CC BY
5Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/25-89 Ссылка для цитирования этой статьи:
Иванов С.В., Могилевич Л.И., Евдокимова Е.В. Моделирование волнового процесса в оболочке с физической квадратической нелинейностью с учетом демпфирования и окружающей среды // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №2
Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а._
УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА В ОБОЛОЧКЕ С ФИЗИЧЕСКОЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ С УЧЕТОМ ДЕМПФИРОВАНИЯ И ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет
им. Н.Г. Чернышевского, [email protected] 2Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
[email protected] 3Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
Аннотация. Исследование поведения волн деформации в упругих оболочках является важным направлением в современной волновой динамике. Вместе с тем, в литературе отсутствуют исследования влияния на волновой процесс в физически нелинейных упругих оболочках конструкционного демпфирования в продольном направлении, а также упругой окружающей среды. В настоящей работе исследуется учет влияния конструкционного демпфирования и окружающей среды на распространение нелинейных волн деформации, что требует компьютерного моделирования. В настоящей работе использован современный подход для построения разностных схем. Расчеты по полученным разностным схемам позволили сделать интерпретацию физических процессов.
Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки.
SIMULATION OF A WAVE PROCESS IN A SHELL WITH PHYSICAL SQUARE NONLINEARITY CONSIDERING DAMPING AND
SURROUNDING MEDIA
Saratov State University, [email protected] 2Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, [email protected] 3Yuri Gagarin State Technical University of Saratov , [email protected] Abstract. Investigating deformation waves behavior inelastic shells presents a significant trend in contemporary wave dynamics. But there is a lack of sources devoted to investigating
Иванов С.В.1, Могилевич Л.И.2, Евдокимова Е.В.
3
Ivanov S. V.1, Mogilevich L. I.2, Evdokimova E.V.3
construction damping impact on longitudinal direction in physically non-linear elastic shells. The same concerns an elastic surrounding medium. The paper deals with investigating constructing damping an surrounding medium on deformation non-linear waves propagation, demanding computer modeling methods. The modern approach to constructing difference schemes is used in the present paper. The calculations of the obtained difference schemes allowed for interpretation of physical processes.
Keywords: non-linear waves, elastic cylinder shell.
Деформационная теория пластичности А. А. Илюшина [1,2] связывает компоненты тензора напряжений <х, < с компонентами тензора деформаций ех, е0 и интенсивностью деформаций еи [3,4].
E
Л 2 (£x + Mo^©)l1 + m £u 1 -Mo V E .
а
; а
s„
ТъM (
+4,
Ml
©
ъ
E í /ч m л
--) (s©+Mo^x ) 1 + -£u
1 -Mo V E
(1)
1 +
Mo
(1 -Mo )2.
1
у
2Mo
(1 -Mo )2.
Здесь Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; ¿и0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.
Рассматривается осесимметричный случай цилиндрической геометрически линейной оболочки с радиусом серединной поверхности Я, плотностью ро толщиной Н0 и упругими перемещениями - продольным и и прогибом Ж, направленным к центру кривизны.
dü
д 2W
£х =
■ - z -
W
R
£в=---z-
W
дх дхА ' " Я Яг Введем малый параметр задачи е << 1 и соотношения, характеризующие задачу. Полагаем
* X * Cq 2
ü = UmU1> W = WmU3 > X =J > t = t , Co
E
Um = s = o(1); R = O l W l
\ w„
= O (4 ^ = O (1);
R h
f \\ Б2
V
u
h
r o(£>' 7 ■ o
Po(1 -M())
í 3Л
V у
m
E
O(1);
(2)
= O(1).
»о л/м
В этих переменных (1) и (2) уравнения динамики оболочки принимают вид [5].
1 Eh0 _д_ l 1 - Mo дх"
Urn dU1 .. w l дх
Mo
R
1 +
2 m
43 e
M1
Y ГдЦ
V l у
дх
+
+ M)
um д^ Wm l дх* R
u3 +
1
<
+ Ц
V Я у
щ
2 -,2 с2 д щ
Р0П0 ^2 Пт 3*2
С0 дщ £1РоПО-0 ит^Т I д?
0;
^По / П02 д2
2 л *2
М)^ти3
1 -ц02 \12/2 дх 2 т
1 +
л/3 Я
^ дЧ ,
"г" - и~1
/2 дх*2
Я
2 "3
1 д ( ^т ди3
Ц
/ дх
л2 г
+
w,„
/ дх [ / дх
2
<дщ_
/ дх
Я
// Щт дЩ1 ™т..
Ц--*--и
/ дх* Я
у V Я 2 т
и
у
У
+ Ц ^
+ Ц2 , г, и3 - * / Я дх *
(3)
1 +
л/э Е
Ц
Гит ди1 V ^ ^
ч 2 Л
V
V
/ дх
+
У
Я
и
+
+ дик
/Я 3 дх
2 2 с0 ди3 с
> + ™тР0П0 -¡2-^р + к1Р0П
2 „Т ^ти3 = 0;
Я2
Здесь р - плотность материала оболочки; е1 - коэффициент демпфирования, к1 - коэффициент постели окружающей среды, с0 - скорость звука, X - время [6].
