CC BY
37
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х
издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 229 с.
4. Терентьев М. В. История эфира. - М: ФАЗИС, 1999. - 176 с.
5. Уиттекер Э. Т. История теории эфира и электричества. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001, - 512 с.
6. Кулаков В. Г. О предрассудках классической электродинамики // Символ науки. 2016. №6, ч. 1. С. 13-18.
7. Кулаков В. Г. О заряженном теле, движущемся по инерции // Символ науки. 2017. №2, ч. 2. С. 21-26.
8. Кулаков В.Г. О возможном способе экспериментальной проверки наличия сопротивления движению заряженных тел со стороны среды, в которой распространяются электромагнитные волны // Символ науки. 2017. №3, ч. 3. С. 32-34.
9. Смалюк В. В. Диагностика пучков заряженных частиц в ускорителях / Под ред. чл.-корр. РАН Н. С. Диканского. - Новосибирск: Параллель, 2009. - 294 с.
© Кулаков В.Г., 2017
УДК 519.865
Новиков Алексей Владимирович,
к.ф.-м.н., директор по развитию ООО Мой капитал,
г. Новосибирск, РФ E-mail: allex.novikov@moikapital.com Бурмистров Александр Васильевич, к.ф.-м.н., научный сотрудник ИВМиМГ СО РАН, старший преподаватель НГУ, г. Новосибирск, РФ E-mail: burm@osmf.sscc.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦЕНОВОГО РЯДА В РАМКАХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Аннотация
В рамках предложенной ранее стохастической дифференциальной модели [1] рассматривается задача моделирования и прогноза динамики цены рискового актива. На основе анализа исторических данных относительно коэффициента роста и коэффициента волатильности делается вывод об их случайной природе. Предлагается алгоритм построения стохастических дифференциальных уравнений, наиболее адекватно описывающих динамику этих вероятностных характеристик ценового ряда.
Ключевые слова
Стохастическое дифференциальное уравнение, геометрическое броуновское движение, ценовой ряд, непрерывное распределение, случайная волатильность, коэффициент роста.
Novikov A.V.,
Moi Kapital, Novosibirsk Burmistrov A.V.,
ICM&MG SB RAS, Novosibirsk State University, Novosibirsk
PRICE SIMULATION WITHIN THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL MODEL
Annotation
We consider the problem of simulating and forecasting the price dynamics of the risk asset in the framework
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
of the previously proposed stochastic differential model [3]. We make a conclusion about stochastic nature of the drift and the volatility coefficients, which is based on the historical data analysis. The algorithm for derivation of stochastic differential equations, which adequately describe the dynamics of these probabilistic characteristics of the price, is proposed.
Keywords
stochastic differential equation, geometric Brownian motion, asset prices, continuous distribution, stochastic volatility, drift.
Введение.
Одной из классических задач финансовой математики является задача построения адекватной, с точки зрения практического применения определенных вероятностных характеристик в конкретной ситуации, математической модели ценового ряда. Обзор методов построения математических моделей, а также набор значимых (с практической точки зрения) вероятностных характеристик представлены, например, в статье
[4]. В работе [3] проведен анализ динамики вероятностных характеристик ценовых рядов (в качестве примера таких данных были рассмотрены цены российских акций, торгуемых на ММВБ в 2002-2003 годах), на основе которого построена стохастическая дифференциальная модель (СДМ) ценового ряда. Предложенная модель учитывает случайную природу изменения коэффициентов роста и волатильности, что значительно улучшило классическую модель цены [5], в которой данные коэффициенты предполагались постоянными. По прошествии 15 лет назрела необходимость в обогащении предложенного алгоритма новыми распределениями в силу значительного расширения рынка ценных бумаг и накопления огромного массива исторических цен.
Прежде чем приступить к изложению основного материала, введем ряд обозначений и сокращений, используемых в работе. Случайные величины будем обозначать строчными буквами греческого алфавита (например, ^, (,, ц). Функция плотности распределения вероятностей случайной величины ^ обозначается f^(x), а функция распределения - F^(x). Математическое ожидание ^ будем обозначать через М^, а дисперсию - через DZ;.
1. Классическая модель и ее недостатки.
Классической моделью динамики цены рискового актива является геометрическое броуновское движение Pt, которое удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ) в смысле Ито
[5]:
(dPt = /Pt + aPtdwt, 0 <t<T, { P(0) = Po.
