CC BY
6Моделирование улитки внутреннего уха человека
Магомедов Магомед Алиасхабович,
аспирант, Дагестанский государственный технический университет
E-mail: [email protected]
Улитка играет решающую роль в слуховом аппарате человека. Ее основная функция состоит в том, чтобы сопоставлять звуки разных частот с соответствующими характерными позициями на базилярной мембране. Звуки проникают в заполненную жидкостью улитку и вызывают отклонение базилярной мембраны из-за разницы давлений в камерах улитки с жидкостью. В настоящее время разработано несколько моделей улитки для помощи в исследовании характеристик слуха. Однако сложность получения достоверных данных связана с тем, что в естественных условиях проблематично изучать особенности улитки из-за недоступности внутреннего уха. В связи с чем в статье рассмотрены особенности моделирования улитки внутреннего уха человека с помощью модели длинной линии. В статье представлена физическая модель улитки. Отдельное внимание уделено механизму образования стоячей волны в канале улитки.
Ключевые слова: улитка, ухо, человек, модель, звук, колебания, волны.
В мире практически 10% людей имеют разные патологии слуха, почти 500 млн населения живут с тугоухостью или полной глухотой, из них более 32 млн - дети [1]. В связи с этим проблема исследования слуховой системы человека с целью развития теоретических и практических аспектов, которые позволят улучшить процедуры диагностирования для последующего лечения людей со слуховыми пороками, является чрезвычайно острой.
Важнейшим органом, отвечающим за амплитудно-частотный анализ слуховой системы человека, является улитка внутреннего уха. Она состоит из мембранозных и костных лабиринтов, имеющих спиралевидную форму. Улитка имеет три отдела: преддверная лестница,барабанная и срединная лестница. К структурам улитки также относятся овальное и круглое окно, которые находятся в базальной части улитки, но в разных каналах.
Моделирование, изучение механики внутреннего уха в течение последних лет вызывает все больший интерес, поскольку более полное понимание данной предметной области позволит применять новые методы хирургической реконструкции уха. Считая, что первым шагом в изучении процессов, протекающих в улитке внутреннего уха, является построение модели, которая описывает смещение базилярной мембраны, учеными были предложены аппроксимации передаточной функции мембраны, рассчитанной по физиологическим данным Бекеши [2]. Остановившись на этом, в целом научные изыскания в данном направлении были окончены. Как результат сегодня линейные пассивные модели, описывающие колебания базилярной мембраны, не всегда согласовываются с экспериментальными данными. Кроме того, для построения математической модели улитки важную роль играют вопросы ее формы и учет роли мембраны Рейснера. Обозначенные аспекты достаточно важны, так как могут в значительной степени повлиять на модель и ее формализацию.
Таким образом, уточнение, более полное и точное описание процессов, происходящие во внутреннем ухе человека, составляют на сегодняшний день актуальную научно-практическую задачу, необходимость решения которой обуславливает выбор темы данной статьи.
Проблеме передачи и преобразования звукового сигнала в слуховой системе человека посвящено немало работ, в частности, можно отметить таких авторов как: Порхун М.И., Вашкевич М.И., Дворянчиков В.В., Кузнецов М.С., Perrier, Thomas; Bitsche, Mario; Newman, Tracey A; Saulnier, Patrick.
Над задачами создания одно-, двух- и трехмерной модели улитки внутреннего уха человека трудились такие ученые как: Рахматуллаев М.А., Ди-
сз о
о Л о
о сз о в
е
е_э
аб Х.М., Терехина Л.И., Ouni, K.; Ellouze, N.; Jan, J.; Kozumplik, J.
В тоже время, несмотря на имеющиеся публикации, в рассматриваемой предметной плоскости остается еще много нерешенных и дискуссионных моментов. В частности, в дальнейшем исследовании нуждаются особенности влияния мембраны Рейснера на механику процессов, проходящих в улитке. Также дополнительного обоснования требуют уравнения, которые дают возможность связать между собой колебания стремени и колебания базилярной мембраны.
Итак, с учетом вышеизложенного, цель статьи заключается в рассмотрении особенностей моделирования улитки внутреннего уха человека.
Улитка представляет собой конус, состоящий из двух параллельных половин: обратного и прямого конусных рупоров, разделенных между собой за-витковым ходом с вязкой эндолимфой, отделенной от вестибулярного канала рейснеровой мембраной, а от тимпанального канала - базилярной мембраной [3] Заметной особенностью улитки внутреннего уха является ее спиральная форма, которой в математических моделях часто пренебрегают. Есть две основные причины для этого. Первая состоит в том, что многие ученые считают, что влияние закрученной формы на механику базилярной мембраны незначительно; вторая причина заключается в том, что уравнения для такой закрученной улитки намного сложнее для решения, чем для не закрученной. Очевидно, что закрученная структура должна иметь некоторые функции, так как она присутствует практически у всех млекопитающих [4].
