CC BY
8
УДК 624.21
В П. РЕДЧЕНКО (Дншропетровський вiддiл ДерждорНД1), В. М. КОСЯК (Д11Т)
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОГОНОВИХ БУДОВ МОСТ1В ЗА IX ФАКТИЧНИМИ МОДАЛЬНИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
В статп розглянуто модел лшшних динам1чних систем, запропоновано методику моделювання таких систем за !х фактичними модальними характеристиками.
Ключовi слова: динам1чш випробування, власна частота, розрахункова модель, 1дентиф1кац1я
Вступ
Визначення та мошторинг техшчного стану моспв за !х штегральними характеристиками, як встановлюють за результатами динам1чних випробувань, займае чинне мюце серед шших метод1в д1агностики та отримуе все бшьше роз-повсюдження як у свгтовш так i у втизнянш практищ. Знання динам1чних параметр1в конс-трукцш та споруд е необхщною умовою при визначенш !х сейсмостшкосп. В наш час спо-стер^аеться тенденщя до збшьшення довжини прогонових будов моспв та широкого застосу-вання гнучких конструкцш, що робить !х ще бшьш чутливими до динам1чних навантажень. При проектуванш таких споруд доводиться ви-ршувати цший ряд складних задач пов'язаних 1з забезпеченням !х динам1чно! стшкост при ди експлуатацшного, в1трового, сейсм1чного та ш. динам1чних навантажень. Перев1рка правильности прийнятих ршень також виконуеться шляхом проведення натурних динам1чних випробувань. Окр1м цього, методи динам1чних випробувань все бшьше застосовують для визначення та мошторингу техшчного стану мос-т1в ^ в першу чергу, моспв великих, для яких проведення статичних випробувань е пробле-матичним завданням.
Аналiз публiкацiй
Вiдомо, що повтстю iдентифiкувати лЫйну систему можна визначивши й iмпульсну перехiдну функцго [1], а застосувавши операцiйне числення лiнiйну стацiонарну систему можна з необидною точтстю представити за допомогою матриц пере-даточних функцiй, яка встановлюе зв'язок мiж вхь дною силою збудження та реакщею системи. Пере-даточна функцiя е перетворенням Фур'е вiд реакцл системи на навантаження у виглядi iдеального оди-ничного iмпульсу. Реакцiя системи на такий iм-пульс називаеться iмпульсною перехвдною функщ-ею (iмпульсною характеристикою) або ж функцiею Грiна. Найчастше й позначають як И (7) . Якщо
комплексну передаточну функцiю позначити як К (ю ), то реакщя лшшно! системи описуеться як
^вих (ю) = ^ (ю)К(ю), (1)
де: ^вх (ю) та 5"вих (ю) - вщповщно спектральнi
функцп навантаження на входi та реакци на виходi системи.
Модуль комплексно! передаточно! функци називають амплiтудно-частотним спектром (АЧХ), аргумент - фазо-частотним спектром (ФЧХ).
Метод функцт Грта. Нехай е система з п ступенями свободи, яка описуеться лшшним ди-ференцiйним рiвнянням другого ступеню. Якщо в к точках системи прикладеш силовi збудження ^(к), то реакщю системи в точщ / - у (7) мо-жна представити наступним виразом [1]:
У (О = 1 Й (т)Ик (7, т)^т . (2)
к=1 0
Матрицю складену з функцш Ик (7, т) - iм-пульсних перехщних функцiй мiж точками ¡-к , називають матрицею Грша.
Метод розкладання за власним формами. В системi нормальних узагальнених координат реакщя у { (7) може бути представлена як сума п ортогональних реакцш за власними (модальними) формами коливань [1, 4]
У (7) = ±У, (7). (3)
1=1
Для практичних цiлей, найчастiше достат-ньо розглянути декiлька перших власних форм (мод) коливань.
