CC BY
24
УДК 681.5:620.165.29.008.6 (075.8)
Жежера Н.И. ©
Профессор, доктор технических наук, Оренбургский государственный университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТНОГО ПОРШНЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ТРУБКЕ ПРИ КОНТРОЛЕ ГЕРМЕТИЧНОСТИ
ИЗДЕЛИЙ
Аннотация
Проведено математическое моделирование движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке устройств контроля герметичности изделий в виде дифференциального уравнения. Это уравнение содержит инерционную силу движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке, силу жидкостного трения, силу от упругости газа в изделии, нелинейную силу от действия поверхностного натяжения жидкости и силу от воздействия разности давлений, приложенной к жидкостному поршню, со стороны эталонной емкости и изделия, контролируемого на герметичность.
Ключевые слова: изделие, герметичность, контроль, математическое моделирование, дифференциальное уравнение, горизонтальная трубка, жидкостный поршень.
Keywords: the product, tightness, control, mathematical modeling, the differential equation, the horizontal tube, liquid piston.
На рисунке 1 приведена схема базового устройства контроля герметичности изделий газом с использованием горизонтальной трубки. Устройство содержит источник контрольного газа 1, эталонную емкость 3, изделие 4, горизонтальную трубку 8 с жидкостным поршнем 9, вентили 2, 5, 6, 7 и 10, емкостный датчик 11, показывающий прибор 13 и дроссели 12 и 14. Перед подключением изделия 4 к устройству контроля все вентили и дроссели находятся в закрытом положении.
Рис. 1. Схема устройства контроля герметичности изделий газом с использованием
горизонтальной трубки
Определяют необходимый объем эталонной емкости 3 [7, 26], подключают изделие к устройству контроля герметичности изделий, заполняют его газом до заданного давления, для чего открывают вентили 2, 6 и 5. Закрывают вентиль 2 и открывают вентили 7 и 10, через которые подается газ к горизонтальной трубке. С помощью дросселей 12 и 14 устанавливают жидкостный
' Жежера Н.И., 2013 г.
поршень 9 в горизонтальной трубке 8 в начальное положение. Берется первый отсчет по прибору 13, показывающему положение жидкостного поршня 9 в горизонтальной трубке 8. В некоторых системах контроля герметичности изделие 4 вибрируют [4, 82], поэтому включают вибраторы. Испытывают изделие 4 в течение установленного времени и берут второй отсчет по прибору 13. По разности показаний показывающего прибора 13 делают заключение о герметичности изделия 4. Закончив контроль герметичности изделия, вентили 7, 10 и 5 закрывают и изделие 4 отключают от устройства контроля.
Математическое моделирование движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке рассмотрено применительно к устройству контроля герметичности изделий, схема которого приведена на рисунке 1.
Модуль упругости среды Е, МПа, в зависимости от объема изделия V и изменения объема среды в изделии от изменения давления dP1/dV1, МПа/м3, определяется по выражению [1]
Е - (dPl/ dVl
Объем изделия 4 и правую половину горизонтальной трубки 8 (рисунок 1) обозначим V2, а давление газа в изделии Р2. Изменение объема газа в изделии от движения жидкостного поршня А V2 равно А Vтр - изменению объема газа в горизонтальной трубке от движения жидкостного поршня, м3. При этом А Vтр = Fтр • А х(), где А х(^ - перемещение жидкостного поршня в горизонтальной трубке, м, Fтр= кс12 /4 - площадь сечения трубки, м2, диаметром d. В этом случае выражение модуля упругости принимает вид [3; 6, 62]
<7 ЛР2 (I) ЕР
Ег = КР^(Г)^ или Лр2(О --у^МО ,
где Ег - модуль упругости газа, МПа; А Р2(0 - изменение давления газа в изделии, МПа. Если правую и левую части этого выражения умножить на площадь сечения трубки Ртр, тогда получим
Е ¥2 ЕР2
АР2(()^тр -^и^Лх(Х) или N^0) --^хО), (1)
где N^(0 =ДР2 (t) ' Ртр - сила, которую преодолевает жидкостный поршень при движении
в горизонтальной трубке от упругости газа в изделии, Н.
По формуле для силы трения в ламинарном пограничном слое в цилиндрической трубе [9] определим силу жидкостного трения от движения поршня в горизонтальной трубке
ж- d2
Nж.тр 0) - (Р1 - Р - , (2)
где Nжтр (t) - сила, возникающая от касательных напряжений в жидкости возле стенок
горизонтальной трубки, Н; Р1, Р2 - давление газа, Па, с обеих сторон жидкостного поршня; duт -
диаметр трубки, м; I - длина жидкостного поршня в горизонтальной трубке, м; Т Ст - касательное
напряжение в пограничном слое жидкости возле стенки горизонтальной трубки, Па. Известно также, что потери на трение в трубопроводе [9]
v2P I
Р - Р2 - , (3)
2 "ит
где X - коэффициент сопротивления; Vср - средняя скорость, м/с, перемещения жидкости в трубопроводе.
