Моделирование занятости пожарного автомобиля как системы массового обслуживания на основе метода псевдосостояний Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 631.893.13. 1'2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАНЯТОСТИ ПОЖАРНОГО АВТОМОБИЛЯ КАК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПСЕВДОСОСТОЯНИЙ

П.С. Гладков

Ивановский государственный химико-технологический университет

С.В. Гладков

Ивановский институт государственной противопожарной службы МЧС России

Усложнение инфраструктуры городов, их урбанизация наряду с полной изношенностью большей части основных производственных фондов и несвоевременной их заменой сильно повышает возникновение различного рода чрезвычайных ситуаций (ЧС) и ведет к постоянному росту потерь от вреда, которые они причиняют. Нехватка финансовых средств только усугубляет эту проблему. Из этого следует, что общее время занятости пожарного автомобиля обслуживанием вызовов будет неуклонно расти. Поэтому математическое описание этого процесса на основе метода «псевдосостояний», т.е. подробное изучение всех временных характеристик, из которых складывается общее время занятости пожарного автомобиля обслуживанием вызовов, и вероятностей возникновения тех или иных ЧС позволит выявить главные тенденции и причины, влекущие за собой наибольший рост убытков от ЧС и позволяющие оптимально использовать существующие финансовые средства.

Общее время занятости пожарного автомобиля обслуживанием вызова является основной временной характеристикой процесса функционирования службы МЧС. Эту величину необходимо, прежде всего, знать для обоснования численности оперативных отделений пожарной охраны (ПО) и спасательных автомобилей быстрого реагирования (в дальнейшем для упрощения изложения материала под ПО будем подразумевать и отделения пожарной охраны, и отделения службы спасения), что является уже не только технической, но и экономической задачей.

Под временем занятости пожарного автомобиля понимается промежуток времени от момента его выезда из депо по очередному вызову до момента его готовности к очередному вызову после возвращения в депо [1]. Этот промежуток времени является суммой нескольких менее продолжительных временных интервалов: времени сбора и выезда, времени следования к месту выезда, времени боевой работы, времени следования с места вызова в депо. Время следования пред-

ставляет собой промежуток времени от момента выезда пожарного автомобиля из депо до момента прибытия его к месту вызова. Время боевой работы - это промежуток времени от момента прибытия на место вызова до момента отъезда к месту постоянной дислокации. Поскольку характер боевой работы может быть различным (тушение пожаров, ликвидация последствий аварий, оказание помощи людям), то дальнейшая детализация этого промежутка времени может быть различной. В любом случае от времени прибытия пожарного автомобиля к месту вызова напрямую зависят экономические потери от пожаров, аварий, гибель людей и т.д. Продолжительность тушения пожара, травы и мусора, ликвидации аварий нужно уметь оценить для обоснования запасов огнетушащих веществ (воды, порошка, пенообразователя), что тоже с экономической точки зрения важно.

Все указанные временные характеристики с теоретико-вероятностной точки зрения являются непрерывными случайными величинами и, следовательно, могут быть описаны соответствующими

функциями распределения и числовыми характеристиками (математическим ожиданием, дисперсией, средним квадратичным отклонением).

Сам процесс функционирования подразделения МЧС на закрепленной за ним территории может быть математически формализован как система массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания (СМО) — экономические системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания [2].

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Базовую роль в теории массового обслуживания играют марковские процессы с непрерывным временем.

Случайный процесс, протекающий в системе 5, называется марковским, если он обладает свойством отсутствия последействия или отсутствия памяти, состоя-

щим в том, что для настоящего фиксированного момента времени ^ вероятность любого состояния 5^) системы 5 в будущем (при > О зависит только от ее состояния 5^о) в настоящем (при t= О и не зависит от того, как развивался этот процесс в прошлом (при < to).

Случайный процесс, протекающий в системе, называется процессом с непрерывным временем, если ее переходы из состояния в состояние возможны в любые, заранее неизвестные, случайные моменты времени.

