Методы решения задачи параметрического синтеза на основе анализа проектного решения? Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5:519.6

Аноп М.Ф., Катуева Я .В.

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток, Россия

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ПРОЕКТНОГО РЕШЕНИЯ11

Аннотация. Обсуждаются процедуры предварительного анализа области работоспособности и анализа проектного решения. Рассмотрены методы решения задачи параметрического синтеза на основе проведенного анализа.

Ключевые слова: надежность, параметрический синтез, методы оптимизации.

Введение

Проектирование технических устройств и систем с учетом случайных процессов изменения их параметров и требований надежности связано с необходимостью решения целого ряда сложных и трудоемких задач [1]. При этом по мере усложнения технических объектов, повышения требований к их надежности и увеличения ответственности, выполняемых ими функций, необходимость и важность решения этой задачи постоянно возрастает. Отклонения реальных значений параметров технических систем и устройств от расчетных, возникающие в процессе производства, хранения и эксплуатации, приводят обычно к ухудшению качества функционирования или отказам технических объектов. Это заставляет предпринимать специальные меры по обеспечению поддержания необходимых характеристик объекта в условиях неизбежных вариаций его параметров. Недостаточная изученность физических процессов старения и износа, несовершенство методов прогнозирования случайных процессов дрейфа параметров приводят к существенному недоиспользованию потенциальных возможностей технических объектов.

В традиционном понимании задача параметрического синтеза состоит в выборе параметров проектируемой системы заданной структуры, обеспечивающих определенное качество ее функционирования (работоспособность, надежность по постепенным отказам, безопасность, точность и т.д.) Данный этап проектирования связан с расчетом некоторых, как правило, статистических показателей. Но, в реальных условиях, ситуация, когда имеющаяся априорная информация о закономерностях технологических отклонений и деградации параметров позволяет достаточно полно и точно задать случайный процессX(xnom,t) , встречается крайне редко [2] . Это объясняется тем, что ее получение свя-

зано с необходимостью проведения длительных и дорогостоящих испытаний большого числа однотипных элементов. Поэтому возникает необходимость решения задачи анализа и оптимизации параметров технической системы в условиях неполноты исходной информации, т.е. в условиях неопределенности. В этом случае вместо статистических показателей используются некоторые детерминированные критерии типа «запасов» (работоспособности, надежности и т.д.), как для внутренних, так и для выходных параметров системы [3, 4] . При этом критерий, стохастический или детерминированный,

не задан в явной аналитической форме, что делает невозможным использование методов оптимизации с порядком выше нулевого из-за сложности оценки частных производных целевой функции.

Основные понятия и определения

В качества объекта исследования в работе рассматриваются модели радиоэлектронной аппаратуры

(РЭА).

Будем считать, что определена структура объекта (схема РЭА), и соответствующая ей математическая модель - функциональная зависимость выходных параметров y = (yi,---,ym)T от параметров элементов :

у, = fj Ол-x)

Функции, описывающие проектируемую систему, обычно имеют сложный нелинейный характер и, как правило, задаются при помощи имитационных моделей с использованием программных пакетов моделирования электрических цепей.

Информация о возможных вариациях значений внутренних параметров системы и условия работоспособности заданы в виде интервальных ограничений:

7 = 1,..И,

a < у, < b,, i = 1,...,m.

j y j j j

(2)

(3)

Ограничения (2) образуют так называемый брус допусков Вт . Область пространства параметров

элементов xе Rn , во всех точках которой выполняются одновременно все условия (3), называется областью работоспособности Dx .

Формой проявления отказа является выход параметров за пределы области допустимых значений (области работоспособности). Поэтому задача оптимального параметрического синтеза технических устройств и систем состоит в выборе номинальных значений хшт = (x^m, Х2Пот,..., xnmm)T внутренних па-

раметров исследуемого устройства, обеспечивающих максимум вероятности невыхода траектории случайного процесса деградации параметров за пределы области работоспособности в течение заданного времени эксплуатации T :

xnom = argmaxp{X(х^тЛеDx,V/e[0,T]} . (4)

Задача (4) является оптимизационной задачей с ограничениями. В качестве целевой функции выступает вероятность безотказной работы объекта, имеющей специфику, заключающуюся в том, что критерий оптимизации является стохастическим.