С учетом вышеизложенного, для моделирования улитки внутреннего уха человека используем модель длинной линии. Линейную модель улитки представим в виде двух одинаковых прямоугольных каналов, заполненных несжимаемой, невязкой жидкостью (см. рис. 1).
Рис. 1. Физическая модель улитки. Вк и Нк - верхняя и нижняя камера соответственно; ОВ и КВ - овальное и круглое окно соответственно
Каналы разделены кохлеарной перегородкой на плоскости z=0. Базилярная мембрана имеет ширину в(х)\ и занимает часть е=$/Ь от ширины Ь перегородки. Рассмотрим двухпараметрическое управление системой: компонент Р давления жидкости, создающий бегущую волну вдоль базилярной мембраны, является антисимметричным относительно плоскости г=0. Таким образом, ограни-
чимся рассмотрением только верхнего канала. Благодаря предположению о жидкости, заполняющей модель, отметим, что давление жидкости должно удовлетворять уравнению для потока. Запишем уравнение в следующем виде:
д2Р д2Р д2Р _ +—2 + —т = 0 дх2 ду2 dz2
~i2i
(1)
где P(X,y,z) = Pc (х,z,-z)- Puc (x,y,z);z > 0 , а Pc и
Puc - это давление жидкости в нижнем и верхнем канале соответственно.
Зададим предельные условия. У каждой стенки производная от P является пропорциональной нормальной составляющей скорости жидкости. Условие у основания улитки соответствует скорости овального окна, управляющего системой. Погрешность, возникающая при использовании предположения, что скорость постоянна относительно y и z незначительна [5]. Выразим скорость стремени для гармоничного колебания следующим образом:
дР
— |х=о = 2oœpAsi / bh
(2)
где А5: это площадь основной пластины стремени.
У твердых стен нормальная составляющая скорости жидкости равна:
f"1х=/ = 0; f" |у=0 = 0;f1х=b = 0; f"lz=h = 0
А на кохлеарной перегородке:
дР
— lz=/ = {2 j mpV ( х, у );
(3)
(4)
Ь1 (X) < у < Ь2 (X) 0:
0 < у < Ь1 (х),Ь2 (X) > у < Ь
где р плотность жидкости, а У(х, у) скорость базилярной мембраны, определена положительной в направлении вверх.
В акустике, в отличие от механики, вместо двух величин, звукового давления и колебательной скорости, используется одна величина - потенциал колебательной скорости. Волна описывается волновым уравнением Вебстера [6]. Для синусоидальных колебаний оно имеет вид:
d Ф 1 dSdФ .2. _
—^ +---+ k 2Ф = 0
dx2 S dx dx
(5)
m
ш
где k = — (c0 = 1500 м/с в воде).
C0
Для волн в безгранично длинном экспоненциальном рупоре:
Ф (х ) = АеУ1Х (6)
где y =-5-л/б2-k2 = -S- jk< 1 -
Ф ( х ) = Ae~bxe-jk'x
где k' = k<11 - F = C0Í1 -
V m 1
Соотношение (6) имеет смысл лишь до тех пор, пока к - действительная величина, то есть второй член подкорневого выражения (7) меньше единицы. Поэтому частота, при которой это условие нарушается и волновой процесс в рупоре перестает существовать, называется критической:
Волновое уравнение имеет вид:
д2Ф дх2
2 dФ ,2. _
---+ к2Ф = 0
r dx
д2 (гФ) _ 2 д2 (гФ)
dt2
■ = С
дг 2
(10)
'кр
1 ,пЖ
= — Itn 2х
8 = 1 2/
M
для рупора
конечной длины.
Для конического рупора:
S = S0 (1 + a nx)n (n = 1,2,3...) (8)
2
При n=2: S = S0 (1 + a2x) = S0
Г±Л xo
где, xo
x0 =
a2
-1
то есть описывает расхожую волну, для которой:
ф = Аех«*-*) (ц) г
II дФ . . , дФ
где X = Г; р = Р0 — = уюроФ;^ = -— дг дх
В том месте, где поперечное сечение канала улитики (ее диаметр) равно половине длины волны, образуется стоячая волна, рис. 2, поскольку в коническом сечении завитки всегда найдется подходящее поперечное сечение с диаметром D= и/2. В данном случае имеем дело с известным явлением поперечного резонанса.
