Стохастические дифференциальные уравнения с диффузией и скачками, моделирующие валютные рынки Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.21

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДИФФУЗИЕЙ И СКАЧКАМИ,

МОДЕЛИРУЮЩИЕ ДИНАМИКУ ВАЛЮТНЫХ РЫНКОВ*

Я. И. Белопольская1, С. Р. Филимонова,2

1. Санкт-Петербургский гос. архитектурно-строительный ун-т д-р физ.-мат. наук, профессор, yana@yb1569.spb.edu

2. Санкт-Петербургский гос. архитектурно-строительный ун-т аспирант, spy2404@mail.ru

Введение

Построение стохастических моделей финансовых рынков и расчет безарбитражных цен производных ценных бумаг (опционов) представляют собой наиболее актуальные задачи современной финансовой математики. Простые модели динамики рынков, предложенные в 70-е годы прошлого века в работах Блэка, Шоулса и Мертона, неадекватны их современному состоянию. Основные предположения, заложенные в этих моделях, сводятся к предположению об эффективности рынка (на рынке любой актив можно купить и продать) и об отсутствии трансакционных издержек. Кроме того, в рамках этих моделей предполагалось, что движение цен активов непрерывно и может быть описано линейным диффузионным стохастическим уравнением с постоянной волатильностью (коэффициентом диффузии модельного процесса). Однако при калибровке модели, т. е. отыскании волатильности, при которой теоретические (расчетные) цены совпадали бы с рыночными, было показано, что эти модели плохо согласуются с современными рыночными данными. Это привело к необходимости поиска новых моделей, таких как модели, основанные на общих процессах Леви, модели, описываемые нелинейными стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) с диффузией и скачками, которые, оставаясь в рамках предположений об эффективности рынка и отсутствии трансакционных издержек, позволяли бы получать удовлетворительное согласование теоретических и рыночных цен. Изучению локальных характеристик в

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта DFG 436 RUS 113/823 и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-638.2008.1).

© Я. И. Белопольская, С. Р. Филимонова, 2009

моделях финансовых рынков, содержащих как диффузионную, так и скачкообразную компоненту, посвящен ряд работ [1—5].

Поскольку современные финансовые рынки являются глобальными, очень важно также иметь адекватные модели валютных рынков, однако, существует сравнительно небольшое количество работ, посвященных валютным рынкам (см. [3]). Одна из первых моделей валютного рынка появилась в работе Гармана—Кольхагена (модель ГК) [6]. В этой модели курс обмена X(г) иностранной валюты на местную — это геометрическое броуновское движение, удовлетворяющее линейному СДУ. Обобщением модели ГК является модель Мертона [7], в рамках которой случайный процесс X(г) удовлетворяет линейному СДУ с дифффузией и скачками.

Рассмотрим финансовый рынок, на котором присутствуют две валюты — местная и иностранная. Пусть на рынке присутствуют два безрисковых актива местный и иностранный, и их цены В ¿(г) (в местной валюте) и В/ (г) (в иностранной валюте) задаются уравнениями

где т^т^ —заданные константы (безрисковые процентные ставки в местной и иностранной валюте). Пусть (И, Т,(^) —вероятностное пространство, на котором определены стандартный винеровский процесс Ш(¿), пуассоновский процесс N(I) с интенсивностью Л > 0 и пуассоновская мера и(&, ¿г) с мерой Леви п(с!г), удовлетворяющей оценке

Обозначим X(в) курс обмена иностранной валюты на местную и опишем его с помощью линейного СДУ. Как следует из общей теории арбитража, безарбитражная цена Г(г,х) производной ценной бумаги на курс X(в), играющий роль базового актива, с контрактной функцией Ф(х) задается соотношением

где — мартингальная мера, т. е. мера, абсолютно непрерывная относительно меры Р и такая, что дисконтированная цена любого торгуемого актива представляет собой ^-мартингал.

В настоящей работе динамика валютного рынка задается с помощью нелинейных СДУ с диффузионной и скачкообразной компонентой. В следующем параграфе мы рассматриваем диффузионную модель рынка, приводим выражения для предполагаемой и локальной волатильностей и обсуждаем связи между ними. В третьем параграфе рассматривается общая модель с диффузией и скачками и приводятся выражения для локальной волатильности и локальных характеристик скачкообразной компоненты. При этом идеи и результаты работ [2, 4, 5] применяются к моделям валютных рынков.