Вопрос о возможности использования марковских процессов для моделирования занятости пожарного автомобиля как СМО сводится к вопросу о возможности приближенной замены немарковских процессов марковскими, что равносильно приближенной замене непуассо-новских потоков событий, под воздействием которых происходят переходы системы из состояние в состояние, пуассо-новскими. В нашем случае эта возможность становится реальной, так как число состояний системы сравнительно невелико, а непуассоновские потоки можно считать потоками Эрланга. Указанную замену можно осуществить так называемым методом псевдосостояний [3], заключающемся во введении в граф истинных состояний системы определенного числа фиктивных состояний - «псевдосостояний», превращающих немарковский процесс в марковский.

Не принимая пока во внимание крупные города, где каждый вызов может обслуживаться случайным числом пожарных автомобилей, можно рассмотреть использование нескольких пожарных автомобилей в малых населенных пунктах, где вызов, как правило, обслуживается одним таким автомобилем. В этом случае наиболее подходящими являются многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди и многоканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди и с ограничением на

время ожидания в очереди [3]. Они используются, когда число вызовов достаточно велико, возрастает время на их обслуживание и требуется немедленное их выполнение. Как следствие, пожарный автомобиль физически не может справиться с их выполнением, и одна часть вызовов остается в очереди, а другая часть получает отказ или обслуживается другой техникой. Если же число вызовов невелико, и они в основном не требуют немедленного выполнения, то можно использовать многоканальную СМО с ожиданием [3].

Определение основных характеристик функционирования пожарного автомобиля как СМО должно обеспечить оптимальное финансовое решение об использовании пожарного автомобиля с учетом затрат на его содержание и ущерба, возникающего при необслуженных или несвоевременно обслуженных вызовах. Например, если коэффициент нагрузки ^, приходящийся на канал (автомобиль), больше 1, следовательно, пожарный автомобиль не будет справляться с потоком вызовов, и со временем количество вызовов будет неограниченно возрастать. Возникает задача о привлечении дополнительной техники, что предусматривает дополнительные затраты. Поэтому данный показатель важен для обоснования численности используемой пожарной техники и автомобилей быстрого реагирования.

Средние издержки С (г) на предотвращение и ликвидацию последствий ЧС, израсходованные за определенный период времени т, можно найти аналитически по следующей формуле:

С(т) = (С1 + С2 + С3 ■ К + С4 + С5) -т- (1 + НД)т (1), где С1 - затраты на мероприятия, необходимые для снижения пожарной опасности. Это мероприятия в области финансирования расходов на содержание подразделений ПО, укрепления их мате-

риально-технической базы, в области обеспечения службы и пожаротушения объектов, в области повышения уровня противопожарной защиты и обеспечения пожарной безопасности муниципальных зданий и сооружений, в области совершенствования противопожарной пропаганды и пожарно-технического обучения населения.

С2 - затраты на оплату труда с отчислениями на социальные нужды, прочие постоянные затраты;

С3 - затраты на содержание пожарного автомобиля, возникающие в процессе его эксплуатации: материальные затраты (например: бензин), амортизационные отчисления на ремонт автомобиля, прочие;

К - среднее число занятых каналов;

С4 - расход огнетушащих веществ (воды, порошка, пенообразователя);

С5 - ущерб от необслуженных или несвоевременно обслуженных вызовов. Примечание: если финансовые средства на содержание подразделения ПО берутся из федерального, областного или местного бюджетов, то рассматривается только ущерб от тех объектов, которые находятся на балансе этих ветвей управления. Если же частное лицо содержит пожарный автомобиль, то необходимо рассматривать ущерб только от тех объектов, которые принадлежат только ему;

НД - норма дисконта (ставка дисконтирования).

Графически это выглядит следующим образом (рис. 1).

Оптимальное финансирование подразделения ПО должно привести к минимизации С (г). Известно, что наибольшее влияние на С (г) оказывает величина ущерба С5 .

С (ту С{т) = (С1 + С2 + С3 • К + С4 + С5) т(1 + НД)т

(С1+С2+С3 • К+С4+С5) • 2 • (1+НД )2 ~ у]

(С! + С2 + С3 • К + С4 + С5)• (1 + НД) 1 / 1 1 1 1 1 1 . 1 к

0 |/ 1 2 т

Рис. 1. Кривая средних издержек (многоканальная СМО)

Поэтому приоритетная задача - сокращение величины ущерба С 5, добиться которого можно увеличением:

• капитальных затрат С1;

• постоянных затрат С2 ;

• затрат на содержание пожарного автомобиля, возникающих в процессе его эксплуатации С3;

• расхода огнетушащих веществ С4 •

Недостаток выделяемых финансовых средств на предотвращение ЧС и их ликвидацию не позволяет в полной мере удовлетворить эти потребности. Возникает задача наибольшего сокращения средних издержек С(т) при ограниченном выделении финансовых средств. Это можно осуществить при помощи методов экономико-математического моделирования, обосновывая и уточняя каждую из величин, входящих в уравнение (1), на основе тщательного анализа статистических данных и подбора наиболее адекватной математической модели.

