Анализ линейных систем в области трансформант преобразования Уолша-Адамара Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАД1ОТЕХН1ЧН1 КОЛА ТА СИГНАЛИ

УДК 621.372.061

АНАЛ1З Л1Н1ЙНИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТ1 ТРАНСФОРМАНТ ПЕРЕТВОРЕННЯ УОЛША-АДАМАРА

Pu6iH О.1., Ткачук А.П.

Запропоновано алгоритм розв'язання диференцтних р1внянь р1вноваги лшйних систем в базис спектргв перетворення Уолша-Адамара. Означена область ефектив-ного використання запропонованого методу, у пор1внянн1 з iншими, як1 стали тради-цтними.

Вступ. Постановка задачi

Останшм часом при розв'язанш задач оброблення, арх1ваци, передачi шформаци, розпiзнавання (класифжаци) образiв все бiльш широке засто-сування одержують нетрадицiйнi (вiдмiннi вщ перетворення Фур'е та спо-рщнених з ним) ортогональш перетворення, зокрема дискретш перетворення Уолша, косинусно!дальне, похиле, REX i т. ш. [1-5]. Так, при аналiзi ступеня вщхилень дослiджуваного сигналу-реакци системи вщ тестового (який вщповщае нормi) часто бшьш, у порiвняннi до Фур'е перетворення, виразш вiдмiнностi можна спостер^ати (наприклад при аналiзi пульсог-рам) на спек^ трансформант таких перетворень, як перетворення Уолша, REX, CoREX [6].

Водночас ус логiчнi висновки про дослщжуваш сигнали та системи базуються на '^зичних" представленнях, основаних на поняттях i термь нологи перетворення Фур'е. Це зумовлено тим, що перетворення Фур'е ба-зуеться на функщях, "натуральних" для навколишнього свiту (реакцiя ль ншно! системи на гармошчну дiю - це гармошчна функцiя ие! само! час-тоти, але шшо! амплiтуди та початково! фази).

Метою дано! роботи е розроблення алгорштв розв'язання диференцтних рiвнянь в базисi функцш Уолша-Адамара в областi трансформант, що забезпечуе едшсть математичного апарату оброблення сигналiв, дiаг-ностики, архiвацil та аналiзу !х проходження через лшшт системи.

Опис запропонованого алгоритму аналiзу лшшно'! системи

Як вiдомо, розв'язання лшшних рiвнянь в базисi перетворення Уолша в област натуральних координат призводить до використання рiзницевих методiв [7, 8] аналiзу.

В област трансформант при використаннi функцiй Уолша при !х впо-рядкуваннi за Адамаром диференцiйне рiвняння

йти йт-1и йи ат--+ ат ,--г +... + а,--+ а0 • и =

т йгт т-1 йгт-1 1 йг 0

йп1 йп 11 , Ш -+ Ь ,--т + ••• + Ь • —

йгп п-1 йгп-1 1 Шг

(1)

перетворюеться до матричного рiвняння [7,8]

ат • А + ат-1 • А +... + а1 • А • х + а0 • Е ]• и

%

= ( Ьп • А + Ьп-1 • А 1 +... + Ь1 • А• х + Ь0 • Е ]• I

(2)

де А

Ж • Вн

Е - одинична матриця; Ж - матриця (дискретний опе-

ратор) перетворення Уолша-Адамара; Вн - нормована (подшена на Ы) матриця похщних вiд оператора Ж; Т - знак транспонування; N - порядок

квадратних матриць А та Е; и, I - стовпщ ампл^уд трансформант вщ-повiдно реакцп та дп розмiру N х 1.

Вщомо також [7, 9], що матрицi А мають блочно-дiагональний вигляд i складаються з блокiв дiагоналi 1, 2, 4,...2п-1 порядкiв, якщо N = 2п. Зро-

зумiло, що такий самий вигляд мають i вс к-т\ степенi (к = 1, 2,..., т) А матричних операторiв (2), одержуванi поблочним зведенням у вщповщну степiнь кожного блока дiагоналi окремо.

