CC BY
57
УДК 681.5.015.63:62-192 Катуева Я.В.
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток, Россия
СТРАТЕГИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ПО ПОСТЕПЕННЫМ ОТКАЗАМ
Аннотация. В работе обсуждаются реализация функционально-параметрического подхода теории надежности в задачах обеспечения надежности аналоговых технических устройств и систем. Рассмотрена проблема синтеза систем с детерминированной структурой и случайными параметрами. Предлагаются различные стратегии получения решения в зависимости от полноты исходной информации.
Ключевые слова: параметрический синтез, параллельный алгоритм, надежность, оптимизация
Введение
По мере усложнения технических объектов, повышения требований к их надёжности и увеличения ответственности выполняемых ими функций, необходимость и важность анализа надежности и предотвращения отказов постоянно возрастает. Как показывает опыт, значительную часть отказов составляют постепенные (параметрические) отказы, вызванные деградацией параметров, а задача учёта отклонений параметров от расчётных значений для обеспечения требуемого качества функционирования систем и устройств при наличии таких отклонений является одной из наиболее сложных и трудоёмких задач.
Для решения проблемы проектирования технических устройств и систем с учетом производственных (технологических) и эксплуатационных отклонений параметров от номинальных (расчетных) значений привлекается функционально-параметрический подход (ФП-подход) [1]. В рамках концептуальной модели ФП-подхода обеспечение надежности по постепенным отказам является продолжением инженерных расчетов на этапе проектирования. Существенной особенностью функциональнопараметрического подхода, является его высокая трудоемкость, связанная со сложностью функциональных моделей и использованием статистических методов.
Быстрое развитие вычислительных мощностей, использование технологий параллельных, распределенных, облачных высокопроизводительных вычислений, позволяют говорить о возрождении многих, ранее считавшихся чисто теоретическими, методов и алгоритмов и дают возможность эффективного практического применения функционально-параметрического подхода при параметрическом синтезе для оптимизации надежности по постепенным отказам. В работе рассматривается последовательность решения различных модификаций задач оптимального параметрического синтеза по принципу «от простого к сложному» в зависимости от полноты информации о параметрических возмущениях и поставленных проектировщиками задач.
Задача параметрического синтеза
Синтез технических объектов включает в себя две основные части: формирование структуры объекта (структурный синтез, проектное решение) и выбор значений внутренних параметров (параметрический синтез) . В качестве объекта в работе рассматриваются схемы аналоговой радиоэлектронной аппаратуры. Общая постановка задачи оптимального параметрического синтеза может быть сформулирована следующим образом [1, 2]
Определена структура объекта, задающая его математическую модель функциональную зависимость выходных параметров y = {у }m=1 от параметров элементов
yj = yj xn), (1)
где у. - известные функции, определяемые топологией (структурой) исследуемой системы.
Возможные вариации значений внутренних параметров задаются из условий их физической реализуемости и представляют собой брус допусков
вт = {х е Rn\Xi mn < xt < xt i = 1,n} (2)
Показателем качества функционирования системы является выполнение условий работоспособности, задаваемых обычно в виде допусков на выходные параметры (системы неравенств)
У min < У(х) < Ушах (3)
Отображение условий работоспособности в пространство внутренних параметров задает в нем область работоспособности (ОР) Dx
Dx = {x е Rn \Ушп < y(x) < Ушах} (4)
Задача оптимального параметрического синтеза (ОПС) технических устройств и систем состоит в выборе номинальных значений хилм = (x , x9 x„ )т внутренних параметров исследуемого устрой-
L now 4 1nom 2nom nnom L L L L
ства, обеспечивающих максимум вероятности невыхода траектории случайного процесса деградации параметров за пределы области работоспособности в течение заданного интервала времени:
xnom = argmaxP{X(xnow, t) е Dx, xn„m е BT ^ Dx, Vt e[0,T]} (5)
где X(xnom, t) - случайный процесс деградации параметров, включая деградацию под воздействием внешних условий; Dx - область работоспособности; T - заданное время эксплуатации устройства.
Таким образом, целевая функция (5) как вероятность является непрерывной и ограниченной P(xnom,T) е[0,1] .
В задачах проектирования электронных схем, при достаточной их сложности, построить модель (1) в аналитическом виде практически невозможно [1]. Функции, описывающие проектируемую систему, имеют сложный нелинейный характер, поэтому соотношения (1), задаются при помощи имитационной модели типа «чёрного ящика», например с использованием программных пакетов моделирования электрических цепей. Это не позволяет получить оптимальное решение задачи (5) в аналитической форме с помощью классических методов оптимизации порядка выше нулевого.
Задачу ОПС в виде (5) можно рассматривать как стандартную задачу математического программирования с ограничениями. Ее особенностями являются многомерность, многоэкстремальность, нелинейность и в общем случае невыпуклость.
Общая структура процесса параметрического синтеза представлена на рис.1.