1. Диффузионная модель рынка.

Предполагаемая и локальная волатильность

Рассмотрим модель ГК, в рамках которой динамика курса обмена X(в) определяется СДУ

где т = — г$, а — заданная константа и х > 0 — начальный (сегодняшний) курс об-

мена. Рассмотрим колл- и пут-опционы на курс обмена с контрактными функциями

3,Ва(в)= таВа(в)3,в, dBf (в) = г/ В/ (в)(в, Ва(і) = В/ (г) = 1,

Г (г,х) = е-^т^Е^т (т))],

dX (в) = X (в)[г (в + а(ш(в)\, X (г) = х,

(1.1)

Фх(х) = тдх[х — К, 0] = [х — К] + , Ф2(х) = [К — х]+, где константа К > 0 обозначает договорной курс обмена. Для безарбитражных цен Сак колл-опциона и Рак пут-опциона существуют явные представления вида

Сак(т, х, а, К, Т) = в-г?тхМ(¿+) — с-глтКМ(¿—), (1.2)

Рак (т,х,а,К,Т ) = Ке-г*тЯ(—3,-) — хв—г* тМ(—3,+ ), (1.3)

где _

1пГЛ± —<Т2Т

сга/т I \К) 2

Т > 0 — момент исполнения опциона, т = Т — Ь,

=

^ = хе(гл-г!)т, (1.4)

1 Гу

Щу) = ~^= е 2 ¿г.

у 3 — ^

Эти соотношения называют формулами Гармана—Кольхагена (ГК).

Модель ГК очень популярна, однако при калибровке этой модели, т. е. при попытке сопоставить теоретические цены Сак (Т,К), Рак (Т,К), рассчитанные по формулам (1.3), (1.4), с рыночными ценами с*(Т,К), р*(Т,К) колл- и пут-опционов, и использовать соотношение с*(Т,К) = Сак (Ь,х,а,К,Т) для определения а, оказалось, что а зависит от К и Т. При этом соотношение

о*(Т, К) = Сак(Ь, х, Е(Т, К), К, Т) (1.5)

(при фиксированных Ь € [0, Т] и х > 0) можно рассматривать как уравнение относительно коэффициента волатильности а.

Величину Т,(Т,К), удовлетворяющую (1.5), называют предполагаемой волатильностью. Предполагаемая волатильность является очень удобным параметром, который используют трэйдеры для котировки цен опционов на внебиржевых валютных рынках. Однако тот факт, что она зависит от К (этот феномен называют улыбкой волатильности) и от Т, приводит к необходимости рассматривать модели с переменной (локальной) волатильностью а. При этом полезно иметь формулы, связывающие предполагаемую и локальную волатильность.

Пусть X(в) —случайный процесс, удовлетворяющий уравнению вида (1.1) с коэффициентом диффузии а = а(Ь,х). Из классических результатов теории СДУ следует, что если а(Ь, х) ограничена, неслучайна и удовлетворяет условию Липшица, то решение уравнения (1.1) существует, единственно и представляет собой марковский процесс. Используя прямое уравнение Колмогорова для процесса X(в), нетрудно показать, что при фиксированных Ь,х,Ь > 0,х > 0 функция с(Т,К) = е—та(т—1')Е(^х[Х(Т) — К] + удовлетворяет уравнению

^ И*Ю. (О)

Следуя идеям Дюпира [1], для определения локальной волатильности а(Т,К) по наблюдаемой цене колл-опциона с*(Т,К) используем соотношение

а(Т,К ) =

+ + Г/с*(Г, К)

1 к?д*с*(Т,К)

2л дК2

(1.7)

Поскольку предполагаемая волатильность Е = Е(Т, К) зависит от К и Т, обозначив ф(х) = Я(х)' плотность стандартного нормального распределения, мы получим из (1.2)

лг*

— = rdKe-rd(-T-t')Af(d_) +x<f>(d+) d!