Матричне рiвняння (2) можна записати у скороченому виглядi

А^ и % = В I %, (3)

т

звщки розв'язок диференцiйного рiвняння (1) в област трансформант мае вигляд

и % = А? • В I %, (4а)

а розв'язок зворотно! задачi (пошук ди, вщповщно! до одержано! реакцп дослщжувано! системи)

I%= В ¡1 • А^ и %. (4 б)

Оскшьки задача формування кожного з матричних операторiв А порядку ^2п не викликае трудношдв [7, 9] i може бути розв'язана заздале-

пдь, основну задачу становить обернення матриць Ах, B х (для кожного блоку дiагоналi).

Для обернення матрищ Ах представимо кожний i-й блок дiагоналi вiдповiдним ортогональним матричним розкладом на власнi вектори [10]

A х , = П s • As ■ П s , (5)

де Пх - матриця власних векторiв; * - знак комплексного спряження та транспонування; Хх - дiагональна матриця власних значень матрищ Ах., причому

Пх ■ пХ = Пх ■ П? = E.

Якщо матриця Хх не мае нульових значень, то

a х1 = ПхХ-1 пх. (6)

Для реаизаци виразiв (5), (6) необхщно обчислити власнi значення блоюв матрицi Ах, структура яко! детальнiше описана виразом (2). Матриця Ах, мае жорстку структуру, але чисельнi значення (як i слщ було очжу-вати) для кожного диференцшного рiвняння залежать не тiльки вiд (завжди

однакових) коефщенлв i-го блоку матрицi А, але й вщ коефщенлв дифе-ренцiйного рiвняння а, та b,. Покажемо зв'язок мiж власними значеннями i-

го блоку матрищ Axi i власними значеннями i-го блоку матрищ Ai в (2).

Нехай для блока матрищ Ai в (2) знайдено ус власш значення i власш вектори, тодi вiрно

А, = П , ■ % ■ П *.

Блок дiагоналi матрицi A , тобто Ai , одержимо множенням матрич-них виразiв

А2 = а, ■ а, = fni ■ Х, ■ п,1 ■ fni ■ Х, ■ п1 = п, ■ Х2 ■ п.

А°, = Пi ■ Х0 ■ П* = Пi ■ E ■ П*.

Розклад (2), шсля винесення за дужки матриць власних векторiв, ма-тиме вигляд

Пг ■ (ат ■ XГ + ат-1 ■ X,т~- +... + а1 ■ X+ а0 ■ Е)■ П, ■ и% =

(7)

= П г ■ (Ьп ■ Хг" + Ъп-1 ■ X г"-1 + ... + Ь1 ■ X г + Ь0 ■ Е) ■ П г ■ 1 г %,

або

Пе ■ Хеа ■ Пе ■ иг % = Пе ■ Хев ■ Пе ■ I г %. (7а)

В дужках виразу (7) записано суму зважених коефщенпв ак, Ьк дiаго-нальних матриць, тобто сума теж буде дiагональною матрицею, а елементи

дiагоналi - це власт значення того самого /-го блоку матриц Xк в (5). Аналопчно для кожного блоку.

Тодi розв'язок (4а) одержуе вигляд

иг £ = П е ■ Хеа ■ П е ■ П е ■ Хе в ■ П е ■ I г £ = П е ■ Хеа ■ Хев ■ П е ■ I г £, (8а) а розв'язок (4 б) -

Iг %=Пе-Х ев ■ Хеа ■ Пе ■ иг %.

(8б)

Алгоритм розв'язання лшшних диференцiйних р1внянь

Таким чином при ре^зацй алгоритму аналiзу лiнiйних систем (дифе-ренцiйних рiвнянь) в базис перетворення Уолша-Адамара необхiдно:

1. Сформувати лшшне матричне диференцiйне рiвняння (1), внаслiдок чого будуть одержат коефщенти аг та Ьг в чисельному виглядi або у ви-глядi функцiй вiд деяких параметрiв, компонентiв системи.

