Моделирование трещин при расчетах напряженно-деформированного состояния скальных массивов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИ Й С II И С О К'

1. Брайт П.П.. Галицкий ВТ.. Новиков Ю. II. Уровснный обратный отвсс // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1963. -№8. - С. 15-16.

2. Видуев Н.Г.. РакитскийД.И., Гржибовский В.П. Геодезические измерения при установке машин и оборудования - М.: Недра. 1970. - С. 12-25.

3. Инструкция по организации и проведению натурных наблюдений на хвостохранилищах обогатительных фабрик.- Белгород: Изд. НИИ ВИОГЕМ. 1979.- 38 с.

4. Метод и аппаратура колтроля за устойчивостью ограждающих конструкций геотехнических сооружений, породного массива. Патент России н№ 1730451!/ Инф листок НИИ ВИОГЕМ. 1993. - 2 с.

5. Правила безопасности при эксплуатации хвостовых, иааиовых и гидроотчальных хозяйств. -Белгород: Изд. НИИ ВИОГЕМ. 1997. -98 с. '

6. Пришельцев FI.П. Геофизика. - М.: Геоиздат. 1946. - 320 с.

7. Рекомендации по проектированию и строительству ииамонакопителей и хвостохранилищ металлургической промышленности. - М.: Строниздат. 1986 - 127 с.

УДК 622.833.5:51.001.57

О. В. Зотесв

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕЩИН ПРИ РАСЧЕТАХ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СКАЛЬНЫХ МАССИВОВ

Наиболее распространенным способом учета влияния трещиноватости в геомеханических расчетах является применение коэффициентов структурного ослабления, которое позволяет заменить реальный массив эквивалентной по свойствам сплошной средой. Однако во многих случаях требуется моделирование трещин именно как поверхностей ослабления. В случае применения численных методов (методы конечных и граничных элементов) с этой целью используются так называемые контакт-элементы |2,7-9|. Все они основаны на общей идее: имеют нулевое раскрытие, причем узлы, лежащие "напротив" друг друга, совпадают в пространстве (см. рисунок). Деформационные характеристики этих контакт-элементов определяются двумя независимыми параметрами: нормальной (Км) и сдвиговой (А*с.) жесткостями.

Контакт-элемс»ггы для моделирования трещин:

а - контакг-элемет для решения плоских задач; б - для решения о5ьемных задач; Х- У. - оси глобальных коорлинаг, А"-Z'• оси локальныч координат. 1-6- локальные номера узлов ко}гпигг-->леме1гта

Результатом нулевого раскрытия этих контакт-элементов является вырожденность их матриц жесткости, связывающих узловые силы и перемещения Этот факт предопределяет большую погрешность расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) трещиноватых массивов Для устранения указанного недостатка контакт-элементов предлагается ввести их фиктивную толщину. Однако этот прием требует при описании деформационных свойств элемента использовать не жесткости трещин, а модуль деформации и коэффициент Пуассона материала трещин. Как показывают результаты натурных и лабораторных экспериментов, величины нормальной и касательной жесткостей трещин определяются уровнем действующих напряжений и относительными смещениями их берегов [4. 5] и не зависят друг от др>та. Следовательно, для того, чтобы модель адекватно отражала свойства реальной трещины, описание деформационных сзойств необходимо вести на основе модели трансверсалько-изотропной среды, предложенной еще С. Г. Лехницким При этом плоскость трещины должна совмещаться с плоскостью изотропии Деформационные характеристики такой среды полностью определяются пятью независимыми переменными модулями деформации Е\ и /и по слоям (в плоскости осей X' и )") и вкрест слоев (параллельно оси соответственно, коэффициентами Пуассона ц и и- (соответственно в плоскости изотропии и вкрест изотропии) и модулем сдвига между слоями, т.е. в направлении, перпендикулярном оси 2' (для трансверсально-изотропной среды величина О-, не зависит от величин Е\, Е2, У\ и у:). Связь компонентов тензоров напряжений и деформаций для объемной задачи может быть записана следующим образом:

м-

<7*

<7, *>•

а. =и

1 * Уху

Гх

гг-\ г г.

«м«и

(I)

где {<т} и {¿'} - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; (Э) - матрица упругости:

м

4 ¿2 ¿3 0 0 0

¿2 ¿3 0 0 0

¿3 ¿у ¿4 0 0 0

0 0 0 ¿5 0 0

0 0 0 0 <'6 0

0 0 0 0 0 <'6

(2)

= = Я^+т^2) = Е^

(1 + V, Уп (1 + V, т

Ег

. Е2(\-ух) Е1 _п .

4 --м5 ~ ТГ.-у<*Ь -Ь2,п- —.

т 2(1 + у{) Е2

/и = 1-У, -2пу\.