Как будет видно ниже, основная трудность при определении характеристик приведенных выше СМО заключается в определении интенсивности потока обслуживания, так как случайная величина Т времени обслуживания вызова является суммой нескольких независимых случайных величин, распределенных не всегда по одному и тому же закону распределения, т.е. поток обслуживания

может не являться простейшим. Также пожарный автомобиль обслуживает различные вызовы с разной интенсивностью их появления, поэтому при определении среднего значения случайной величины Т времени обслуживания вызова необходимо знать вероятности их появления, т.е. с какой вероятностью пожарный автомобиль может обслуживать тот или иной вызов.

Предположим в качестве системы 5

- пожарный автомобиль, который под воздействием простейшего потока вызовов с интенсивностью X (рассмотрим установившийся предельный стационарный режим работы пожарного автомобиля) может выезжать на их обслуживание. Полученный вызов сразу начинает обслуживаться. Случайное время Т обслуживания вызова может быть распределено не по показательному закону, и, следовательно, поток обслуживаний не будет пуассоновским, и протекающий в системе 5 не будет марковским.

Используем метод псевдосостояний для описания общего времени занятости пожарного автомобиля как СМО с ожиданием обслуживания вызова. Данная система 5 может находиться только в двух истинных состояниях: $1- пожарный автомобиль находится в депо; - пожарный автомобиль обслуживает вызов. Граф истинных состояний системы 5 имеет следующий вид (рис. 2).

^12 1\

^1(Ро) и 1/ ^2(Рі)

\|

Рис. 2. Граф истинных состояний системы S

Примечание: р0и р: - предельные вероятности.

(р0-пожарный автомобиль свободен от обслуживания вызовов, р: - пожарный автомобиль обслуживает вызов)

Переход системы 5 из состояния Я] в состояние я2 происходит под действием простейшего «потока вызовов» с интенсивностью X. Поэтому случайная величина, представляющая собой промежуток времени между любыми двумя соседними вызовами, распределена по показательному закону с параметром X:

/ (г) = Л- е~л-. (2)

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Выше мы исходим из стационарности потока вызовов (Х=сои^). На самом же деле число вызо-

вов в вечерние часы, как правило, превышает их средние значения. Поэтому для правильной ориентации в этом процессе нужно исходить из максимальных значений X, учитывая при этом наиболее напряженные месяцы года, дни недели и часы суток. Поясним вышесказанное на примере (табл. 1) [4].

На основе таблицы 1 построим график распределения пожаров по времени сообщения о пожаре в течение одних суток (рис.3).

Таблица 1

Распределение пожаров по времени сообщения о пожаре по Ярославской области

(в среднем за 2006 год)

Время суток Количество пожаров

00:00 - 01:59 468

02:00 - 03:59 249

04:00 - 05:59 156

06:00 - 07:59 99

08:00 - 09:59 88

10:00 - 11:59 112

12:00 - 13:59 131

14:00 - 15:59 175

16:00 - 17:59 186

18:00 - 19:59 201

20:00 - 21:59 199

22:00 - 23:59 203

п я

О Н-----1-----1----1---1-----1---1----1----1----1---------1-1---------------------------------------------1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

0 1 2 3 4 5 е 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1Є 17 18 19 20 21 22 23 24

Время суток 1(0-24)

+ Эмпирические данные-----аппроксимирующая кривая

у = 1Е-07Х6- 8Е-06Х5 + 0,0002**- 0,ООЗа-;3 + 0,041 :ЗЕ>;- - 0,27х + 0,8717

^ = 0,9976

Рис. 3. Распределение пожаров по времени сообщения о пожаре в течение одних суток