Результати дослщжень
Об'еднуючи вирази (2) та (3) для лшшних стащонарних систем, реакщю системи за 1 -ю власною формою можна представити як
© Редченко В. П., Косяк В. М., 2012
У- ) = 1 (т)\ с, тм т,
(4)
к=1 0 ] =1
де И- ^, т) - функцiя Грiна для пари точок 7 -к за - -ю власною формою.
Фактично кожну функцiю Грiна тут представлено як суму ортогональних функцш, якi назвемо модальними iмпульсними перехiдними функцiями (модальними функцiями Грша)
(, т) = Е ^ ((, т),
-=1
(5)
Вщповщно до залежностей мiж iмпульсною характеристикою та комплексною передаточ-ною функцieю, останню також можна предста-вити як суму модальних передаточних функцiй
Кк (ш) = Х К- (ш),
]=1
(6)
У^ ) =
-ш
У'(0) + У(0)д Жг
8т(ЖГГ) + y(0)cos(WГt)
(7)
де у (0) та у'(0) - початковi умови (змiщення та швидюсть вiдповiдно), а - коефiцieнтом демпфiрування, Жг - циклiчна частота коли-вань власно! форми системи з врахуванням де-мпфiрування.
1мпульсне збудження. Якщо прийняти, що початкове змщення у (0) = 0 i система збуджу-
еться iмпульсом р, а отже у'(0) = р/т (т -маса системи), тодi
У (() = е
-gt
тЖГ
(8)
Використавши вiдомi залежностi , що: Ж^ « Ж2 = к / т = 1/ тА1, де Ж -частота власно!
форми, к - жорстюсть, А1 - реакщя вiд одини-чно! статично! сили; маемо
-gt
у(t) = е gt [Жъ1п(Жг>],
(9)
На рис. 1 представлено графш iмпульсно! пе-рехщно! функцi!' за виразом (9) при Ж = 2, рА1 = 5 , д = 0,159 (декремент коливань 5 = 0,5).
А
1 \
0 ел/ \Аз зет' 0 26 661 33 333
V
Отже, вшьш коливання лшшно! стацiонарно! системи розглядаемо як суму ортогональних реакцш за власними формами, ваговий вплив яких визначаеться модальними функщями Грiна або ж модальними передаточними функщями та початковими умовами, яю передували вшьним коливанням: швидкiсть (iмпульсна складова) та змщення (кшематична складова).
Враховуючи ортогональнiсть модальних функцш Грша, кожна модальна передаточна функ-цiя (перетворення Фур'е вщ модально! функцi! Грiна) може бути визначена (розрахована) як для лшшного осцилятора, вшьш коливання якого описуються наступною функцiею [4]
Рис. 1. Графж 1мпульсно! перехщно! функцп лшшного осцилятора
Отже, модальна функця Грiна мае форму синуса з циктчною частотою Ж , а й початкова ампль туда пропорцiйна величинi шпульсу р, циктчнш
частот та статичному коефщенту впливу А1.
Модальна передаточна функщя е перетво-ренням Фур'е вщ виразу (8) та з врахуванням властивостей вказаного перетворення може бути визначена як сума двох комплексних функцш
(10)
де
К(ш) = 2(е-■/л/2 • У(ш - Ж) + е-/2 • У(ш + Ж)),
У( ш ) =
д + -ш
Доданки у виразi (10) е кошями перетворення Фур'е вiд експоненщально! функцi! , якi зм> щеш вiд нуля в область вщ'емних та додатних частот. 1х фазовi складовi повернутi на (-л / 2) та на л /2 вщповщно, завдяки чому при ш = 0 !х фази сшвпадають та рiвнi 0, модулi доданкiв складаються, тому, знехтувавши а у порiвняннi з Ж, маемо наступний вираз для модуля комплексного коефщенту на нульовiй частотi:
К (0) = р
А1Ж
л/шЧЖ2
'■рАг.
(11)
Фазове положення на нульовш частотi, в за-лежностi вiд знаку при коефщешг впливу А1, може бути 0 або ж л .
