CC BY
40
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 114-137
Физика
УДК 537.2
Модельное описание аномалий упругих модулей и неупругих явлений в нанокристаллических сегнетоэлектриках
Н.М. Игнатенко, A.A. Родионов, A.A. Родионова
Аннотация. Представлен обзор результатов по разработанному авторами макроскопическому подходу при теоретическом изучении упругих и неупругих явлений в нанокристаллических сегнетоэлектриках. Выявлены особенности поведения внутреннего трения и Д Е-и AG- эффектов в сопровождающих полях, их частотная и ориентационная зависимости, а также дисперсии начальной восприимчивости.
Ключевые слова: неупругие эффекты, сегнетоэлектрик, магнитная восприимчивость.
Введение
Наноразмерные структуры, в том числе нанокомпозиты, находят все большее применение в разных областях науки и практики. Это относится как к магнитным [1], так и сегнетоэлектрическим нанокристаллам (НКС).
Одним из возможных продуктивных подходов при изучении релаксационных и магнитоупругих свойств наноматериалов может быть макроскопический подход, который основан на использовании симметрийных свойств нанокристаллов, определяемых видом и геометрией расположения их атомов. При этом востребованной оказывается информация о структуре термодинамических потенциалов исследуемых систем при конкретных рассматриваемых условиях.
Макроскопический подход при изучении релаксационных процессов, связанных с магнитоупругими явлениями в макротелах, был предложен A.A. Родионовым [2]. Он оказался весьма продуктивным при модельном описании внутреннего трения, аномалий упругих модулей, генерации упругих волн в полях комбинированных внешних воздействий, обусловленных как процессами смещений доменных границ (ДГ), так и процессами вращений векторов спонтанной намагниченности в области линейного отклика [3], когда нет отрывов ДГ от мест их закрепления дефектами, а векторы 1$ не проходят «трудные» направления в кристалле. Полезным он оказался и в бо-
лее сложном случае гистерезнсных явлений в магнетиках [2], где вводилась случайная сила взаимодействия ДГ с дефектами, функция распределения ее закрепленных сегментов по длинам и ее изменение под действием возмущающих знакопеременных полей. Его также удалось распространить па сегпетоэлектрики макроскопических размеров [4] и сегпетомагнетики [5] с учетом их специфики, использовать для теоретического описания смешанной восприимчивости, связанной с ДГ [6], а также при выявлении аномалий упругих модулей в сегпетомагнитпых кристаллах [7]. Таким образом, данный метод может продуктивно использоваться для модельного описания упругих и пеупругих явлений в любых магпито-электро-упорядочеппых макроскопических системах.
Весьма заманчиво распространение уже разработанного авторами макроскопического подхода и па паноразмерпые магпито-электроупорядочеппые системы. В связи с этим и теоретические и экспериментальные исследования, относящиеся к установлению вида термодинамического потенциала и его констант, для подобных систем становятся актуальными, не говоря уже об их важности при решении других задач.
Напокристаллические ферромагнетики как материалы, перспективные для всесторонних практических применений, в последнее время начали весьма интенсивно изучаться [8]. Повышенный интерес к ним связан с необычностью многих физических свойств этих материалов. Они, в отличие от аморфных ферромагнетиков, обладающих лишь ближним порядком в расположении атомов, представляют собой конденсат из кластеров, кристалликов (зерен) и др. фрагментов, имеющих объем порядка КЯ-Ю'1 атомов. Эта совокупность напоразмерных (до ~ 40 нм) частиц, хаотических или с определенной степенью порядка (текстура зависит от условий приготовления), содержит и монокристаллическую фазу, и межфазпые границы. Последние при этом не имеют, как правило, даже ближнего порядка и проявляют изотропные свойства.
Кроме того, в папокристаллических материалах (НКМ) в местах соприкосновения трех и более зерен имеются пустоты. По [8], если представить эти зерна в виде шариков диаметром <1, а толщину границы раздела взять равной к, то доля межзереппых границ раздела в объеме НКМ будет е = ^. От размеров зерен существенно зависит константа магнитной анизотропии К1 (для трехосных НКМ), коэрцитивная сила, магнитная восприимчивость и даже спонтанная намагниченность ¡я, которая по порядку величины
1,3 ~ (1 ~~ е)/об! гДе /0б — спонтанная намагниченность пепапоразмерпого кристалла. В свою очередь от ё зависит магнитная структура зерен: если (1^6 (толщина доменной границы), то зерна полидоменные. Это влияет на характер процессов, развивающихся в НКМ в приложенных магнитных, либо упругих полях, связанных со смещением ДГ или с вращениями векторов ¡я, приводящим к соответствующим «магнитным» составляющим диссипации энергии в них.
При распространении данного макроподхода па паноразмерпые структуры, в частности, па папокристаллические магнетики (НКМ) был выявлен ряд существенных особенностей при теоретическом описании их упругих и пеупругих свойств в области линейного отклика [9, 10], при рассмотрении начальной магнитной восприимчивости, динамического и статического А К и АС — эффектов, особенностей генерации упругих волн в переменных магнитных полях в сравнении с аналогичными явлениях в макроскопических магнетиках.
Как было показано наиболее сильно характер частотной зависимости при рассмотрении начальной магнитной восприимчивости, динамического и статического А К и АС — эффектов, особенностей генерации упругих волн в переменных магнитных полях НКМ отличается от макроразмерпых магнетиков в том случае, когда размеры зерен НКМ достаточно малы (при этом их константы анизотропии изменяются па несколько порядков), а внутренние напряжения весьма велики и могут достигать ~ 100 МПа. К одной из работ, посвященных этому вопросу, можно отнести [11], где теоретически было показано, что в отличие от обычных магнетиков дисперсии внутреннего трения и АЛ’-эффекта в НКМ, связанных с обратимыми вращениями векторов намагниченности, имеют резонансную природу. При этом выявленные нами особенности поведения внутреннего трения, восприимчивости и пр. для НКМ коррелируют с имеющимися экспериментальными данными [8]
Перспективно распространение этого подхода и па папокристаллические сегпетоэлектрики (НКС), в которых также следует ожидать необычность в поведении упругих и пеупругих явлений в сравнении с протеканием этих явлений в макроскопическом состоянии.
Далее остановимся па последних теоретических результатах, полученных авторами при модельном описании (па основе макроскопического подхода) аномалий упругих модулей и пеупругих явлений в папокристаллических се-гпетоэлектриках.
В данном сообщении рассматриваются выявленные нами особенности поведения этих свойств в папокристаллических сегпетоэлектриках (НКС). Авторы предприняли попытку количественно описать вклады как смещений доменных границ, так и вращений векторов спонтанной поляризации во внутреннее трение, коэффициент поглощения упругих волн, упругие модули, и электрическую восприимчивость НКС. Все выявленные и описанные особенности изменения вышеупомянутых пеупругих и упругих явлений увязаны с исходным состоянием НКС: размером их папозереп, от которых зависят постоянные («константы анизотропии») в разложении термодинамического потенциала (па примере ВаТЮз), величиной и ориентацией внутренних напряжений, в поле которых происходит формирование доменов и исходных «легких» направлений векторов спонтанной поляризации. С учетом этой предыстории НКС далее рассматриваются и определяются смещения доменных границ и повороты векторов спонтанной поляризации Р4. Именно эти изменения в доменной структуре НКС и их нахождение позволяют найти
все интересующие пас величины и описать особенности их ориентационной, частотной и полевой зависимостей как для исходных деполяризованных состояний, так и в смещающих полях: электрическом, упругом и т.д.
Метод теоретического исследования и обсуждение полученных результатов
Рассмотрим вначале специфику внутреннего трения и динамического Д Л’-эффекта, связанного с процессами вращений в папокристаллических се-гпетоэлектриках, и покажем, что из-за остаточных внутренних напряжений в папозерпах с сегпетоструктурой ВаТЮз в папокристаллах сегпетоэлектриков (НКС) возникает анизотропия «вращательной» жесткости для векторов поляризации, приводящая в зависимости от ее степени к релаксационному или резонансному типу дисперсии внутреннего трения, коэффициента поглощения, АН- и ДС-эффектов. Рассмотрим особенности поведения этих величин, связанные с влиянием размеров папозереп па их упругоэлектрические постоянные.
