом случайных процессов изменения их параметров и требований надежности связано с необходимостью решения целого ряда сложных и трудоемких задач [1].При этом по мере усложнения технических объектов, повышения требований к их надежности и увеличения ответственности, выполняемых ими функций, необходимость и важность решения этой задачи постоянно возрастает.Отклонения реальных значений параметров технических систем и устройств от расчетных, возникающие в процессе производства, хранения и эксплуатации, приводят обычно к ухудшению качества функционирования или отказам технических объектов.Это заставляет предпринимать специальные меры по обеспечению поддержания необходимых характеристик объекта в условиях неизбежных вариаций его параметров. Недостаточная изученность физических процессов старения и износа, несовершенство методов прогнозирования случайных процессов дрейфа параметров приводят к существенному недоиспользованию потенциальных возможностей технических объектов.

В традиционном понимании задача параметрического синтеза состоит в выборе параметров проектируемой системы заданной структуры, обеспечивающих определенное качество ее функционирования (работоспособность, надежность по постепенным отказам, безопасность, точность и т.д.). Данный этап проектирования связан с расчетом некоторых, как правило, статистических показателей. Но, в реальных условиях, ситуация, когда имеющаяся априорная информация о закономерностях технологических отклонений и деградации параметров позволяет достаточно полно и точно задать случайный процесс *(*ном,{) , встречается крайне редко [2] . Это объясняется тем, что ее получение связано с необходимостью проведения длительных и дорогостоящих испытаний большого числа однотипных элементов. Поэтому возникает необходимость решения задачи анализа и оптимизации параметров технической системы в условиях неполноты исходной информации, т.е. в условиях неопределенности. В этом случае вместо статистических показателей используются некоторые детерминированные критерии типа «запасов» (ра-

ботоспособности, надежности и т. д.), как для внутренних, так и для выходных параметров системы [3, 4]. При этом критерий, стохастический или детерминированный, не задан в явной аналитической

форме, что делает невозможным использование методов оптимизации с порядком выше нулевого из-за сложности оценки частных производных целевой функции.

Основные понятия и определения

Структурная схема (топология) исследуемой системы и соответствующая ей математическая модель

y=F(x), (1)

связывающая входные (внутренние) параметры X = (xn )Т и выходные характеристики У = (Уі Ут)Т ,

предполагаются известными.

В большинстве случаев зависимость (1) задается не в явной, а в алгоритмической форме, в частности, через численные решения систем уравнений (дифференциальных или алгебраических), описывающих функционирование исследуемой системы. Функции, описывающие проектируемую систему, обычно имеют сложный нелинейный характер, что не позволяет получать оптимальное решение в аналитической форме .

Информация о возможных вариациях значений внутренних параметров системыи условия работоспособности заданы в виде интервальных ограничений

xi min < xi < xi max, i = 1, *K , n, (2 )

a} < yj(x) <bj, j = 1 m. (3)

Область пространства параметров элементов X є Rn , во всех точках которой выполняются одновременно все условия (2), называется областью работоспособности Dx :

Dx = {x є Rn : aj < yj (x) < bj, j = 1,..., m} . (4)

Формой проявления отказа является выход параметров за пределы области допустимых значений (области работоспособности). Поэтому задача оптимизации параметрической надежности сводится к нахождению номинальной точки в пространстве параметров, для которой вероятность невыхода траектории случайного процесса деградации параметров за пределы области работоспособности в течение заданного времени эксплуатации Т была бы максимальной и может быть сформулирована следующим образом: xhom = argmaxP{XКом, t) є Dx, "t є [0,T]} . (5)

Задачу (5) можно считать классической оптимизационной задачей с ограничениями, где в качестве целевой функции выступает вероятность безотказной работы объекта, имеющей специфику, заключающуюся в том, что критерий оптимизации является стохастическим.

Как уже отмечалось, в условиях неполноты исходной информации о возможных вариациях внутренних параметров, предпочтительнее использовать детерминированные методы статистического проектирования, основанные на геометрических представлениях о допусках и области Dx .

Предварительная процедура решения задачи параметрического синтеза

Для уменьшения вычислительных затрат на проведение оптимизации надежности по постепенным отказам при проектировании технических устройств и систем, предлагается ограничить область поиска с помощью описанного около области работоспособности бруса (параллелепипеда со сторонами, параллельными координатным плоскостям) и провести предварительную процедуру анализа возможных решений задачи параметрического синтеза. Построение описанного бруса сокращает вычислительные затраты решения задачи, так как при вычислении значения целевой функции для точек, попавших за пределы описанного бруса, нет необходимости проводить дорогостоящий процесс моделирований исследуемой системы и вычисления критерия, поскольку очевидно, что за его пределами условия работоспособности выполнены не будут.

