CC BY
31
Електричнi машини та апарати
УДК 621.313.33:62-83-52 doi: 10.20998/2074-272X.2019.2.02
В.С. Маляр, А.В. Маляр, А.С. Андре1шин
МЕТОД РОЗРАХУНКУ МЕХАН1ЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК АСИНХРОННИХ ДВИГУН1В З КОРОТКОЗАМКНЕНИМ РОТОРОМ
Запропоновано алгоритм розрахунку MexaniuHux характеристик асинхронных двигунш з короткозамкненим ротором при рiзнux частотах напруги живлення. В основу розрахунку покладено математичну модель асинхронного двигуна, в якш враховуеться насичення магнтопроводу i витгснення струму в стержнях короткозамкненого ротора. Електро-магнiтнi процеси у двигуш описуються системою нелтшних рiвнянь електричног рiвновагu, записаноi в перетворених до ортогональних осей координат, яка розв'язуеться терацшним методом Ньютона разом з методом продовження по параметру. Для обчислення потокозчеплень контурiв та диференщальних тдуктивностей використовуються характеристики намагтчування основним магттним потоком, а також потоками розствання статора i ротора. Для урахування вuтiснення струму в стержнях ротора короткозамкнена обмотка подаешься у вuглядi багатошаровог структури, утвореноь розбиттям стержнiв по висот на кшька шарiв. Бiбл. 10, рис. 3.
Ключовi слова: асинхронний двигун, короткозамкнена обмотка, статичш характеристики, насичення, виткнення струму.
Предложен алгоритм расчета механических характеристик асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором при разных частотах напряжения питания. В основу расчета положена математическая модель асинхронного двигателя, в которой учитываетя, насыщение магнитопровода и вытеснение тока в стержнях короткозамкнутого ротора. Электромагнитные процессы в двигателе описываются системой нелинейных уравнений электрического равновесия, составленной в преобразованных к ортогональным осям координат, которая решается итерационным методом Ньютона вместе с методом продолжения по параметру. Для вычисления потокосцеплений контуров и дифференциальных индуктивностей используются характеристики намагничивания основным магнитным потоком, а также потоками рассеяния статора и ротора. Для учета вытеснения тока в стержнях ротора короткозамкнутая обмотка представляется в виде многослойной структуры, образованной разбитием стержней по высоте на несколько слоев. Библ. 10, рис. 3.
Ключевые слова: асинхронный двигатель, короткозамкнутая обмотка, статические характеристики, насыщение, вытеснение тока.
Вступ. В сучасних асинхронних електроприво-дах для регулювання швидкосп обертання ротора застосовують перетворювачi частоти. Такий споаб регулювання забезпечуе висош технiко-економiчнi показники, осшльки частотно-керований електропри-вод ввдкривае широк! можливосп використання асинхронних двигушв (АД) в яшсно нових технолопчних процесах i забезпечуе високу енергоефектившсть. Розроблення надшних i яшсних мшропроцесорних систем дае змогу з високою точшстю керувати робо-тою електроприводу ввдповщно до вимог конкретного технолопчного процесу, що не тшьки забезпечуе його яшсть, але й економш електроенергп. Теоретичш й практичш аспекти частотного керування викладеш в багатьох фундаментальних працях [1-4], а особливос-п й аналiз скалярного та векторного керування - в оглядових статтях [5, 6]. Однак проблема розроблення методiв дослiдження мехашчних характеристик АД при рiзних законах змши напруги живлення, незва-жаючи на велику к1льк1сть публiкацiй, залишаеться не вирiшеною на належному рiвнi.