(3)

Рассмотрим соотношения, определяющие контакт-элемент для решения плоских задач (см.рис. 1, а). Фактическая нулевая толщина элемента позволяет при определении использовать функции формы узлов прямоугольного элемента [6]:

4(1-*•)('-У) 11 Эх' '-У. ч дЫх ду 1-. и

—х'(г- V') дМ2 г-У д^ X'

. х V У )' дх' » ч ду ~~ 11

—*У: 11 ад^з в У.. дN3 х'

дх' " 11 ду " 11

^{1-АУ. дНл _4_ _ __У. д^ 1-х'

дх' 11 ду " а '

где М - функция формы узла / (/=1, 2, 3, 4 - локальные номера узлов контакт-элемента); / и I -фиктивная толщина и длина контакт-элемента.

Для сокращения дальнейших записей введем следующие обозначения:

/},=/,- х': А2=1 - у1, с — = ,

(5)

где в - угол между положительными направлениями осей X и Л", отсчитываемый против часовой стрелки (см.рис. 1, а).

Матрицу градиентов предлагаемого элемента в общей системе координат Л'-У можно записать в транспонированном виде следующим образом:

- А^с А1з А2з - Ахс

- А2з - Ахс - А,5 - А2с А2с х'з -Х'С-А2З А2з -х'с А2С-Х'З у'с -х'з х'с-у'з у'5 х'с +у'С

-у'с - А1л А^с + у'з -у'5 Л|С А^-у'с

Для плоской задачи матрица упругости может быть получена из выражения (2) вычеркиванием строк и столбцов с номерами 2, 4 и 5.

1Ь

(6)

[оГ-

4 ¿3 О

(7)

</, ¿4 О

О о </6

Матрица жесткости контакт-элемента вычисляется как обычно - интегрированием по объему элемента произведений матриц градиентов и упругости и транспонированной матрицы градиентов:

М=/№>]№" (8)

При вычислении элементоз матрицы жесткости постоянные величины (элементы матрицы упругости и величины тригонометрических функций угла поворота систем координат, а также размеры контакт-элементов) выносятся за пределы знака интеграла, и задача сводится к нахождению 12 определенных интегралов табличного вида. Опустим промежуточные выкладки и введем для компактности дальнейших записей следующие обозначения:

61 4 6/

=77« (¿3-4,); СС2 (¿4 -¿6).

о а, 4 6/

+<*6с2); СС3 =4(*4с2

1 * " ' " 4" " "6/

В этих обозначениях матрица жесткости контакт-элемента примет следующий вид:

1*1

2(ААгВВг 2АЛ:-ВВ:+ -24/1,♦ -24ЛгВД>- -/14 -.АЛгВВг- ЛЛуВВу

-2 СС: >сс, ♦СС; 2ВВ\-СС\ ♦СС: -2СС;

2 (ЛЛ:-ВВ2- 2 (АА>~ВВ,+ -24Л;- -24Л,+СС> ■ААГ АЛг /М,-2СС,

•2ССг) ♦СС,) ВВу-СС: •ВВг -СС, -ВВу

+СС: ♦2 СС;

-24Л,-СС, -2ЛЛ:-ВВ>- 2 (.4А,+ Ш:-ВВГ /И.-2СС, А4:ВВу* -.4/1,-

•СС; +ВВ\+ -2 СС: ♦2 СС: ■2ВВГ -ВВ

♦СС,) •СС, ♦СС;

-2ЛЛг-ВВг -2ААУ*СС, 24.4;- ЯЛЛгДД,* ,\Л:-ВВ>> /Ы,-2СС, ■АА;- -/14, •

■СС, •ВВг 'СС)) +2 СС: -ВВ:* -2ВЯ,-

-2 СС: +СС; •сс,

•АЛ,+2ВВ,- •ААуВВг .4Л,- 2 (ААГ -244 г •2Ы;"*

-СС, ♦СС; -2 СС, +2СС: -ВВ,♦ -2СС: ♦СС, -ВВг

-СС,) -СС:

■ААгВВз♦ •ЛАу2ВВ{* ЛЛ,-2СС, 24Л;> 2(ААуВВх- -24ЛГ 2ААу-

+СС2 +сс> -ВВГ +СС,) •ВВГ +СС,

+2 СС: -2 СС: -СС:

ЛЛГ2СС, АА^ВВу* •АЛг*ВВ:+ -2/Ы,* •2ЛЛгВВу 2ЛЛГ

+2 СС: •2ВВГ ♦СС; ♦СС, •СС: 'ВВХ* -ВВГ

•сс. ♦СС,) -2 СС,

ААгВВу* .4Л,-2СС, •Л.4,+2ВВг •24/1 :♦ -2А4,*СС, 2ААу 2(АЛу

+2СС, +ВВ:* •СС, -ВВГ ■ВВг -ВВ,+

»СС2 •СС: -2 СС: ♦СС,)

Таким образом, выражения (2) - (10) полностью определяют контакт-элемент для решения двумерных задач.