Область в пространстве внутренних параметров, задаваемая соотношениями (2), представляет собой л-мерный ортогональный параллелепипед, который будем называть брусом допусков Вт , с объемом

VT = П (xi max - xi min ) . (6)

i =1, n

Описанным брусомБ0 (описанным параллелепипедом) для области работоспособности Dx будем называть область в пространстве внутренних параметров, представляющую собой л-мерный ортогональный

параллелепипед со сторонами, параллельными осям координат B0 = {х є Rn | a0 £ Xi £ b0, i = 1, n] с объемом

V = П b -a0) , (7)

где a0 = min xi , b° = max xi .

хєйх хєйх

Определим точки касания области работоспособности и описанного бруса K— K>+ как точки с минимальными K-и максимальными K+ координатами по каждому i-му координатному направлению, принадлежащие одновременно описанному брусу и области работоспособности.

Существуют различные алгоритмы построения описанного бруса. Это методы направленного поиска, различные классические методы поиска экстремальных значений функционалов и метод статистических испытаний. С развитием параллельных и распределенных вычислений можно говорить о возрождении многих трудоемких в вычислительном плане численных методов, в том числе и метода Монте-Карло, поскольку он имеет хороший потенциал параллелизма и часто позволяет добиться ускорения, близкого к линейному [5].

Применительно к рассматриваемой задаче о построении описанного около области Ох параллелепипеда Во метод статистических испытаний заключается в генерировании N случайных реализаций вектора входных параметров х = (Xi,..., Xn )T , не выходящих за границы области допусков Вт . Координаты случайной точки внутри Вт являются совокупностью n случайных чисел £ = (X,...,Xn)т , равномерно распределённых в интервалах Xi min £ Xi £ Xi max, i = 1, •••, n .

Определим величину Ng- число точек, попавших в область работоспособности. Из этих точек методом перебора находятся экстремальные значения координат, удовлетворяющие условиям (3) и тем самым определяются границы a0 и b0 описанного параллелепипеда и точки касания K-, K+ .

Множество точек, попавших в область работоспособности имеет центр тяжести (центроид), коорди-

Ng Ng Ng

Mg ,Mg

Z Xi Z X2 Z Xn

наты которого могут быть вычислены по формуле хс = (

1=1___ j=1

j=1

N ’ N N

g g g

).

Аналогично можно найти центроид множества точек касания с . Точка пересечения диагоналей опи-

х0 = ((bO - aO) / 2,..., (b0 - a0) / 2,..., (b0 - a0) / 2).

санного бруса вычисляется по формуле с 1 1 i i n n

После проведения N испытаний в брусе допусков, вычисляется оценка объема области работоспособности :

K

л

Ug = VTNg / N , (8)

где VT - объем бруса допусков, полученный согласно (б), Ng - число точек, попавших в область работоспособности, N - число испытаний.

Соотношение полученной оценки объема области работоспособности и объема описанного параллеле-

л

пипеда Kv =Vg/ Vo ,позволяет судить о степени «заполненности» описанного параллелепипеда находящейся внутри него областью работоспособности. Если это значение слишком мало, то это косвенно свидетельствует о неодносвязности или вытянутости геометрической конфигурации области Ох . Может оказаться, что изготовление схемы невозможно или нецелесообразно из-за малости соответствующих допусков и требований надежности.

лЛ

Полученные оценки Vg , Kv , точки касания K-, K+ , центры тяжести хс , х*£ , х° позволяют провести геометрический анализ области работоспособности и выявить случаи когда:

область работоспособности Ох включает в себя брус допусков Вт . В этом случае Ng = N и решение задачи (5) - точка х° ;

область работоспособности Ох и брус допусков Вт не имеют общих точек. Тогда Ng = 0 и задача

оптимизации надежности по постепенным отказам для данного устройства при таких требованиях к возможным реализациям внутренних параметров не имеет решения;

одна или несколько границ бруса допусков Вт и описанного бруса Во совпадают;

область невыпуклая или неодносвязная. Об этом свидетельствует невыполнение условий работоспособности (3) в точках хс , XK , х° , или если объем Vs политопа S , построенного по точкам касания,

л

больше объема Vg области работоспособности Ох [б] . В этом случае многие классические методы решения задачи оптимизации надежности по постепенным отказам, основанные на допущении о выпуклости и односвязности области работоспособности применять в условиях неопределенности при решении задачи

(5) нельзя.

Выбор номиналов на основе анализа области работоспособности

При отсутствии полной и достоверной информации о вероятностных свойствах отклонений параметров от расчетных значений для определения номинальных значений хпom = (X^m,..., Xnnom)т , оптимальных с точки зрения параметрической надежности, предпочтительно использовать методы связанные с геометрической задачей, основанной на идее центрирования области допустимых изменений параметров.Она заключается в том, что требуется вписать в область Ох замкнутое компактное множество максимальной нормы, центр которого определит искомый вектор номинальных значений параметров.