Максимальш значення функцi! е при ш = ±Ж, тут один з доданюв е набагато мен-шим за iнший, а його фаза повернута на л/2, тому нехтуючи одним з доданюв, та використавши залежшсть а = 5Ж/2л, маемо вираз для
модуля комплексного коефщенту на власнш частой системи Ж
ЛЖ ж к (Ж) « 0,5 = рЛ - .
о
(12)
Вiдношення К (Ж)/ К (0 ) = ж/ 5, як це i мае
бути для резонансно! криво! (ще одна назва АЧХ) лшшного осцилятора.
Шнематичне збудження. Якщо прийняти, що початкове змщення у(0) = Л, швидюсть
у'(0) = 0 , а система збуджуеться вiдпусканням, то використавши залежносп а = 5Ж/2ж та Жп
'В~Ж, вираз (7) записуеться, як
У (?) = Ле
-а?
—sin(Жt) + ) 2ж
(13)
Нехтуючи першим доданком в дужках (для будiвельних конструкцiй 5 / 2ж < 0,1), та вира-зивши початкове вщхилення через силу вщтя-жки Л = РЛ1, маемо
у (?) = РЛ1е а cos(Жt).
(14)
Перетворення Фур'е вiд виразу (14) мае на-ступний вид:
С (ю) = 1 (У (ю- Ж) + У (ю + Ж)), (15)
де
У( и ) = -РЛ-
а +
Доданки у виразi (15) е котями перетворення Фур'е вщ експоненцiально! функцi!, якi змь щенi вiд нуля в область вщ'емних та додатних частот. При ю = 0 !х фази протилежш, отже модуль суми рiвний нулю С (0) = 0 . Максима-льнi значення функцi! е при ю = ±Ж, тому по-дiбно до виразу (12), маемо
С (Ж) « 0,5
РЛ,
РЛ_ ж Ж 5
(16)
Можна показати, що при рiвностi затрачено! енергп при iмпульсному та кiнематичному збу-дженнях амплiтуднi коефiцiенти у виразах (12)
РЛ
та (16) е рiвними, тобто рЛ1 = • Близькими
е i ампл^удш спектри реакцiй на iмпульсне та кшематичне збудження, найбiльш подiбнi вони в зонах бшя ю = ±Ж, а найбiльш вiдрiзняються при наближеннi до ю = 0 .
З врахуванням першого доданку у виразi (13), та при умовi рiвностi енергiй в обох випад-ках збудження, маемо наступне сшввщношення
РЛ 5 5
С (0)=РЖт^ = к (0)2-. (17)
Ж 2ж 2ж
Якщо розглянути iмпульсну характеристику (9) змщену на четверть перiоду (фазове поло-ження - ж /2), то при обумовлених вище спро-щеннях вона буде подiбною реакцi! на кшематичне збудження. Подiбнiсть буде тим бшьшою чим меншим е декремент коливань, вщповщно подiбними будуть i амплiтуднi спектри - рис. 2.
* \ 34.553 \
у ,1 и и 2§.79Э VI и
V» ц ¿и.изк
ч 17.279 ¡1
\\ \\ 11.519 * У
-2
- 1
Рис. 2. Амплггудш спектри реакцп: на шнематичне збудження з1 змщенням на чверть перюду - сущльною
лш1ею; на 1мпульсне збудження - пунктиром
Якщо ж врахувати зменшення ампл^уди за чверть перiоду у виглядi коефiцiенту подiбностi к1, оберненого до згасання
£1 = е
5/4
(18)
то графши ампл^удних спектрiв за обома вар> антами повнiстю спiвпадуть. Якщо не викону-еться умова про рiвнiсть енергi!, то слiд також врахувати коефщент приведення до одинично-
го iмпульсу k 2 = Ж / P, який випливае з виразу
„ РА
рА1 = —1.