Особенности статического ДЕ-эффекта, связанного с процессами обратимых вращений в папокристаллических магнетиках (НКМ) описаны в [9]. Представляет интерес рассмотрение вклада этих процессов во внутреннее трение динамические АН- и ДС-эффекты и коэффициент поглощения а
продольных и поперечных упругих волн в НКС со структурой типа перов-скита. Как известно, и НКМ и НКС [8] представляют собой совокупность папозереп с дальним порядком (в том числе и полидомеппых), окруженных межзереппой фазой даже без ближнего порядка, с пустотами.
Рассмотрим вначале поглощение энергии в полидомеппых папозерпах, содержащих три сегпетофазы с разделяющими их ДГ в исходном состоянии с Р4, близкими по ориентациям к направлению [100] — 1 фаза, [010] — вторая, [001] — третья сегпетофаза. Такое предположение основано па том, что формирование папокристаллической структуры в НКС происходит в поле внутренних напряжений с тензором о^-, энергия которых при этом минимизируется. Прикладывая далее зондирующее напряжение о,^- = а соэ /3, соэ /У , которое вызывает отклонения векторов Р8 на малые углы ^ и ^ ^ 1 соответственно в плоскости ХУ и %X, и используя исходное выражение для термодинамического потенциала Ф [12] без его части, не существенной для дальнейшего рассуждения, получим для нахождения <р\ и систему
(З'ф\ + А\Щ + В\Ц}‘1 = -[х 10-22 + Х2<033 + О] 1 )] 2Р,(Р,^1 + р2) -
- 2хз[о,2Р,(Р, +рх) +02зР,(Р,¥>2 + Рз)} = КХЧ>, + Ь\ч>г + С,,
Р'ф2 + + В2р\ = -[х 10-33 + Х2(оц + 022)] 2 Р, ( Р,¡£>2 + Рз) -
- 2хз[02зРДР^1 + Р2) + 03, РДР, + Р1)] = + (,'■>■
где ß' — диссипативный коэффициент, а в углы <р\ (t) и не входят постоянные их значения, наведенные внутренними напряжениями ег^-. Введенные в (1) для удобства величины Ai, Bi определяются, как статическая часть <р\ и в уравнениях
= 2aPs{Pgip\ + Р2) + [\2Р%р2<р\ + 4Pg'pl] +
+ 2ß2{Ps + v\)2(P»4>\ + V2)P» + у {6P* {ЬР»РгЧ>\ + P2)} +
+ 272 { Prt (P^i + P2) + 2P? (3P,W. + vl)} -
- [Х1СГ22 + Х2(сзз + СГП)]2Р.,(Р.,^1 + p2) -
- 2Хз[(Т12Р«(Р« +p\)+ C23 P« (P« SP2 + Рз)] = -4l^l + ßl¥>2 + Cl = 0;
(2)
^ = 2«Ps(Ps^2 + Рз) + [l2Pf/>3^2 + 4Р«Рз] +
+ 2ß2(Pg + p,)2(P,^2 + w)P. + У {6РЯ (?>Р*'рУ2 + pl)} +
+ 272 { Pf (P,^2 + Рз) + 2P? (3P,p|^2 + vl)}~
- [Х1СГЗЗ + X2{<?\\ + 0-22)]2Р,(Р,^2 + Рз) -
- 2хз[о-2зРДР«^1 + Pi) + 0-31 P,(P, + Pl)] = А2ф2 + В2ф\ + Ct = 0.
Здесь a, ß\, ß2, 71,72 ~ «константы анизотропии», xi = ^'"lb X2 = V 12, Хз = V'44 — компоненты тензора электрострикции, индуцированная а,ц поляризация р, = dijt,-<Jjk (суммирование по г, k = 1, 2, 3), djj/. — тензор пьезомодулей (для первой сегпетофазы ОТЛИЧНЫ ОТ пуля ЛИШЬ ¿35 = ¿261 <1\з = <1\2, d\\). В пулевом приближении величинами Hi, в сравнении С соответствующими Ai, Bi из (1) можно пренебречь, оставив лишь G1 = —2X3^12(P« + РьР\) И 02 = -2X3(713(Pg + PsPl)-Тогда отсюда получаем
ГлЛ /? 1 о cos(o; t —[т\ — 0l]) , х г л ^
ф\(t) = ----- = у 10 cos (о; t - [т\ - (9ij), (3)
— ш2)2 + 4 (Р,/2/j,)2 ш2
где /?.ю = АJr\ + rf; 7-1 = С20 - i'2 = ß'CxQu/Bw tg Ti = r2/n;
/„ = -ßV/Br, P\ = — 7I7 (.-4, + A2); Q\ = B2 - а;2, = Q\/L\;
tg 0\ = -^rf/C^oi
Подставляя ^i(i) в (1), имеем
<p2(t) = ¡£>20 cos (üüt - u\), (4)
где ¡£>20 = аД? + м|; u\ = sin[ri - 0i] - cos[ri - 0]];
и2 = (ß'tu cos[ri — 6\\ — A \ siri[ri — 0]]); tgi/\ = Такая взаимозависимость ip\(t) и ip2(t), приводящая к резонансному типу дисперсии
возникает из-за наличия в (1) величин В\ и В2. Тогда от соотношения соответственно значений В\ и А\, В2 и А2 будет зависеть тип дисперсии и <р2(ш): при В\ ^ А\ и В2 ^ А2 вид этой дисперсии близок к релаксационному с характерными для рассматриваемой нами первой сегпетофазы временами релаксации твi = ß1 /А\ и тв2 = ß'/A2. В противном случае зависимости близки к резонансным. Поскольку А\ и А2 = A\2(aij), то
в первом случае из-за неодинаковости в отдельных зернах НКС компонент (Tij, характеризующихся их средними значениями {<7ц) и дисперсией этих компонент внутренних напряжений, получится разброс значений тв, а потому в данном случае для релаксационного типа <р%(и) это приводит к уширению релаксационных максимумов Д = /(ш), и Хв(ш)- Подобное
же будет иметь место и в случае Bi ^ Ai за счет того, что собственные частоты uiQi = JehiTi также будут различны, поскольку Li = Li(<Jij) и
Qi = Qii&ij)-
Эти особенности дисперсии ipi(ui) для НКС предопределяют ее характер для Q~\w) и для Д (tj)b- Действительно, найдя мехапострикциоппую деформацию для первой сегпетофазы вдоль направления ßi с концентрацией С\ в виде
•Л
где, как можно показать, компоненты тензора деформации имеют вид
мц =2У'і і Р8р\ +21-і2 Р,ірір2 + 2У'і2Р,ч>2рз, «22 = «зз = '2УпР*Р\ + 21/п Рц<р\р2 + 2УпРв<Р2Рз, ¿¿12 = ¿¿21 = 2УиР*вЧ>\ + 21/'иРб’(Р2 +
«13 = «31 = 2У,\,\Р^2 + 2У,\,\Рз{рз + 9З2Р1); «32 = «23 = 0.