Як вiдомо, змiною частоти напруги живлення АД можна плавно регулювати кутову швидк1сть обертання магнггного поля статора, причому ковзання ротора при цьому не змiнюеться. Для електроприводiв з ма-лим дiапазоном регулювання i порiвняно невисокими динамiчними властивостями використовують так зва-не скалярне керування [1, 4], яке е порiвняно простим в реалiзацil. На ввдм^ вiд векторного, воно заснова-не на використаннi модулiв величин, якими визнача-еться електромагштний момент. Оск1льки електрома-гнiтнi процеси залежать вiд внутрiшнiх параметрiв
АД, то неточшсть 1х визначення призводить до неточ-ностi визначення електромагштного моменту i, як наслiдок, значних вщхилень швидкостi обертання ротора ввд задано! [1]. Це зумовлено тим, що в юную-чих алгоритмах керування частотно-регульованими асинхронними електроприводами використовуються математичнi моделi АД, побудованi на основi заступ-них схем або лiнiйних диференщальних рiвнянь [1-4], а механiчнi характеристики розраховуються за формулою Клосса, яка е наближеною. Змiна параметрiв короткозамкненого ротора, зокрема активного опору, не враховуеться або враховуеться вщповвдними кое-фiцiентами. Використання класичних заступних схем не дае можливостi адекватно врахувати всi чинники, що впливають на процеси в двигунi при змш частоти, i не гарантуе достовiрностi результатiв розрахунку, особливо для глибокопазних АД. Не вирiшують про-блеми адекватностi результатiв математичного моде-лювання i заступнi схеми iз змiнними частотнозалеж-ними параметрами, оскшьки внаслiдок насичення ма-гнiтопроводу потокозчеплення контурiв АД, а отже i електромагнiтнi параметри нелiнiйно залежать ввд усiх його струмiв i 1х частоти.
Для керування роботою АД, який працюе в сис-темi частотно-регульованого електропривода, необ-хвдно знати значення його внутрiшнiх параметрiв, зокрема активних й реактивних опорiв обмоток статора та ротора, яш неперервно змiнюються. Беззапереч-но, що найбшьш точно 1х можна визначити на основi розв'язування задачi в польовш постановцi [7, 8],
© В. С. Маляр, А.В. Маляр, А.С. Андре1шин
однак таы програми потребують значного обсягу пам'ятi та часу на розрахунок, а тому не можуть задо-вольнити вимог щодо швидкоди реагування частотного перетворювача на перебп- процесу. Промiжне становище займають коловi методи розрахунку електро-магштних параметрiв та активних опорiв. Отже актуальною е задача розроблення математично! моделi, яка дае змогу розраховувати механiчнi характеристики з урахуванням змiни параметрiв внаслвдок наси-чення магнiтопроводу i витiснення струму в стержнях короткозамкнено! обмотки як таких, що мають визна-чальний вплив на характеристики АД. Крiм того, для ефективного частотного керування електроприводом важливим i визначальним чинником е швидкодiя i громiздкiсть програм розрахунку частотних характеристик асинхронних електроприводiв, якi покладенi в основу алгоритмш керування.
Метою роботи е розроблення числового методу розрахунку мехашчних характеристик при рiзних законах змши напруги живлення АД та и частоти з ви-користанням математично! моделi, в основу яко! по-кладено рiвняння електромагттно! рiвноваги конту-рiв двигуна, як1 дають можливiсть враховувати наси-чення магштопроводу i витiснення струму в стержнях короткозамкненого ротора.
Математична модель. Об'ектом дослвдження е АД з короткозамкненою обмоткою ротора, який живиться вщ трифазно! мереж1 з симетричною системою напруг. Для аналiзу електромагнiтних процесiв в АД використовуеться математична модель, створена з використанням ортогональних координатних осей, яка дае змогу здшснити аналiз процеав шляхом комп' ютерного моделювання з урахуванням як наси-чення, так i випснення струму в стержнях короткозамкнено! обмотки ротора з мшмальним обсягом обчи-слень. Для врахування насичення використовуються характеристики намагнiчування як основним магшт-ним потоком, так i потоками розсшвання, а для вра-хування витiснення струму стержнi разом iз коротко-замикаючими к1льцями роздмються по висотi на п шарiв, внаслвдок чого на роторi отримуемо п обмоток, якi охопленi рiзними магнiтними потоками розсш-вання. 1дея такого пiдходу викладена в [9]. Як показано в [10], на практищ п < 5. Трифазну обмотку статора та багатофазну обмотку ротора приводимо до дво-фазних обмоток за загальноприйнятою методикою.