дЕ

1 Е

—Vr^-t + -VT_

Л-* fiy ____

— = зф(с1+)шVT~i -

(1.8)

(1.9)

d?c*

Ж* = **№+>

i дЕ \дК

d+\/T — t ( —— у/Т — t ] + дЕ d+

+ 2тТ77^7 +

д2Е

дКЕК ЕЮ^Т^Ї Ж2

(1.10)

откуда в силу (1.7) вытекает следующий результат.

Теорема 1.1. Локальная волатильность а(К,Т) связана с предполагаемой волатильностью Е(Т, К) соотношением

a(T,K ) =

2£§ЩТ -t) + E2 + 2rK[T - t]S||

(1 + Kd+§§VT^t)2 + К2[Т - t]E (£§ - d+ (f§)2 VT^t) .

(1.11)

2. Модель рынка со скачками

Пусть v(dt,dz) —пуассоновская случайная мера на [0,T] х R1 и Ev(dt,dz) = Xn(dz)dt, где Л > 0 и JR1 min[1, z2]n(dz) < <х>. Пусть курс обмена X(6) подчиняется линейному СДУ:

(ez — 1)j(d6,dz), (2.1)

где j(dt,dz) = v(dt,dz) — Лп^^сМ, m = Jr1 [ez — 1]n(dz). Используя формулу Ито, нетрудно проверить, что решение линейного СДУ (2.1), удовлетворяющее условию X(t) = x, допускает представление вида

Х(в) = xejt -AA]d0i + /t <rd«j(0i)+/t JRl zfi(de!,dz)

(2.2)

где т = [вг — 1 — г]п^1г).

Из общей теории арбитража следует, что цена европейского опциона с контрактной функцией Ф(х) задается соотношением

Е (Ь,х)= в—^т—)Е?х[*(Х (Т))]

относительно мартингальной меры Q. При этом, если Ф(х) достаточно гладкая функция, то Е(Ь,х) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению

dF Л п dF 1 2 2 d2F

— + [г - Л,»1а.— + -а * ^

+ Л I [F(t, xez) — F(t, x)]n(dz) — rdF = 0.

R

2

Заметим, что уравнение (2.1) можно записать в виде

¿X (в) = X (в—)

N (е-г) г ¿в + ад.'ш + и к

к=1

(2.4)

где N(Ь) —пуассоновский процесс с интенсивностью Л, ЕМ(Ь) = ЛЬ, ик, к = 1, 2,... — независимые, одинаково распределенные случайные величины с распределением ^(¿г), причем и)(Ь), N(Ь) и ик, к = 1, 2,..., независимы.

Если мера ^(¿г) имеет вид п(<1г) = Г (¿г), где Г = N(^J ,а‘^) —нормальное распределение со средним ^J и дисперсией ст^-, то процесс X(в), удовлетворяющий (2.4), допускает представление в виде

где

м

X (в) = х ехр

1

N (е-г)

ам(в — і) + а[гш(в') — ,ш(і)] + ^ ' ик

к=0

г-----а2 — ХЕ[еик — 1] = г------а2 — А ( ехр і -\—- — 1 ) .

1

2

2

2

(2.5)

(2.6)

Модель такого вида называется моделью Мертона. Цена колл-опциона в модели Мертона может быть вычислена явно по формуле

то р — Х(Т-г)\к (т _ +)к

См(і, х, а, К, Т) = е-гТ ]Г-----------^-------’-Сакіі, Хк, ак, К, Т), (2.7)

к=0

к!

где а2к = а2 + ка2 / (Т — і)

Хк = хехр

ка2

Н—~ — і) ехр < /х/ + ^ + Х(Т — і)

Как и в модели ГК, попытка согласовать рассматриваемую модель с диффузией и скачками с рыночными данными показывает, что предположение о постоянстве параметров а и Л не подтверждается, что приводит к необходимости рассматривать более сложные модели.