В общем случае
При этом воздействуют в £мех как па зависимости где j = 1,
2, ..., 6, так и па компоненты тензора пьезомодуля в тензорном соотношении pi = dijt¿o^jt¿, определяющиеся по [4] через «константы анизотропии» и Р8. В свою очередь Р8 определяется через эти константы разложения Ф. При этом последние хотя и, по-видимому, слабо, по связаны с ег^-. Кроме того, компоненты тензора электрострикции в (6) (двухипдекспые по Фогту) Уп, V12, V41, такие как dijt¿, зависят от и «констант анизотропии». Таким образом, получается
Ємехі = С ^2 Üij COS ßi COS ßj,
(5)
3
(6)
где £^ех = бмех/оо! а все углы ~ ¿о- Отсюда, если, например, в й,ц
оставить компоненты «12 = «21 ~ 2У,\,\Р2ф2-, то получим
т.е.
eMeXl = 4сгС44 Ps (ф! COS (3i COS fi2 + ф>2 COS fa COS /З3),
Д = ^1^44Ps2[(cOS/9i COS^^Ío COs(oit - [n - 0Х]) +
\ fi y el
+ (cos,01 cosP3ip'20 cos(ait -vx)\ = T\ cos (ojt - i/i), (8)
где (p'iq = ípio/éo, a Ti и гц — удобные для первой сегпетофазы очевидные
обозначения. Находя аналогично для остальных сегнетофаз Д {j^)ei составляющие, получим
AÍÍ) = ¿TíCos(wí-»/í). (9)
' ' « i=1
Подставляя значения вмех в волновое уравнение, приходим к системе, из которой находим коэффициент поглощения а продольной упругой волны с = (7oe_“r cos(uit — иг/v) вдоль направления г и ее скорость в виде
2 2 _ 9
а2-------------------------------------------------------тг Н-ñ = —/эш2 V Ti cos гц = /?., — = pui 7¿ sin гц = S. (10)
¿)z On Z-“'' Z-“''
u t
Отсюда
2 ( 2ш2 2 /?, \2 4ш2 / 2ш2 2/?.\ 5 о
0 + Ж “ ^¡^р2 “ ( )
, ¿¡УдО! Е 8П1 ^
в Ш2 - (р ¿^)_1 + Е ^ СОЭ ГЦ
Таким образом, а и 1 оказываются зависимыми как от ориентации зондирующего приложенного напряжения, так и от его частоты, а, кроме того, через входящие в (12) величины, и от концентрации сегнетофаз и всех упругих и упругоэлектрических параметров панозереп, в том числе и «констант анизотропии», через которые определяется и сама спонтанная поляризация Р4. Область применимости соотношений (11) и (12) определяется, по-видимому, до частот, при которых становится существенным электрическое диполытое излучение элементарных спонтанных диполытых моментов, как это отмечено в [4], поскольку тогда в /З1 появляется существенная составляющая, которая имеет величину порядка 2Р2ш3у>о/(Зс3), где с — скорость света. Поскольку у>о ~ ((/З'ш)2 + А2) 1//2 при релаксационном типе зависимости <р(ш) (здесь это выполняется лишь при ш ^ Ai/fi'), радиационный вклад в суммарный диссипативный коэффициент начнет убывать ~ о?-1. В то же время при резонансном типе дисперсии <р{и) из (3), (4) следует, что в этом случае
<ро(и}) изменяется иначе: уже при ш ^ шо вклад радиационной составляющей в диссипативный коэффициент начнет убывать ~ о?-1. Однако, как видно из вышеизложенного, частоты, с которых это начинается в НКС и в пепапораз-мерпых сегпетоэлектриках, могут существенно различаться для обоих типов дисперсии у’(ш), а значит и для ’(ш), и для Д К-эффекта. Необходимо отметить также, что экспериментальные значения а, С^1, А (^) соответствуют их усредненным по ориентациям субзереп их значениям в (11), (12), умноженным па долю объема НКС, запятую папозерпами и межзереппыми границами без пустот.
Для получения соотношений для описания Д (^)-эффекта, (ЗВх и а-Ь отвечающих зондирующему сдвиговому воздействию, необходимо вначале найти поперечную мехапострикцию ех>у> = | (£х'х' ~~ е;у';</')’ гЛе х>' У'’ г> ~ заданная относительно (100) система координат для поперечной волны, распространяющейся вдоль ^-направления. Здесь получаются для НКС для этих величин соотношения, подобные полученным ранее в [4] для не папо-размерпых сегпетокристаллов, по с той же спецификой для НКС, которая характерна для них для продольных внешних воздействий: сильные влияния па их упругоэлектрические параметры в первую очередь размеров напозерен, внутренних напряжений в них, а также, хотя и меньшей мере, вида их текстуры и доли кристаллической фазы в объеме НКС для составляющих этих величин, связанных с процессами обратимых вращений.
Рассмотрим далее особенности статического АК- и АС- эффектов в папокристаллических сегпетоэлектриках (НКС) типа перовскитов, связанные с процессами обратимых вращений векторов спонтанной поляризации и спецификой НКС: наличием в них значительно больших средних по панозерпам внутренних напряжений, а также зависимостью «констант анизотропии» от размеров зерен. Из полученных далее соотношений следует, что эти эффекты в НКС могут быть значительно большими, чем в обычных сегпетоэлектриках.
Остановимся вначале па случае, когда панозерпа полидомепные и содержат па примере ВаТЮз три сегпетофазы со спонтанной поляризацией Р$ соответственно в исходном состоянии вдоль направлений [100], [010], [001]. Для расчета величин Д (1 /К) и Д (1 /С) вначале найдем углы отклонений <р\ и для первой сегпетофазы, составленные соответственно с осыо X || [100] в плоскостях ХУ и АХ, затем углы и (р,\ — с У в плоскостях У А и ХУ и у>5, ~ с ГА в плоскостях ГАX, УГА. Беря термодинамический потенциал
Ф(Pi в виде [12] и разлагая его вначале для первой сегпетофазы с
Ру\ « Р$, Ру 2 ~ Р«,' • <р\, Р«,' з ~ Ру • ц>2 по степеням (р\,(р2,и, затем, составляя
дФ а дФ а
уравнения для нахождения (/?1 и = и и = и, получим систему
2а.Р3 (Р^, + р2) + у [4Р* (ЗР*^, + VI)] +
+ 2р2Р8 [(Рз + Р1)2(Рз^+Р2)} + у [6Р, {ЬР8р'}т+РI)] +
+272 [Р| (Р,*м + Р2) + 2Р| (3РЙр\рх + р1)] -
- [х 10-22 + + Х2 (033 + 0ц)]2Р<,' (Ps4>\ + P‘Ù -
-2хз [012Ps (Ps + P1) + °2zPs{Ps4>2 + Рз)} = A\if \ + B\if2 + C\ = 0,
(13)
2aPy (Pÿip2 + Рз) + y [4Ps (ЗР8‘РзФ2 + Рз)} +
+ 2(h Ps [(Ps + P\ Ÿ (Psw + M)] + y [6 Ps frPsvlw + M +
+ 72 [2Ps (Р.чф2 + Рз) +4Pj (ЗРлРз^>2 + Рз)} ~~
- [X1033 + X2 (011 + 022)]2Ps {Ps4>2 + Рз) -
- 2хз [°2zPs{Ps4>\ + P2) + 031 Ps (Ps + Pi)] =
= А2Ф2 + B24>\ + c% = 0.
Здесь
С, = 2aPsPi + y4Psri + 2ihPs [(Ps + Pi)2] VI +
+ T6 P,v\ + ЫРЫ+ЪРМ - bc.^B + « И» + -и)]2Рж -
- 2X3 [012Ps (Ps + Pi) + 023PsH •
Как видно в пулевом приближении С\ = —2хз [012 (Pf> + PsPi )L а С2 — —2хз [013 (Pf> + PsPi)]■ Поскольку при получении НКС в поле внутренних напряжений aij = a cos (3i cos fij происходит формирование текстуры папозереп, то, по-видимому, минимизация упругоэлектрической энергии приведет К тому, ЧТО углы Pi будут либо близкие к пулевым, либо К 7г/2, то есть в поле aij, где а ^ а — зондирующее напряжение, прикладываемое уже для измерения Д/'./-эффекта. Тогда наложение aij = a cos cos fij с учетом всего этого приведет к отклонению векторов Ps па углы lpi, а уравнения равновесия для а ^ а примут вид
А\1рх + В\1р2 = -С 1 = 2хз (Р| + Psp\) CT12 cos /У, cos= Nu ^
А2Ф2 + В2Ф\ = — С2 = 2хз (р| + Psp\)â\2Cos (3\ cos/Зз = Л/2;
где А, и В-1 = Р«(сг^-). Тогда углы уь, наведенные ег^-, получаем из соотпо-тпений
_ Л/162-А/26, _ А^2-А2^
(р' А1В2 — А2В\ ' ^ А\В2-А2В\~ { 0)
Точно также, записав Ф для второй и третей сегнетофазы в виде ряда по степеням и находя Ф3, ф, Ф5, Фд, получаем величины Л3, А4, Вц, В,-1, Д^з, Д^4, а затем и их значения с индексами 5, 6, а по ним определяем 1р3,.. Таким образом, все постоянные в (14), как для 2 и 3-й фаз, зависят от внутренних напряжений ег, которые, например, для папокристаллических магнетиков достигают значений ~ 100 МПа [8]. Можно полагать, что в НКС их порядок величины будет тот же. Кроме того, входящие в эти постоянные
«константы анизотропии» в Ф также будут зависеть от размеров нанозерен d НКС: с убылыо d они будут убывать, поскольку природа магнитной анизотропии и сегпетоэлектрической во многом связана с диполытым взаимодействием и симметрией кристалла. Однако нам не известны работы, в которых бы для НКС эта зависимость «констант анизотропии» от d была количественно рассмотрена.
