CC BY
154
УДК 621.313.33
doi: 10.20998/2074-272X.2020.3.02
В.С. Маляр, О.е. Гамола, В.С. Мадай
МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМ1ЧНИХ РЕЖИМ1В АСИНХРОННОГО ЕЛЕКТРОПРИВОДУ ПРИ ПЕР1ОДИЧНОМУ НАВАНТАЖЕНН1
Розроблено математичж модл i алгоритмы, з використанням яких складен програми розрахунку передних проце-cie i усталених режимiв асинхронних електроприводiв, як працюють в режимi перюдичноТ змти навантаження. В ix основу покладено математичну модель асинхронного двигуна, розроблену на основi теорй кт i зображувальних векторы електричних координат, в якш враховуеться насичення магнiтопроводу i вит1снення струму в стержнях коротко-замкненого ротора. Внастдок змнного навантаження на валу двигуна електромагнiтнi процеси як в переходник, так i усталених режимах в будь-якш систем координат описуються системою немншних диференщальних рiвнянь. В робот1 використано систему ортогональних координатних осей x, y, яка обертаеться з довтьною швидшстю. Для обчислення електромагнiтниx параметрiв двигуна використовуються характеристики намагнiчування основним магнiтним потоком, а також потоками розсЮвання статора i ротора. Для урахування вит1снення струму в стержнях ротора короткозамкнена обмотка подаеться у виглядi багатошаровоТ структури, утвореноТрозбиттям стерж-шв по висот1 на ктька елементы. Усталений перюдичний режим розраховуеться методом розв'язування крайовоТ задачi, розробленим на основi апроксимацй координат кубiчними сплайнами, що дае змогу отримати Тх перюдичн залежност1 в позачасовш област1 i розраховувати статичж характеристики як залежност1 nit) параметрiв циклу перюдично-змтного навантаження або нших координат. Бiбл. 9, рис. 4.
Ключовi слова: асинхронний двигун, першдичне навантаження, математична модель, усталений динамiчний режим, перехвдний процес, крайова задача, резонанс, статичш характеристики, насичення магштопроводу, витк-нення струму.
Разработаны математические модели и алгоритмы, с использованием которых составлены программы расчета переходных процессов и установившихся режимов асинхронных электроприводов, которые работают в режиме периодического изменения нагрузки. В их основу положено математическую модель асинхронного двигателя, разработанную на основе теории цепей и изображающих векторов электрических координат, в которой учитывается насыщение магнитопровода и вытеснение тока в стержнях ротора. Вследствие переменной нагрузки на валу двигателя электромагнитные процессы как в переходных, так установившихся режимах в любой системе координат описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений. В работе используется система ортогональных осей x, y, которая вращается с произвольной скоростью. Для вычисления электромагнитных параметров двигателя используются характеристики намагничивания основным магнитным потоком, а также потоками рассеивания статора и ротора. Для учета вытеснения тока в стержнях ротора короткозамкнутая обмотка представляется в виде многослойной структуры, образованной разделением стержней по высоте на несколько элементов. Установившийся периодический режим рассчитывается методом решения краевой задачи, разработанным на основе аппроксимации координат кубическими сплайнами, что дает возможность получить периодические зависимости во вневременной области и рассчитать статические характеристики как зависимости от параметров цикла периодически изменяющейся нагрузки или других координат. Библ. 9, рис. 4.
Ключевые слова: асинхронный двигатель, периодическая нагрузка, математическая модель, установившийся динамический режим, переходный процесс, статические характеристики, резонанс, насыщение магнитопровода, вытеснение тока.
Вступ. В сучасних умовах розвитку науки i тех-шки проблема розроблення асинхронних електро-приводiв потребуе нових mдходiв до !х практично! реатзаци, яш можна зре^зувати лише на основi розроблення адекватних математичних моделей систем електроприводiв, яш адаптоваш до умов !х екс-плуатацп. 1х використання дае змогу не тшьки правильно вибрати необхщний асинхронний двигун (АД), але й розробити систему керування, за яко! двигун, працюючи в даних умовах, забезпечував би максимально можливу ефектившсть системи елект-роприводу в цшому.