Следовательно, ожидаемое число вызовов зависит от времени суток следующим образом:

Л^) = 0,0000002 ■ t6 - 0,00005 ■ t5 +

0,0005 ■ t4 - 0,0075 ■ t3 + 0,0826 ■ t2 -

- 0,5399- г +1,7433. (3)

Из рис.3 видно, что наибольшее появление пожаров наблюдалось с 0 часов до 1 ночи. Отсюда Хпож определяется следующим образом:

Л = Г (0,0000001- г6 - 0,000008- г5 +

+ 0,0002-14 - 0,0038-13 + 0,0413-12 -

- 0,27-1 + 0,8717)«* = 0,75 .

Интенсивность потока вызовов на пожары в Ярославской области следует принимать равным 0,75 вызовам в час.

Интенсивность возникновения аварий (ДТП, извлечение тел на водах и т.д.), тушение травы и мусора, а также спасение людей (спасение людей на водах и т.д.) также носит сезонных характер, поэтому интенсивность потока вызовов по выше приведенным причинам исходя из таблицы 2 [ 4] составит:

О і О і О і о

ВДТП + Впрочликвавар + Втравамусор + Вспасен. людей

пожары

112 +1165 + 578 + 926 + 23 + 499

2102

•0,75 = 1,18

как равномерно возникающие в течение года.

Я

ТУ _|_ ТУ

Вспасенживотн. + Ввскрът

+Вп

равном.

16 + 2800 +1288

365•24

8760

= 0,47 ■

Оставшиеся вызовы можно рассмотреть

Общая интенсивность потока вызовов в час составит Л12 :

Л12 = Лпож + Лсезон + Лравном. = 0,75 + 1,18 + 0,47 = 2=4.

Если бы вызовы обслуживались только одним автомобилем, то за один час ему бы пришлось обслужить 2,4 вызова. В случае возможности выезда на обслуживание 10 разных вызовов (например, 10 пожарными автомобилями), то можно прийти к выводу, что в среднем за один час пожарный автомобиль должен обслуживать 0,24 вызова.

Переход системы 5 из состояния Я2 в состояние Я] происходит под действием уже не простейшего потока обслуживания вызовов, так как случайная величина Т времени обслуживания вызовов является суммой нескольких независимых случайных величин (время сбора и выезда, время следования к месту вызова, боевое развертывание, тушение пожара, травы и мусора, ликвидация аварии, оказание помощи людям, следование в депо).

Таблица 2

Статистические показатели деятельности ЕДДС-01 на территории Ярославской области за период с 01.01.2006 по 31.12.2006

Заявки на оказание помощи Выезды на ликвидацию аварий (связанных): в результате деятельности ЕДДС-01 спасено (чел) количество пожаров трава мусор

принято отработано переадресовано разрушение строительных конструкций эвакуация пострадавших из зданий, сооружений ад и в н 0 е ц 1 і а і помощь 03 спасение на водах извлечение тел на водоемах спасение животных вскрытие дверей прочие выезды на ликвидацию последствий ЧС ложные выезды

12180 9509 2671 1 2 112 2 23 43 16 2800 1117 1288 499 2102 578 926

Так как процесс, протекающий в системе 5, не является марковским, то для вероятностей состояний системы 5 мы не можем написать ни системы дифференциальных уравнений Колмогорова, ни системы линейных алгебраических уравнений.

Чтобы приближенно заменить этот процесс марковским, заменим состояние

1. Пятью последовательными псевдосостояниями (тушение пожара):

сбор и выезд из депо;

• ¿2(2 - следование к месту вызова;

боевое развертывание;

(6)

• ¿2 - тушение пожара;

• ¿2(8- возвращение в депо.

2. Пятью последовательными псевдосостояниями (ликвидация аварии: ликвидация последствий ДТП, откачка воды и т.д.):

- сбор и выезд из депо;

• э/2 - следование к месту вызова;

- боевое развертывание;

(5)

• ¿2 - ликвидация аварии;

• э2(8- возвращение в депо.

3. Пятью последовательными псевдосостояниями (тушение травы и мусора):

- сбор и выезд из депо;

• э/2 - следование к месту вызова;

- боевое развертывание;

(7)

• ¿2 - ликвидация аварии;

• э2(8- возвращение в депо.