Для описания статического А К- эффекта найдем продольную мехапо-стрикциопную деформацию кристалла с учетом спонтанной мехапострикции £сп. Для ее нахождения вначале для одного напозерна, если оно полидо-менпое, для одной первой его сегпетофазы записываем компоненты тензора деформации Uij из [12J для ВаТЮз:
uij = VijktPskPst + VijktPsk • Pi + VijktPst • Pk + Vijkt • PkPti (16)
где учтено, что Pi = Psi + Pi, и что для спонтанной поляризации, которой отвечают Uij в (16), при а = 0 имеем uf, = V\\P]}, «22 = «33 = V’riPf, Uij = 0 при i ф j. То есть спонтанная мехапострикция
Асп = Ei,i Uij COS 14 COS Mi = V\\ps COS2 Ml + V\‘lP‘s COS2 Ц2 + V\2P‘s COS2 Из, где углы fii определяют ориентацию зондирующего поля. Отличие Асп для НКС от Асп для макрокристаллов из [4J связано с зависимостью от размеров напозерен компонент тензора электрострикции и «констант анизотропии». При этом входящие в и 1р2 в (15) величины связаны с внутренними напряжениями. Наведенная же напряжениями 7т мехапострикция определяется компонентами
для сегпетофазы с Р$ || [100] при измерении ее вдоль направления с fii углами: £мех = Е» 1 «¿? соэ ^ соэ (3 j. Тогда для статического АК- эффекта получаем
где £^ех совпадает с £мех, 1ГО без величины 7т, входящей сомножителем как в <р\, ц>2 через , N2 в (15), так и в р, = di¡.¿д:¡.^ (суммирование по к, £), где diкl ~ тензор пьезомодулей.
Рассмотрим статический АС — эффект для НКС в сравнении с его описанием нами в [9] для папокристаллических магнетиков (НКМ). Считая систему координат с осями X, V, А совпадающими с базисными (100) осями кристалла, вводим другую с осями X', V, ГА' таким образом, что Х'ІК«',, 7і)’
У"||(а?2, /?2; 72) и %'\|(«з, /0з, 73), /0/, 7; — направляющие косинусы со-
ответствующих осей относительно (100). Здесь берем ненулевой лишь сдвиговую компоненту тензора напряжений ~дх'У, прикладываемых при измерении
«и = 2Vn Psp 1 + ‘2V\2Ps<P\P2 +
«22 = «33 = 2V\2PsP\ + 2V''n Ps4>\P2 + ЗІ'ЬРб’^РЗ
«31 = «13 = 2У,иРуф2 + 2V'uPs{p-i + Ф2Р\):
«12 = «21 = 2 V 4 1 Pyip 1 И M32 = «23 = 0
(17)
д (1 / H) = єиех/а = є'мех.
(18)
ДС-эффекта. В системе (100) получим наведенные ей компоненты
<тхх = а\|«20; (19)
где <7X'Y' = CTXY = aYZ = <7XZ = °YY = P'\P'‘2?\
<*zz = 7i720- Их подставляем в правую часть (14) для нахождения N\, N2, а затем и из (15). Тогда сдвиговая механострикция НКС будет
определяться из соотношения
вмехХ = у (£х>х> - £Y'Y') , (20)
где ех'х' ~ продольная механострикция, созданная компонентой ax'y' теп_ зораЕе находим по (18), где в вмех делаем замены: вначале для получения <т'х'х': cos/01 cos/02 Р\-, cos,0з —>■ 7], а затем для нахождения ey'y'
в £мех аналогично cos(3\ —¥ сх'2, cos/02 fib cos /?з J2- В итоге после по-
лучения £мехх в явном виде с учетом всех подстановок и сокращения па а находим окончательно выражение для ДС-эффекта:
Д (1/С) = вмехх/^- (’21)
Анализ найденных соотношений для статических А К- и ДС-эффектов по (18)—(21) показывает, что они сильно зависят как от способа получения НКС, который предопределяет внутренние напряжения их исходную ориентацию относительно базисных осей напозерен и их текстуру, так и от «констант анизотропии» НКС, безусловно, связанных с размерами напозерен: они уменьшаются при убыли размеров папокристаллов, поскольку природа этой анизотропии и для НКМ и для НКС в общем случае диполытая. Поэтому статические А К- и ДС-эффекты в НКС в сравнении с массивными сегнетоэлектриками могут быть значительно большими, как это имеет место в НКМ [8J.
При малых значениях «констант анизотропии» (мелкие напозерна) все больший вклад в эффективную энергию анизотропии начинает давать энергия внутренних напряжений, как и в НКМ. При размерах зерен НКС, меньших критических, они становятся моподомеппыми. В этом случае для вычисления величин тз и 72 можно найти их значения для одной сегпетофазы, а затем результат усреднить с учетом ориентационной текстуры НКС.
Остановимся далее па вращательной составляющей диэлектрической восприимчивости перовскитовых папокристаллических сегпетоэлектриков типа
Известно, что как и магнитная, диэлектрическая восприимчивость сегпетоэлектриков является структурно-чувствительной величиной, зависящей от их исходного состояния и результатов внешнего воздействия. Она имеет действительную и мнимую х" составляющие. При этом каждая из
них связана как с процессами вращения векторов спонтанной поляризации так и со смещениями доменных границ (ДГ). В [13,14] предложено описание обусловленное процессами вращений, когда ДГ закреплены,
коррелирующее с опытом [15J и позволяющее по нескольким его наиболее характерным значениям, полученным из эксперимента, находить параметры сегпетокристалла. Что касается папокристаллических сегпетоэлектри-ков (НКС), представляющих собой папокристаллические зерна, межкристал-лическую фазу и пустоты, то можно ожидать из-за наличия в них, как и в папокристаллических магнетиках, внутренних напряжений с тензором D6(t) = Pseocos72COSWÎ и зависимости от размеров НКС постоянных в разложении термодинамического потенциала по направляющим косинусам векторов Drj(t) = Pseо cos 7i cos ait относительно базисных осей Р@, возникновение в них особенностей в поведении диэлектрической восприимчивости Ав и £?5, обусловленных процессами вращений и смещениями доменных границ.
Остановимся па описании восприимчивости Л5. Для этого запишем термодинамический потенциал Ф для D^(t) = Pseocos7i cosuit в тетрагональной фазе в виде [12J, по без потенциала Гиббса, для случая, когда одно зерно НКС содержит сегпетокристаллические фазы 1-3 соответственно с исходными ориентациями Ps II [100], [010] и [001] с концентрациями с\ + С3. Будем считать, что внутренние напряжения с тензором (Tij из-за специфики приготовления НКС «располагаются» вдоль «легких» направлений, а внешнее электрическое поле eo(7i)coswi вызывает лишь отклонения Ps от их исходных ориентаций для сегпетофаз. Для первой сегпетофазы тогда проекции Ps па X, Y, Z || [001] будут равны в пулевом приближении Ps, Ps • Ч>\ ,Рs • фъ-, гДе ф\ и ~ углы отклонения Ps от X в плоскостях XY и ZX, для второй фазы И (р,\ — ОТ Y В ПЛОСКОСТЯХ Y Z И XY И ДЛЯ третьей (£5 И ifQ — углы
Ф
сегпетофазы с сохранением лишь членов ~ (p‘j, (fii^fij. Находим далее (р\ и <р2 в поле (Tij из системы
= 2aPs (Pm +Р2) + y [4Ps (3PSP2V1 + P2)] + +202Ps [(Ps + P.)2(Pm +P2)] + y [6Ps (J>py2w +PÏ)\ +
+ 272 [pHp*<P 1 + P2) +2Pi (3pap\p\ + pl)] -
- [x 1 °"22 + X2 (o-33 + (T\\)\2Ps (Pm + P2) -
- 2хз [<y\2Ps{Ps + P1) + 023 Ps (Ps4>2 + Рз)] =
= А\ф\ + В\ф2 + С] =0,
(22)
^ = 2aPs (Ps(f2 + Рз) + у [4Ps (ЗРsPs(P2 + Рз)} +
+202 Ps [(Ps + P\)2(Ps<P 2 + Рз)] + у [6 Р, (5Р,р^2 + р!)] + + 72 [2Р5 (Pÿ(P2 + Рз) +4р| (ЗР^'з^З + Рз)] —
- [Х1033 + Х2 (о-ц + 022)]2РS (PsЧ>2 + Рз) -
2хз [v-nPs(Ps4>\ + P‘Ù + Ps (Ps + Pi)] = A2P2 + В2ф\ + C‘2 = О
и вводя диссипативный коэффициент Р', записываем для 1-й сегпетофазы уравнения для нахождения <p\(t) и ip2(t)
где сову, — направляющие косинусы поля е(£).
