CC BY
8
УДК 624.21
В. П. РЕДЧЕНКО (Дншропетровський вщдш ДерждорНД1)
1ДЕНТИФ1КАЦ1Я Л1Н1ЙНИХ ДИНАМ1ЧНИХ СИСТЕМ ШЛЯХОМ АНЛ1ЗУ ÏX В1ЛЬНИХ КОЛИВАНЬ
В статп розглянуто модел1 вшьних коливань лшшних систем, запропоновано методику iдентифiкацiï таких систем шляхом аналiзу ïx вiльних коливань.
Ключовi слова: динамiчнi випробування, власна частота, розрахункова модель, щентифшащя
В статье рассмотрены модели свободных колебаний линейных систем, предложено методику идентификации таких систем путем анализа их свободных колебаний.
Ключевые слова: динамические испытания, собственная частота, расчетная модель, идентификация
The models of free oscillations of linear systems are considered, it is offered a technique of identification of such systems by the analysis of their free oscillations.
Keywords: dynamic tests, natural frequency, computational model, identification
Вступ
В експериментальнш практищ методи ди-намiчних випробувань моспв розд^ють на активш, коли застосовуеться певне динамiчне навантаження, та пасивш, коли використову-еться випадкове збудження коливань. Найбшьш вщпрацьованими з методолопчно! точки зору е методи активно! вiбродiагностики (особливо методи з використанням вiбращйно! машини) [1]. 1снуе усталена думка, що методи пасивно! вiбродiагностики не можуть дати тих результа-тiв, якi дають методи активно! вiбродiагности-ки [2, 3]. В той же час методи активно! вiбродi-агностики не розповсюджеш в практищ досл> дження мосив в Укра!нi (на даний час немае жодно! робочо! вiбромашини), вони потребу-ють набагато бшьших затрат коштiв та часу, тому розвиток альтернативних методiв динам> чних випробувань мостових конструкцiй е актуальною проблемою.
Аналiз публiкацiй
Вщомо, що повнiстю iдентифiкувати лшш-ну систему можна визначивши !! iмпульсну пе-рехiдну функцiю [1], а застосувавши операцш-не числення лшшну стацiонарну систему можна з необхщною точнiстю представити за до-помогою матрицi передаточних функцiй, яка встановлюе зв'язок мiж вхiдною силою збудження та реакщею системи. Передаточна фун-кцiя е перетворенням Фур'е вiд реакцi! системи на навантаження у виглядi iдеального одинич-ного iмпульсу. Реакцiя системи на такий iм-пульс називаеться ¡мпулъсною перехгдною фун-кц1ею (¡мпулъсною характеристикою) або ж функщею Грта. Найчастше !! позначають як
h(t). Якщо комплексну передаточну функцiю позначити як K(ю), то реакцiя лiнiйноï системи описуеться як:
^вих (ю)= ^ (ю) K (ю) , (1)
де: ^вх (ю) та £вих (ю) - вiдповiдно спектральш
функцiï навантаження на вxодi та реакцп на виxодi системи.
Модуль комплексноï передаточноï функцiï на-зивають амплiтудно-частотним спектром (АЧХ), аргумент - фазочастотним спектром (ФЧХ).
Метод функцШ Грта. Нехай е система з n ступенями свободи, яка описуеться лшшним диференцшним рiвнянням другого ступеню. Якщо в k точках системи прикладеш силовi збудження F ( k ), то реакщю системи в точщ i -yi (t) можна представити наступним вира-зом [1]:
n t
Уг (t) = Zi Fk (t)hik (t, t)dt, (2)
k=1 0
Матрицю складену з функцiй hik (t,t) - iм-пульсних перехвдних функцiй мiж точками i — k , називають матрицею Грша.
Метод розкладання за власним формами. В системi нормальних узагальнених координат реакщя yi (t) може бути представлена як сума
n ортогональних реакцш за власними (модаль-ними) формами коливань [1, 4]
yi (t) = Ту* (t), (3)
j=1
© Редченко В. П., 2012
Для практичних цшей, найчастiше достат-ньо розглянути декшька перших власних форм (мод) коливань.
Результати дослщжень
Об'еднуючи вирази (2) та (3) для лшшних стацiонарних систем, реакцiю системи за у -ю власною формою можна представити як:
П : п
у у (< ) = Ъ (<, О Л т, (4)
к=1 0 ]=1
де НШу (:,т) - функцiя Грша для пари точок г- к за у -ю власною формою.