Сучасш заводсьш методики дають змогу спроек-тувати АД, який з високою вiрогiднiстю буде ввдповь дати техшчним умовам роботи в усталеному номша-льному режимi з незмшним навантаженням. Так роз-рахунки зазвичай виконують з використанням класи-чних заступних схем [1, 2], однак для розрахунку ди-намчних режимiв класичнi заступнi схеми не придат-
т, а pi3Hi ix адаптацй' потребують nepeBipKH для кожного конкретного випадку.
В практищ експлуатацп АД використовують не ■ильки для приводу меxанiзмiв, як працюють з незмшним мехашчним моментом навантаження, але й для приводiв з перюдичним повторно-короткочасним навантаженням [3, 4]. Тривал1сть циклу перiодичного повторно-змшного навантаження T складаеться з двох частин: тривалосп дй' iмпульсу навантаження i паузи Зокрема, для повторно-короткочасного режиму роботи (S3) тривалють дп iмпульсу навантаження, вира-жають у вiдсоткаx до тривалостi повного циклу. Ста-ндартними вважаються тривалосп вмикання ТВ = 15; 25; 40; 60 %, (наприклад, S3 -25 %; S3 - 40 %), при-чому тривал1сть циклу встановлюеться рiвною 10 хвилин [5]. Промисловють випускае АД для роботи в рiзниx, визначених стандартом режимах типу S3. Ви-бiр потужносп електродвигуна для повторно© В.С. Маляр, О.е. Гамола, В.С. Мадай
короткочасного режиму роботи 53 може бути викона-ний для екивалентно! потужюсп чи моменту для за-даного графiка навантаження. Знаючи потужнiсть АД за каталогом для двигушв, призначених для роботи в конкретному режимi 53, можна вибрати двигун, який необхвдно перевiрити на вiдповiднiсть пускового моменту, перевантажувально! здатностi та на^вання [4].
В повторно-короткочасному режимi можуть пра-цювати як стандартш двигуни, що призначенi для тривалого режиму, так i двигуни, спещально призна-ченi для повторно-короткочасного режиму. Зрештою, часто значения тривалостi вмикання АД не ввдповь дають стандартним. Виникае потреба у всебiчному дослвдженш роботи двигуна в умовах заданого робо-чим механiзмом перiодичного моменту навантаження, що можна здшснити за допомогою математичного моделювання.
Метою роботи е розроблення математичних моделей для аиалiзу динамiчних режимiв асинхронних двигушв, яш працюють в умовах перюдично-змшного навантаження.
Математична модель для розрахунку мерехвд-них мроцесчв. Для аиалiзу роботи електроприводiв, якi працюють в динашчних режимах математичнi моделi АД, побудоваш на основi заступних схем або лшшних диференцiальних рiвиянь (ДР) можуть вико-ристовуватись лише для наближених розрахунк1в. Оск1льки електромагнiтний момент. визначаеться по-токозчепленнями i струмами контурiв двигуна, то неточнiсть !х визначення призводить до неточностi розрахунку мехашчно! характеристики [1, 2]. Зокрема, на значення iндуктивних опорiв обмоток суттево впливае насичення магнiтопроводу, змша активних опорiв обмотки ротора внаслщок витiснения струму. Врахування !х в динамiчних режимах за допомогою ввдповвдних коефiцiентiв [2] не гарантуе достовiрностi результатiв розрахунку, особливо для глибокопазних двигушв.
Об'ектом дослвдження е АД з короткозамкненою обмоткою ротора, який живиться ввд трифазно! мережа з симетричною системою напруг. Для аналiзу елек-тромагнiтних процесiв в АД використовуеться математична модель, створена з використанням ортогона-льних координатних осей, яка дае змогу здшснити розгляд процеав шляхом комп'ютерного моделюван-ня з урахування як насичення, так i витiснения струму в стержнях короткозамкнено! обмотки ротора з мшь мальним обсягом обчислень. Для врахування наси-чення використовуються характеристики намагшчу-вання основним магнiтним потоком i потоками роза-ювання, а для врахування витiснения струму стержш роздiляються по висотi на п шарiв (2 < п < 5), внасль док чого на роторi отримуемо п обмоток, яш охопленi рiзними магнiтними потоками розсшвання. В основу алгоритмiв розрахунку покладено математичну модель АД в осях х, у, розроблену на основi теорп зо-бражувальних векторiв [7], що дае змогу розглядати процеси в АД на основi теори к1л.