Електромагнiтнi процеси в динамiчних режимах АД описуються системою диференщальних рiвнянь, яка в системi ортогональних осей х, у за умови по-стiйно! швидкосп обертання ротора зводяться до ал-гебричних. Якщо сумiстити зображуючий вектор напруги живлення з вюсю х, що зазвичай практикуеться, ця система мае вигляд
а0¥.у " гЛх + ит = 0;
- =0;
ваоУЛу - г1г1х =
-^0Уг1х - Г1'г1у = 0; (1)
,ю0цгпу - гп^гпх = 0 ;
-5Ю0^Гпх - гпЬпу = 0 ,
де ит - ампл1тудне значення фазно! напруги; ц у/у, Ч/г1х, Ч/г1у, ..., Цтх, Уту - потокозчеплення та струми г'^, ¡г1х, ¡лу,-~, ¡па, ¡гпу - перетворених контурiв статора i ротора ввдповщно; г., гг1 ,..., гт - активш опори цих контурiв; а> - кутова частота напруги живлення; . -ковзання ротора.
Потокозчеплення контурiв визначаються на ос-новi використання кривих намагтчування основним магнiтним потоком ц та потоками розсшвання обмоток ц статора та ц ротора
ц = цО'Д ц = ^(4), ц = цЛ'г). де ¡г - модул1 зображувальних векторiв вщповвд-них струмiв: намагнiчування, статора та ротора
= + г)2 +( + г);
у ¡..х + ¡..у ; ¡г у ¡гх + ¡гу .
Оск1льки стержень роздiлений по висотi на п елементiв, то струми ротора визначаються як сума струмiв у них
¡у
]=1 ]=1
Електромагттний момент АД, в координатних осях х, у визначаеться за формулою
Ме = 1,5Р0 -Цзу'зх ,1
де р0 - шльшсть пар полюсiв.
Активна i реактивна потужностi визначаються за формулами
Р = 1,5(м,х',х - и.чу1.чу ); Q = 1,5(м,у',х - ) .
Алгоритм розрахунку характеристик. Основою алгоритму е розрахунок усталеного режиму ро-боти АД при заданому ковзанш який описуеться системою алгебричних рiвнянь (1), а статична характеристика розраховуеться як сукупшсть усталених режимiв. Суть розрахунку усталеного режиму полягае у визначенш векторiв струмiв та потокозчеплень кон-турiв двигуна, з використанням яких можна визначи-ти електромагнiтний момент, активну i реактивну по-тужносл тощо.
За умови заданих значень напруги живлення обмотки статора i ковзання розрахунок усталеного режиму зводиться до розв' язування системи алгебрич-них рiвнянь (1). Внасл1док насичення магнiтопроводу АД електромагнiтнi зв'язки м1ж його електричними контурами нелiнiйнi, отже потокозчеплення кожного контуру нелшшно залежить ввд вектора струмiв
' = Со1ои('.х/.у,¡г1х, ¡г1у,..., ¡гпх,¡гпу ),
як1 залежать вщ значення напруги живлення i визначаються електромагттними параметрами АД.
Одним iз найбiльш ефективних методiв розв'язування нелiнiйних систем алгебричних рiвнянь е ггерацшний метод Ньютона, згiдно з яким на кожному к-му кроковi iтерацi! вектор / уточнюеться за формулами
¡(к+1) = г(к )-Аг(к); ЛАГ(к ) = й(к), (2)
де 2(к) - вектор нев'язок системи (1) при I = / (к);
А - матриця ЯкобГ, елементами яко! е диференцiальнi iндуктивностi контурiв (власних при ] = к i взаем-них при] Ф к) i !хш активш опори.
Для забезпечення збiжностi ггерацшного процесу необхiдно отримати початкове наближення вектора невГдомих, яке знаходиться в зош притягання методу. Ця задача розв'язуеться диференщальним методом, суть якого стосовно розв'язувано! задачi полягае в наступному.