Ход рассуждений при выводе соотношений контакт-элемента для решения объемных задач (см рис. 1, б) полностью аналогичен Интерполяционные полиномы (функции формы узлов) такого элемента в локальной системе координат Х'-У'-2' могут быть записаны в следующем виде:

ЛГ, ¿1*'+сч/)(/" Л =Т~(а2 + /)(' - Л

Ы

25/

25/ 25/

=~(аь +ььх'+сьу)*1 Нб =Т~(Л6 +Ь6Х'+С6 у')2'

25/ 25/

(II)

где М - функция формы узла /; 5 - площадь грани 1-2-3 (или грани 4-5-6). определяемая через векторное произведение векторов:

25 =

1 Л', Г, I Л\

1 л-; ^

(12)

л,. ¿>, и с, - постоянные коэффициенты функции формы /-го узла, определяемые так же. как и соответствующие постоянные двумерного треугольного симплекс-элемента через алгебраические дополнения определителя (15):

а\ = *2>'3 ~Х*У2> Ь =У2 'К с\ = дг3

' Ii Ii I« Ii

а2 =хзУ\ - w Ъ =>з -л;«* =Ai -*з;

• • I • I Ii ••

«з =*i>2 -.ед; />, =>', -у2:сз =xj -х,; «4 =6Va5 =a2:Ä5 =

Введем обозначения для частных производных функций формы в местной системе координат: Nlx=(dNJcX'): iV)y=(cN7rV'): Ni:=(cNJcZ') Значения же самих частных определятся следующими соотношениями:

% .btAlNiY .M:Ar,v Ж:

Л 25/ 2Л 2s/ Л 25/ 25/ Л 2sl 2s/

% =£ibiO;W2). =£з£:

" 25/ 21 25/ 31 Ist 25/ 5Г 25/ 6У 25/

о, + у+с,у _ + y+<2y _ Оз+У-К-ЗУ

17 —---'v27 ~--• —--•

1 2.9/ 72 Ist 25/

ir filiiiV-A/ a2 +b2x'+c2y KI Оз-ьу-к-зу

42 =-—-=-—-'"6Z - — •

25/ 25/ 2л/

(14)

Приведенные соотношения дают возможность построить матрицу градиентов контакт-элемента (В) в местной системе координат. Для получения этой же магрицы в общих координатах введем определитель преобразований (поворота) координат |Х]:

М=

¿11 ¿12 ¿13 ¿21 *

"31

-22 Л23

¿32 ¿33

(15)

где А), - косинусы углов между положительными направлениями осей местной и общей систем координат; /=1,2,3 - определяет ось общей системы координат (1 соответствует оси X, 2 - оси У, 3 -оси 7)\У=1,2,3 - определяет ось локальной системы координат (1 соответствует оси X', 2 - оси У, 3 - оси 2').

Например.элемент Л21 определяет косинус угла между осями У и X'. Поворот осей координат в принятых обозначениях выглядит следующим образом:

л"- АцХ+А^ХУ+АЦГ.Х =

у- « А21*'+Я22у+Л2зГ.

г'» Я,♦ Я2Ху+2.х я Л^дг+А^у+Л^г*

В общей системе координат матрицу градиентов контакт-элемента с точки зрения компактности записи, удобнее представить в виде блочной матрицы:

[в]ш В2 Ву Вл Вь В61 , (17)

где [/?,) - блок дифференциальных операторов, обрабатывающих смещения узла / и. в свою очередь. состоящий из трех столбцов по 6 строк каждый:

¿л»,)

ЪМг + Ъ

где/ - номер столбца в подматрице [Д]: / - номер узла контакт-элемента.

Матрицу жесткости контакт-элемента в оошей системе координат также удобно представить в виде блочной матрицы:

М-

*п *12 *13 А", 4 А-,5 А,6

*21 *22 *23 #24 *25 ^26

К>2 *33 *34

а4, А42 *43 Аф, ^45 ^46

кЬ2 *53 Ая *5б

*61 «62 *63 ^64 *65 *66

(19»

Матрица симметрична относительно главной диагонали ([К.,)=\К,]), причем любой блок этой матрицы [Кч] также является матрицей размера 3x3:

Ы=

1 ^12 *13

*2. ^22 *23

*Э1 *32 *33

(20)

/

Элементы же подматриц [К,,] могут быть вычислены через объемные интегралы:

I,, = + ЪМь + *».з*тЖ)+

,1 Ли, 2^2 +

+ /х^пЛ^-Л + Л,.1^.2^)+ ^.^¿(л,,2^.3^3 + Л,.зЛ«Уб)+ (21)