1 Ж
Таким чином передаточну функщю осциля-тора можна визначити як спектральну функщю реакци на його збудження як iмпульсом так i вiдтяжкою силою Р. В останньому випадку перетворення Фур'е розраховуеться починаючи з часу рiвного чверт перюду власних коливань, а значення амплiтудного спектру коригуються (множаться) на коефщенти к1 та к2 .
Практичне застосування
Для практично! реатзаци результата досл> джень запропоновано модель лшшно! динамiч-но! системи, яка формуеться за !! модальними характеристиками та описуеться наступним виразом
(
N 1
К (ш) = Х 1
7=1 2
- -л/2
ЖА
\
+е
5 Ж /2л + -(ш- Ж)
*/2 • ЖА
5 Ж /2л + -(ш + Ж)
. (19)
Як бачимо, для визначення передаточно! функцп необхiдно мати наступнi параметри:
кутова частота коливань за власною формою ( ж );
- декремент коливань дано! форми (57);
- ваговий коефщент впливу (А ).
Саме визначення цих параметрiв i мае бути метою динамiчних випробувань за даною мо-деллю. Для практичних завдань, як правило, достатньо мати !х значення для декiлькох перших форм. Добуток передаточно! функцп та спектрально! функцп навантаження дае спектральну функщю реакци, за якою виконавши зворотне перетворення Фур'е можна отримати реакщю конструкцп в часовш областi.
Для виконання дш iз комплексними функщя-ми було створено програмний комплекс, який дозволяе за результатами динамiчних випробувань прогоново! будови мосту формувати !! модель за виразом (19) та розраховувати !! вiдгук на рухоме навантаження. Комплекс дозволяе розраховувати динамiчну реакцiю прогоново! будови на про!зд колони автомобiлiв з рiзним iнтервалом та рiзними швидкостями. На рис. 3 представлено робоче вiкно програмного комплексу з результатами розрахунюв реакцi! прогоново! будови на про!зд колони з двох автомобшв.
Рис. 3. Робоче в1кно програмного комплексу
Висновки
На основi виконаних дослiджень запропоно-вана модель лшшно! динамiчно! системи, яка формуеться за фактичними модальними харак-
теристиками конструкцп. Для розрахунюв ди-намiчно! реакцi! прогонових будов мостi на рухоме навантаження створено програмний комплекс, який дозволяе отримувати результати
для рухомого навантаження у виглядi колони автомобшв з рiзними iнтервалами та рiзними швидкостями.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Вибрации в технике [Текст]: справочник в 6 т. -М.: Машиностроение, 1978-1981.
2. Методические рекомендации по вибродиагностике автодорожных мостов. [Текст] - М.: Росав-тодор, 2001 - 24 с.
В. П. РЕДЧЕНКО (Днепропетровский филиал ГосдорНИИ), В. Н. КОСЯК (ДИИТ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ МОСТОВ ПО ИХ ФАКТИЧЕСКИМ МОДАЛЬНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Рассмотрены модели линейных динамических систем, предложено методику моделирования таких систем используя их фактические модальные характеристики.
Ключевые слова: динамические испытания, собственная частота, расчетная модель, идентификация
V. P. REDCHENKO (Dnepropetrovsk branch of State of Road Scientific Institute), V. N. KOSYAK (Dniepropetrovsk National University of Railway Transport)
MODELLING OF SPAN STRUCTURES OF BRIDGES ON THEIR ACTUAL MODAL PARAMETERS
In the article the models of linear dynamic systems are considered, it is offered a technique of modelling of such systems using their actual modal performances.
Keywords: dynamic tests, natural frequency, computational model, identification
3. РВ.2.3-218-00018112-521:2006. Рекомендацп з динам1чних випробувань мост1в та шляхопрово-д1в. [Текст] - К.: Укравтодор, 2006. - 34 с.
4. Клаф, Р., Динамика сооружений. [Текст] / Р. Клаф, Дж. Пензин, пер. с англ. - М.: Стройи-здат, 1979 - 320 с.
Надшшла до редколеги 05.07.2012.
Прийнята до друку 19.07.2012.