S.W.Director и G.D.Hachtel предложили метод, основанный на кусочно-линейном приближении множества Dx и решении поставленной задачи методами линейного программирования [7]. Этот способ называется симплициальным приближением. Оно сводится к приближенной замене области Dx кусочно -

л

линейной областью (многоугольником) Dx , вложенным в нее. Принимается допущение, что Dx - выпуклое множество. Предположим, что тем или иным способом получены точки p1,..., pN , расположенные на границе Dx , т.е. pJ s5Dx . Тогда выпуклая оболочка этого множества точек даст искомое приближение

ЛЛ

Dx . Граничные точки предлагается искать путем поиска вдоль кривых с помощью алгоритмов, используемых в методах оптимизации.

Модификация данного метода заключается в том, что в качестве множества p є dDx используются найденные точки касания K-, K + и построенный по ним политопS, а проведенная предварительная процедура анализа служит критерием качества полученного решения.

По определению S = {X є Rn :Ax £b} есть множество в пространстве Rn , образованное пересечением конечного числа замкнутых полупространств. Здесь A -2n хn -матрица с вещественными коэффициентами 3jj , b - 2n -вектор, x - n -вектор.

Введем для векторов X = (X!,..., Xn)T из Rn норму||х|| = max |xj| . Замкнутый шар ||у - х|| £ г с центром в точке

1 £ J £n

X радиуса г >0 обозначим Bs(X, г) . Геометрически Bs(X, г) представляет собой куб, симметричный относительно X , стороны куба параллельны соответствующим координатным осям.

Скажем, что куб Bs(X, г) вписан в множество S , если Bs(X, г) с S . Если куб Bs(X , г ) вписан в S и

г > г для любого куба Bs(X, г) с S , то куб Bs(X , г ) назовем максимальным вписанным кубом, центр которого является искомым решением задачи (5).

Лемма . Включение Bs(X, г) с S равносильно системе неравенств Ax + ^ £ b, г > 0, (9)

где N = (N і, N 2,..., N 2n) - вектор с координатами

n

N = Е Г* |- i = 1,.2,...,2n (10)

J=і

n

Доказательство . Пусть куб Bs(X, г) вписан в S . Тогда г > 0 и неравенства Е д*у* £ b, І = 1, 2,..., 2n вы-

J =і

полняются для всех точек у = (Уі, У2,..., Уп ) из Bs( X, г) . Следовательно,

max)ЕаиУі = Еauxj + гТа*£ b,i = 1,2,.. ,2n, (11)

ує^(x,r) J=1 J=1 J=1

что в обозначениях (10) совпадает с первым неравенством справедливы, то имеет место соотношение (11), которое означает

n

n

n

(9). Обратно Bs( X, г) с S .

, если неравенства Лемма доказана[8].

(9)

Согласно, полученному результату, можно составить задачу линейного программирования

г ® max, Ax + ^ £ b, (12)

для решения которой можно использовать пакеты стандартных программ. В результате чего будет найден максимальный куб, центр которого определит искомый вектор номинальных значений внутренних параметров, служащий решением задачи оптимального параметрического синтеза (5).

Работа выполнена при поддержке гранта ДВО РАН 12-!-ОЭММПУ-01 в рамках Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН № 14 «Анализ и оптимизация функционирования систем многоуровневого, интеллектуального и децентрализованного управления в условиях неопределенности»

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. -М.: Наука. 1992.

2. Абрамов О.В., Диго Г.Б, Диго Н.Б., Катуева Я.В., Назаров Д.А. Параметрический синтез технических систем в неопределенных средах. Информатика и системы управления,2009,№1(19), С. 55-65.

3. Абрамов О.В., Катуева Я.В., Назаров Д.А. Оптимальный параметрический синтез по критерию запаса работоспособности. Проблемы управления, 2007, №6, С. 64-69.

4. Катуева Я.В. Анализ сложных систем в условиях неполноты информации в задаче оптимизации надежности по постепенным отказам. Информатика и системы управления, 2010, №4(26), С. 61-68.

5. Абрамов О.В., Катуева Я.В. Использование технологии параллельных вычислений в задачах анализа и оптимизации. Проблемы управления, 2003, №4, С. 11-15.

6. Катуева Я.В., Аноп М.Ф. Геометрический анализ области работоспособности на основе метода Монте-Карло. Информатикаисистемыуправления, 2011, №2(28), С. 30-40.

7. S.W. DirectorandG.D. Hachtel,

"Thesimplicialapproximationapproachtodesigncenteringandtoleranceassignment", IEEETrans.

CircuitsSyst., vol. CAS-24, pp. 363-371, 1977.

8. Ащепков Л.Т., Бадам У., Модели и методы повышения живучести управляемых систем. - Владивосток: Дальнаука. 2006.