Динамiка руху ротора АД, що працюе в режимi перiодично-змiнного наваитажения, описуеться сис-
темою ДР електромехашчно1 рiвноваги, яка в CTCTeMi ортогональних осей x, уз урахуванням роздiлення кожного стержня по висоп на n елементарних, а та-кож за умови спрямування зображувального вектора напруги живлення уздовж ос x, що зазвичай практи-куеться, матиме вигляд
d/sx = , dt
d/sy dt
Rsisx ^ U m
~a))/sy = -a0(sx - Rsisy ;
= (®0 -®Viy - R11x :
dt d^iy dt
d/n. dt
dW,
ny
dt
= -(o -®)//ix - Rihy :
■ = (Щ) -a)/ny - Rninx ; = -(0 -a}//nx - Rniny ;
(l)
d- = ПТf 3Po(/sxisy - (syisx)~Mc (()|
J \ 2
де iндексами sx, sy позначено належнiсть потокозчеп-лень ( /), струмiв (i) та активних опорiв (r) до вщповь дних контурiв статора; а 1x,...,nx, 1y,...,ny - ротора; Um, rn0 - амплиудне значення та кутова частота фазно1 напруги живлення обмотки статора; m - кутова швид-к1сть обертання ротора; J - момент шерци рухомих частин електроприводу, приведений до валу АД; p0 -шльшсть пар полюсiв.
Для моделювання повинна бути ввдома наванта-жувальна дiаграма механiзму. Зважаючи на те, що часова залежшсть моменту навантаження е перюдич-ною, необхiдно представити ïï у виглядi закону змiни, який вщповвдае повному циклу у виглядi Mc(t) = Mc(t + T), де T - перiод.
Алгоритм розрахунку характеристик. Якщо АД працюе в одному iз стандартних режимiв (повний цикл 10 хв.), то за такий час перехiдний процес практично зак1нчуеться, i для повного анатзу роботи двигуна достатньо розрахувати перехвдний процес впро-довж перiоду. Це можна здшснити, штегруючи систему ДР (1) числовим методом [6].
До системи ДР (1) входять 2 + 2n рiвнянь елект-ричноï рiвноваги i одне рiвняння динамiки ротора. Отже пвд час розрахунку перехщного процесу необ-хвдно на кожному кроковi (пiдкроковi) обертати мат-рицю того ж порядку. З метою скорочення обсягу об-числень виконаемо редукцш системи ДР (1), виходя-чи з наступних мiркувань.
Потокозчеплення кожного контуру АД зпдно з
прийнятими допущеннями складаеться з суми (j = /Щ /
робочого потокозчеплення / яке нелшшно залежить вщ струмiв усiх контурiв, i потокозчеплення розсшвання /■, яке мае лшшну залежнiсть вiдповiдно пль-ки вiд струмiв статора або пльки ротора. Крiм того,
потокозчеплення, зумовлеш основним робочим потоком, i потокозчеплення шлiцевого розсiювання для вах кошурiв ротора, розташованих по оа х, рiвнi мiж собою. Те ж саме стосуеться i аналогiчних контурiв, розташованих по оа у. Сказане дае змогу роздшити рiвняння електрично! рiвноваги системи ДР (1) на двi частини, видшивши в нiй лiнiйну частину. Для цього необхщно замiнити 5-е рiвняння рiзницею 5-го i 3-го, 6-е рiвняння - рiзницею 6-го i 4-го i т.д. Перша з них мае четвертий порядок
■ а0/яу ■
Ж
йуу
^я^ях + ит
4/1х &
&
_ -а0уях -;
_(®о -а)1у- я1'1х; _-(а0 -аУ//1х - К1'1у
i е нелiнiйною, а друга 2(п-1) порядку - лшшна
ё(/1х-/ /2х^ _ (0 - ю)(1у - /У Г1'1х + Г2'2х ;
4 //1у-/2 у) ( )( ) ---= -(о -а)(1х -/2х )- г111у + г2г2у :
4(у1х -упх) _ (а У ) ■ + „ . -—-- (®о - а )/1у - /пу )- г111х + гп1пх ;
4 //1у-/пу) ( ) ) ---_ -(®о -а))/1х -/пх)-г111 у + гп'пу .