Выбор стратегии параметрического синтеза
Стратегию поиска оптимальных значений номиналов параметров целесообразно строить в виде набора методов и алгоритмов решения отдельных задач ОПС, адекватных имеющейся априорной информации о параметрических возмущениях. В качестве первого этапа ОПС в рамках функциональнопараметрического подхода предлагается процедура уменьшения области поиска, нахождения характеристических точек области работоспособности и оценки проектного решения [3].
Данная процедура построена на основе метода статистических испытаний и позволяет не только уменьшить область поиска в задаче оптимального параметрического синтеза, но и получить первую рекомендательную информацию по выбору его дальнейших методов и процедур. Анализ качества проектного решения (структуры системы, соответствующей ей математической модели, условий работоспособности и множеств допустимых значений управляемых параметров) может быть проведен на основе предварительных данных о форме области работоспособности и полученных ее характеристических точках.
Прежде всего, предварительный анализ позволяет выявить случаи, когда множество значений внутренних параметров DXf при которых выполняются условия работоспособности (4), заданные техническим заданием, пусто, либо крайне мало. Данная ситуация говорит о плохом качестве проектного (структурного) решения и необходимости изменить структуру системы.
Рис.1. Общая структура решения задачи параметрического синтеза
Другой рекомендательной информацией может быть условие изменения границ области допустимых вариаций параметров для случая, когда есть предположение, что область работоспособности находится вне бруса допусков.
При большом заполнении ОР описанного бруса можно сделать вывод, что брус допусков лежит внутри ОР, в этом случае в качестве оптимального решения задачи ПС может быть принята точка пересечения диагоналей описанного бруса.
Может получиться, что для одного или нескольких параметров пределы их возможных вариаций будут слишком малы, что не сможет обеспечить достаточной вероятности безотказной работы проектируемого устройства, либо потребует высокой точности при его изготовлении и использования специальных электро-радиоэлементов, мало чувствительных к внешним воздействиям и слабо подверженных процессам старения, что существенно увеличит стоимость изделия.
Полученные минимальные и максимальные возможные значения параметров позволяют определить пределы возможных вариаций параметров, при которых сохраняется работоспособность системы.
Методы решения задачи с использованием детерминированных и стохастических критериев
В реальных условиях ситуация, когда имеющаяся априорная информация о закономерностях технологических отклонений и деградации параметров позволяет достаточно полно и точно задать случайный процесс X(xn0OT,t) , встречается крайне редко. Это объясняется тем, что ее получение связано с необходимостью проведения длительных и дорогостоящих испытаний большого числа однотипных элементов, а также быстрым старением этой информации. Поэтому возникает необходимость решения задачи ОПС в условиях неполноты исходной информации, т.е. в условиях неопределенности. Оптимальность в условиях неопределенности будем понимать в минимаксном смысле, т.е. с точки зрения получения наилучшего результата при наиболее неблагоприятных (из множества допустимых) параметрических возмущениях. В этом случае для оптимизации параметрической надежности предлагается замена исходного стохастического критерия детерминированным. Чаще всего для этой цели используется критерий минимального запаса работоспособности (оптимизация по детерминированным критериям) [4]
Запас работоспособности первого типа - на уровне внутренних параметров позволяет оценить степень удаленности вектора внутренних параметров от границ области работоспособности, а, следовательно, пределы возможных вариаций параметров элементов, при которых не нарушаются условия работоспособности. Задача ОПС в этом случае сводится к нахождению такой точки внутри области работоспособности Dx (выбора такого вектора номиналов параметров), которая находятся на максимальном в смысле выбранного критерия расстоянии от ее границ.
Можно говорить о запасе работоспособности второго типа, представляющем собой меру удаленности вектора выходных параметров y = (у, у2ym)T от заданных требованиями технического задания границ области Dy.
Поскольку задача параметрического синтеза состоит в выборе номинальных значений внутренних параметров, будем называть выбор значений параметров по критерию запаса работоспособности первого типа прямой задачей, а выбор по критерию запаса работоспособности второго типа - «обратной».
Для некоторых случаев конфигурации области работоспособности задачу оптимального параметрического синтеза можно свести к задаче линейного программирования [5]. В этом случае по точкам касания, строится многогранник (выпуклая оболочка данного множества точек, вписанный в Б0 политоп S), аппроксимирующий область работоспособности. Найдя объем Ms этого многогранника [4], можно посчитать соотношение его объема и объема области работоспособности Vg . Если объем Ms
политопа S меньше объема Vg области работоспособности Dx, а также центроиды множества точек
касания и центр тяжести области работоспособности принадлежат Dx, можно считать политоп внутренней аппроксимацией множества Dx. Тогда для решения задачи оптимального параметрического синтеза достаточно вложения в политоп S тела максимальной нормы [5].
При достаточном объеме априорной (исходной) информации о стохастических закономерностях вариаций параметров элементов исследуемой системы задача ОПС может быть решена с использованием метода статистического моделирования и критических сечений для нахождения оценки значения целевой функции (стохастическая оптимизация) [1].
Отметим, что при использовании поисковых методов оптимизации решения исходной задачи как со стохастическим критерием оптимальности, так и с детерминированным [4], качество полученного решения и скорость сходимости метода зависят от выбора начальной точки. Поэтому нахождение на предыдущем этапе характеристических точек области работоспособности, которые могут выступать в качестве стартовых точек алгоритмов оптимизации, является важной задачей ПС.