Пусть X(в) удовлетворяет СДУ вида

¿X(в) = X(в—) [г¿в + а(в, X(в))<1т(в)+

+

[в* — Ц^в^(в), ¿г, ¿в)

X(і) = х,і < в < Т, (2.8)

где а (в, х) — заданная неслучайная функция, и(Ь, х, ¿Ь, ¿г) — поле пуассоновских мер со средним Еи(Ь, х, ¿в, ¿г) = а(Ь, х)п(с1г)с1в и р(Ь, х, ¿Ь, ¿г) = и(Ь, х; ¿Ь, ¿г) — а(Ь, х)п(с1г)сИ. Обозначим

М (у) =

/-то /-то ^(¿г)аг1, если у<0, /ТО /ТО п(йхуіхХі если у>0

и предположим, что все несобственные интегралы существуют. Функция М(г), описывающая поведение хвостов меры Леви, отвечает за существование второго момента у

2

и

2

ОО

ОО

меры Леви. Применяя формулу интегрирования по частям и используя свойства меры Леви, нетрудно показать, что справедливо соотношение

/ОО 1 рО

М(у)<1у = - г2и(<1г) < оо.

-О 2 «/ —О

Ниже нам понадобится также функция Ме(у) вида

ГГу е2 Г2 п(¿гl)¿г, если у<0,

М (у) = I '}—О ’—О 6 1 /О е2 п(йг\)йг, если у>0,

которую с помощью формулы интегрирования по частям можно представить как

,г,, ( Гу (еу — е2)пШг), если у<0, _

Ме(у) = < (2.9)

\/г (е2 — еу )п((1г), если у>0.

Заметим, что интегрирование по частям допустимо ввиду сформулированных выше условий на меру п(с!г).

Теорема 2.1. Пусть курс обмена X(в) подчиняется СДУ (2.8). Тогда функция

С(Ь, х, а, Т, К)= е—Гл(т—)Е?х[Х(Т) — К]+ (2.10)

при фиксированных Ь и х удовлетворяет задаче Коши

% = ~’‘кш + г‘{Т- К)К‘Ш ~г,с+

/■О д2с

+ -ТГТгЪ(Т,г)Ме(ЩК/г))<1г, С{Ь,х,а,г,К) = [х - К] + , (2.11)

/о

дг2

где Ме(у) имеет вид (2.9).

Доказательство. Если Ф(х) функция класса С2, то в силу формулы Ито

¿Ф(Х(в)) = [? _ ыв, Х(в)\Х(в)<Ю+

дх

+ х(в))х2(в)ав + З(в))х(в)<]л»(в)+

2 дх2 дх

/оо

[Ф(Х(в—)е2) — Ф(Х(в—))']ly(¿в, ¿г), (2.12)

-оо

где Ь(Ь,х) = а(Ь,х) [е2 — 1]п(с1г). Поскольку контрактная функция колл-опциона

Ф(х) = [х — К]+ не является дважды дифференцируемой функцией, то формулу Ито к ней можно применить лишь в смысле теории обобщенных функций [8]. При этом применяя формулу Ито—Мейера ([9], теорема 4.68), мы получим

(Х(Т)-К)+ = [х-К\+ + £ 1х(в_)>кс1Х(в)сШ+^ 6(Х(е-)-К)а2(е,К)К2с1е+

+ £ Ые—Ж(К — X(в—)]+ + Е 1х(в—)е->к[X(в—)е2 — К] + , (2.13)

г<в<т г<е<т

где 1в —индикатор множества В и 6 — дельта-функция Дирака.

Из соотношений (2.11), (2.13) вытекает, что если выполнены условия теоремы Фу-бини, то

C(t, x, a, K, T)erd(T-t) = [x - K]+ + j (rEttX[Ix(e-)>KX(9-)]d9+

1 Г t

+ -J ЕііХ[6(Х(в-)-К)}а2(в-,К)КЧв + ^(Т)+^(Т), (2.14)

где ві(Т),f32(T) имеют вид

fh(T) = Г E

ю

f‘ T f‘ oo

f32(T) = E Ix(e-)<Ka(9,X(9-)) [X(9-)ez - K]n(dz)

Jo Jln(K/S(e-))

fln(K/S(e-))

Ix(e-)>Ka(9,X(9)) [K - X(9-)ez]n(dz)

n(K/S(e-))

Последовательно дифференцируя по K соотношение

C(t,x,a,K,T)erd(T-t) = E®x [Ix(T)>k [X(T) - K]]

f-OO

(y - K)p(t,x, T, y)dy,

d9,

d9.