2. Знайти спектр сигналу дй або реакцй в базисi перетворення Уолша-Адамара:

7% = Ж ■ , (9а)

и% = ж ■ и. (9 б)

3. Для прямо! задачi сформувати масив дiагональних елементiв для

кожного ьго блоку добутку матриць X еа X ев , де q-й елемент дiагоналi мае вигляд X ^ )

Х = Ьп 'Хд(г)" + ЬП-1 'Хд(г)п-1 + ... + Ь1 ^д(г) + Ь0 (10)

хЕЕд (г )= т т г т- : . (10а)

ат 'Х д (г) + ат-1 'Х д (г) + ... + а1 д (г) + а 0

Аналопчно для зворотно! задачi

л т л т -1 л

Х = ат 'Х д (г) + ат -1 'Х д (г) + - + а 1 ^ д (г) + а 0 „

хеед(г) = ~Ь X ^ТЬ X —ь Х • (10б)

Ьп 'Х д (г ) + Ьп - 1 -Х д (г ) + ••• + Ь1 д (г )+ Ь 0

4. За формулою (8а) або (8б) обчислити спектр шукано! реакцп.

5. За формулами зворотного перетворення Уолта

й1 = — Ж ■ и %, (11а)

N

7< = — ж ■ 7 % (11б)

N

знайти вiдлiки реакцiй у натуральних координатах.

Оцiнимо трудомiсткiсть запропонованого алгоритму розв'язання ди-ференцiйних рiвнянь в базис перетворення Уолша-Адамара.

Для формування дiагональних елементiв матрицi X - а ■ X е в необхiдно 2•N операцш множення i стiльки ж операцш алгебра1чного додавання.

Для множення матриць X - а ■ X е в ■ П необхщно N2 операцiй мно-

— 3

ження, а для множення одержаного добутку на матрицю П ще N /8 операцш множення i стiльки ж операцш додавання.

Отже, трудомютюсть розв'язання задачi аналiзу диференцiйного рiв-няння в базис перетворення Уолша-Адамара становить приблизно N /8 операцш множення (без операцш дшення), що приблизно в вiсiм разiв ме-

нше кшькосп трудомiстких операцiй обернення матрицi Ае методом Гау-са. Але вщсутшсть операци дiлення в запропонованому алгоршш забезпе-чуе бiльшу точнiсть обчислень з обмеженою розряднiстю операндiв, що е одшею з найсуттевiших переваг у порiвняннi з методом прямого обернення

матриць Ае , В е .

Алгоритм пошуку власних векторiв та власних значень

Отже, за наявност ефективного алгоритму пошуку власних значень

матриц А (поблочно) та вщповщних власних векторiв, розв'язання задачi аналiзу зводиться лише до зведення у степеш 0, 1,..., к власних значень та !х шдсумовування з вагами аг, Ь1 для подальшо! реалiзацil формул (8а),

(8б). Самi власнi значення X можуть бути знайдеш для матрищ довшьного

формату (як i ус власнi вектори в матрицi П). При великих порядках мат-ричних виразiв (7) точнiсть обчислень (8) залежить вiд точностi обчислен-ня власних значень.

Власш значення матрищ А будемо знаходити для кожного /-го блоку Лг окремо. Власш значення блочно^агонально! матрищ А будуть мати вигляд прямо! суми власних значень окремих блоюв Лг

х = х о е х е... е к „,

де X1 - дiагональна матриця власних значень ¿-го блоку А;; порядок мат-риць Xо становить N=1; порядок матрищ X1 становить N= 21-1, г= 1, 2,..., п; порядок матрицi А становить N = 2п; © - знак прямо! власно! суми [10]. Власне значення нульового блоку Ао

хо = {0 }.

(12а)

Власш значення довшьного ¿-го блоку Лг

к. = {2 • соб (ф к )- ехр (ф к)},

п

де ф * = 2 •

1

2 • к + Г

2

г-1

радiан або ф к = 90£

1

2 • к + 1

2

г -1

(12б)

градусiв;

к - номер елемента дiагонально! матрицi X,, к = 0,1,.,2г 1-1; г = 1,2,3.п. Аналопчно до власних значень, власш вектори для кожного ¿-го блоку

л, будемо знаходити окремо.

