CC BY
16
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ НЕОДНОРОДНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ДИСПЕРСНЫХ И СПЛОШНЫХ
ТВЁРДЫХ ТЕЛ
К.С. КУРОЧКА, канд. техн. наук, доцент
У О «Гомельский Государственный технический университет
имени П. О. Сухого», Республика Беларусь, 246746, г. Гомель, пр. Октября, 48
Представлена математическая модель сложной пространственной системы, состоящей из неоднородного вязкоупругого грунтового основания, гибкой плиты и микросвай. Предложен алгоритм и программное обеспечение исследования математической модели методами компьютерного моделирования на основе метода конечных элементов. Проведена верификация предлагаемых методик, алгоритмов и программного обеспечения.
Введение
В настоящее время при возведении зданий и сооружений всё более широкое применение находят плитные фундаменты на микросваях. Не редко они используются при строительстве зданий каркасного типа, для которых характерна чувствительность к неравномерным осадкам в плане всего сооружения. Значительное влияние на развитие неравномерных осадок оказывает грунтовое основание, в качестве которого в современных условиях градостроения часто выступают пойменно-намывные или инженерно подработанные территории, содержащие, как правило, погребенные биогенные грунты с пониженной несущей способностью [1]. Особенностью таких грунтовых оснований является способность медленно деформироваться во времени при постоянных напряжениях, что, в конечном итоге, может приводить к значительному изменению напряжённо-деформированного состояния всего здания в целом.
Учет конструктивных особенностей таких фундаментов и наличия слоев грунтового основания с пониженной несущей способностью с целью обеспечения в течение длительного периода времени равномерной в плане всего здания осадки фундамента приводит к необходимости рассматривать плитный фундамент, микросваи и неоднородное грунтовое основание как единую сложную пространственную систему. Одним из основных методов исследования подобных систем является математическое моделирование на основе метода конечных элементов. Дискретизация рассматриваемой области конечными элементами достаточно малых размеров позволяет с приемлемой для практики точностью учитывать неоднородные свойства исследуемой системы [2].
1. Технология построения математической модели сложной системы
Построение математической модели исследуемой системы будем осуществлять на основе системного подхода, согласно которому предполагается, что система может иметь структурное представление, т. е. может быть расчленена на группы элементов с указанием связей между ними. Это расчленение называется декомпозицией, и сохраняется на время действия системы. Указанные группы элементов называются модулями, в связи с этим, принято говорить о модульной структуре системы. Модули образуются по принципу общих свойств, характеру связей или других признаков [3].
Применение ЭВМ требует преобразования исследуемой системы в некое формальное описание (функциональная модель). Для решения данной задачи разработано ряд средств и методов. Наиболее распространённым является описание системы средствами функционального моделирования с помощью специализированных языков ГОЕБО [4] или иМЬ [5].
Рассматриваемая пространственная система состоит из неоднородного вяз-
коупругого грунтового основания и плитного фундамента с набивных железобетонными микросваями в вытрамбованных цилиндрических скважинах [1]. Исследуются осадки фундамента от действия вертикальной равномерно распределённой нагрузки. Ставится задача обеспечения равномерных в плане нормативных осадок. При исследовании системы воспользуемся так называемым микроподходом [3] и принципом декомпозиции, на основании которых можно выделить три типовых элемента: железобетонная плита, микросвая и элемент грунтового основания с одинаковыми физическими свойствами по всему объему. Данные типовые элементы будут иметь одинаковую структуру входных, выходных параметров и внешних воздействий. В рассматриваемой системе в качестве внешних воздействий будут выступать действующая на плитный фундамент нагрузка и известные граничные перемещения, а в качестве входных и выходных параметров - перемещения элементов. При этом ядро математической модели данных элементов, в соответствии с принципом возможных перемещений [2, 6], будет иметь вид
Ш^НЯМ1^, (1)
V
где - вектор узловых перемещений (символ «~» означает его вариацию), {11} - вектор узловых усилий, {в} - вектор деформаций, {о} - вектор напряжений, V - объем конечного элемента.