Постоянные величины С\ и С2 в (23) в случае линейного отклика не входят, так как они определяют лишь исходную ориентацию. Находя затем из первого уравнения в (23) и подставляя во второе, получаем соотношение для нахождения <р\(^)\
где ¡£>20 = а/а? + Л|; Al = [Dio - 0Viows¡n(ri - в\) - А\ф\й cos(ri - в\)\/Вх\ М = [0Viou;cos(ti - в\) - А \ <р\о síti(ti - в\))/В\\ tgvx = А2 / А1.
Проекция Ps для «отклоненной» первой сегпетофазы па направление поля e(ji) равна Ps cos<p¡, где
COS ip г = COS 71 COS ¡£>1 COS ¡£>2 + COS 72 Sill ¡£>1 COS ¡£>2 + COS 73 Sill ¡£>2; а начальная восприимчивость для nee
где = <р\о/Pseo\ 4^2о = Фт/Pseo\ eo — амплитуда поля e(t). Обозначая здесь выражения в квадратных скобках при cosait и sinwi через R.\ и R2
Р'ф\ + A\ip\ + B\ÍP2 = Pse0 cos72cosut,= D\(t) р'ф2 + A2íP2 + B2ip\ = Pse0 COS73 cosOjt, = D2(t)
(23)
Ь\ф\ + Р\ф\ + Q\if \ = H10 cos (ojt - ri), (24)
Откуда
H\o cos (wt - (ri - 0]))
¡£>10 cos (wt — (ri — 0])), (25)
ЗдеСЬ ДЛЯ ip\(t) ВеЛИЧИПа ¿1 = 1Щ-
коэффициепт затухания. По (25) находим
ip2(t) = ¡¿>20 COS (ojt - V\)
(26)
XbI —
P‘sc 1 W\ 0 cos (T1 - 01 ) cos 72 + s4o COS 73 COS V\) cos Ojt +
+ [^>10 sin (ti - 0\) cos 72 + ¡¿>20 COS 73 sill V\\sill Ojt, (27)
соответственно, для вращательных составляющих восприимчивости первой сегпетофазы получим
Хв1 = С1 P¡ а//?.? + /?| eos S, X", = С, Р| + /?| Sin 5, (28)
где t.g S = /?-2/ Лі ■ Тогда
3
Хв = 'У ^ Хвг • (29)
1
При подстановке в А\, В\, А2, В2 компонент индуцированной внутренними напряжениями поляризации р, = dikt&kl (суммирование по к, 1 = 1, 2, 3) для первой сегпетофазы необходимо найти для нее ненулевые компоненты тензора пьезомодулей diki, используя их значения для третьей сегпетофазы ВаТЮз (тетрагональной симметрии), приведенные в [12J. Тогда из того, что для Р$ || [001] они равны d:m = — ..^Д^р2 = U1,
¿31 = ¿32 = 4»+Spg = “2, o! 15 = ¿24 = {p2-px)+ly2-yx)Pz = «з, используя симметрийпые преобразования, получим для 1-й сегпетофазы для ненулевых компонент значения ¿35 = d‘¿a = «3, ¿13 = ¿12 = и2, ¿п = иь а Для второй сегпетофазы это будут уже d22 = «ь ¿21 = ¿23 = u2i ¿16 = ¿34 = 'Щ- Находя для второй сегпетофазы аналогично (22) значения Л3, 63, А-i, В,[, а также D‘¿(t) = Р5Є0 eos73 coswí, £>1 (í) = P«,>eocos7i eos wí, а для третьей - /І5, 65, /4 б, В є и £>5(£) = Р5Є0 COS71 coswí, De(í) = Р5Є0 eos 72 coswí, находим різ системы уравнений у>з(і), ^>4(^)1 (#) 1 ‘Рбіі), вводя соответственно обозна-
чения 7"2, тз, 021 ^Зі ?y2i /уз и подставляя их в (29), получаем соотношение, определяющее как дисперсию хв(ш), так и ориентационную зависимость диэлектрической восприимчивости.
Учитываем далее, что при прочих равных условиях в напозернах НКС для каждого из них Хв = Хв{і¿)- Тогда, если произвести усреднение по ориентациям поля є (л), а также, вводя коэффициент заполнения 1 — є с учетом доли объема в, заполненного пустотами є = 6h/d, где d — размеры панозереп, h — средняя толщина межзеренпой границы, то получим Хв икс = (1 — в) (хв(ш)). Как видно из полученного соотношения, если расписать все введенные обозначения величин, входящих в ipi, то и Хвнкс и Хвнкс получаются зависящими от частоты ш по типу, аналогичному резонансным процессам, в отличие от того, что имеет место для обычных сегпетоэлектриков. Это связано в первую очередь с тем, что в НКС из-за малости их панозереп внутренние напряжения, по-видимому, действуют в пределах каждого зерна, в то время как в непаноразмерпых образцах (обычных) макроскопических сегпетоэлектриках они носят преимущественно локальный характер, незначительно увеличивая лишь среднее по кристаллу, по значительно меньше, чем в НКС, его значение (Jij. Как видно из хв(ш; 7»; aij) вращательная жесткость А, в (23) сильно зависит от ориентации. Действительно, А\ ф А2, а в общем случае и В\ ф В2 из-за наличия слагаемых в (23) с В\ и В2, приводящих к рассогласованию ip\(t) и <p2(t) по (25), (26). Кроме того структурные постоянные а, (3\, /32,
71, 72-■ ■, входящие в Ф, как и в нанокристаллических магнетиках [8], где константы магнитокристаллической анизотропии очень сильно убывают ~ ё6 при уменьшении размеров зерен, также, по-видимому, будут при этом уменьшаться, как видно из (22). Необходимо отметить также, что Ш(н ф ьJQj для разных сегпетофаз. Это также приводит к сильному размытию по частоте величины Хвнкс(ш)1 па которую также влияет степень текстурироваппости зерен в НКС.
Таким образом, в НКС со структурой типа перовскита вращательная составляющая диэлектрической восприимчивости Хв имеет нетипичную для массивных сегпетоэлектриков зависимость: вместо релаксационного типа — резонансны и.
Рассмотрим особенности частотной зависимости действительной и мнимой х'1 составляющих диэлектрической восприимчивости Хв(ш) папокристаллических сегпетоэлектриков (НКС) типа порядок-беспорядок па примере сегпетовой соли, связанной с процессами вращений векторов спонтанной Р$ и индуцированной р поляризации при наличии заметных внутренних напряжений в папозерпах.
Макроскопический подход использовался нами [4,16] при описании поведения внутреннего трения, динамического Д К- и АС- эффекта и коэффициента поглощения упругих волн в сегпетовой соли в области линейного отклика. Однако в обычных непаноразмерпых сегпетоэлектриках роль внутренних напряжений, по видимому, менее выражена, в них дефекты кристаллической структуры создают локальные напряжения, среднее значения которых по макрокристаллу, как предполагалось в [16], невелико в сравнении с НКС.