4. Четырьмя последовательными псевдосостояниями (оказание помощи людям):

- сбор и выезд из депо;

• э/2 - следование к месту вызова;

(4)

• ¿2 - оказание помощи людям;

- возвращение в депо.

5. Тремя последовательными псевдосостояниями (ложный вызов):

- сбор и выезд из депо;

• ¿2(2 - следование к месту вызова;

• ¿2(8 - возвращение в депо.

В граф истинных состояний системы 5 вместо состояния ¿2 вводятся именно заданные выше псевдосостояния потому, что переход системы 5 из состояния ¿2 в состояние ^у порождается суммой приведенных выше независимых потоков.

Размеченный граф с псевдосостояниями будет иметь следующий вид (рис. 4).

Рис.4. Размеченный граф с псевдосостояниями

Примечание: и ^ - плотности вероятностей переходов (интенсивности потоков);

рк - предельные вероятности.

Полученный таким образом псевдопроцесс можно считать приближенно марковским, поскольку все потоки событий, порождающие переходы системы 5 из состояния в состояние, будут приближенно распределены по закону Эрланга. Из графа на рис. 4 видно, что этот процесс является ветвящимся циклическим и следует:

Хп=(Т\) 1;^12=(Т2) 1; И2з=ИДТз) 1;

И24= ^2( Т з ) 1; р28= Из( Тз ) 1 ;И1+И2+Из=1;

Из5=^1(Т4) 1; изб= д2(Т4) 1; рз7= цз(Т4) 1;

Ц1+Ц2+Цз=1;и48=( Т 5) 1;и58=( Т 6)-;

И68=(Т7) 1; И78=(Т8) 1; И81=(Т9) 1;

И1, И2, Из, ц1, д2, цз - вероятности разветвления;

И1 - вероятность следования к месту пожара, аварии, тушения травы и мусора;

И2 - вероятность следования к месту оказания помощи людям;

Из - вероятность следования по ложному вызову;

q1 - вероятность боевого развертывания

на ликвидацию аварий;

q2 - вероятность боевого развертывания

на тушение пожаров;

q3 - вероятность боевого развертывания

на тушение травы и мусора.

Т к - среднее время пребывания системы 5 в состоянии 5г()(для ¿1 - Т1) (табл. 3).

Таблица 3

Среднее время пребывания системы $ (пожарного автомобиля) в состоянии

Тк Обозначение Предельные вероятности рк

Т1 Среднее время пребывания пожарного автомобиля в депо (¿и) ро

т Т 2 Среднее время сбора и выезда из депо (я/11) р2

Т 1 3 Среднее время следования к месту вызова (¿2(2)) рз

Т4 Среднее время на боевое развертывание (я2<3)) р4

Т 5 Среднее время на оказание помощи людям (я2<4) р5

Т 6 Среднее время на ликвидацию аварии (¿2(5) рб

Т Т 7 Среднее время на тушение пожара (я2<б) р/

Т Т 8 Среднее время на тушение травы и мусора (я2/>) р8

Т Т 9 Среднее время следования в депо (я28)) р9

Вероятности состояний системы в предельном стационарном режиме (предельные вероятности)рк определяются следующим образом:

Р0 = 9 _

Е жк-тк

к =1

„ = к-Тк пРи к=2,з,..д

гк 9

(4)

(5)

где

(6)

У Ж Т

к к

к=1

1, при к = 1,2,3,9 Ь, при к = 4 й2, при к = 5 Ь • Ч, при к = 6 ^ • ч2, при к = 7 Ь" Чъ, при к = 8

Интенсивность потока обслуживания л можно определить следующим образом:

1---- (7)

/“ = -

Е^к-Т.

к=2

Рассмотрим, каким образом на основе статистической информации определить вероятности разветвления Ии, И2, И3, ди, д2, д3 .

7 Воказ.помощи Вспасен.животн ^ Вспасен.людей Ввскрыт.дверей 16 ^ 23 ^ 4" + 2800 Л ,.г1

П2 =---------------=----------------------------------------------------=------------------------------= 0,351,

В

отработ

В

отработ

9509

О I Г) 23 _|_ 23 -I-/?