Введем независимые переменные в виде
* * *
д = х - с?, т = е?
где с - безразмерная неизвестная скорость волны; т - быстрое время. В этих переменных, получим уравнения [7]
дд
+ Ц
ит_ и .. ^ / дд
Ц0
Я
и
1 +
2 т
л/3 Е
Ц
/ дд
т
V Я у
и
1 \
/2 \
и
> = _т
1 '
2 2 2 д щ д щ ^ -2ес- 1
дд2
дддт
ит дщ wт + Ц ——тщ
2 / дд Я 3
и_ дщ дщ с—1 -е 1
(4)
дд
ит дщ wт 2 т
Ц0 —1--т и3 +
/ дд я
л/3 Е
^ „ ит ди1
Ц----и
0 / дд я ■
Ц1
/ дд
+ Ц1
дт
V Я у
и3 +
+ ит ди1 ^тщ
2 / дд я 3
Я 2 Wm
/2 Я
с
2 д2щ3 - 2ес
дд
2
д 2щ3
дддт
^ п
т0
ЯЯ
кги
3-
Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения щ = щ10 + еи11 +..., щ3 = щ30 + еи31 +... (5) Подставляя (5) в (4) и оставляя члены порядка е получим систему уравнений
2
>
*
>
2
2
/
2
д /ди10
ди
2 д2 и
!10 _ М ™т/ и . = с
д#\ д£ М0 итЯ 37 д£2
10
10
д£ итЯ
Из этой системы получаем
мА ди
^ из0 = 0
-^из0 = , с2 = 1 _ Мо (6)
итЯ д£
Следовательно, ыю - остается произвольной функцией, а безразмерная
скорость волны с = (1 _ м0 )2 и следовательно скорость волны равна скорости волны в стержне. Здесь
Е_ Р0
'=1
х
1
—г
р0 у
так как оболочка имеет бесконечную длину.
В следующем приближении е2 получим систему уравнений
М0
и Я
А/ди11 .. "т1
и31 +
2 т
+
Г т1 диюЛ М2—и 10
V
и„Л 30 д£
л/з Е
= _2с
гдию мт1 Л
10 м0 —т— и
V
д 2 и
10
+с
иЯ
2 д2ип
*30
У
М1
^ди10Л
+ М1
"т1 V итЯ
и
30
+
(7)
—1 с-
ди
10 .
д£дг д£2 е д£
ди11 мт/ М0^ГГ--^и31 +
2 т (и„Л
+ М2
д£ итЯ
/ ди
л/3 Ее
V 1 у
М0
ди
10
д£ итЯ
и
30
М1
ди10
+ М1
у л2
"т1 V итЯ У
и30 +
10
итЯ д£
и
30
2 2 1 Я с2 д и30 , ; 1
е 12 итЯ д£
2
е Я и Я
30
Подставим соотношение (6) в уравнения (7) и получим систему
2 д2ип ди31
_М0 т 31
2 т
+ М1М0
и
Я д£ л/3 Ее
^ 1(1 X
М + М2М0 +
) *2
ди
10
д 2 и
10
2 д2и
10
Л£2 _ 2лА _М0 дед д£ д£дг е
_м0
ди
(8)
10
дМц Мт1
М —11--— и
1 Я
31
(1 _м0 )
д3и
10
1 к
М0-Г7Г + к0 М0 д£ е Я д£
д£ итЯ ^ е /^ Умножим обе части второго уравнения на м0 и продифференцируем по £. Оно примет вид
2
2
2 д2щ11
„0 ^2
дд
Ц0
^ ди31 =__
итЯ дд е /
1 Я 1[л 2 \ Цо I1 -Ц0 /
2 \д4и
10
1 п
. + к11 п0 Ц02
дд е я 0 дд2
д 2 и
10
(9)
Левые части уравнения (8) и уравнения (9) совпали. Вычтем, почленно, из уравнения (9) первое уравнение системы (8) и получим разрешающее уравнение
д 2 и
10
4 т
2М -Ц , ^ 0 дддт л/3 Ее
(1 -„0 /д <и
^ 1(1 -Ц )Ц
+ Ц2Ц0 + Ц1Ц0
22
^ ^ ди
10
дд
д 2 и
10
+
2
1 Я 2
+--~„о
10
+к
1 П0 2 д2и
,2 „0 V1 „0 / л г4 ■ к1 П'Ц0 лг2 V '0^1-.