Следовательно, при компьютерной реализации целесообразно каждую группу типовых элементов описать как класс. В этом случае, все элементы функциональной модели будут представлять собой экземпляры данных классов, а схожие группы элементов можно будет описать новым классом, который будет являться потомком описанных ранее базовых классов. Таким образом, если определить заранее множества классов элементов функциональной модели, то этап ее построения можно осуществить методами визуального объектно-ориентированного проектирования, заключающимися в построении исследуемой системы на экране монитора компьютера из заранее созданных конструктивных элементов [7].
Определим иерархические связи между элементами функциональной модели. Введём понятие уровня (слоя) в функциональной модели. Таким образом, элементы могут располагаться на различных уровнях модели. Уровни между собой взаимодействуют последовательно, т. е. пока не выполняться все элементы нижнего уровня, переход к элементам следующего уровня невозможен. Элементы одного уровня функциональной модели могут выполняться совместно (параллельно). Элемент функциональной модели графически будем обозначать прямоугольником, в правом верхнем углу которого укажем номер слоя или время Входящие в прямоугольник сбоку стрелки будут обозначать вектор входных переменных, выходящие стрелки - вектор выходных переменных, стрелки, входящие в прямоугольник сверху - вектор внешних воздействий. Функциональная модель исследуемой системы будет состоять из элементов трёх типов: элемент плиты, элемент микросваи и элемент грунтового основания (рис.1).
Таким образом, можно предложить следующие этапы исследования математической модели сложной системы:
1. Декомпозиция исследуемой системы и выделение типовых элементов.
2. Построение функциональной модели системы средствами визуального
объектно-ориентированного моделирования [7].
3. Построение математической модели для каждого элемента функциональной модели.
4. Формирование виртуальной физической модели исследуемой системы [8].
5. Автоматизированное построение численно-аналитической модели всей системы. Компьютерное моделирование системы и анализ результатов.
вектор внешних воздействий Л
железобетонная плита
вектор перемещений плиты gш,
вектор перемещений ц"11
микросвая 1
микросвая п
вектор перемещений микросвай gc■
вектор известных граничных перемещений ефа"
ый
слой грунтового основания
вектор известных граничных переме-
щении £ '
2ой слой грунтового основания
вектор пере-мещений ёф.
вектор известных граничных перемещений^^
вектор перемещений gф
тм слой грунтового основания
Рис.1. Функциональная модель системы "гшитный фундамент с микросваями - неоднородное вязкоупругое грунтовое основание"
2. Принимаемые гипотезы
Будем последовательно рассматривать выделенные типовые элементы системы (рис. 1).
Грунтовое основание представляет собой совокупность дисперсных твердых тел. При этом будем считать, что оно является многослойным, т. е. может содержать "линзы" и включения. При нагружении каждый однородный слой грунтового основания может проявлять вязкоупругие свойства. Для описания процесса вязкоупругого деформирования воспользуемся линейной теорией наследственной ползучести Больцмана (Ь. ВоЫгтапп) - Вольтерра (V. Уокегга) [6], согласно которой для вязкоупругих тел имеют место соотношения
<ГХ (о = 2С(г)(1 - Гс Х*х (0 - £ср (0)+ЗК(0(1 - Г0 >ср (О, <7У (0 = - гс (О - *ср (0)+ЗК(0(1 - Г0 >ср (О, (Тг (0 - 20(0(1 - Гс (0 - *ср (0) + ЗК(0(1 - Г0 >ср (О, гху(0 = е«(1-гску(0,... где <тх (?), сгу (?), сгг (?) - нормальные напряжения, гху (г), туг (?) , ги (?) тельные напряжения, ех (?), £у (?), ег (?) - осевые деформации, /ху (?), у, уа0)~ сдвиговые деформации, еср (?) = (?) + еу (?) + ег (?))/ 3 формация, - модуль сдвига, К{1) - модуль объёмной деформации, Г0 -оператор объёмной релаксации, Гс - оператор сдвиговой релаксации, / -время.