Уведемо в систему (1) скалярний параметр е шляхом множення на нього напруги их = еПт. В ре-зультатi диференцшвання отримано! нелшшно! сис-теми по е отримаемо ДР вигляду
Р = 15 кВт, и = 220 В, I = 29,9 А, р0 = 2) за рахунок подвшно! клики ротора наведено на рис. 1.
. di _ A— = u
ds
(3)
де и = со1оп((т ,0,...,0).
1нтегрування по параметру е в межах ввд е = 0 до е = 1 екшвалентне збшьшенню прикладено! напруги ввд нуля до заданого значения. Початковi умови (значения вектора / ) - нульов^ оск1льки при е = 0 вектор при-кладених напруг дорiвиюе нулю. На кожному кроковi iнтегруваиня уточнюемо вектор / методом Ньютона. Поступове нарошування прикладено! напруги дае змо-гу на кожному кроковi забезпечити збiжиiсть ггерацшного процесу, а отже за кглька крокгв штегрування методом Ейлера отримати значення вектора струмГв / при заданому значенш амплпуд фазних напруг ит.
Отримаш значення е початковими умовами для розрахунку характеристик як залежностей координат вгд ковзання.
Таким чином, алгоритм розрахунку пусково! статично! характеристики складаеться з двох еташв: на першому здшснюеться розрахунок усталеного режиму роботи АД при заданих значеннях ковзання Г напруги живлення обмотки статора, а на другому - розрахунок багатовимГрно! статично! характеристики як залежнос-
тей I = I (5) координат вектора струмГв контурГв вгд ковзання. При цьому напруга Г частота приймаються незмшними, а ковзання змшюеться в заданих межах. Зокрема, для розрахунку статично! мехашчно! характеристики АД при заданш частой напруги живлення не-обхгдно задатись значенням ковзання 5 = 1 Г за викла-деним вище алгоритмом визначити значення координат режиму при заданому значенш амплиуди напруги живлення, а полм, поступово зменшуючи величину ковзання з кроком Ая до нуля, ггерацшним методом розрахувати багатовимГрну залежшсть I = I (я), а отже Г у/ = ) та електромагттного моменту М = М(я).
На кожному кроковГ штегрування, а також ггерацшного уточнення вектора / методом Ньютона не-обхщно визначати диференщальш шдуктивносп кон-турГв як е нелшшш функцп вектора / струмГв.
Результата дослiджень. Приклад результапв розрахунку характеристик двох типГв АД однаково! потужностГ, якГ вГдрГзняються кГлькГстю пар полюсГв, один з яких мае звичайне виконання (4Л16084У3, Р = 15 кВт, и = 220 В, I = 29,2 А, р0 = з), а другий -пГдвищений пусковий момент (4ЛР16084У3,
b
Рис. 1. Мехашчш характеристики двигунв 4A160S4Y3 (a) i 4AP160S4Y3 (b), розраховаш при незмшнш амплiтудi напруги живлення i рiзних 11 частотах f
На рис. 2 наведенi механiчнi характеристики дви-ryHiB, розрахованi при рiзних частотах напруги живлення за умови регулювання напруги зпдно i3 законом Um/f = const.
b
Рис. 2. Механчн характеристики двигушв: 4A160S4Y3 (a) i 4AP160S4Y3 (b), розрахован при рiзних частотах напруги живлення за умови регулювання напруги за законом UJf= const
Аналiз результата розрахуншв (рис. 1, 2) свщ-чить, що загальний вигляд характеристик електромаг-ттного моменту для АД з рiзною формою пазiв короткозамкнено! обмотки ротора суттево вiдрiзняeться, а зниження напруги пропорцшно до зменшення частоти не забезпечуе незмiннiсть перевантажувально! здат-нoстi АД.
Наведеним на рис. 2 характеристикам електрома-гштного моменту вiдпoвiдають характеристики активно! потужност (рис. 3).
Ь
Рис. 3. Характеристики активно! потужносп, якi вдаоввда-ють зображеним на рис. 2,a,b механiчним характеристикам
Висновки.