л
Запишемо цi двi системи у виглядi
Ац 42 А21 А22
/л
41ц / &
В1 В2
(2)
Визначаемо похщну з рiвняння (2)
41!
(ап
- А12 А22А21
) (в,
- А12 А221в2 ),
Жц _ А-1 _А22
(
в - А
41
\
21
ж
\ Чях + 1гх
■ _ Г2 + ■ 2
)+(1у + 1гу )2
2 + /2
-Г 1уу
Струми контурiв ротора визначаються як сума струмiв п елеменпв стержня.
_ъ
Г]х
1гу '
'гу
г)у
)_1 )_1 Математична модель для розрахунку устале-ного динамiчного режиму. З метою скорочення ви-кладення алгоритму розрахунку усталеного динамiч-ного режиму запишемо систему ДР (1) у виглядi векторного рiвняння вигляду
-1
4у
де
Ж
^ 0 0 1
I * у х,и, ?). (3)
.„ Т 4/ - матриця, в як!й ьху _ —=— повна
41
матриця диференцiальних iндуктивностей АД в коор-динатних осях х, у [7];
у _
/ях ^т' " 0 "
Уяу 0 0
/1х 0 0 Их
/1у ; и _ 0 ; 1 _ 0 ; х _ Чу
Упх 0 0 1пх
Упу 0 0 1пу
а 0 Мс (()_ а
в якому вщ насичення залежать лише елементи мат-риць Ац та А12. Це дае змогу один раз обчислити елементи матриць А-2 i А21 i використовувати !х для визначення на кожному кроковi iнтегрування похвдно!
Отже, достатньо один раз обернути матрицю 2(п-1) порядку, а на кожному кроковi iнтегрування обертати матрицю 4-го порядку. Виведеш формули дають змогу чисельним методом звести до форми Кошi систему (2) ДР електрично! рiвноваги контурiв АД.
Потокозчеплення контурiв визначаються на ос-новi використання кривих намагшчування основним магнiтним потоком у та потоками розсшвання обмоток у статора та /аг ротора
Vц_Vцk^l), У а _/ая ) , /аг _/аг (г ),
де
В усталеному режимi системи електроприводу при перiодичнiй змiнi моменту навантаження М(0 = Ы($ + Т) потокозчеплення, струми, швидшсть обертання ротора, електромагнггний момент тощо змiнюються за перюдичними законами. Задача розрахунку перюдичного режиму полягае у визначенш цих залежностей. Розв'язком системи рiвнянь (3) е перi-одичнi залежносп компонент вектора х(() _ х( + Т). Розрахунок !х методом усталення неефективний з ба-гатьох мiркувань. Зокрема, нерацюнально витрачаеть-ся машинний час, а якщо процес установлюеться над-то повiльно, то коливання в момент часу t мало вщрь зняються в1д таких для моменту часу t + Т, тому ви-никае проблема визначення моменту закшчення пере-х1дного процесу. I, нарешп, метод усталення практично непридатний для оптимiзацiйних розрахунк1в.
Найбшьш ефективним пiдходом до розрахунку усталеного перюдичного режиму е розгляд задачi як крайово! [7], що дае змогу отримати перiодичнi зале-жносп координат в позачасовiй областi, тобто не вдаючись до розрахунку перехщного процесу. Для цього систему континуальних ДР (1) необх1дно звести до дискретних, яш е точковим ввдображенням залежностей координат на перiодi повторюваностi процесу. В лiтературi вщомо багато методiв алгебризацi!, якi мають як позитивнi, так i негативш сторони: рiзнице-вi, колокацi!, у тому чи^ й тригонометрично!, дифе-
гх
X
ренщальних перетворень тощо. Розроблений в [8] метод, заснований на сплайн-апроксимацiях координат, дае змогу формалiзувати процес алгебризаци i, крiм того, е чисельно стiйким. Вiн дае змогу отримати неперервнi залежиостi координат на перiодi на основi отриманих в результата розрахунку !х дискретних значень у вузлах сггки на перюд^ Зауважимо, що ат-ку вузлiв можна брати рiвномiрною. В отриманш шляхом апроксимаци змiнних системi алгебричних рiвнянь неввдомими е значення координат в m вузлах перiоду. В результата з урахуванням перiодичних кра-йових умов Y (() = Y ( + T), X (t) = X (( + T) отримаемо систему т* (2п+3) нелiнiйних алгебричних рiвнянь, яку можна подати у виглядi векторного рiвияния
У
(х)
= н (у, X),
(4)
в якому Н - квадратна матриця розмiру т(3+2п) переходу ввд неперервно! змши координат до !х вузлових значень, елементи яко! визначаються лише кроком сiтки [8];
У = (yl,-,ym), 2 ^гь-. Хт ), Х = хт ) -
вектори, складенi зi значень векторiв у, х, х в т вузлах перiоду.