Матрищ власних векторiв перших трьох блоюв

П 0 = [1] П 1 = [1] П 2 =

1 /л/2 1 / л/2""

-]/42 ]/л/2

(13а)

Власш вектори довшьного ¿-го (/ = 3, 4,..., п) блоку А;

=(к) =(шоа (к,n ))

п ;+; = п г

] • б1П( ф к у соб( ф к)

;(к)

(13б)

-\ / — . /-

де Пг - к-й власний вектор блока Лг; ] = V-1; ® - знак кронекеровсько-

го добутку матриць, фк - число, що вщповщае значенню аргументу вщпо-вiдного к-го комплексного власного значення; шоё(к, К) - значення числа к по модулю N.

Наприклад, при N = 2:

шоё(0,2) = 0, шоё(1,2) = 1, шоё(2,2) = 0, шоё(3,2) = 1; Знайдемо, наприклад, власнi значення у виглядi дiагональноl матрицi

X1 та власш вектори П1 для блоку Л, при I = 3. Аз та Пз мають розмiр N = 2г-1 = 4. Множина вщповщних значень аргументу фк у градусах та дь

агональна матриця X 2, зпдно (12б):

Фа

= {57,5°; 22,5°; -22,5°; -67,5°}

Х2 = ео8(ф0 У'ф°,2 со^ф ф, 2 соб(- ф2 )еч ф, 2 соб(- ф3 )вЧфз)=

= ^0,765- 675°; 1,848- 225°; 1,848- е" у 225°; 0,765- е" у 675°).

Вщповщно до (13 а) та (13 б) власний вектор П

(2)

=(2) =(шоф,2))

П 3 = П 2

у - 81и(- 22,5°)" соб(- 22,5°)

142' -У/ Л

®

У - 8ш(- 22,5°)" соб(- 22,5°) _

- У - 0,271" 0,653

- 0,271

- У - 0,653

т. • =<0> =0) =<3) .

Власнi вектори П 3 , П 3 , П 3 шукаються аналопчно.

Одержанi результати

Для шюстраци запропонованого алгоритму розглянемо реакщю лшш-ного кола (рис. 1) на одиничний прямокутний iмпульс. Коло обране, вихо-дячи з простоти перевiрки одержаних результатiв, прямокутний iм-пульс з точки зору характерное^ одержуваного результату.

В теорй лiнiйних електричних кiл застосовуються перехщна та iмпульсна характеристики кола. Внаслщок перiодичностi функцiй Уолша неможливо отримати спектр функцп Хевiсайда, а внас-лiдок скшчено! частоти дискре-тизацй та формату перетворення N

- °тримати спектр функцп Дiрака. рис. 1. Лшшне електричне коло

При цьому слiд мати на увазi наступне

3

- внаслщок перюдичност функцш Уолша ми, насправд^ отримуемо реакцiю на перiодичну послщовшсть, перiод яко! дорiвнюе часовому штервалу Т на якому дослiджуеться функщя;

- якщо тривалiсть iмпульсу т набагато менша, а перiод послщовносл одиночних iмпульсiв Т набагато бшьший за постiйну часу електрично-го кола, то реакщя буде наближатися до iмпульсно! характеристики даного кола;

- якщо тривалють iмпульсу т та перюд послiдовностi одиночних iмпу-льсiв Т набагато бiльшi за постiйну часу електричного кола, причому т << Т, то реакщя буде наближатися до перехщно! характеристики да-ного кола.

Диференцшне рiвняння кола, зображеного на рис. 1

с, • с, ^+[ .(а + г 2)+с, • г2 ]]+а • г и (г)=г, • г2 • е (г).

Для простоти обчислень приймемо

С = Сг=с = 1, г1 = г2=г = 1.

Тодi

^3 (г) + 3 (цм) + и 3 () = е ().

(г (г

В областi перетворення Уолша-Адамара матричне диференцiйне рiв-няння мае вигляд

А2 + 3• Л + Е = I,

Розв'язок матричного диференцшного рiвняння

2

и, =1 Л + 3 • Л + Е I • I&.