K

где p(t, x, 9, y) — плотность переходной вероятности марковского процесса X(9), удовлетворяющего (2.6), мы получаем соотношения

дС С° д2С

Ш^{Т-г) = -J p(t, х, Т, y)dy, Ж2егл{т-І] = p(t, X, T, К) (2.15)

и

f° дС

J yp(t,x,T,y)dy = C-К—. (2.16)

Наконец, перепишем последние два слагаемых в уравнении (2.14), порожденные

скачками процесса X(t), в виде

f T /■ о ,■ ln(K/y)

fii(T)= / a(9,y) [K - yez]n(dz)p(t,x,9,y)dyd9, (2.17)

Jo Jk J-o

f‘ T f‘ K f‘ oo

p2(T) = / a(9,y) [yez - K]n(dz)p(t,x,9,y)dyd9. (2.18)

Jo Jo Jln(K/y)

Дифференцируя по T соотношение (2.14) и принимая во внимание (2.15)—(2.18), мы приходим к уравнению

+ = ,'[с - **2§22, + ^<т. кж^-^П+

ln(K/y)

Jn(K/y) _ ez)

fO pln(K/y)

+ ya(T,y) [e^n(K/y) - ez)n(dz)p(t,x,T,y)dy+

Jk J-o

pK po

+ I ya(T,y) [ez - eln(K/y')]n(dz)p(t,x,T,y)dy, (2.19)

o ln(K/y)

— oo

откуда после несложных преобразований с учетом (2.9) в интегральных слагаемых, получаем уравнение

дС дС 1 д^С Гто

~дТ=~ЖдК + 2а2{ТЛ)К2дїО~ГіС + 1 У^уї°(Т^)Ме(\п(К/у))<1у. (2.20)

Очевидно, что если процесс X(в) не содержит скачков, то полученное уравнение совпадает с уравнением (1.6). Если же процесс X(в) не содержит диффузионной компоненты, т. е. а = 0, мы получим уравнение

дС дС Гто д2С

— = -гКш - г ¡С + у0 У-д^а(Т, г)Ме(]п(К/у))<1у. (2.21)

Введем новые переменные к = 1пК,2 = 1п2 и обозначим с(Т,к) = С(Т,вк). Тогда из уравнения (2.20) вытекает уравнение

дс_

дТ

дс 1 д2с Гто

—+ -а2(т,ек)^-г/С + у ь(т, г)ме(к - г)(іг, (2.22)

где Ь(Т, 2) = е22д2с/дк2а(Т, е2). □

Вернемся к модели Мертона и рассмотрим функцию

См{\Х^т ^Т)е^т-<) = Етт)~к] + \Ъ] = С(Р,Т,к), «=^Г)‘ (2-23)

где См(Ь,х,а, К,Т) — цена колл-опциона, У(Т) = X(Т)/Г(Ь,Т) и Г(Ь,Т) = хеГл(т—) — форвардная цена.

Из теоремы 2.1, соотношения (2.23) и предположения о логнормальности величин скачков следует, что функция О = О(Ь, Т, к) удовлетворяет уравнению

-(Лі ■х)к£+\пт' к)к2И+лі

/ОО

С(і; Т,кв-^J-<т**)ф(г — к)¿г — О ,

-оо

(2.24)

где Л\ = Ле^]+1/2аз и а(Ь, К) = Е(Ь, к).

В частности, в модели Мертона, если а(Т, К) = а —константа, то ее можно определить с помощью соотношений

ОО

О(і, Т, к) = д(і, Т, к, а) = Л(п)М(¿п) — к В(п)М(¿п — Чп),

= 0 п=0

пп

в-\і(Т-г)лп(Т - і)п в-Х(Т-г)лп(Т - і)

А(п) = -----------^-------У-, В(п) -

! п!

п!

Чп = \1°2{Т -І) + па2,

(2.25)

— 1п к + (Л — Л1) (Т — ¿) + + Ьа2) 1

«п =-----------------------------------------------Ь 7,Чп-

Чи 2

Если же а(Т, К) не является постоянной, то соотношение (2.24) можно использовать для того, чтобы определить предполагаемую волатильность Е(Т, к) из уравнения

С(Ь,х, Т*(Т, к),Т, к) = с*, (2.26)

в правой части которого стоит наблюдаемая цена с* колл-опциона с моментом исполнения Т и страйком К. Уравнение (2.24) позволяет также выразить локальную волатильность а(Т, К) = а(Т,к) в терминах предполагаемой волатильности Е(Т, К) = Е(Т,к) аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе.