Визначивши з рiвияння (4) вектор X, можна по-будувати перюдичш залежиостi всiх координат, у тому чи^ й електромагнiтного моменту, потужносп тощо.
Безпосередне застосування iтерацiйного методу до розв'язування системи (4) практично неможливе з причини розб1жноста iтерацiйного процесу. Надшним методом розв'язування задачi е метод продовження по параметру [9]. Однак в системi нелiнiйних алгебричних рiвнянь е двi збурюючi ди: прикладена напру-га - вектор и = ((,...,ит) i вектор вузлових значень моменту навантаження - Р = (/1,., /т). Нарощувати
!х одночасно неможливо, тому задача розв'язуеться у два етапи, суть яких полягае в почерговому !х наро-щуваинi пропорцшно деякому параметру. Спочатку нарощуемо прикладену напругу, а потiм, приймаючи 11 незмiнною, нарощуемо вузловi значення прикладе-ного моменту. Це дае змогу визначити часовi залеж-ностi координат в усталеному перiодичному режимi роботи АД при заданому законi змши прикладеного моменту.
Алгоритм розрахунку усталеного режиму е основою для розрахунку статичних характеристик, яш можна отримати як послвдовшсть усталених режимiв, розрахованих при сукупностi значень координати, яку прийнято за незалежну змiнну, якою може бути будь-яка величина: момент шерци, щшиннють iмпульсiв моменту навантаження; сшввщношення м1ж тривалю-тю iмпульсу i паузою, частота iмпульсiв, максимальне i мiнiмальне значення моменту, тривалють перiоду тощо. Крiм того, при циктчному наваитаженнi мож-ливий мехашчний резонанс, який можна виявити ма-тематичним моделюванням.
Задача розрахунку статичних характеристик може бути розв'язана диференщальним методом, суть якого полягае в диференцшванш алгебричного рiвияния (4) по незалежшй змiннiй, наприклад е, як параметру. В результата диференцшвання отримуемо нелiнiйну систему ДР вигляду
= д*. (5)
йе де
Статичну багатовимiрну характеристику як зале-жиостi перiодичних кривих ввд незалежно! змшно! е отримаемо в результата штегрування системи (5) по параметру е. Початковi умови необхвдно прийняти тi, що отримаиi в результата виконання першого етапу розрахунку при задашй напрузi живлення. На кожному кроковi iнтегруваиня результат можна уточнити методом Ньютона. Щд час iитегруваиия, а також ггерацш-ного уточнення необхвдно визначати диференцiальнi шдуктивноста контурiв як нелiнiйнi функци струмiв.
Результата дослiджень. Нижче наведено при-клади результатав розрахунку, виконаних з викорис-таииям викладених вище алгоритмш. на прикладi АД з короткозамкненим ротором 4ЛР16084У3 (Р = 15 кВт, и = 220 В, I = 29,9 А, р0 = 2).