Как и в [16], вначале рассмотрим полидомепную систему (зерно НКС), содержащую 180° (ДГ) (одноосные сегпетоэлектрики). Кристаллы сегпетовой соли имеют в интервале температур от 15 до 22,5°С квазимопоклинпую симметрию с параметрами элементарной ячейки о±6, оХс, с углом между 6 и с близким к 90°. При этом ось А не совпадает с направлением [001] || с па
0,5-1°, а ДГ располагаются в плоскостях (001) — 6 -домены, либо в (010) — с -домены. Используя [12, 17] запишем выражение термодинамического потеп-Ф
исходном состоянии
в
Ф(о-у, Р) = аР‘1 + — Р? - guPl(T23 - ^25^20-31 - £36^3 <721 - ХиР^П -
- X12 Р\ °22 - X13 Р\ СЗЗ - X12 Р\ °22 - Х22 Р‘2 а22 ~ Х23 Р%^ЗЗ - X13 Р\ 0"А‘А —
— Х2Э Р‘2 - ХЗЗ^^ЗЗ - X 11 Р2Р3°"23 - Х55 ^3 Р\ <731 ~ Хбб Р\ ^2<7Г2, (30)
где а и (3 — «константы анизотропии»; g^j — компоненты тензора пьезомодуля; ~ тензор электрострикции; — тензор внутренних напряжений,
В поле которых углы отклонений Р <Р\ И ф2 находим из системы Ф
-2аР5' (Рз + Р\) Ч>\ + (-2) Р«,' (Р«,' + р\) <р 1 + ¿Г 14С23Р59^ 1
%1
- £25031 Р«,' + X11 С11 2 Р5 ( Р5 + Р\) ¡¿>1 + X12 0"22 2 Р5 (Р5 + рО <£>1 + + Х1ЗС332Р5 (Р«,’ + Р1) <£>1 + Х12сг222 Р5 (Р5 + рО <£>1 -- Х22сг222 Р5 ( Р5 9^ 1 + Р2) - Х23СГ332Р5 ( Р,Ь’ ‘у5’ 1 + Р2) +
+ Х13С332Ру {Рз + р\)ч>\ - Х230-332Ру {РяЧ>\ + Р‘2) - Хззсзз • о -- Х--ИС23 {Р1<Р‘2. + Рб’Рз) + Х55СГ31 Рб’Р3^1 -
- Х660-12 (р| - Рб’Р2^1 + РиР\) = К\¥\ + >'\Ч>2 + М\ = О,
Ф
-2 аР5- (Р«,’ + Р1) у>2 + (-2) Рб' (Р5 + Р\) 2 + £14023 Рб’¡£2 -
(31)
%2
— й'250-31 • 0 - £36СГ21 Рз + ХП О" 11 2 Ру ( Ру + Р\) ¥>2 +
+ XI20-222Р«,’ (Рб' + рО ¥>2 + Х130-332Р6’ (Р5 + Р1) <£>2 +
+ X120-222 Р5 (Рз + Р1) ¥>2 - Х22О22 ' 0 - Х230"33 ' 0 +
+ Х130-332Ру {Рз + Р\)Ч>2 - Х23О-33 • 0 - хзз0-зз2Ру (Р8^Р‘1 + Рз) -
- Х--ИО-23 (р!^1 + Р5Р2) - Х550-31 (р| + Рб’Р1 - Рб’РЗ^г) +
+ ХббО‘12Рб’Р29г,2 = К‘1Ч>2 + ^2^1 + Л^2 = 0;
где введены очевидные обозначения величин Кг, /.!(, Мг, зависящих от а, 0, Х»?1 о’гр причем от последних зависят еще и компоненты индуцированной поляризации = «/¿//¡о'у/. (суммирование по _у\ к = 1, 2, 3). Здесь ¿¿у/. — тензор пьезомодулей. Как следует из (31) для исходной сегпетофазы с Р5 || [100] при СГ23 = 0 уравнения для нахождения <р\ и <р2 становятся независимыми. Компоненты тензора а,ц зависят от способа получения НКС, по при любом из них углы <рг в (31), поскольку ориентация папозереп связана с минимизацией наведенной а,ц энергии анизотропии, по видимому, невелики.
Наложение малого зондирующего ПОЛЯ е(с08 7г) совш# приводит к тому, что —¥ + фг- Тогда, используя (31), для нахождения углов отклонения
ф\ и ф‘1 получим систему:
(3'Ф\ + К\Ф\ + ІJ] ф‘1 = Р^оСОв 72 СОвШ* = 0](*);
[3 фг + Кчфг + 1пф\ = Рзео сое73 сояш1 = 02(*);
где Р' — диссипативный коэффициент. Отсюда при = 0 (т.е. при
о"23 = 0) решения для ф\ и 9Р2 (#) получаются независимыми, а из этого, как показано в [14], следует, что и действительная Хв и мнимая Хв составляющие восприимчивости НКС для сегпетовой соли имеют типичную для процессов релаксационного типа зависимость. Однако, видимо, когда это условие не выполняется, тогда характер дисперсии восприимчивости сегпетовой соли
существенно меняется па резонансный. Действительно, из (32) опуская ф^ символы, находим
Ч>\(t) = ¡¿чо cos (wi - (ri - 0i)) ,
ГД6
<P10
11
П 10
д/, yj(wq, - w2)2 + 4 (P, /2 Д/, f w2 '
т r I г o " jT , » г-ч D10K2 г $ Dtou;
#10 = dh( + h%, ctgri = —, Л1 = £>20----------------p----, Л2 =—7----------,
/¿2 Li\ L\
a& = £, Pi =-|^(Д', + K2), q1 = /,2_*I*1,
L/l iVx £/х jL/1
4 л _
Щ &1 at f 2 2\ *
д/, (c4 - Ш2)
Находя далее <p2(t) из (32) через и вводя концентрацию первой
сегпетофазы с.\, получаем
д (Ps costpi) ( dip\ dip2\
Xjil = С------^------- = Psc-I I cos72-^- + cos73— I
(33)
e=0
где COS (fi\ = COS 71 COS ip 1 COS ip2 + COS 72 sill ip\ COS ifi2 + COS 73 sill ip2\ <P\ ~ угол между Ps и полем e. Здесь вклад подсегпетофазы с Р || [100] и Р || [100] в Хв одинаков, поэтому с.\- суммарная концентрация этих сегпетофаз. Выпося далее в (33) Ps за скобку, деля все па е и обозначая оставшиеся в скобке величины при cosait и sinwi соответственно через Z1, Z2, получаем для действительной х'в и мнимой х'в составляющих выражение для первой фазы:
Хв1 = ci Р| \J Z\ + Zj\ cos ?/, x", = с, Pl^Z/f + Zi sin,,, (34)
где tgi/ = /2/#i ■ Тогда Хв = X)? Хвг ■
Таким образом, вращательная составляющая диэлектрической восприимчивости в папокристаллической сегпетовой соли при наличии в ее напозернах для сегпетофаз с исходной ориентацией Ps || [100] остаточных напряжений с тензором (Tij и при <723 Ф 0 будет иметь частотную зависимость, характерную для резонансных процессов, то есть Хв(ш) с ростом частоты вначале почти не уменьшается, а затем резко спадает со сменой знака при ш = шо и последующим занулепием, а Хв(ш) имеет резонансного типа максимум в отличие от зависимости релаксационного типа, обычно наблюдающейся па опыте па пенапоразмерных кристаллах. Наличие резонансного типа дисперсии хв(ш) свидетельствует о том, что остаточные напряжения в НКС достаточно велики И имеют сдвиговую компоненту (723 ДЛЯ фазы С Ps II [100] . Остальные компоненты (7ij, как это следует из полученных соотношений, лишь уменьшают диэлектрическую восприимчивость, в то время как уменьшение размеров напозерен ее увеличивает. При этом отступление в НКС от релаксационного
типа дисперсии хв(ш) тем больше, чем выше остаточные напряжения, возникающие при получении НКС.
Теперь рассмотрим вклад смещений ДГ в диэлектрическую восприимчивость, Д/'./-эффект и внутреннее трение в папокристаллических сегпетоэлек-триках па примере титаната бария.