1. Запропонований метод розрахунку дае змогу методами математичного моделювання здiйснювати аналiз механiчних характеристик асинхронних двигу-нiв з короткозамкненим ротором з урахуванням наси-чення та випснення струмiв у стержнях ротора при рiзних законах регулювання напруги та частоти з метою забезпечення необхщного закону змши електро-магнiтного моменту.
2. Розроблений алгоритм розрахунку мае в сво!й основi математичну модель АД, в якш використову-ються реальнi, розрахованi на основi геометрi! магш-топроводу АД характеристики намагтчування, й роз-дшення по глибинi пазiв стержнiв короткозамкнено! обмотки на елементарш, що дае змогу адекватно вра-хувати насичення та витiснення струму, чим забезпе-чуеться точнiсть результатiв розрахунку.
3. Розроблена математична модель i створений на !! основi алгоритм розрахунку може бути використано для проектування частотно-регульованих електропри-водiв з метою формування необхiдних характеристик.
СПИСОК ШТЕРАТУРИ
1. Пивняк Г.Г., Волков А.В. Современные частотно-регулируемые асинхронные электроприводы с широтно-импульсной модуляцией. - Днепропетровск: НГУ, 2006. -470 с.
2. Novotny D.W., Lipo T.A. Vector Control and Dynamics of AC Drives. - Clarendon Press Oxford, 2003. - 440 p.
3. Pabitra Kumar Behera, Manoj Kumar Behera, Amit Kumar Sahoo. Speed Control of Induction Motor using Scalar Control Technique // International Journal of Computer Applications. Proceedings on International Conference on Emergent Trends in Computing and Communication ETCC. - 2014. - no.1. - pp. 37-39.
4. Aspalli M.S., Asha R., Hunagund P.V. Three phase induction motor drive using IGBTs and constant V/F method // International Journal of Advanced Research in Electrical, Electronics and Instrumentation Engineering. - 2012. - vol.1. -iss.5. - pp. 463-469.
5. Finch J.W., Giaouris D. Controlled AC Electrical Drives // IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 2008. - vol.55. -no.2. - pp. 481-491. doi: 10.1109/TIE.2007.911209.
6. Boldea I. Control issues in adjustable speed drives // IEEE Industrial Electronics Magazine. - 2008. - vol.2. - no.3. - pp. 32-50. doi: 10.1109/MIE.2008.928605.
7. Васьковский Ю.Н., Гайденко Ю.А., Цивинский С.С. Определение интегральных характеристик электрических машин методами теории электромагнитного поля // Електротехнжа i електромехашка. - 2006. - №1. - С. 28-32. doi: 10.2098/2074-272X.2016.01.05.
8. Милых В.И., Полякова Н.В. Определение электромагнитных параметров электрических машин на основе численных расчетов магнитных полей // Електротехнжа i електромехашка. - 2006. - №2. - С. 40-46. doi: 10.2098/2074-272X.2016.02.09.
9. Rogers G.J., Benaragama D.S. An induction motor model with deep-bar effect and leakage inductance saturation // Archiv für Elektrotechnik. - 1978. - vol.60. - no.4. - pp. 193-201. doi: 10.1007/bf01595160.
10. Stakhiv P., Malyar A. Influence of saturation and skin effect on current harmonic spectrum of asynchronous motor powered by thyristor voltage regulator // Proceedings of the IVth International Workshop Computational Problems of Electrical Engineering. - Gdynia, Poland, June 1-3, 2005. - pp. 58-60.
REFERENCES
1. Pivnyak G.G., Volkov A.V. Sovremennye chastotno-reguliruemye asinkhronnye elektroprivody s shirotno-impul'snoi moduliatsiei [Modern frequency controlled asynchronous electric drives with pulse width modulation]. Dnepropetrovsk, NGU Publ., 2006. 470 p. (Rus).
2. Novotny D.W., Lipo T.A. Vector Control and Dynamics of AC Drives. Clarendon Press Oxford, 2003. 440 p.
3. Pabitra Kumar Behera, Manoj Kumar Behera, Amit Kumar Sahoo. Speed Control of Induction Motor using Scalar Control Technique. International Journal of Computer Applications. Proceedings on International Conference on Emergent Trends in Computing and Communication ETCC, 2014, no.1, pp. 37-39.
