Модельный анализ сценариев устойчивого поведения производственно- экономических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.311

А.А. Афиногентов, А. Т. Каримова

Самарский государственный технический университет

МОДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЦЕНАРИЕВ УСТОЙЧИВОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Проведено исследование устойчивых сценариев функционирования развивающихся производствен-но-экономическах систем. Выявлены области устойчивого равновесного поведения, проанализированы процессы самоорганизации в системах.

Stable operation scripts of evolutionary production and economical systems are investigated. Ranges of stable system behavior are determined. Processes of system self-organization are analyzed.

Полагается, что эволюция и развитие производственно-экономических систем (ПЭС) являются следствием взаимодействия трех базовых механизмов управления: целеполагания, саморегулирования и саморазвития [6], обеспечивающих адаптацию систем к внешней изменяющейся среде. Целеполагание обусловливается воздействием внешних факторов — программ но-целевого планирования, государственного регулирования. Механизм саморегулирования обеспечивает устойчивость функционирования на основе отрицательной обратной связи, формирующей внутренние управляющие воздействия, компенсирующие всевозможные существующие помехи и возмущения. Саморазвитие обусловливается механизмом положительной обратной связи, вырабатывающим цели, определяемые внутренними свойствами системы.

Уравнение, описывающее производственно-экономическую систему, имеет следующий вид [4]:

X' = bXa-aX + I, (1)

где X- агрегированный обобщенный ресурс системы; а - факторная эластичность (логарифмическая функция чувствительности) произведенной продукции системы Y к затратам ресурсов X - а = (<?К. 9Л')-(агт); а - показатель, характеризующий интегральные издержки на добычу, приобретение, преобразование и использование ресурсов системы; b - обобщенный показатель, интегрально характеризующий системную эффективность производственной технологии; 7 -внешнее целенаправляющее воздействие. Величины а, я, b, I определяются на основе идентификации модели по реальным статистическим данным.

Данные наблюдений, как правило, существуют для некоторой последовательности моментов времени (лет или других единиц). С учетом этого обстоятельства запишем уравнение (1) для дискретного времени t=n:

Xn+i =ЬХ% -{a-\)X„ + I = f(a,b,I,a,X„), n=0,l,2..., (2)

где /(•) - функция последования, характеризующая закон дискретного изменения последовательных состояний эволюционной системы.

Возможные стратегии эволюционного развития систем в зависимости от интенсивности взаимодействующих механизмов саморегулирования, саморазвития и целенаправленного воздействия рассмотрены в [4] для частного случая от=0,5. Но так как по содержательному смыслу величина логарифмической функции чувствительности а является положительной величиной, как правило, лежащей в диапазоне (0,1), ее конкретное значение находится путем идентификации моделей ПЭС по реальных статистическим данным. Изучим далее сценарии равновесного эволюционирования производственно-экономических систем для общего случая ае (0,1).

Из выражения (2) следует, что равновесные состояния, которые обозначим через X* отвечают стационарным решениям при п~>ао\

а

ЬХ* -аХ*+1 = 0. (3)

Решения (3) определяют равновесные состояния ПЭС как функции характеристик механизмов саморегулирования я, саморазвития а и b и целевого воздействия I. При известных зна-

чениях параметров а, а, Ь, I вычисление величины X* по (3) может быть проведено различными численными методами.

Условия наличия конструктивно интерпретируемых решений (3) - вещественных, положительных X* - определяют условия существования равновесных состояний ПЭС, Вводя функ/ * \ 2 +

цию Ф X I = ЬХ -аХ + /, границу этой области определим из условия (рис. 1):

д ф(лГ*) _

0.

дХ

(4)

Разрешая совместно (3) и (4), последовательность решения запишем относительно границы области равновесных состояний ПЭС следующим образом:

дФ\ X* ф{Х*

дх

= о

* —*

X =Х

Ф| А1* [ = 0

1

ЪаХ -о = 0

л л %

ЬХ - аХ +1 = 0

1

Л ' 1 Л ф

а = аЬХ ^Х =

1 = ЬХ (а -1).

с \

каЬ

а-1

Подставляя (5) в (3), выражение для искомой границы запишем в виде

(5)

ЫЬ

а ]«-] аЬ

(а - 1).