Нанокристаллические сегнетоэлектрики (НКС), как и магнетики (НКМ), имеют ряд уникальных свойств, которых пет у соответствующих пенапораз-мерных материалов. Многие их важные для практического использования свойства и физические величины могут «управляться» внешними электрическим и магнитным полями. К наиболее важным из них можно отнести диэлектрическую и магнитную восприимчивости, внутреннее трение, АКи ДС-эффекты. Последний па примере трехосных НКМ описан в [9, 10], где представлен вклад в их восприимчивость процессов смещений доменных границ (ДГ).
Остановимся па особенностях описания этих свойств в НКС па примере ВаТЮз, где структурные особенности сходны с НКМ, однако они могут заметно отличаться от аналогичных свойств макроразмерных сегнетоэлек-триков, поведение которых в области линейного отклика рассмотрено в [4J. Для расчета диэлектрической восприимчивости НКС рассмотрим случай, когда панозерпа полидомепные и содержат по три сегпетофазы: первая со спонтанной поляризацией Ps || [100] и [100], вторая — с Ps || [010] и [010], третья — Ps || [001] и [001], а сегпетокристалл имеет тетрагональную кристаллическую симметрию. Тогда, пренебрегая для ВаТЮз слабой степенью тет-рагопалытости, приводящей к возникновению условно 90° ДГ (с отклонением па 36; [18]), рассмотрим ДГ12, разделяющую первую и вторую сегпетофазы, располагающиеся в плоскости (110). Как показано в [4], уравнение для этих ДГ имеет вид
т х + /Зсх + сх - 7 д2х/д£2 = Pseо (cos 72 - cos 71) eiajt = /о eiajt = /, (35)
где т — масса; (Зс — коэффициент вязкости; с = + К'; К' = —
жесткость ДГ, связанная с дефектами; 7 — поверхностная плотность энергии ДГ; N — фактор деполяризации; £ — длина закрепленного сегмента ДГ. Отсюда
4 ^ / . /(2п + 1)7Гу'\ _,:ф /Г, 2 2\2 /
x = (2^ТТ)81,1 (,------<----) ‘ /[("»
Здесь в отличие от [14] взята более точная модель гибкой ДГ, где а?2 = (2п + а>\ = ff; tgpn = 2 ■ Среднее смещение ДГ по сегменту
__ 2 г —
х = — ? а поляризация, наведенная ж, равна
Р=-^|—(cos 72 -COS 71). (36)
v2 <70
Это дает для восприимчивости
Хс\2
8 Р2(cos 72 - cos 7i )2
\/2<707Г2?71
х
/
2)2 + (u«|)2
-I 1/2
- Í(bjt.-ipn
(37)
Суммируя по всем типам ДГ^ с введением соответствующих их концентраций, получим Хс- Заметим, что в (35) предполагается, что внутренними напряжениями в НКС созданы такие статические смещения ДГ12, при которых их энергия при его образовании минимизировалась, а потому исходные ориентации Ps в доменах близки к «легким». В противном случае расчет x(t) нужно проводить так, как это делается [4J в поле комбинированных внешних воздействий: вначале необходимо найти статическое смещение ДГ q внешним напряжением о, а затем, беря зондирующее воздействие малым, определить х ^ q. Специфика НКС при этом заключается в том, что в них исходная длина сегмента (перед зондированием) может быть заметно меньше, чем в непаносистемах, зато жесткость ДГ К' — малой, а в итоге величина с может мало отличаться от обычных сегпетоэлектриков, если в НКС дефекты выходят из панозереп в межкристаллическую фазу. Таким образом, в НКС дисперсия диэлектрической восприимчивости, связанная с процессами смещений ДГ, имеет вид типичный для резонансных процессов. При этом доминирующий вклад в Хс(ш) дают пулевые гармоники (п= 0). Из (10) можно найти действительную и мнимую составляющие Хс- Однако, если, например, для ДГ]2 первая и вторая сегпетофазы имеют для Ps направляющие косинусы cosa] и cosaj соответственно, в /о из (35) величина
cos72 — cos7i —¥ E¿=i cos7¿(cosa? — cosa]), то есть при a"f —>■ a] восприимчивость Хс 0, что может быть при больших остаточных (внутренних) напряжениях в НКС. Изменяется при этом и ориентационная зависимость Xcil¿)i поскольку соотношение (36) тогда уже для Р не выполняется.
Для нахождения динамического Д/'./-эффекта, связанного со смещениями ДГ, необходимо, как нетрудно показать, в правую часть (35) вместо / найти и подставить для Bali С);', и для ДГ12 величину
где для первой и второй сегпетофаз
= — [х 1 ¿г 1 1 + Х‘2(<5“2‘2 + Озз]Р2, Р&2 = —[х\&22 + Х‘2(сг33 + Оц]Р2 •
При этом предполагается, как и прежде, что исходные ориентации Р4 близки к «легким» направлениям в них. Тогда
Ф = PsKxi - Х2Н0-22 - oil)] = Phxi - Х2)(cos2 /?2 - cos2 01)006^ T) ax\
l~x (^(«70 + x) + F,2(q0 -х)) = Ф = Ф0,
где а — коэффициент затухания. Таким образом, при индуцированной поляризации р ^ Р8
1 /2
Е
Ф
SII1
(2п + 1 ) 7Г у' 1
) е l(p" j ш2)' + (wai)z
Ф
мехапострикциоппая деформация
t х Ijq £
(38)
LVX. Отсюда,
а* I
h
(39)
Ф
«90°» ДГ в плоскости (110), закрепленных линейными дефектами и меж-напозеренпыми границами. То есть динамический Д — эффект, как и Хс(ш), связанный, со смещениями ДГ, при больших внутренних напряжениях в НКС с убылыо угла между Ps первой и второй сегпетофаз уменьшается
Ф
может сильно измениться при измельчении напозерен НКС. Подставляя далее в волновое уравнение а(хЛ) = и £MeXi получаем систему
для нахождения коэффициента поглощения а и скорости v упругой волны в папозерпах. Опуская промежуточные соотношения, получаем
2-
г 2 00
£ 0ala2^S^ X «= ------:----^---- 2^
2п v£q
- (2п + 1)2
п=0
Ш,,
2\2
Г +
?П
(40)
где 02 = ; °з = = Е/р; Е — модуль Юнга для х — направления
для ш —>■ оо; р — плотность напозерен. При а ^ имеем
V = '¿)Q
2жй
0 п=0
{Шп ~ а’2) (2п + 1) 2/ (ш2 - а/2) + (woi)
(41)
Тогда вязкая составляющая внутреннего трения, связанная с обратимыми смещениями гибких ДГ, примет вид:
Q
-1
с
2av Loaia2^3Cc;2
CJ
тг^о
Е
(jJ к-
- (2n + l)2
n=0
(42)
где = ui/uin, (i4n = uinfa\. Отсюда при ш'п ^ 1 находим внутреннее трение
Q
-1
с
/jq0203
Е
Uln2UlTn
п ¿0 п=0 (2П + 1 )2 [ 1 + (шги)2]
21 !
(43)
где тп = 1/(шп04п) — время релаксации. В этом интервале частот можно ограничиться рассмотрением пулевой гармоники, так как С,)-1 ~ (2п + I)-6. В то
же время при высоких частотах ш'п ^ 1 внутреннее трение ~ (2п + 1)_2, и поэтому учет гармоник уже необходим. Их резонансные частоты определяются соотношением
Поскольку реально мы имеем распределение ДГ по длинам сегментов £ с нормированной функцией N (£) при /^о = ] £ М(£) ^£, то
репних напряжений не меняет характер частотной зависимости диэлектрической восприимчивости, коэффициента поглощения упругих волн и динамического Д/'./-эффекта, обусловленных процессами смещений ДГ. Внутренние напряжения в них существенно изменяют жесткость ДГ за счет меньших значений в НКС средних длин закрепленных сегментов ДГ в сравнении с обычными сегпетоэлектриками. Существенно иная в НКС и составляющая жесткости ДГ, связанная с концентрацией дефектов в напозернах, чаще всего, выходящих па их поверхность. Видимо, восприимчивость %с, Д/'/-эффект и внутреннее трение С,)“1 с ростом внутренних напряжений будут уменьшаться в НКС, а доминирующий вклад в эти величины будут давать процессы обратимых вращений. При меньших размерах напозерен «константы анизотропии» в них будут уменьшаться, приводя в поле внутренних напряжений к более быстрой убыли смещающей ДГ величины Ф в (38) и / в (35). Важность для практики изучения всех этих напоразмерных эффектов отмечается в [19].