+ Л^12Г лг(л, .1 Л,/.! + Л/.гЛи.гК

+ + Л».|Л*Уб)+ + Л,.2^.3^6 )}•

Направляющие косинусы и элементы матрицы упругости являются константами и могут быть вынесены за знак интеграла, после чего расчет элементов матрицы жесткости сведется к вычислению объемных интегралов от 6 различных комбинаций произведений частных производных функций формы узлов. Если применить к интегрированию по площади частных производных N,2 ¿-координаты [6], то интегралы легко берутся аналитически (все возможные их комбинации приведены ниже):

¡Х1х.\;х</Г =

г

12 л

ь,ь.1

при / < 3 и ) й 3 или / £ 4 и ) 2 4

24л с^с/ 125

во всех остальных случаях

24 .V

V/

12а

V/

245

при / £ 3 и 7 < 3 или / > 4 и у > 4

во вссх остальных случаях

при / < 3 и ) <3 или />4 и у >4

во вссх остальных случаях

\NiyNjMV =

5

— — при > < 3

— при / £ 4 12

с

—'- при / < 3 12

С-

— при /> 4 12

— при / = 7 6/

--при _/' = / + 3

61

— при / £ 3 и >^3 или / > 4 и / > 4 12/

12/

во всех остальных случаях

(24)

(25)

(26)

(27)

Запись матрицы жссткостн в явном виде занимает слишком много места, так как она имеет размерность 18 х 18. Предлагаемые же формулы (II) - (27) позволяют легко алгоритмизировать процесс вычисления матрицы жесткости контакт-элемента в глобальной системе координат.

Для завершения описания контакт-элемента необходимо описать расчет элементов определителя преобразовании координат (15). Направляющие косинусы оси 7. (Яц, Ягз и Я33) могут быть получены из уравнения плоскости треугольной грани контакт-элемента, определяемой, например. узлами 1, 2 и 3:

А = (у2 " >1 Х'з ~2\)~ (лз - У\Х-2 " 2\)• " = (*3 " Х1 Хг2 " (х2 ~ *]ХгЗ " 2\)'

С = (*2 - "У\)~(*з ~ Х\Ь'2 ~ У,): (28)

Ось Л" для определенности можно совместить с вектором, соединяющим точки 1 и 2 контакт-элемента. что позволяет определить направляющие косинусы этой оси нормированием компонент вектора, соединяющего эти точки, на его длину:

где L\: - длина вектора, соединяющего точки 1 и 2.

Направляющие косину сы оси У' можно найти, используя свойства определителя преобразований'

Таким образом, приведенные соотношения полностью определяют модель участка трещины, предназначенную для решения объемных задач.

Как уже отмечалось выше, введение фиктивней тощины контакт-элемента требует перехода от жссткостей трещин, получаемых по результатам эксперимента, к модулям их деформации Такой переход может быть выполнен через величину первоначального раскрытия трещин а0:

Е2=К,а0-, С2 = Кса0. (31)

Модуль деформации в плоскости трещины E¡ может быть принят равным модулю деформации материала берегов трещины. Кроме того, в работах [I, 3) приводится ряд зависимостей, позволяющих установить связь между моду лем сдвиге между слоями трансвсрсально-изотропной среды и модулями деформации и коэффициентом Пуахона, например:

с;, =

Ml

Б И Б Л И О Г Р А ФИЧЕСКИ Й СП ИСО К

(32)

1. Виттке В. Механика горных пород. - М.: Недра. 1990. - 439 с.

2. Гудман Р. Механика скальных пород. - М.: Стронйиздат. 1987. - 232 с.

3. Мерзляков В.П. Особенности анизотропии и механические свойства трещиноватых скальных массивов // Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород: Сб. науч. тр. / ИГД СО АН СССР. - Новосибирск. 1982. - С. 32-33.

4. Речицкий В.И. Результаты экспериментальных исследований жесткости трещин в скальных породах II Геоэкология. - 1998. - № 2. - С. 88-99.

5. Речицкий В.II.. Эряихман С.А. Современные методы определения прочности на сдвиг по трещинам // Геоэкология. - 1997. - X? 5. - С. 102-114.

6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир. 1979. - 392 с.

7. Carol J.. Alonso Е A new jointed element for the analysis of fracture rock // 5th Congr. Int. Soc. Rock Mech. - Mclburn. Australia. - 1983. - P. 147-151.

8. Goodman R.E.. Tayler R.L., Brekke T.L A model for the Mechanic of jointed rock // J. of the Soil Mechanic and Foundation Division. - 1968. - Vol. 94. - N 3. - P 637-659.

9. Ngo IX. Scordelis A.C. Finite element analysis in reinforced concrete Beam // J. of American concrete Inst. - 1967. - Vol. 64. - N 3. - P 152-163.