(6)

Рис. 1. Функция Ф X

*

*

0 I 2

Р и с, 2, Трансформация границ областей различных сценариев развития системы

На рис. 2 граница существования равновесных решений (3) представлена на плоскости параметров а-1 при кривой 1 (а= 0,75, Ь=3).

Выполняя далее анализ (2), можно выделить два класса процессов с различными структурными свойствами: д/1дХ*>0 и д//дХ*<0.

При д//8Х*>0 функция последования / отвечает однонаправленному согласованному взаимодействию внешнего управления и внутреннего саморазвития.

Граница области существования таких ситуаций определяется условием

аг\х*

дХ

Аналогично (5), разрешая совместно соотношения (3), (7), найдем границу области устойчивых согласованных процессов функционирования ПЭС в виде

1 =

оо, 0 < а < 1

а

а-1

,( а-1 — о

а

а-\

а> 1.

(8)

аЪ ) \ аЪ

На рис. 2 конфигурация границы (8) представлена кривой 2.

При д/1дХ <0 функция последования определяет ситуацию противоречивых, антагонистических целей внешнего управления и внутреннего саморазвития. Сценарии поведения ПЭС в этом случае отвечают адаптационным процессам отыскания компромиссов между противоположными направлениями функционирования.

Изучим условия сходимости последовательности компромиссов. Процессы, описываемые дискретной рекуррентной последовательностью (2), сходятся, если выполняется условие [4]:

д/(а,а,1,Х )

1<

дХ

<1.

(9)

Неравенство (9) определяет область существования в системах динамических устойчивых равновесных процессов, сходящихся к одноточечному аттрактору. Область сценариев устойчивого, согласованного функционирования ПЭС при д/1дХ >0 была исследована выше, и условия ее существования определяются соотношениями (6), (8). Границы области протекания сходящихся адаптационных процессов при д/ {дХ* <0 определяются левой частью неравенства (9)

и зависимостью (8). Отыскивая границу области из условий 6//дХ* = -1 и (3), аналогично (8) получим:

со, 0 < а < 2

/ =

а-2 аЬ

а-]

~ь

а~2

аЬ

а

в“1

а>\.

(10)

На рис. 2 граница (10) представлена кривой 3.

Таким образом, в целом, на рис. 2 представлена область существования устойчивых равновесных сценариев функционирования ПЭС, расположенная между границами 1, 3 и осью сг=0. Построенная численными методами для случая факторной эластичности а- 0,75 кривая 2 в области устойчивой деятельности ПЭС выделяет две подобласти: согласованных целей функционирования (между линиями 1, 2 и осью о=0) и антагонистического взаимодействия целей, разрешаемого компромиссным путем (между кривыми 2 и 3). На рис. 2 для сопоставления приведены также аналогичные области, построенные в работе [4] для а =0,5 аналитическим способом (пунктирные кривые). Видно качественное соответствие областей и количественные различия.

Рассмотрим поведение ПЭС в выделенных областях. В области согласованных целей функционирования между границами (6) и (8) в системе протекают гладкие, монотонные процессы достижения равновесного состояния (рис, 3 а). Поведение интегральных траекторий при этом отвечает фазовому портрету «устойчивый узел» (рис. 3 б).

Р и с. 3

В области, ограниченной поверхностями (8) и (10), - области умеренных антагонистических противоречивых целей - протекают процессы с перерегулированием (рис, 4 а). Поведение интегральных траекторий при этом отвечает фазовому портрету «устойчивый фокус» (рис. 4 6).

Р и с. 4

При больших рассогласованиях внутренних и внешних целей ПЭС при д/1дХ* <-1 противоречия между различными механизмами функционирования настолько возрастают, что оказываются неразрешимыми в классах равновесных состояний. Стационарные решения уравнения (2), отвечающие одноточечному аттрактору, оказываются неустойчивыми. При

5/ /дх' = -1 решения разветвляются, происходит бифуркация, и из одноточечного аттрактора рождается двухточечный. Производственно-экономическая система переходит в другой канал эволюционного развития [7] в окрестности образовавшегося двухточечного аттрактора.