Теорема 2.2. Пусть к = К / Т(£, Т) и (п = ^1 + (г'к){т-г)) и ^ ~логнормаль-

ная случайная величина, 1п 3 ~ N(^J,а‘2г). Тогда локальная волатильность а(Т,к) связана с предполагаемой волатильностью £(Т, к) соотношением <т(Т, к) = у/Н/Н\, где

Н = ^Т^Е^пА{п)Ф{йп)

и=0

Е /Л Л Ч д^ д£

__ + (Л-Л1)к_ + _

+

+ Л1С ( Т, \/Е2(Т, к) + а2/(Т - -

— ЛЕ[3с(Ь, Т, к/3, £(Т, к/7))], (2.27)

ОО

#1 = -к2а/т - г Е А(п)Ф^п)^п

2

и=0

д2£ дк2 ^

. (2.28)

Доказательство. Подставляя (2.25), (2.26) в (2.24) и вычисляя соответствующие производные после ряда довольно громоздких преобразований, получаем требуемое утверждение. □

Заметим, что если Е(Т, К) = а является константой, то сооотношения, полученные в предложении 2.2, сводятся к равенству

(2.29)

\E\Jcit, Т, к/7, а)] = Х1С Т, уст2 + а2/(Т - ¿)^ .

Кроме того, при А ^ 0 эти сооотношения сводятся к формуле

а I о

<т2(Т, к) =-7^^(2.30)

эквивалентной (1.11). Ряды, участвующие в описании величин Н и Н\, это быстро сходящиеся ряды, и для получения достаточной точности, как правило, нужно вычислить 5-6 членов ряда. Для того чтобы формулы из теоремы 2.2 были полезны на практике, нужно использовать также достаточно эффективные методы вычисления несобственных интегралов

/ОО

д(Ь, Т, е^«—п),а(Т, е^«—п))ФШ'П,

-оо

2

к

где Z определяется соотношением к = eMJ+Caj Поскольку функция g не обращается в ноль при Z — П ^ —те, можно выделить ту ее часть, которая связана с постоянной волатильностью а. Пусть

£(z, t, T) = g(t, T, e Jz, a(T, eJz)) — g(t, T, e Jz, а).

Перепишем I(Z,T) в виде

/СО /*О

g(t, T, eJ(Z-z), a)^(z)dz + AW £(C — z, t, T)<£(z)dz =

О -О

= '^i9(t,T,e >iJ 5<Jj, y^cr2 + <Tj/(T — t) + Ai f £(£ — z, t, T)(j>(z)dz

-О

и заметим, что для вычисления интеграла в правой части можно воспользоваться преобразованием Фурье.

Литература

1. Dupire B. Pricing With a Smile // Risk. 1994. Vol. 7, N1. P. 18-20.

2. Andersen L., Andreasen J. Jump-diffusion processes: volatility smile fitting and numerical methods for option pricing // Review of Derivative Research. 2000. Vol. 4. P. 231-262.

3. Carr P., Wu L. Stochastic Skew for Currency Options // J. Financial Economics. October, 2007. P. 1-47.

4. Carr P., Geman H., Madan D., Yor M. From local volatility to local Levy models // Quan-tative Finance. 2004. Vol. 4. P. 581-588.

5. Kindermann S., Mayer P. On the calibration of local-diffusion market models // RICAM Report 2008-19. P. 1-29.

6. Garman M. B., Kohlhagen S. W. Foreign Currency Option Values // J. International Money and Finance. 1983. Vol. 2. P. 231-237.

7. Merton R. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous // J. Financial Economics. 1976. Vol. 3. P. 125-144.

8. Kunita H. Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations. Cambridge University Press, 1990. 346 p.

9. Protter P. Stochastic integration and differential equations. Springer, 2004. 415 c.

Статья поступила в редакцию 14 апреля 2009 г.