Средняя скорость по трубопроводу вычисляется с учетом распределения текущих по сечению скоростей частиц жидкости [8, 47]. Однако в горизонтальной трубке устройства контроля герметичности изделий жидкость в виде жидкостного поршня перемещается как единое целое со скоростью, которая в формуле (3) является средней скоростью. Эта скорость имеет малое значение потому, что малы допустимые и фактические значения утечек жидкости из изделия.
Течение жидкости в трубопроводах зависит от критерия Рейнольдса. Значение критерия Рейнольдса Re определяется по формуле [1]
Re _ VdП , (4)
где V - скорость потока жидкости в трубопроводе, м/с; й - внутренний диаметр трубопровода, м; V - кинематический коэффициент вязкости жидкости, м2/с.
Для горизонтальной трубки систем контроля герметичности изделий диаметром йит = 0,002 м при скорости перемещения жидкостного поршня V = 0,1 м/с и кинематической вязкости воды V = 1,007 •Ю-6 м2/с [10] значение критерия Рейнольдса Re = 0,1- 0,002/(1,007 •Ю-6) = 199.
Для ламинарного течения жидкости и значениях Рейнольдса менее 2000 коэффициент сопротивления X рекомендуется [10] определять по формуле Гагена - Пуазейля
1 _ 64/Яв. (5)
Из соотношения (2) определяем, что
Р - Р, = 4 I ■Тст/йит . (6)
Приравнивая (3) и (6), получим
Г ст = 1Р VI!2. (7)
С учетом соотношения (5) и того, что п ' р _ т , где р - плотность жидкости, кг/м3; ^ -ческий коэффициент вязкост формула (7) принимает вид [3; 5, 49]
динамический коэффициент вязкости жидкости, Н-с/м2 (для воды ц _ 1,05 10- 3 Н-с/м2 [10])
Па.
_ 64урур _ 32
тст _ 2у й _ й
2 у ср йит йит
Если, например, Уср = 0,1 м/с и йит = 2 ■ 10- 3 м, тогда Т ст = 32 • 1,05 • 10-3 • 0,1/2 • 10-3 = 1,68 После подстановки (8) в (2) получим
йх( t)
Хж.трО) _ 32р I - т Уср, Nж.тр(t) _ 32р ■ т ■1 й , д _ йх( t)
Nж.тр(t) _ кг.тр ^ ' ^9)
где кг.тр = 32 жр.1 - размерный коэффициент гидравлического трения при перемещении
жидкостного поршня в трубке, Н-с/м; Уср _ йх(t) / dt - скорость перемещения жидкостного
поршня в горизонтальной трубке.
Силу Ын/Л(Х) , Н, от действия поверхностного натяжения жидкости на жидкостный поршень в горизонтальной трубке определим на основании формулы Лапласа для капилляров
ДРл - 2а/R, где ДРл - давление, возникающее в трубке от поверхностного натяжения жидкости,
Па; а - поверхностное натяжение жидкости, Н/м; R - радиус трубки, м. Умножая обе части формулы Лапласа на площадь трубки и заменяя радиус трубки на ее диаметр, получим
4а
АРлРтр - или Nн/л(t) - А Рл^тр - Р ^ • dтр - N |. (10)
где |Ад | - абсолютное значение силы от действия поверхностного натяжения жидкости
поршня в горизонтальной трубке, Н; Nн /л(() - нелинейная сила при движении жидкостного
поршня в горизонтальной трубке от действия поверхностного натяжения жидкости, Н, которую определим по выражениям, аналогичным для силы сухого трения [2],
+ N0 , при x(t) > 0; Nн/л(t) - - N0 ,при х^) < 0; (11)
N0 < Nн/л(t) < N0 , при хО)- 0,
где - скорость движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке, м/с.
Инерционная сила движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке Nи (t) , Н, в соответствии с вторым законом Ньютона
N,(1) - т, (12)
dt2
2 2
где т - масса жидкостного поршня в горизонтальной трубке, кг; й х(1)/й1 - ускорение движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке, м/с2.