Аналогично тому как это сделано нами в [4], можно найти и составляющую ДС-эффекта, наведенного смещениями ДГ, и коэффициент поглощения сдвиговых упругих волн в напозернах НКС.
По аналогии с тем, что имеет место в папокристаллических магнетиках (НКМ), где и при толщине ДГ, превышающей размер напозерен, существуют по де Виту [8] (модель зерна «без магнитных зарядов») домены, можно полагать, что подобная картина будет иметь место и для НКС, однако, сведений об этом пет пи в [8], пи в обзоре [19]. Модельное описание , Хс, <х и Д /'/-эффекта в НКМ представлено в [10]
Заключение. Проведенный обзор теоретических исследований, касающийся упругих и пеупругих явлений в НКС, показал как возможности использования модельного описания па основе макроскопического подхода, так и выявил существенные особенности их протекания в напоразмерных структурах в сравнении с соответствующими макроразмерпыми.
Из-за остаточных внутренних напряжений в напозернах с сегпетострук-турой ВаТЮз в папокристаллах сегпетоэлектриков (НКС) возникает анизотропия «вращательной» жесткости для векторов поляризации, приводящая в
(44)
(45)
где — сумма из (42). Таким образом, в НКС наличие значительных впут-
зависимости от ее степени к релаксационному или резонансному типу дисперсии внутреннего трения, коэффициента поглощения, АН- и ДС-эффектов.
Особенности статического АН- и AG- эффектов в папокристаллических сегпетоэлектриках (НКС) типа перовскитов, связанные с процессами обратимых вращений векторов спонтанной поляризации и спецификой НКС, объясняются наличием в них значительно больших средних по панозерпам внутренних напряжений, а также зависимостью «констант анизотропии» от размеров зерен. Из полученных соотношений следует, что эти эффекты в НКС могут быть значительно большими, чем в обычных сегпетоэлектриках.
Вращательная составляющая диэлектрической восприимчивости перов-скитовых папокристаллических сегпетоэлектриков типа ipa(t) (из-за наличия в их напозернах внутренних напряжений и зависимости «констант анизотропии», входящих в разложение термодинамического потенциала по ориентациям спонтанной поляризации, от размеров зерен) имеет дисперсию не релаксационного (что типично для макросегнетоэлектриков), а резонансного типа. Частоты, соответствующие максимуму в зависимости хв(ш), для трех сегпетофаз в общем случае различаются.
На примере папокристаллической сегпетовой соли показано, что дисперсия диэлектрической восприимчивости, связанной с процессами обратимых вращений из-за наличия заметных внутренних напряжений, возникающих в НКС при его изготовлении, зависимости «констант анизотропии» от размеров напозерен и их кристаллографической симметрии, предопределяющей структуру термодинамического потенциала, имеет вид, присущий резонансным явлениям.
Схожесть влияния размеров напозерен НКС па «константы анизотропии» и в папокристаллических магнетиках обусловлена для одних и для других диполь-диполытой природой этих констант в кристаллических системах
Список литературы
1. Пятаков А.П. На.нокомпозиты для магнитной электроники // Магнитное общество. Бюллетень 2007. Т. 8, № 1.
2. Родионов A.A. Релаксационные эффекты в ферромагнетиках в сложных полях: дисс... д-pa. физ-ма.т. наук. Курск: КГТУ. 1994.
3. Родионов А.А, Игнатенко Н.М. Упругие и неупругие явления в магнетиках в области линейного отклика. Курск: КурскГТУ, 2006.
4. Родионов А.А, Игнатенко Н.М. Упругие и неупругие явления в сегнетоэлектри-ка.х в области линейного отклика. Курск: КурскГТУ, 2006.
5. Родионов А.А, Игнатенко Н.М. Генерация акустических волн и аномалии упругих модулей в сегнетоэлектрика.х и сегнетома.гнетика.х. Курск: КурскГТУ, 2006.
6. Родионов A.A., Калинина A.A. О смешанной восприимчивости сегнетома.гнети-ков /7 Известия вузов. Физика. 2006. №8. С. 51-55.
7. Родионов A.A., Игнатенко Н.М., Шпилева A.B. Об аномалиях упругих модулей в сегнетома.гнитных кристаллах, связанных со статическим магнитоэлектрическим эффектом // Известия РАН. Серия Физика. 2006. Т.70, JVS 8. С. 1105-1108.
8. Золотухин И.В., Калинин Ю.Е., Стогней О.В. Новые направления физического материаловедения. Воронеж: Изд-во Воронежск. гос. ун-та, 2000.
9. Родионова A.A., Петрова Л.П., Родионов A.A. О статическом Д/7-аффекте в на-нокристаллических магнетиках // Известия ТулГУ. Серия Физика. 2006. Вып. 6.
10. Петрова Л.П., Родионова A.A., Родионов A.A. Вклад процессов смещений во внутреннее трение и Д/7-аффект в на.нокристаллических магнетиках /'/' Известия ТулГУ. Серия Физика. 2006. Вып. 6.
11. Родионова A.A., Петрова Л.П., Родионов A.A., Родионова A.A. Вклад процессов вращений во внутреннее трение и Д/7-аффект в на.нокристаллических магнетиках /'/' Вестник Воронежского гос. техн. ун-та. 2006. Т. 2, № 11.
12. Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А. и др. Сегнетоалектрики и а.нтисегне-тоалектрики. Л.: Наука, 1971.
13. Игнатенко П.М., Калинин О.В., Родионов A.A. Расчет диэлектрической проницаемости титаната бария, связанной с процессами обратимых смещений и вращений // Материалы II Международного семинара. Ч. 1: Моделирование физических процессов в конденсированных средах и системах многих частиц. Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2005.
14. Родионова A.A., Ватутин В.И., Игнатенко П.М. Результаты макроскопического подхода при расчете частотной зависимости диэлектрической проницаемости титаната бария // Материалы конференции ВНКСФ-12. Новосибирск, 2006.
15. Поплавка Ю.М. Диэлектрическая дисперсия в сегнетоалектрика.х: релаксационные явления в твердых телах. М.: Металлургия, 1968.
16. Родионов A.A., Желанов А.Л., Игнатенко П.М. Анизотропия и дисперсия поглощения упругих волн в сегнетоалектрика.х с ква.зимоноклинной симметрией /'/' Ред. колл. журн. Известия ВУЗов. Физика.. 2004. JYH0. С. 112 Деп. в ВИНИТИ JN'fil 023-В2004 от 17.06.2004.
17. Струков Б. А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоалектрических явлений в кристаллах. М.: Наука., Физма.тлит, 1995.
18. Иона Ф., Ширине Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965. Пул Ч., Оуэнс Ф. Мир материалов и технологий. Нанотехнологии. М.: Техносфера., 2005.
Поступило 21.12.2008
Родионов Александр Андреевич (raa41@inbox.ru), д.ф.-м.п., профессор, кафедра теоретической и экспериментальной физики, Курский государственный технический университет.
Родионова Анастасия Александровна, аспирант, кафедра теоретической и экспериментальной физики, Курский государственный технический университет.
Игнатенко Николай Михайлович, к.ф.-м.п., доцент, кафедра теоретической и экспериментальной физики, Курский государственный технический университет.
Elastic moduli and inelastic property anormalies in the nanocrystalline ferroelectrics
N.M. Ignatenko, A.A. Rodionov, A.A. Rodionova
Abstract. In this paper the modern microscopic methods of theoretical analysis of elastic and inelastic effects in nanocrystalline ferroelectrics is reviewed. Some internal friction, AH- and AG effects in external field, including the frequency and orientation dependencies and the initial susceptibility dispersion, are revealed.
Keywords: inelastic effect, nanocrystal, ferroelectric.
Rodionov Alexander (raa41@inbox.ru), professor, department of theoretical and experimental physics, Kursk State Technical University.
Rodionova Anastasy, post graduate student, department of theoretical and experimental physics, Kursk State Technical University.
Ignatenko Nickola, docent, department of theoretical and experimental physics, Kursk State Technical University.