На рис. 1 наведено часовi залежноста вшносних значень електромагштного моменту (рис. 1,а) i дшчо-го значення струму (рис. 1,Ъ) в перехiдному процесi шд час пуску АД, з циктчним наваитажениям, в якому момент навантаження змiнюеться з перiодом Т = 0,16 с в межах вш холостого ходу до номшально-го значення, момент шерци J = 0,5 кг-м 2, а щшиннють становить 60 %, а на рис. 2 - та саш залежиостi, але при меншому моментовi шерци J = 0,1 кг-м 2
0.8
Ъ
Рис. 1
а
0.4
а
0.4
Ь
Рис. 2
На рис. 3, 4 наведено приклад розрахованих ви-кладеним у статп методом розв'язування крайово! задачi перiодичних кривих струму, електромагнiтного
моменту та моменту навантаження, якi вiдповiдають зображеним на рис. 2 аналопчним залежностям в усталеному режима
2.5
1.1
0.4
-0.3
- 1
л ^ л
/ \ / \
/ 1\ м< / |\
/ \ \ / 1 \
\
V / V
1.2
0.3
0.4
л л
1 \ I / \
I \
! \ 11 К \
/ 1 Л
0
Т/2
ЗТ/2
2 Т
О
Т/2
3772
2 Т
а Ь
Рис. 3. Перюдичт залежност (показано два перiоди) вщносних значень моменту навантаження (М*), електромагштного (Ме ) i струму (I), розрахованi при значеннi моменту шерцц J = 0,1 кг-м 2 методом розв'язування крайово! задачi
2. Алгоритм розрахунку усталених перюдичних режимiв при циклiчному навантаженнi дае змогу отримати перiодичнi залежностi координат в позача-совiй областi, чим забезпечуеться висока швидкодiя.
3. Розроблеш математичнi моделi можуть бути ви-користанi для проектування i аналiзу роботи електро-приводiв з перюдичним навантаженням.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Вольдек А.И., Попов В.В. Электрические машины. Машины переменного тока: учебник для вузов. - СПб.: Питер, 2010. - 350 с.
2. Сафарян В.С., Геворгян С.Г. Определение параметров схемы замещения асинхронной машины. Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ, 2015, № 6, С. 20-34.
3. Рогаль В.В., Капштик В.С. Компенсация реактивно! по-тужност в повторно-короткочасних режимах роботи. Елек-тротка i зв 'язок. Тематичний випуск «Електротка i нано-технологи», 2011, № 3, С. 101-108.
4. Петрушин В.С, Плоткин Ю.Р, Еноктаев Р.Н., Бендахман Бухалфа. Разработка энергоэффективного электропривода для перемежающегося режима работы. Вкник НТУ «ХП1». Серiя «Проблеми автоматизованого електроприводу. Тео-рiя i практика», 2019, № 16 (1341), С. 70-79. ао1: 10.20998/2079-8024.2019.16.13.
1.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28
Рис. 4. Залежтсть електромагштного моменту двигуна: ввд вщносного значення тривалост перюду змши навантаження (в точщ Г,/Ге = 0,16 мае мюце мехашчний резонанс)
Висновки.
1. Розроблеш методи розрахунку i вщповвдш алго-ритми дають змогу за допомогою математичного мо-делювання здiйснювати аналiз роботи асинхронних двигушв з короткозамкненим ротором з урахуванням насичення та витiснення струмiв у стержнях ротора при рiзних законах змши перюдичного навантаження.
5. Петухов С.В., Кришьянис М.В. Электропривод промышленных установок: учебн. пособие. - Архангельск: С(А)ФУ, 2015. - 303 с.
6. Хрисанов В.И. Анализ переходных процессов при различных способах пуска асинхронных двигателей. Техтчна електродинамжа. Тематичний випуск «Електропривод», 2000, С. 24-27.
7. Фильц Р.В. Математические основы теории электромеханических преобразователей. - К.: Наукова думка, 1979. -208 с.
8. Маляр В.С., Маляр А.В. Математическое моделирование периодических режимов работы электротехнических устройств // Электронное моделирование. - 2005. - Т. 27. -№3. - С. 39-53.
9. Жулин С.С. Метод продолжения решения по параметру и его приложение к задачам оптимального управления. Вычислительные методы и программирование, 2007, Т. 8, № 2, С. 205-217.
REFERENCES
1. Voldek A.I., Popov V.V. Elektricheskiye mashiny. Mashiny peremennogo toka [Electric machines. AC machines]. Saint Petersburg, Piter Publ., 2010. 350 p. (Rus).
2. Safaryan V.S., Gevorgyan S.G. Ascertainment of the equivalent circuit parameters of the asynchronous machine. Energetika. Proceedings of CIS higher education institutions and power engineering associations, 2015, no. 6, pp. 20-34. (Rus).