Фактично кожну функцiю Грiна тут представлено як суму ортогональних функцш, як назвемо модальними гмпульсними перехгдними функцгями (модальними функцгями Грта)
К (^ т) = Ё \ (:, т);
У=1
(5)
Вiдповiдно до залежностей мiж iмпульсною характеристикою та комплексною передаточ-ною функцieю, останню також можна представити як суму модальних передаточних функцш
Кк (Ю) = Ё Кку (0>):
У=1
(6)
Отже, вiльнi коливання лшшно! стащонар-но! системи розглядаемо як суму ортогональних реакцш за власними формами, ваговий вплив яких визначаеться модальними функщя-ми Грша або ж модальними передаточними функщями та початковими умовами, яю передували вшьним коливанням: швидкiсть (гмпу-льсна складова) та змщення (юнематична складова).
Враховуючи ортогональнiсть модальних функцш Грша, кожна модальна передаточна функщя (перетворення Фур'е вiд модально! функцп Грiна) може бути визначена (розрахо-вана) як для лшшного осцилятора, вiльнi коливання якого описуються наступною функцiею
[4]
у(:) = е
-а:
У(0) + у(0)а
Жп
+ у(0)СС8(^)
де у (0) та у'( 0) - початковi умови (змiщення та швидкiсть вщповщно), а - коефiцiентом демпфiрування, Жв - циклiчна частота коливань власно! форми системи з врахуванням де-мпфiрування.
1мпульсне збудження. Якщо прийняти, що початкове змiщення у (0) = 0 i система збуджу-
еться iмпульсом р , а отже у'(0) = р/т (т -маса системи), тодi
у (: ) = <
тЖп
-8т (Жд:)
(8)
Використавши вiдомi залежностi , що:
Ж,2 » Ж = к / т = 1/тЛ1, де Ж - частота власно! форми, к - жорстюсть, Л1 - реакщя вщ одинично! статично! сили; маемо:
у(/) = е~а,: [_рЛ1Ж8Ш(Ж:)]:
(9)
На рис. 1 представлено графш iмпульсно!' перехiдно!' функцi! за виразом (9) при Ж = 2, рЛ1 = 5, а = 0,159 (декремент коливань 5 = 0,5).
Рис. 1. Графш iмпульсноl перехщно! функцп лшшного осцилятора
Отже, модальна функщя Грша мае форму синуса з циктчною частотою Ж , а !! початкова ампттуда пропорцшна величиш iмпульсу р, циклiчнiй частой та статичному коефщенту впливу Л1 .
Модальна передаточна функщя е перетво-ренням Фур'е вщ виразу (8) та з врахуванням властивостей вказаного перетворення може бути визначена як сума двох комплексних функ-цш
К (ю) = 1 (е";р/2 • У (Ю-Ж) +
+е
УР/2
• У (ю+Ж))
(10)
де
,(7)
У( ю ) =
рЖЛ1 а + ую
Доданки у виразi (10) е котями перетворення Фур'е вiд експоненщально! функцi! , якi змiщенi вщ нуля в область вiд'емних та додат-них частот. 1х фазовi складовi повернутi на (-р /2) та на р /2 вщповщно, завдяки чому при
ю = 0 !х фази сшвпадають та рiвнi 0, модулi доданкiв складаються, тому, знехтувавши а у порiвняннi з Ж, маемо наступний вираз для модуля комплексного коефщенту на нульовш частотi
к (0)=р-^
а2 +Ж2
4
■рА
(11)
АЖ к К (Ж) » 0,5 р-^ = рА1 5
У (() = Ае~
5
-8Ш (Жг ) + 008 (Жг )
2к
(13)
Нехтуючи першим доданком в дужках (для будiвельних конструкцiй 5 /2к< 0,1), та вира-зивши початкове вiдхилення через силу вщтя-жки А = РА , маемо
У(г) = РАе — 008(Ж1),
(14)
де
щеш вiд нуля в область вщ'емних та додатних частот. При ю = 0 !х фази протилежнi, отже модуль суми рiвний нулю С (0 ) = 0 . Максима-
льнi значення функцi! е при ю = ±Ж, тому по-дiбно до виразу (12), маемо
С (Ж) » 0,5
РА1 = РА1 к
"= = Ж 5
(16)
Фазове положення на нульовiй частотi, в за-лежностi вщ знаку при коефiцiентi впливу А1, може бути 0 або ж к .