Железобетонные плиты являются тонкими, т. е. отношение характерного размера плиты в плане к ее толщине лежит в пределах от 10 до 100. Следовательно, для определения напряженно-деформированного состояния плиты можно воспользоваться теорией изгиба тонких пластинок, основанной на гипотезах Кирхгофа (KirchhoffG.il) [2, 6]:
1. При деформировании толщина плиты не изменяется.
(2)
каса-
уг(0,
средняя де-
2. После изгиба плиты нормаль к ее срединной плоскости сохраняется.
3. После приложения нагрузки все точки срединной плоскости не перемещаются вдоль осей ОХ и ОУ.
4. Напряжениями надавливания горизонтальных слоев плиты друг на друга можно пренебречь.
Микросваи будем рассматривать как объемные линейно-упругие тела [2,6,9].
Предположим, что в процессе деформирования между элементами грунтового основания и фундамента не могут образовываться пустоты, т. е. после приложения нагрузки границы между элементами системы остаются строго общими. Следовательно, железобетонные плиты будут повторять конфигурацию поверхности подстилающего грунтового основания, либо грунт будет заполнять все образующиеся пустоты между фундаментом и поверхностью грунтового основания. Поэтому предположим, что железобетонные фундаментные плиты совместно с грунтовым основанием будут деформироваться во времени при постоянных напряжениях.
3. Математическая модель микросваи
Для дискретизации воспользуемся конечными элементами в форме тетраэдров [2, 9]. К вершинам каждого тетраэдра приложим узловые усилия
им*,
Ух 2Х Х2 У2 2г Х3 73 2Ъ ХА Г4
которым будут соответствовать узловые перемещения
и2
ич
И',
ь
где и, Э, ш - перемещения вдоль осей ОХ, ОУ, ОХ соответственно. Для тетраэдра можно взять линейные функции для перемещений [2, 9]:
и-ах + а2х + а3у + а4г, 3 = а5
или
где
и=
0
1 О
а6х + а7у + а^ ,
0 0 0 0 0 г 0 0 0 0 0 \ х ух
а,
получим
где
[всв]=
имеет место для любой точки тетраэдра.
Ь-1- [всв
1 У\ ¿1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 X, У\ 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 X, У1
1 *2 У2 ¿2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 *2 Уг г2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 х2 У2 ¿2
1 X, Уз 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 *3 Уз ^3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 *3 Уз
1 х4 У\ ¿4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 *4 У4 г4 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 х4 У4 г4
(3)
а12}. ) узлов
(4)
х,, у,, (/ = 1,4)- координаты узлов тетраэдра.
Полагая известным вектор узловых перемещений {¡»св}, найдем из (4) вектор коэффициентов |а01
(5) 21
где
И1
_1_ 6Г
0 0 а2 0 0 аъ 0 0 а4 0 0
Ъх 0 0 Ь2 0 0 Ъг 0 0 Ъ4 0 0
С\ 0 0 с2 0 0 сз 0 0 С4 0 0
0 0 й2 0 0 ¿3 0 0 ¿4 0 0
0 а\ 0 0 аг 0 0 0 0 аА 0
0 К 0 0 Ъг 0 0 ¿3 0 0 К 0
0 0 0 с2 0 0 с3 0 0 0
0 0 0 ¿г 0 0 ¿г 0 0 ¿4 0
0 0 а\ 0 0 а2 0 0 аъ 0 0 «4
0 0 ъх 0 0 Ъг 0 0 Ъъ 0 0 Ъ,»
0 0 0 0 сг 0 0 с3 0 0
0 0 4 0 0 й2 0 0 йз 0 0 ¿4
/+1 X 3 У)
-о тетраэдра, а, =( -1) X к Ук 2к
1 У} 1
Ь, =(-1)' 1 Ук 1 Хк 2к
1 Уп 1 Хп гп
с1, =(-1)'
1
1
х}
У; Ук
Уп
/, к, п- номера вершин элементарного тетраэдра.