Как уже отмечалось, в условиях неполноты исходной информации о возможных вариациях внутренних параметров, предпочтительнее использовать поисковые методы оптимизации, основанные на геометрических представлениях о допусках и области Dx .

Предварительная процедура уменьшения области поиска и оценки качества проектного решения В качестве первого этапа оптимального параметрического синтеза предлагается процедура уменьшения области поиска и оценки качества проектного решения.

Для получения характеристик области работоспособности и дальнейшего выбора метода решения задачи параметрического синтеза предлагается провести процедуру, основанную на методе стати-

стических испытаний, описанную в [5], и построить для области работоспособности описанный параллелепипед, служащий внешней аппроксимацией Dx .

Описанным параллелепипедом для области работоспособности Dx называют область в пространстве внутренних параметров, представляющую собой л-мерный ортогональный параллелепипед со сторонами, параллельными осям координат

В0 = {x еR | a0 <xt < b0, i = 1,и} , (5)

с объемом

V = П Ь - a0) , (6)

где a0 = min xi ; b0 = max xi .

xe Dx nBT xe Dx nBT

Построение описанного вокруг неизвестной области Dx л-мерного параллелепипеда позволит

уменьшить область поиска и отбросить из рассмотрения те ее части, в которых точки области работоспособности отсутствуют или образуют множества, которыми можно пренебречь.

Для построения описанного параллелепипеда воспользуемся методом Монте-Карло.

После проведения N испытаний в брусе допусков будут найдены его границы a0, b0 и точки, при-

Bn

надлежащие как области работоспособности, так и брусу 0 вычисляется оценка объема области работоспособности:

K-, к, i = 1, и

точки касания 1 1

Также

Vg = VTNg / N , (7)

где VT - объем бруса допусков, Ng - число точек, попавших в область работоспособности, N -число испытаний.

Соотношение полученной оценки объема области работоспособности и объема описанного параллелепипеда

Kv = Vg / v

(8)

позволяет судить о степени «заполненности» описанного параллелепипеда находящейся внутри него областью работоспособности.

Анализ проектного решения и методы решения задачи оптимального параметрического синтеза

Коэффициент (8) позволяет сделать следующие выводы о качестве проектного (структурного) решения.

1. Если Ng = 0, тоK = 0, ^BT nDx = 0 , то есть условия работоспособности не выполняются ни в одной точке бруса допусков. Это говорит о необходимости изменения структуры системы.

2. Если KV < 0,1, то область работоспособности Dx в брусе допусков очень мала и имеет сложную геометрическую конфигурацию (возможно, она неодносвязна). Может получиться, что для одного или нескольких параметров пределы их возможных вариаций будут слишком малы, что не сможет обеспечить качественное решение при данной структуре системы. Проведение дальнейших процедур оптимального параметрического синтеза в таком случае не целесообразно.

3. Если некоторые границы бруса допусков и описанного параллелепипеда совпадают, то часть области работоспособности находится за пределами границ Вт . В этом случае также стоит пересмотреть исходную структуру объекта или ограничения на параметры.

4. Если KV>0,9 то в этом случае точка пересечения диагоналей В0

0 _ А - a

xc = (

-)

(9)

2 2

может быть использована в качестве оптимального решения задачи параметрического синтеза. Множество точек, попавших в область работоспособности имеет центр тяжести (центроид), координаты которого могут быть вычислены по формуле

Ng Ng Ng

I>i Zx2 2Х

xc = (■

j=1 j=1

7=1

N„ N„

-)

(10)

g g g

Аналогично можно найти центроид множества точек касания xK .

Следующим этапом необходимо проверить принадлежность точек-центроидов области работоспособ-

ности. Если условия работоспособности не выполняются в точках xc

то предположение о

выпуклости и односвязности области работоспособности неверно (центр тяжести области не принадлежит самой области). Это означает, что область D имеет достаточно сложную конфигурацию и

к

и x

делает многие методы, основанные на предположении о ее выпуклости и односвязности неприменимыми. В этом случае для решения задачи оптимального параметрического синтеза рекомендуется применять процедуру построения дискретного аналога области работоспособности [6] и выполнять поиск оптимального решения на ее основе.