Максимальнi значення функцi! е при ю = ±Ж, тут один з доданюв е набагато мен-шим за шший, а його фаза повернута на к/2, тому нехтуючи одним з доданюв, та використа-вши залежнiсть а = 5Ж/2к, маемо вираз для модуля комплексного коефщенту на власнш частотi системи Ж
(12)
Вщношення К (Ж) /К(0) = к/ 5, як це i мае
бути для резонансно! криво! (ще одна назва АЧХ) лшшного осцилятора.
Кшематичне збудження. Якщо прийняти, що початкове змщення у (0) = А, швидюсть
у'(0) = 0 , а система збуджуеться вiдпусканням, то використавши залежностi а = 5Ж/2к та Жв » Ж, вираз (7) записуеться, як
Можна показати, що при рiвностi затрачено! енергп при iмпульсному та кiнематичному збу-дженнях амплiтуднi коефiцiенти у виразах (12) та (16) е рiвними, тобто рА1 = РА1/Ж. Близь-кими е i ампл^удш спектри реакцiй на iмпуль-сне та кшематичне збудження, найбшьш подiб-ш вони в зонах бшя ю = ±Ж, а найбшьш вiдрiз-няються при наближенш до ю = 0 .
З врахуванням першого доданку у виразi (13), та при умовi рiвностi енергш в обох випа-дках збудження, маемо наступне сшввщношен-ня
С (0) = РЖгТ^ К (0)2к =
Ж 2к 2к
(17)
Якщо розглянути iмпульсну характеристику (9) змщену на четверть перiоду (фазове положення - к /2), то при обумовлених вище спро-щеннях вона буде подiбною реакцп на кшематичне збудження. Подiбнiсть буде тим бшьшою чим меншим е декремент коливань, вщповщно подiбними будуть i амплiтуднi спектри (рис. 2).
Якщо ж врахувати зменшення ампл^уди за чверть перiоду у виглядi коефiцiенту подiбностi к1, оберненого до згасання
к1 = е
5/4
(18)
Перетворення Фур'е вщ виразу (14) мае на-ступний вид
С(ю) = 1(Дю-Ж) + У (ю+ Ж)),, (15)
ю) = -Р+А-. а + ;ю
Доданки у виразi (15) е копiями перетворення Фур'е вщ експоненцiально! функцi!, яю змi-
то графiки амплiтудних спекав за обома варi-антами повшстю спiвпадуть. Якщо не викону-еться умова про рiвнiсть енергi!, то слщ також врахувати коефiцiент приведення до одинично-го iмпульсу к2 = Ж / Р, який випливае з виразу рА1 = РА1 / Ж .
Таким чином передаточну функцiю осцилятора можна визначити як спектральну функцiю реакцi! на його збудження як iмпульсом так i вщтяжкою силою Р. В останньому випадку перетворення Фур'е розраховуеться починаючи з часу рiвного чвертi перюду власних коливань, а значення ампл^удного спектру коригуються (множаться) на коефщенти к1 та к2 .
1 \ 34.558 1
Н 2S.79S К It
\t и
V ч
V V X; //
'* ~ Т|
-4
-3
Рис. 2. Ампитудш спектри реакцп: на кiнематичне збудження 3i змiщенням на чверть перiоду - суцшьною
лiнieю; на iмпульсне збудження - пунктиром
Практичне застосування
Застосування результат викладеного ана-лiзу покажемо на модел^ яку створимо в сере-довищi програмного комплексу, що реалiзуe метод скiнчених елементiв (МСЕ). Розрахунко-ва схема - однопрогонова балка з довжиною розрахункового прольоту 20,0 м; жорсткiстю
EI = 2,219х109 Н- м2; погонною масою
1272 кг/м; коефiцieнт вiдносного демпфiруван-ня h = a / акр = 0,02 (5 = 2л^ = 0,125).
Точка прикладання навантаження знахо-диться в 1/8 прольоту, реакщю рееструемо в 1/4 прольоту. Розглядаемо два випадки навантаження: iмпульсне та вщтяжка силою 9810 Н (1 тонна). Ампштудш спектри реакцш для обох випадюв навантаження представленi на рис. 3.