Здесь Pt - цена базисного актива, / Е - коэффициент роста, а Е - коэффициент волатильности, wt - стандартный винеровский процесс. Степень влияния параметров модели на плотность распределения Pt подробно изучена. Также хорошо известны недостатки данной модели, основным из которых является неограниченный рост дисперсии Pt с ростом . Поскольку в прикладных задачах финансовой математики время дискретно в силу специфики данной предметной области (котировки акций, индексов даются с определенной периодичностью), то целесообразно перейти от непрерывной модели к дискретной:
а2
» 2
где г]п - последовательность независимых между собой стандартных нормальных случайных величин, к - шаг равномерной сетки по времени, Рп - моделируемая цена акции в узле номер п. Заметим, что у нас есть исторический ряд цен (Р;; I = 1, ...,Т}. Из последней формулы по оценкам первых двух моментов
выборки {ln (-Т+1)] размера N для параметров / и а получаем: I ^ рп SJn=o
а =
N
N-1 -
1 V а2 lnPN-lnP0
N^^(}nPi+i-lnPi-ah)2,fi = a + Y,a =-Nh-
¿=0
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
При формировании СДМ, учитывающей стохастичность параметров ß и а, использовался метод «скользящего окна» [3], который заключается в следующем:
1. Применяем формулы для подсчета а и ß, используя сдвиг порядка N/2 (данную величину можно
оптимизировать), получаем наборы ß0,ßN/2 ■■■ßkN/2 и а0, QN/2 ... аЫ/2. Здесь к = max {у: ^ + N < т}.
2. Для выборки fi0, ßN/2 ■■■fikN/2 считаем выборочное среднее ß = -¡1^^4=0ßiN/2 и выборочный второй момент ß2 = ßiN/2, при этом выборочная дисперсия V^ = ß2 — (ß)2.
3. Для выборки а0, а N/2 ... аШ/2 считаем среднее а = ^1j-2k=0 а n/2 и выборочный второй момент
а22 = ^1j-£k=0 a2N/2, при этом выборочная дисперсия Va = а2 — (а)2.
Таким образом, в СДМ коэффициенты роста и волатильности ведут себя как стационарные случайные процессы на R и R+ соответственно. Далее для аппроксимации распределений ß и а, с помощью критерия согласия х2 Пирсона [7] в случае, когда по выборке оцениваются параметры распределения, определяются наиболее адекватные распределения в множестве анализируемых непрерывных распределений на R и R+ соответственно.
2. Выбор непрерывных распределений.
По результатам анализа динамики изменения коэффициента роста ß ранее в [3] было предложено приближать его распределение одним из следующих симметричных непрерывных распределений с возможными значениями на всей числовой оси R: нормальное распределение, логистическое распределение, а также распределения Лапласа и Чампернауна.
С другой стороны, аппроксимировать распределение коэффициента волатильности а было предложено следующими распределениями с возможными значениями на положительной полуоси R+: гамма распределение, логнормальное распределение, а также распределения Вальда и Рэлея.
Целесообразность выбора именно этих распределений вытекала из практических наблюдений выборок ß и а для ценовых рядов, соответствующих различным акциям в 2002-2003 годах. Однако сейчас на рынке гораздо больше акций, чем 15 лет назад и описанный в [3] арсенал распределений часто оказывается недостаточным. Поэтому, кроме разобранных в [3] распределений обновленный алгоритм будет дополнительно рассматривать следующие распределения.
Для коэффициента роста ß рассмотрим два распределения.
1. Обобщённое нормальное распределение (а > 0,ß > 0).
Mf = ß,
= a2V(3/ß)
* r(Vß) '
2. Распределение Стьюдента (п > 3).
ъ п-2
Для коэффициента волатильности д рассмотрим четыре распределения.
1. Распределение Накагами (¡л > 0.5, ш > 0).
МС> гоо \ц) ' = (МО2.
2. Распределение Вейбулла (А > 0,к > 0).
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
Mf = ÄT(1 + 1/к).
Щ = А2Г(1 + 2/к)- (МО2.
3. Распределение Эрланга (А> 0, к Е N).
f(x) = (k-1)! .
4. Распределение Максвелла (а > 0).
^ = {2^-х2/(2а2).
М = 2ф
Df = 3а2 - (МО2.