3. Rogal V.V., Kapshtik V.S. Reactive power compensation in intermittent duties. Electronics and Communication. Thematic issue «Electronics and Nanotechnology», 2011, no. 3, pp. 101108. (Ukr).
4. Petrushin V.S., Plotkin J.R., Yenoktaiev R.N., Bendahmane Boukhalfa. Development of energy-efficient asynchronous electric drive for intermittent operation. Bulletin of the National Technical University «KhPI». Series: Problems of automated electrodrive. Theory and practice, 2019, no. 16 (1341), pp. 7079. doi: 10.20998/2079-8024.2019.16.13.
5. Petuhov S.V., Krishyanis M.V. Elektroprivod promyishlen-nyih ustanovok [Electric driver industrial-scale plants]. Arkhangelsk, S(A)FU Publ., 2015. 303 p. (Rus).
6. Hrisanov V.I. Transient process analysis at various methods of starting asynchronous machines. Technical electrodynamics. Thematic issue «Electric drive», 2000, pp. 24-27. (Rus).
7. Fil'ts R.V. Matematicheskie osnovy teorii elektromekhanicheskikh preobrazovatelei [Mathematical foundations of the theory of electromechanical transducers]. Kyiv, Naukova dumka Publ., 1979. 208 p. (Rus).
8. Malyar V.S., Malyar A.V. Mathematical modeling of periodic modes of operation of electrical devices. Electronic Modeling, 2005, vol.27, no.3, pp. 39-53. (Rus).
9. Zhulin S.S. The method of continuation by parameter and its application to the tasks of optimal control. Numerical methods and programming, 2007, vol. 8, no. 2, pp. 205-217. (Rus).
Надтшла (received) 11.02.2020
Маляр Василь Сафронович1, д.т.н., проф., Гамола Орест Свгенович1, к.т.н., доц., Мадай Володимир Степанович1, к.т.н., доц. 1 Нащональний ушверситет «Львiвська полгтехшка», 79013, Львш, вул. С. Бандери, 12, тел/phone +380 32 2582119; e-mail: vasyl.s.maliar@lpnu.ua, orest.y.hamola@lpnu.ua, volodymyr.s.madai@lpnu.ua
V.S. Malyar1, O.Ye. Hamola1, V.S. Maday1
1 Lviv Polytechnic National University,
12, S. Bandera Str., Lviv, 79013, Ukraine.
Modelling of dynamic modes of an induction electric drive at
periodic load.
Goal. Development of methods and mathematical models, based on them, for the calculation of transients and steady-state modes of induction electric drives operating in periodic load mode. Methodology. The developed algorithms are based on a mathematical model of an induction motor, which takes into account the saturation of the magnetic core and the displacement of current in the rotor bars. The processes are described by a system of nonlinear differential equations in the orthogonal axes x, y, which enables the results to be obtained with the smallest amount of calculations. The magnetization characteristics by the main magnetic flux and the leakage fluxes are used to calculate the electromagnetic parameters of the motor. To account for the current displacement in the rotor bars, the short-circuited winding is considered as a multilayer structure formed by dividing the bars in height by several elements. Results. Due to the variable load on the motor shaft, electromagnetic processes in both transient and steady state modes of the electric drive in any coordinate system are described by a system of nonlinear differential equations. The result of the calculation of the transients is obtained as a result of their integration time dependencies of coordinates (currents, electromagnetic torque, etc.) at a given law of change of the moment of loading. The proposed method of calculating steady-state mode is based on algebraization of differential equations on the mesh of nodes of the process cyclic-ity period and allows to obtain periodic dependencies in the time domain. Originality. The problem of calculating a steady-state periodic mode is solved as a boundary problem for a system of first-order differential equations with periodic boundary conditions, which allows to obtain instantaneous dependences during the period of currents, electromagnetic torque, capacities and other coordinates. Practical significance. Using the developed algorithm, it is possible to calculate the static characteristics of periodic processes as dependencies on different parameters of the cycle of periodic load or other coordinates, which is the basis for the choice of the motor for overload, power, heating, etc., as well as to detect the possibility of resonance. References 9, figures 4.
Key words: induction motor, periodic load, mathematical model, steady-state dynamic mode, transient, static characteristics, saturation of the magnetic core, displacement of current.