Сила, приложенная к поршню горизонтальной трубки от воздействия разности давлений со стороны эталонной емкости и изделия, является движущей силой для перемещения жидкостного поршня в горизонтальной трубке Nдвuж (t), Н
Nдвиж(t) - [Р1(0 - Р20)] Ртр
или Nдвиж(t) - ЛР1_ 2, (13)
где Р(); Р2(^ - давление газа, приложенное к поршню горизонтальной трубки с двух сторон, со стороны эталонной емкости и изделия, МПа; Ртр - площадь сечения горизонтальной
трубки, м2; 2 (t) - разность давлений Р1^) и Р2О
Дифференциальное уравнение движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке применительно к устройству контроля герметичности изделий (рисунок 1) в соответствии с выражениями (1), (9), (11), (12) и (13) принимает следующий вид
Nu(t) + Nж.тр(t) + Nуп(t) + Nн/л(t) - ^вижО) ,
+ к, трЩ + Е~фхО) +
Л2 йг V,,
из
+ , при х(1) > 0;
- , при х(г) < 0; _ 4 Р1- 2 (г) ^тр , (14)
- Щ < N„/„(1) < Щ , при х(г)_ 0
где Nи(t) - инерционная сила движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке, Н; Nж.тр- сила жидкостного трения в ламинарном пограничном слое, зависящая от скорости движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке, Н; Nуп(t) - сила, которую преодолевает жидкостный поршень при движении в горизонтальной трубке от упругости газа в изделии, Н; Nн / л({) - нелинейная сила от движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке и действия
поверхностного натяжения жидкости, Н; Nдвиж (t) - сила, приложенная к поршню горизонтальной
трубки, от воздействия разности давлений со стороны эталонной емкости и изделия, Н. Уравнение (14) можно записать в следующем виде
72/. I I Е К2
+ КгМр^ + ^х0) + К^пф) _ АР,_ 2 , йГ у Ж Уиз
где Signx(t) - кусочно - постоянная функция «сигнум», характеризующая влияние сил
поверхностного натяжения жидкости при движения в одну или другую сторону жидкостного поршня
в горизонтальной трубке устройств контроля герметичности изделий.
Таким образом, проведено математическое моделирование движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке устройств контроля герметичности изделий в виде дифференциального уравнения. Это уравнение содержит инерционную силу движения жидкостного поршня в горизонтальной трубке, силу жидкостного трения, силу от упругости газа в изделии, нелинейную силу от действия поверхностного натяжения жидкости и силу от воздействия разности давлений, приложенной к жидкостному поршню, со стороны эталонной емкости и изделия, контролируемого на герметичность.
Литература
1. Башта Т. М. Машиностроительная гидравлика: справочное пособие. - Изд. 2-е перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1971. - 672 с.
2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. -768 с.
3. Жежера Н. И. Развитие теории и совершенствование автоматизированных систем испытаний изделий на герметичность: дис. д-ра техн. наук: 05.13.06. - Оренбург : ОГУ. - 2004. - 441 с.
4. Жежера Н. И., Абубакиров Д. Р. Испытания с вибрацией изделий на герметичность жидкостью устройством с горизонтальной трубкой // Законодательная и прикладная метрология. - М.: - 2007. - № 3. -С. 82-84.
5. Жежера Н. И., Абубакиров Д. Р. Влияние касательных и капиллярных напряжений на движение и диаметр жидкостного поршня горизонтальной трубки устройств испытаний изделий на герметичность // Законодательная и прикладная метрология. - М.: - 2006. - № 4. - С. 49-52.
6. Жежера Н. И., Абубакиров Д. Р. Испытание изделий на герметичность жидкостью с использованием пузырьковой камеры при неравных давлениях контрольного газа и жидкости // Законодательная и прикладная метрология. - М.: - 2006. - №1. - С. 62-64.
7. Жежера Н. И., Куленко Е. С. Влияние объема эталонной емкости на погрешность измерений утечек газа из изделия, испытываемого на герметичность с использованием пузырьковой камеры // Законодательная и прикладная метрология. - М.: - 2003. - № 1. - С. 26-28.
8. Жежера Н. И., Самойлов Н. Г. Теоретические положения к устройству измерения динамической составляющей расхода газа // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - 2012.- №4 (39). - С. 47-50.
9. Краснов Н. Ф. Аэродинамика : учебник для вузов. М-во высш. и средн. образования СССР. - М.: Высшая школа, 1971.- 632 с.
10. Метрология, специальные общетехнические вопросы. Автоматизация. Приборы контроля и регулирования производственных процессов в нефтяной и нефтехимической промышленности. Серия справочников. Книга первая / под ред. Ю. И. Шендлера. - М.: ГНТИ нефтяной и горно-топливной литературы, 1962. - 785 с.