Нехай тривалiсть iмпульсу т = 1. Розрахунок було проведено за формулами (9а), (10а), (11а) для формату перетворення N = 128 та двох частот дискретизащ! /1 = 1/4, /2 = 1/11.

На рис. 2а та 2б наведет результата розрахунюв для частот /1 та /2 вщповщно (неперервна схiдчаста лiнiя). Для порiвняння на цих же рисунках наведено реакщю кола, зображеного на рис. 1, на той самий iмпульс, одержану за аналгтичною формулою (штрихова лтя).

а

б

Рис. 2. Графши розв'язок диференцшного рiвняння Висновки

1. Одержанi результати iлюструють простоту реашзацп розробленого методу аналiзу лшшних систем в областi трансформант Уолша-Адамара, що зручно, коли аналiз, стиснення, архiвацiю та класифiкацiю сигналiв пе-вних класiв проводять саме в цьому координатному базиЫ.

2. Запропонований алгоритм аналiзу лшшних систем для реалiзацil не потребуе обчислень нулiв-полюсiв функцiй кола, що в певних випадках можна вважати його позитивною рисою.

3. Даний алгоритм е складовою частиною пiдходу, який полягае в створенш математичного апарату аналiзу систем на базi перетворень, вщ-мiнних вiд перетворення Фур'е. Алгоритм дае можливють такого аналiзу в нов^ньому ортогональному базисi перетворень i указуе на необхiднiсть та можливють подальшого розвитку теори розв'язання диференцшних рiв-нянь в нетрадицiйних базисах.

Лгтература

1. Murían S. Corrington. Solution of Differentia and Integral Equashion with Walsh Function.// IEEE Transactions on Circuit Theory. - 1973. - V. CT-20. - №5. - Р. 470-476.

2. Рыбин А.И. Ортогональное экспоненциальное преобразование REX. //Радиоэлектроника. - 2004. - №2. - C. 3-9.

3. Рыбин А.И., Пилинский В.В., Родионова М.В. Анализ электрических цепей в

натуральных координатах на базе ортогональных преобразований с действительным ядром.// Пращ 1нституту електродинамши НАНУ: Зб. наук. праць. -2004. - №1(7). - С. 7-12.

4. Рыбин А.И. Нормализация дискретных ортогональных преобразований тесто-

вым сигналом.// Радиоэлектроника. - 2004. - №5. - C. 36-41.

5. Рибш О.1., Шарпан О.Б. Алгоритми формування матричних операторiв дискре-

тних ортогональних перетворень REX та CoREX.// Вюник ЖДТУ. - №4(31). -Т2. - 2004. - №1. - C. 53-57.

6. Рыбин А.И., Шарпан О.Б. Диагностика пульсограмм на базе ортогональных преобразований с действительным ядром.// Вимiрювальна та обчислювальна техшка в технолопчних процесах. - 2004. - №1. - C. 141-186.

7. Рыбин А.И. Анализ линейных цепей в базисе преобразования Уолша.// Радиоэ-

лектроника. - 2004. - №5. - C. 36-41.

8. Рыбин А.И. Метод модификаций для анализа линейных цепей в базисе функций

Уолша.// Радиоэлектроника. - 2004. - №6. - C. 36-41.

9. Рыбин А.И., Григоренко Е.Г., Родионова М.В. Алгоритм анализа электрических

цепей в базисе ортогональных преобразований с действительным ядром в области трансформант.// Пращ 1нституту електродинамши НАНУ: Зб. на-ук.праць. - 2004. - №3(9). - С.10-14. 10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука. - 1967._

Рыбин А.И., Ткачук А.П. Анализ линейных систем в области трансформант преобразования Уол-ша-Адамара.

Предложен алгоритм решения дифференциальных уравнений линейных систем в базисе спектров преобразования Уол-ша-Адамара.

Rybin A., Tkachyk A.

The analisis of linear systems in basis of

Walsh-Hadamard transformation.

The algorithm for solution of differential equations of liner systems in basis of Walsh-Hadamard trans-formation is suggested.

Надтшла до редакци 20 березня 2006 року