При относительной близости точек xc , и xK можно предположить наличие симметрии области работоспособности относительно своего центра тяжести и ее выпуклости. Это дает возможность построить внутреннюю аппроксимацию области работоспособности по точкам касания. По точкам касания K,K-,i = 1,и , строится многогранник S вписанный в брус В0 . Затем, с помощью метода, описанного в [7], исходная задача оптимального параметрического синтеза сводится к задаче линейного программирования, решение которой не вызывает затруднения.

Как уже отмечалось, в исходной нелинейной постановке решать задачу оптимального параметрического синтеза довольно сложно из-за отсутствия явного аналитического задания критерия оптимизации, а свести задачу оптимального параметрического синтеза к задаче линейного программиро-

вания не всегда возможно. Поэтому требуется разработка новых или модификация классических поисковых алгоритмов нулевого порядка. В их основе лежит итерационный процесс вычисления нового приближения решения по ранее найденным. Опишем один из возможных алгоритмов поиска наиболее удаленной точки от границы области работоспособности.

В качестве стартовой точки поиска х° =(л^0,...,х°) можно исполвзоватв точки хс или xf , при выполнении в них условий работоспособности. Затем, все координаты кроме одной нужно зафиксировать и осуществить вдоль этого направления поиск точек х+ и х— , лежащих на границе области

работоспособности по обе стороны от х°, на расстоянии d/ и dj от нее.

После циклического перебора всех 2п направлений совершаем переход в следующую базовую точку, имеющую координаты

x+1 = л.

i = 1,2,...,п ,

2

(12)

которая становится новым приближением решения.

II ^ +1 *т||

возрастание величины нормы х —х .

Критерием остановки алгоритма является не

Поиск точек х+ и xd осуществляется аналогами методов деления отрезка пополам, золотого сечения или оптимальных методов с использованием чисел Фибоначчи.

Заключение

Применение основанной на методе статистических испытаний предварительной процедуры уменьшения области поиска и аппроксимации области работоспособности дает возможность проектировщику выявить случаи, когда результаты структурного синтеза, либо наложенные на входные параметры ограничения, не позволят получить приемлемое решение. В работе описаны некоторые методы и подходы нахождения оптимального решения задачи параметрического синтеза. Выбор определенного метода зависит от рекомендательной информации, полученной при применении процедуры анализа проектного решения, представленной в работе.

Работа выполнена при поддержке грантов ДВО РАН 12-1-ОЭММПУ-01 «Анализ и оптимизация функционирования систем многоуровневого, интеллектуального и децентрализованного управления в условиях неопределенности» и ДВО РАН 13-111-В-03-025 «Разработка методов и алгоритмов решения задачи параметрического синтеза технических систем с учетом требований надежности по постепенным отказам в условиях неполноты информации»

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. - М.: Наука. 1992.

2. Абрамов О.В., Диго Г.Б, Диго Н.Б., Катуева Я.В., Назаров Д.А. Параметрический синтез технических систем в неопределенных средах // Информатика и системы управления, 2009, №1(19),

С. 55-65.

3. Абрамов О.В., Катуева Я.В., Назаров Д.А. Оптимальный параметрический синтез по критерию запаса работоспособности // Проблемы управления, 2007, №6, С. 64-69.

4. Катуева Я.В. Анализ сложных систем в условиях неполноты информации в задаче оптимизации надежности по постепенным отказам // Информатика и системы управления, 2010, №4(26), С. 61-68.

5. Катуева Я.В., Аноп М.Ф. Геометрический анализ области работоспособности на основе метода Монте-Карло // Информатика и системы управления, 2011, №2(28), С. 30-40.

6. Катуева Я.В., Назаров Д.А. Алгоритмы анализа области работоспособности, заданной в матричной форме // Информатика и системы управления, 2005, № 2(10), С. 118 - 128.

7. Аноп М.Ф., Катуева Я.В. Модификация метода внутренней аппроксимации области работоспособности симплициальным множеством // Надежность и качество - 2012: Труды международного симпозиума: в 2 т./под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: изд-во ПГУ. 2012. - 1т., С. 183-185