базнлярная мембрана Рис. 2. Механизм образования стоячей волны в канале улитки
Так как реальная базилярная мембрана в состоянии покоя не имеет натяжения, то в терминологии механики она скорее пластина, чем мембрана. Она высоко анизотропна в неповрежденной улитке [7] и состоит из мягкого основного вещества с поперечными волокнами. Уравнение пластины для такой структуры имеет следующий вид:
<L
дх2
D
\ ,2 (
д2У дх2
vD
ду2
ду2
д2У
д2^
(D + Df W + vD
v ' ду2 дх2
(12)
+2 (1 -v )
д2
( д2^
дхду
дхду
-РрЮ
HV =
= jrnP(х,у,0),Ь1 (х) < у < b2 (х)
где pp - постоянная плотность структуры, H - толщина пластины, D - изгибающая жесткость основного вещества (что является изотропной), Df - изгибающая жесткость волокон, v - Пойзоновская константа гибкости для основного вещества. Величины H, D и Df - комплексные величины как вязко гибкие характеристики базилярной мембраны.
Таким образом, подводя итоги проведенного исследования, можно сделать следующие выво-
ды. Форма улитки внутреннего уха человека представляет собой коническую акустическую трубку, закрученную в спираль, имеющую неоднородности на своей внутренней поверхности. В связи с этим для ее моделирования предложено использовать модель длинной линии. Использование данного типа модели является полезным при необходимости быстрых оценочных расчетов.
Литература
1. Vermiglio An Evaluation of the World Health Organization and American Medical Association Ratings of Hearing Impairment and Simulated Single-Sided Deafness // Journal of the American Academy of Audiology. 2018. Volume 29: Number 7; pp 634-647.
2. Кац Л.К., Митрофанова Т.В. Некоторые аспекты морфометрии внутреннего уха человека // Forcipe. 2022. Т. 5. № 3. С. 33-44.
3. Young, Yi-Ho Inner ear test battery in guinea pig models - a review // Acta oto-laryngologica. 2018. Volume 138: Number 6; pp 519-529.
4. Zhang, Jing Numerical evaluation of implantable hearing devices using a finite element model of human ear considering viscoelastic properties //
C3
о
о Л о
о сз о в
1
S
S
0
Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. 2016. Number 8; pp 784-794.
5. Шамсидинов Б.Н., Махамадиев А.А. К вопросу диагностики и лечения тимпаногенных лаби-ринтитов // Вестник Академии медицинских наук Таджикистана. 2019. Т. 9. № 1 (29). С. 83-88.
6. Sakellarios, A. I. A validated methodology for the 3D reconstruction of cochlea geometries using human microCT images // Measurement science & technology. 2017. Volume 28: Number 5; рр 8996.
7. Rupin, Matthieu Mimicking the cochlea with an active acoustic metamaterial // New journal of physics. 2019. Volume 21: Number 9; рр 87-94.
MODELING THE COCHLEA OF THE HUMAN INNER EAR
Magomedov M.A.
Dagestan State Technical University
The cochlea plays a crucial role in the human auditory apparatus. Its main function is to match sounds of different frequencies to the corresponding characteristic positions on the basilar membrane. Sounds penetrate into the fluid-filled cochlea and cause the basilar membrane to deflect because of the differential pressure in the cochlea's fluid-filled chambers. Several models of the cochlea have now been developed to aid in the study of hearing characteristics. However, the difficulty in obtaining reliable data is related to the fact that it is problematic to study cochlear features in vivo due to the inaccessibility of the inner ear. For this reason, this article discusses
the specifics of modeling the cochlea of the human inner ear using a long line. The physical model of the cochlea is presented in the article. Particular attention is paid to the mechanism of formation of a standing wave in the cochlear channel.
Keywords: cochlea, ear, man, model, sound, vibrations, waves. References
1. Vermiglio An Evaluation of the World Health Organization and American Medical Association Ratings of Hearing Impairment and Simulated Single-Sided Deafness // Journal of the American Academy of Audiology. 2018. Volume 29: Number 7; pp 634-647.
2. Kats L.K., Mitrofanova T.V. Some aspects of morphometry of the human inner ear // Forcipe. 2022. V. 5. No. 3. S. 33-44.
3. Young, Yi-Ho Inner ear test battery in guinea pig models - a review // Acta oto-laryngologica. 2018. Volume 138: Number 6; pp 519-529.
4. Zhang, Jing Numerical evaluation of implantable hearing devices using a finite element model of human ear considering vis-coelastic properties // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. 2016. Number 8; pp. 784-794.
5. Shamsidinov B.N., Makhamadiev A.A. On the issue of diagnosis and treatment of tympanogenic labyrinthitis // Bulletin of the Academy of Medical Sciences of Tajikistan. 2019. V. 9. No. 1 (29). pp. 83-88.
6. Sakellarios, A. I. A validated methodology for the 3D reconstruction of cochlea geometries using human microCT images // Measurement science & technology. 2017. Volume 28: Number 5; pp 89-96.
7. Rupin, Matthieu Mimicking the cochlea with an active acoustic metamaterial // New journal of physics. 2019. Volume 21: Number 9; pp 87-94.
e
u
CM CO