Для всех рассмотренных в данном пункте распределений в обновленном алгоритме строятся соответствующие СДУ на коэффициенты у. и о (см. подробнее [1. 3]) и в итоге получается СДМ в виде системы нелинейных СДУ вида:
Pn+i = Pn + hynPn + ^h^PnVnB,
Ип+i = Vn- hAi(ßn - МО + ^АВКФ1(ЛП)Г]П,2, On+1 = On- hÄ2(On - MO + ^А22КФ2(Оп)Г]п,з, здесь i - независимые стандартные нормальные величины. АВ > 0. А2 > 0 - положительные константы. ФВ и Ф2 - функции связанные с распределениями. аппроксимирующими выборочные распределения для коэффициентов роста и волатильности. соответственно. Полученная система СДУ используется в режиме реального времени для моделирования цены. в том числе для прогноза цены при использовании торговых алгоритмов.
В заключение отметим. что добавление СДУ для коэффициента роста и коэффициента волатильности заметно улучшило адекватность модельной цены по отношению к историческим данным. Кроме того. добавление новых непрерывных распределений в алгоритм выбора СДУ. описывающих поведение коэффициентов роста и волатильности. позволило рассматривать более широкий набор финансовых инструментов. Практические расчеты с помощью расширенной СДМ мы приведем в следующих работах. Также возможно дальнейшее расширение модели ценового ряда в рамках модели больцмановского типа [2. 6]. в которой изменение во времени плотности покупателей f(x, t) и плотности продавцов g(x, t) описываются следующими дифференциальными уравнениями
о2
ftk(x, t) = —fXXc(x, 0 - kfk(x, t)gk(x, t) + kfk(x + а, t)gk(x + а, t), о22
gtk(x, t) =YgX*(x, t) - kfk(x, t)gk(x, t) + kfk(x - а, t)gk(x - а, t), с начальными данными
fk(x, 0) = fo(x) > 0 и gk(x, 0) = go(x) > 0. Здесь x - цена покупки или цена продажи (для покупателя и продавца соответственно). а > 0 - цена транзакции. к - частота сделок. При этом. если покупатель и продавец договариваются по цене. то происходит сделка. продавец становится покупателем. а покупатель - продавцом. Список использованной литературы:
1. Аверина Т.А.. Артемьев С.С. Моделирование стационарных случайных процессов с заданным одномерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией // Препринт 495. ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1984. 24 с.
2. Бурмистров А.В.. Коротченко М.А.. Reisswich M. Моделирование цены методом Монте-Карло в рамках
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
модели больцмановского типа // Материалы XVII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, Россия. 30 октября - 3 ноября 2016 г., стр.29.
3. Новиков А.В. Адаптированные стохастические дифференциальные модели ценового ряда // Препринт 1157. ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск, 2003, 27 с.
4. Artemiev S.S., Novikov A.V., Ogorodnikov V.A.Mathemmatical aspects of Computer aided share trading // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2002. - Vol. 17, No. 4. - P. 331-346.
5. Black F., Scholes М. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. - 1973. -Vol. 81, No. 3. - P. 637-654.
6. Burger M., Caffarelli L., Markowich P., Wolfram M.-T. On a Boltzmann-type price formation model // Proceedings of the Royal Society A. - 2013. - Vol. 469, N 2157, 20130126.
7. Greenwood P.E., Nikulin M.S. A guide to chi-squared testing. - New York: John Wiley & Sons, 1996. - 280 p.
© Новиков А.В. , Бурмистров А.В., 2017
УДК: 519.6:539.3
Аннотация
Особенностью алгоритма является использование конечно-элементной технологии, основанной на смешанной формулировке, построенной с помощью функционала Рейсснера. Представлены основные матричные соотношения для двухмерного случая.
Ключевые слова
Задача теории упругости; метод конечных элементов; смешанная формулировка; функционал Рейсснера.
Одним из альтернативных вариантов при численном анализе задач теории упругости [1, 2] является применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов, в которых напряжения входят в разрешающие уравнения наряду с перемещениями как равноправные неизвестные. Основным положительным обстоятельством при использовании смешанных формулировок метода конечных элементов является уменьшение погрешности аппроксимации напряжений, что и приводит к более точной оценке напряженно-деформированного состояния по сравнению с классическим подходом метода конечных элементов в форме метода перемещений [4 - 6].
В данной работе рассматривается один из вариантов метода конечных элементов в рамках смешанной схемы, основанной на применении функционала Рейсснера. Для численного решения задачи теории упругости применим смешанную формулировку метода конечных элементов, основанную на условии стационарности функционала Рейсснера [7]. Функционал Рейсснера запишем в следующем виде
Станкевич Игорь Васильевич
д.т.н., профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана,
г. Москва, РФ E-mail: aplmex@yandex.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МКЭ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛА РЕЙССНЕРА