4. Aspalli M.S., Asha R., Hunagund P.V. Three phase induction motor drive using IGBTs and constant V/F method. International Journal of Advanced Research in Electrical, Electronics and Instrumentation Engineering, 2012, vol.1, iss.5, pp. 463-469.
5. Finch J.W., Giaouris D. Controlled AC Electrical Drives. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2008, vol.55, no.2, pp. 481-491. doi: 10.1109/TIE.2007.911209.
6. Boldea I. Control issues in adjustable speed drives. IEEE Industrial Electronics Magazine, 2008, vol.2, no.3, pp. 32-50. doi: 10.1109/MIE.2008.928605.
7. Vaskovskyi Yu.N., Gaydenko Yu.A., Tsivinskiy S.S. Integral characterization of electrical machines with electromagnetic field theory methods. Electrical Engineering & Electromechanics, 2006, no.1, pp.28-32. doi: 10.2098/2074-272X.2016.01.05.
8. Milykh V.I., Polyakova N.V. Determination of electromagnetic parameters of electric machines based on numerical calculations of magnetic field. Electrical Engineering & Electromechanics, 2006, no.2, pp.40-46. doi: 10.2098/2074-272X.2016.02.09.
9. Rogers G.J., Benaragama D.S. An induction motor model with deep-bar effect and leakage inductance saturation. Archiv für Elektrotechnik, 1978, vol.60, no.4, pp. 193-201. doi: 10.1007/bf01595160.
10. Stakhiv P., Malyar A. Influence of saturation and skin effect on current harmonic spectrum of asynchronous motor powered by thyristor voltage regulator. Proceedings of the IVth International Workshop Computational Problems of Electrical Engineering. Gdynia, Poland, June 1-3, 2005. pp. 58-60.
Надтшла (received) 08.11.2018
Маляр Василь СафроновиЧ, д.т.н., проф., Маляр Андрш Васильович1, д.т.н., проф., АндреШин Андрш Серайович1, астрант, 1 Нацюнальний ушверситет «Льв1вська полпехнжа», 79013, ^BiB, вул. С. Бандери, 12, тел/phone +380 32 2582119, e-mail: andrii.v.maliar@lpnu.ua
V.S. Malyar1, A. V. Malyar\ A.S. Andreishyn1
1 Lviv Polytechnic National University,
12, S. Bandera Str., Lviv, 79013, Ukraine.
A method for calculating mechanical characteristics of
induction motors with squirrel-cage rotor.
Purpose. Development of a method for calculating mechanical
characteristics of induction motors, taking into consideration
saturation of the magnetic path and displacement of the current in the rotor bars. Methodology. The algorithm is based on calculating the steady-state mode of induction motor operation for a set slip, described by a system of non-linear algebraic equations of electrical equilibrium, whereas the mechanical characteristic is evaluated as a set of steady-state modes using parameter continuation method. The idea of the steady-state mode calculation consists in determining vectors of currents and flux linkages of the motor circuits, using which makes it possible to evaluate the electromagnetic torque, active and reactive powers, etc. Results. The study resulted in the development of a method and algorithm for calculating static characteristics of induction motors, which allows looking into the effect of different laws of voltage regulation on the mechanical characteristics, depending on the frequency change. Originality. An algorithm for calculating mechanical characteristics of the squirrel-cage induction motor was developed based on the mathematical model of the induction motor in which electromagnetic parameters are calculated using real saturation curves for the main magnetic flux and leakage fluxes, and displacement of the current in the rotor bars is evaluated by presenting the rotor winding as a multi-layer structure. Applying the transformation of the electrical equilibrium equations into the orthogonal axes enabled a significant reduction of calculation volume without impairing the accuracy of the results. Practical value. The developed algorithm allows studying the effect of different laws of scalar regulation of the voltage on the mechanical characteristics of the induction motor in order to obtain the necessary torque-speed curves for their optimization. It can be used for programming frequency converters. References 10, figures 3.
Key words: induction motor, squirrel-cage rotor, static characteristics, saturation, displacement of the current.