Характеристики двухточечного аттрактора находятся как неподвижные точки двукратно итерированного дискретного отображения (2), г.е. как решения уравнения [4]:

X* = /(/(а,Ь, 1,х')) = /2 (а, Ъ, 1,х*). (11)

Двухточечный аттрактор является устойчивым в области, левой границей которой является поверхность потери устойчивости одноточечного аттрактора (10), а правая граница, аналогично (9), отыскивается из условия д/2{х* ^!дх = -1,

Сценарии поведения ПЭС в этой области неравновесных состояний отвечают сходящимся процессам динамической самоорганизации ■— устойчивым автоколебательным режимам (рис. 5 а). При этом формируется простой устойчивый предельный цикл (рис. 5 б).

Р и с. 5

При переходе через правую границу устойчивости простых предельных циклов, отвечающем увеличению а и /, происходит следующая бифуркация, и из двухточечного аттрактора формируется четырехточечный. При дальнейшем возрастании а и I происходит следующая бифуркация, образуется восьмиточечный аттрактор, затем новая бифуркация и шестнадцатиточечный аттрактор и т.д.

Рассмотрим количественные характеристики устойчивости построенных траекторий. В качестве меры регулярности (или хаотичности) процессов примем значения показателя Ляпунова 1[ 3]:

м

L(a,bJ)= lim

Лї

Em

m=0

5f{a,b,I,X)

QX

x=x

(12)

m

где X 0 - начальное состояние; М- число экспериментов; Хт - результат реализации численного эксперимента для ш-ного последовательного отображения зависимости (2):

хт=/Ш{-А*Ш=Г^ь,1,х0). (13)

Для устойчивых равновесных процессов, отвечающих стационарным состояниям (2), из (12)следует:

8/(а,Ь,1,Х)

L( a,b,I) = ln

дХ

(14)

Х=Х

гдеХ* - корень (3).

Экспоненцируя (11), получим

df( a,b,I,X)

дХ

— ±е

(15)

Х=Х

В (15) знак «+» перед экспонентой соответствует области согласованных целей функционирования

для д/}дХ*>0. Знак «-» соответствует области протекания сходящихся адаптационных процессов

при 3//дХ* <0.

Решая совместно (15) и (3), аналогично (5) получим выражение, определяющее в пространстве управляющих параметров а, ЪЛ поверхности равного уровня устойчивости (Ь^сопз0:

оо, 0 < а < 1 ± еЛ

1 =

ґд-1±еіЛ ab

і

а-\

а-1 ±е ab

а

а £1±е'

(16)

Р и с. 6 Диаграмма функционирования экономической системы на плоскости изменения параметров а-1 (а=0,75)

На рис. 6 пунктиром обозначены линии равной устойчивости ПЭС (L=const) на плоскости параметров а-1.

Проведенный анализ позволил определить общие зависимости, определяющие геометрию каналов эволюции производственно-экономических развивающихся систем. В целом полученные результаты соответствуют парадигме универсального эволюционизма Н.Н. Моисеева [7]. Из многообразия сценариев эволюционного развития систем выделены и изучены два основных, при условии реализации которых в системе протекают устойчивые равновесные процессы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Аллен Р. Математическая экономия. М.: И.Л., 1963.

2. Дилиге некий Н.В., Ефимов А.П. Сингулярное вырождение и хаотическое повеление однопараметрических эволюционных систем // Проблемы моделирования и управления в сложных системах. Самара: СНЦ РАН, 2002. С. 91100.

3. Дилигенский Н.В., Ефимов А.П. Модельный анализ самоорганизации, порядка и хаоса в развивающихся системах // Проблемы моделирования и управления в сложных системах. Самара: СНЦ РАН, 2003, С. 115-122.

4. Дилигенский Н.В.. Ефимов А.П. Системный анализ и модели информационного взаимодействия механизмов эволюционного развития II Проблемы моделирования и управления в сложных системах. Самара: СНЦ РАН: 2004.

5. Арнольд 8.Н. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.

6. Никояис Г, Пригожим И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

1. Моисеев Н.Н. Человек и ноосфера. М,: Молодая гвардия, 1990. 352 с.