е /2 дд4 е Я дд2 е дд
Разделим обе части полученного уравнения на 2^1 - Ц и получим
д 2 и
10
+ ^ = 0
*10
2 т (и„Л
дддт л/3 Ее 1 Я2 2
+—~ Ц
/
V / у
1 -Ц д4 и
е/
2
2
10 + к1
1 „2 („ + „ „ +ЦЦ2 /^ ди10 д и10 + 1 -Ц0 Ц1 + „2„0 +„1„0 / "ТТ" лг2 +
дд дд
1 П Ц д и 1 е1 ди10
2 „о
д2и
10
е Я 2л1 -
„о2 дд
+
2 е дд
0
Полученное уравнение есть обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза
(КдВ) для
ди
. Если, учитывая (2), положить дд
П/ Я2 wm = П, м = —, = е
то
т
Ее
и уравнение становится таким
Я V
тП = т = 0(1)
V / у
Ее Я Е
д и
10
2 т
дддт л/3 Е +к
1 - „о2 („1
+ „2„0 + „1„0
2 \/2 ди10 д2и
10
дд ддг
+ Ц
1 -Ц д4и
10
2
дд'
+
2 „о
д 2 и
10
1 е ди
10
-„02 дд2 2 е дд Полагая
= о
ди
10
дд
= ф, 7 = С^ ? = с2т
получим обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ)
дф , дф д Ъф дф + 6ф —^ +--— + + ф = 0
д? д7 дщ д7
где
С1 =
' 2 1/' т 2 +М2М0 +М1М0У2 2
Е 343 "0
при этом положено
С2 - С1
т 1
Е 343
(1 - "0 ("1 + "2" + И
11 £1 , _С1Ь "о
' - к1 I-7"
С 2 £ С 2д/1 - "02
-2 ^ ^ 2
При отсутствии продольного конструкционного демпфирования л0 - 0 (£ - 0) получаем уравнение КдВ
др , д3р _ — + 6р— + —— + ^ — - 0 дг дц дц3 дц
Оно имеет точное решение в виде солитона
р - 2к 2сН "2 {к[ц - (4к2 + ^ > ]} Фазовая скорость положительная
(11)
(О „2 — - 4к + к 1
Скорость волны сверхзвуковая
у - Е
Р0
1+£ (4к 2+,1)
Е
343
Влияние постели - окружающей среды (я1) увеличивает скорость волны. Конструкционное демпфирование в продольном направлении (я0>0) оказывает влияние на амплитуду волны. Это влияние исследуется с помощью численного решения уравнений КдВ при я0>0.
В качестве начального условия принимается точное решение (11) при
г - 0.
Волновое число к - произвольная величина. I -Л- — - длина волны.
к
Разностная схема соответствующая уравнению КдВ (10) имеет вид.
п +1 п I п +1 п +1 I , I п п
и - ,.. и+1- и-1)+(«п+1- и-1, +
-1)
Т
4к
+
I 2п +1 2п +Ц мп 2п I | 3 (и - +1 - и --1 )+ (и - +1 - и --1 )
4к
(и"+1 - 2и;+1 + 2и- +1 - иД)+ (и;+2 - 2и-+1 + 2и-_х - и--2)
+
+
+ &
и +1 + и -- - 0
л
0
Проведено численное исследование модели (10), (11) с помощью разностной схемы (12). Результаты приведены на рисунках ниже.
Рис. 1. Отсутствие влияния окружающей среды ($1=0) и конструкционного демпфирования в
продольном ($о=0) направлении, к2=0,1
При отсутствии влияния окружающей среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении, скорость и амплитуда волны не меняется (рис. 1). Это означает что скорость движения сверхзвуковая.
Рис. 2. Отсутствие конструкционного демпфирования в продольном ($0=0) направлении при наличии влияния окружающей упругой среды ($1=1), к2=0,1
При отсутствии конструкционного демпфирования в продольном направлении и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны не меняется. Движение происходит в положительном направлении (рис. 2). Это означает, что скорость движения увеличивается.
Рис. 3. Наличие влияния конструкционного демпфирования в продольном направлении (soo=1)
и окружающей упругой среды (si=1), k2=0,1
При влиянии конструкционного демпфирования в продольном направлении и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны падает. Движение происходит в положительном направлении, скорость движения увеличивается. (рис. 3).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014а.
Литература
1. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды.-М.: Изд-во МГУ, 1990. -310 с.
2. Овчаров А. А., Брылев И. С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования - 2014. - №3 URL: http: //www. science-education. ru/ru/article/viewid=13235
3. Каудерер К. Нелинейная механика.- М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 778 с.
4. Фельдштейн В. А. Упруго пластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе // Волны в неупругих средах, Кишинев, 1970, С. 199-204.
5. Иванов С.В., Могилевич Л.И., Попова Е.В. Продольные волны в нелинейной осесимметричной цилиндрической оболочке // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №2 URL: http://mathmod.esrae.ru/18-68
6. Власов, В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании [Текст] / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. — [Б. м.] : М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. — С. 490.
7. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек: учеб. пособие для бакалавриата и магистратуры - 2-е изд. стер. М.:Издательство Юрайт, 2018. 439 с.