7 ликв.авар. пожары трава, мусор ДТП прочликв.авар. пожары трава, мусор

Т> ту

отработ отработ

_ 112 +1165 + 2102 + 578 + 926 _05И = 9509 = ’ ’

В 1288

п = ложы =---------------------= 0,135,

3 В , 9509

отработ

П1 + П2 + П3 = 0,351 + 0,514 + 0,135 = 1

^ Вликв.авар. ВДТП + Впрочликв.авар. 112 + 1165 ^ 27В

Вотработ Вотработ 4583

В 2102

пожары _ . __

4 =-----------— =---------= 0,459,

В . 4583

отработ

Втрава,мусор 578 + 626 ^

43 о , ,

Вотработ 4583

41 + 42 + 43 = 0,278 + 0,459 + 0,263 = 1.

Среднее время пребывания пожарного автомобиля в депо Т определяется

на основе потока вызовов: Т1 -(Хп)- . Пример определения Х12 приведен выше.

Анализ времени следования Т3 пожарных отделений к месту вызова (таблица 4) [4] позволяет предполагать, что математической моделью такой характе-

ристики процесса функционирования противопожарной службы может служить закон Эрланга. Показательный закон распределения здесь не применим, так как коротких переездов слишком мало, что связано с особенностями дислокации подразделения пожарной охраны и района выезда.

Таблица 4

Распределение пожаров по времени прибытия к месту пожара (Ярославская область) (период с 1.1. по 31.12.2006)

Время Количество пожаров

менее 3 минут 111

от 3 до 5 минут 306

от 5 до 7 минут 331

от 7 до 10 минут 326

от 10 до 15 минут 292

от 15 до 20 минут 170

от 20 до 30 минут 221

более 30 минут 173

ИТОГО 1930

Среднее значение времени прибытия отделений к месту вызова М[Т], мин. 12,62

Среднее квадратическое отклонение от среднего значения о[Т], мин. 9,69

Рассмотрим нормированный поток Эрланга ЭП^, обладающий следующими характеристиками: М[Т□ ^7=12,62 мин., о[ТП (к)]=9,69. Определим его интенсивность ЯПк, порядок к и плотность распределения Интенсивность нормиро-

ванного потока Эрланга к-порядка:

~ - 1 1 Л-(к)

мЮ1

Среднее квадратическое отклоне-

12,62

= 0,079.

ние:

Иг ]=

1

1

л[к • Л(к) 0,079 • л/к

откуда

(к)

1

к =

[°\Т(к ) У-

= 1,7.

0,0792

Так как к - порядок нормированного потока Эрланга, то к должно быть натуральным числом. Поэтому в качестве к естественно выбрать число 2, ближайшее натуральное к 1,7.

Таким образом, поток прибытия пожарных автомобилей (или автомобилей быстрого реагирования) к месту вызова можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга второго порядка ЭП(2). Данная модель может быть применена и для потока следования пожарных автомобилей обратно в де-

по( Т9 ).

Для плотности распределения вероятностей случайной величины ТО получим выражение:

/(2)(') =

к •Л• (к • Л -і)

к-1

(к -1)!

2-0,079-(2-0,079- і )2-1

-к• Л- і

-2-0,079-і

-0,158

(2 -1)!

/(2)(*) = °,°25 • г-в"

На основе полученных данных построим график функции / который

имеет следующий вид (рис. 5).

0.0251 е-

0.1581

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

! ! 1

/

/

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1

-0,158/

Рис. 5. График функции /(2) (г) = 0,025 • г •

Из графика можно принять, что наиболее вероятным временем следования пожарного автомобиля к месту вызова будет 6,5 минут, хотя для более точного исследования необходимо методами имитационного моделирования сгенерировать выборку и на основе ее опреде-

лить среднее время следования к месту вызова.

Среднее время пребывания системы в остальных состояниях может быть достаточно хорошо описано показательным законом распределения, так как сбор, боевое развертывание и непосредственное участие в тушении, ликвидации и

оказании помощи должны осуществляться как можно быстрее, чтобы избежать дополнительных жертв и увеличения ущерба от несвоевременного обслуживания.