Рис. 3. Ампитудш спектри реакцп в У прольоту: при iмпульсному (вгорi) та кiнематичному (внизу) навантаженнях
Насамперед добре пом^но вiдмiннiсть мiж двома спектрами, а саме, що на графшу спектру реакцп при iмпульсному навантаженнi пiки, що
вщповщають гармонiкам вищих частот бiльш вирiзняються. Цього слiд було очiкувати, адже при кiнематичному навантаженнi амплiтуди
птв спектру обернено пропорцшш частотам гармошк (16), тодi як при iмпульсному наван-таженнi амплiтуди пiкiв незалежш вiд частоти гармонiк (12).
Розглянемо спектр реакци при iмпульсному навантаженш. За вiдношенням ординат пiкiв можна отримати шформащю про ваговий вклад кожно! модально! функцi! Грiна. В даному ви-падку частка третьо! форми менша за 2 %, отже з такою ж точшстю можна отримати передато-чну функщю синтезуючи модальнi передаточнi функцi! лише за першими двома формами. Для цього потрiбно знати: частоту коливань за кож-ною власною формою (Ж), декремент коливань дано! форми (5г-) та ваговий статичний коефщент впливу (А). Останнш параметр можна визначити або ж за спектром реакци при вщомш величиш iмпульсу, або ж за результатами статичного навантаження. В обох випад-ках також використовуемо ваговий коефщент дано! форми, який знаходимо за вщношенням ампл^уд пiкiв, а його знак визначаемо за фазо-вим спектром. Так в даному випадку знаки для перших двох форм додатш (вибiр знаку умов-ний), для третьо! форми вщ'емний (протилеж-ний).
В числах маемо:
— круговi частоти перших двох форм Ж = 32,22; Ж2 = 124,78;
— декременти коливань 51 = 52 = 0,125 ;
— вщношення А1 / А2 = 4,97 /0,77 = 6,45 ;
— статичний коефщент впливу К (0 ) = 2,43 X10—4/9810 = 2,48 х10—8, м.
Вщповщно до вщношення А1 / А2 визначаемо:
А1 = К (0)х 6,45/7,45 = 2,15 х10—8;
А2 = К(0)х1/7,45 = 0,33х10—8.
Передаточна функцiя буде комплексною сумою модальних передаточних функцш за першими двома формами (19)
(
2 1
К (ю) = I
г=1 2
—}К/2
ЖА
+е
5гЖг /2к + j(ю— Жг)
]К /2 ЖА
- +
5Ж /2к + ;(ю + Ж)
,(19)
а У
Комплексна передаточна функщя (АФЧХ) синтезована за виразом (19) у виглядi ампл^у-дного та фазового спектрiв представлена на рис. 4.
Рис. 4. Амплиудний та фазовий спектри передаточно! функцп синтезовано! за виразом (19)
\
е
Висновки
Б1БЛЮГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
Виконаш дослiдження показують, що шляхом аналiзу вшьних коливань лiнiйних систем можна проводити !х iдентифiкацiю в тому ж об'eмi як i при використанш активного збу-дження. Основною проблемою на шляху практично! реатзаци запропоновано! моделi е вщ-сутшсть практичних методик, якi б дозволяли визначати з необхщною точнiстю частоти та декременти власних форм коливань, особливо в зонах !х згущення. Саме ця проблема i е темою дослщжень автора на даний момент часу. До реч^ згущення частот викликае значш усклад-нення i при активнiй вiбродiагностицi, вимага-ючи застосування декiлькох вiбромашин, !х вщповщно!, часто складно!, синхронiзацi! i т.п.
1. Вибрации в технике [Текст]: справочник в 6 т. -М.: Машиностроение, 1978-1981.
2. Методические рекомендации по вибродиагностике автодорожных мостов. [Текст] - М.: Росав-тодор, 2001. - 24 с.
3. РВ.2.3-218-00018112-521:2006. Рекомендацп з динамiчних випробувань моспв та шляхопрово-дiв. [Текст]. - К.: Укравтодор, 2006. - 34 с.
4. Клаф, Р., Динамика сооружений. [Текст] / Р. Клаф, Дж. Пензиен; перевод с англ. - М.: Стройиздат, 1979. - 320 с.
Надшшла до редколеги 10.09.2011. Прийнята до друку 20.10.2011.