Построение дискретного аналога области работоспособности
Другая возможная стратегия ОПС основана на построении области допустимых значений внутренних параметров (области работоспособности) Dx.
Одним из возможных вариантов построения дискретного аналога области работоспособности предлагается наложение на область поиска равномерной сетки методом квантования координатных осей значений параметров, создания массива состояний элементов сетки, которая сводится к полному перебору элементов сетки с вычислением выходных параметров модели в точке-представителе каждого элемента [6]
Несмотря на высокую трудоемкость данного способа построения области работоспособности, он имеет простую наглядную структуру и высокий потенциал параллелизма, что позволяет получать решение с использованием параллельных вычислений за приемлемое время. Кроме того, дискретное (сеточное) представление области работоспособности позволяет проводить анализ ее основных свойств, визуализировать область либо ее сечения, а также решить задачу оптимального параметрического синтеза путем нахождения в дискретном представлении ОР элементов сетки, максимально удаленных от границ области [7].
Полученные данные о структуре области могут быть использованы при решении задач по детерминированным или стохастическим критериям, когда вместо вычисления выходных характеристик схемы и проверки условий работоспособности будет достаточно проверить принадлежность реализации вектора внутренних параметров области работоспособности.
Оптимизация на дискретном множестве номиналов параметров
В задачах ОПС выборочное множество номиналов в большинстве случаев является само по себе дискретным. Это связано с тем, что номиналы параметров большинства типовых электрорадиоэлементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, операционных усилителей и др.) регламентированы техническими условиями или стандартами.
В простейшем случае поиск решения сводится к полному перебору элементов дискретного множества возможных значений номиналов внутренних параметров D , принадлежащих описанному брусу
Б0 , в каждой точке xnom которого необходимо найти значение целевой функции. Данный процесс полного перебора составляет суть метода сканирования. Учитывая цикличность процедуры вычисления целевой функции, несложно применить параллелизм по данным. Недостатками данного алгоритма является его большая вычислительная трудоемкость и неравномерность загрузки параллельных процессов из-за различного времени вычисления целевой функции. Эта особенность возникает при оптимизации параметрической надежности и использовании метода критических временных сечений [1]. Поэтому предлагается процедура уменьшения области поиска путем выделения из множества возможных значений номиналов параметров D°ow его подмножества D™om , принадлежащего области работоспособности. В этом случае задача дискретной оптимизации сведется к полному перебору только тех сочетаний номиналов, которые принадлежат области работоспособности, что позволит увеличить эффективность использования параллельных вычислений.
Для уменьшения вычислительной трудоемкости дискретной оптимизации на множестве номиналов параметров, можно воспользоваться приемом, называемым «вложение дискретной задачи в непрерывную». Суть его заключается в поиске искомого решения xopt на множестве непрерывных значений
параметров, а затем точки решетки (элемента множества D°m , которые окружают Xopt ) , доставляющей максимум целевой функции. Следовательно, необходимо просмотреть 2n значений, которые функция принимает в точках решетки, соседних с Xopt . В отличие от полного перебора множества возможных значений номиналов, в данном случае не всегда возможно найти все множество значений, доставляющих максимум вероятности безотказной работы (все множество глобальных экстремумов).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложенная в работе структура решения задачи параметрического синтеза позволяет проектировщику выработать рекомендации и выбрать наименее трудоемкую или наиболее точную из возможных
стратегий по принципу «от простого к сложному». Кроме того, проектировщик может выявить случаи, когда результаты структурного синтеза, либо наложенные на входные параметры ограничения, не позволят получить приемлемое (с вероятностью безотказной работы, стремящейся к 1) решение.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта ДВО РАН 12-1-ОЭММПУ-01 в рамках Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН № 14 "Анализ и оптимизация функционирования систем многоуровневого, интеллектуального и децентрализованного управления в условиях неопределенности".
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. - М.: Наука. 1992.
2. Абрамов О.В. Методы и алгоритмы параметрического синтеза стохастических систем. //Проблемы управления, № 4, 2006. С. 3-8.
3. Катуева Я.В., Аноп М.Ф. Геометрический анализ области работоспособности на основе метода Монте-Карло // Информатика и системы управления.- 2011.- №2(28).- С. 30-40.
4. Абрамов О.В., Катуева Я.В., Назаров Д.А. Оптимальный параметрический синтез по критерию запаса работоспособности // Проблемы управления. - 2007. - № 6. - С. 64-69.
5. Катуева Я.В. Сведение задачи оптимизации параметрической надежности к задаче лимнейного программирования // Информатика и системы управления. - 2012. №4(34). С. 75-80
6. Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности. //Информатика и системы управления, № 2, 2004. С. 121-133.
7. Катуева Я.В., Назаров Д.А. Алгоритмы анализа области работоспособности, заданной в матричной форме // Информатика и системы управления. - 2005. - № 2(10). - С. 118 - 128.