На основе статистической информации о пожарах в Ярославской области в 2006 году среднее время тушения пожаров Т 7 составило 76,89 минут. Среднее время сбора и выезда Т2 составляет 1 минуту, среднее время боевого развертывания Т4 - 6 минут. Среднее время

ликвидации аварии Т6 примем равным

70 мин., тушение травы и мусора Т8 в среднем занимает 30 минут, оказание по-

мощи людям Т5 - 25 минут. При недостаточном количестве статистической информации, приведенные выше значения нельзя рассматривать как истинные. Поэтому на основе показательного закона распределения с приближенными интенсивностями (табл. 5) приведенных выше потоков можно на основе имитационного моделирования [5] (метода Монте-Карло) сгенерировать выборку значений времени для каждого потока, а затем найти их средние значения (табл.6). Используя генератор случайных чисел в MathCAD, получаем следующие значения затрат времени.

Таблица 5

потоков

Поток Интенсивность потока Поток Интенсивность потока

Тушение пожаров ^68 = = = —^ = 0,013 Т7 76,89 Ликвидация аварии Я58 = = = — = 0,014 Т6 70

Сбор и выезд 1 1 , Щ.2 ==■ = - = 1 Т2 1 Тушение травы и мусора и78 = = = — = 0,033 Т8 30

Боевое развертывание М35 + М36 + ^37 = = = Т = 0,167 Т4 6 Оказание помощи людям М48 = = = — = 0,04 48 Т5 25

Таблица 6

Сгенерированные значения времени для потоков с помощью генератора случайных чисел

Тушение пожаров Т7 Сбор и выезд Т2 Боевое развертывание Т 4 Ликвидация аварии Т 6 Тушение травы и мусора Т8 Оказание помощи людям Т 5

10.426 1.3 0.55 18.047 19.875 26.858

10.848 0.969 3 134.944 148.789 32.523

17.607 1.578 1.456 174.13 7.899 43.939

34.933 0.503 3.661 53.654 0.948 68.164

39.967 1.018 5.567 78.594 3.059 0.925

126.037 0.024 13.673 34.781 45.518 20.16

112.549 0.11 21.528 90.741 22.339 42.971

110.083 0.048 8.092 58.79 26.693 18.764

69.183 1.601 8.836 107.844 5.226 34.795

Среднее Среднее Среднее Среднее Среднее Среднее

59.07 0.795 7.374 83.503 31.149 32.122

После определения Х\2 и ц (по формуле (7)) можно найти основные характеристики функционирования пожарной охраны как многоканальной СМО и вычислить число занятых каналов К для уравнения (1). Зная предельные вероятности состояний я/6 и (тушение пожаров и тушение травы и мусора) можно определить среднее время, которое тратит пожарный автомобиль на тушение

и, следовательно, спрогнозировать требуемое количество огнетушащих веществ. Используя предельные вероятности s2(22 и s2(8 (следование к месту вызова и обратно в депо) можно прогнозировать

затраты на бензин и на амортизацию пожарного автомобиля и т.д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Брушлинский Н.Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы. Учебник. - М.: МИПБ МВД России, 1998.

2. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2006.

3. Абланская, Л.В. Экономико-математическое моделирование: учебник/под общ. ред. И.Н. Дро-гобыцкого. - 2-е изд., стереотип. - М.: Издательство «Экзамен», 2006.

4. http://www.adm.yar.ru/mchs/Pogar2005-2006.xls

5. Гурский Д. А., Турбина Е. С. Вычисления в MathCAD 12. — СПб.: Питер, 2006. — 544 с.

MODELLING OF EMPLOYMENT OF THE FINE-ENGINE VEHICLE AS SYSTEMS OF MASS SERVICE ON THE BASIS OF THE METHOD OF PSEUDO-CONDITIONS

P. Gladkov, S. Gladkov

Complication of an infrastructure and urbanization of cities and also high deterioration of the basic production assets and their untimely replacement strongly raises occurrence of extreme situations and conducts to constant growth of losses from harm which they cause. Shortage of financial assets only aggravates this problem. Hence, the general busy time of a fine-engine vehicle serving calls will steadily grow. Therefore the mathematical description of this process on the basis of a method of pseudo-conditions, i.e. detailed studying of all time characteristics influencing the general busy time of a fine-engine vehicle, and probabilities of occurrence of those or other extreme situations will allow to reveal the main tendencies and the reasons entailing the greatest growth of losses and allowing optimum to use existing financial assets.