Компоненты деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши (СаисЬу А. Ь.) [4]:
ди д& сНу ди д& д& Эи> ди дм
£х =-дх
' Ухч -> ' Ууг ^ ' У г
дг ду
ду дг ду дх
Подставляя (4) в (6) и дифференцируя, получаем
ГО 1000000000 О
— +-дг дх
(6)
{е} = [ссв|асв}, где [ссв]:
000000100000 000000000001 001001000000 000000010010 0 0010000010 0 Для каждого элемента микросваи справедлив закон Гука [6]:
(7)
{о} = [Е0]{е}, где
ю + л л л о о о
л
2 в + Л Л
о о о
л л
о о о о
ю + л о о о
о в о о
о о в о
о о о в
(8)
х=-
- параметр Ляме (Ьат'е й.), С = -
- модуль сдвига.
(1-2ц)(1 + 11) * * , ^ 2(1 + 11)
Подставляя равенства (5) в (7), а затем (7) в (8), соответственно имеем
(Е)- |ссв][всвI"1 |, {о} = [Ео][с°-^и]"^»}. (9)
Подставляя в (1) выражения (9), учитывая произвольность {§} и то, что в рассматриваемом случае все матрицы и {¡»св| не зависят от координат, вычисляя 22
определённый интеграл в (1), для каждого конечного элемента микросваи полу-чаем {ясв}=[ксв]{есв}, (10)
где сваи,
ксв]=фс Бсв]-[сс'
Т[Е0|осв] - матрица жёсткости конечного элемента микро-
Вс
. Выполнив матричные операции в (10), получаем
[к-]=
36У
12
к21
'22
"■23
к-,
31 "32 Л33 к-1 к.
44
'24
34
к 44
к,]-
41 *М2 «МЗ
d1С]Л + c¡dJG di]р + (с¡сЬ1Ъ^ р=2в + Х , / = 14, У = 14.
c¡bjЛ + b¡cJG dibjЛ + bidJG
cidjЛ + djCjG
4. Математическая модель грунтового основания
Элементы грунтового основания также будем дискретизировать конечными элементами в форме тетраэдров. Это позволит обеспечить строго общие дискретные границы между элементами моделируемой системы. Однако элементы грунтового основания при деформировании могут проявлять вязкоупругие свойства, т. е. для них будут справедливы соотношения (2) [6, 10]. Предположим, что при вязкоупругом деформировании грунтового основания объемные деформации будут упругими, т. е. К(1)(\-Т0) = К(г). Тогда соотношения (1) несложно преобразовать к виду:
<7Х (/) = (2О(0 + Лк (0 + Леу (0 + Лег (0 -1 С(/)Гс (/) - (/) - (*))
Л
<ту (0 - Лех (0 + (2в(0 + Л)еу (/) + Лег (/) - - С(/)Гс (2еу (0 - (0 - ^ (о) <т2 (0 = Лех (0 + Лгу (/) + (2О(0 + ¿К (0 -1ОДГС (2ег (/) - гх (/) - *у (о)
гху (о=о«)Гху (о- ттег„ (0, • • •
Перепишем последние выражения в скалярной форме
(4!,
Ч^о •'о ->о J
•'о ->0 у
(И)
■Зо
о
I
Рассмотрим из последнего выражения интеграл вида / - |ГС ((, ^)г(^)^ .
о
Временной отрезок [0, /] разделим на п интервалов, тогда
/ = )тс = £ ]гс (/, .
о ]=0,,
eftj)
n-1 'У+1 . .
По теореме о среднем получим / = s(r¡) |ГС (í, , где r¡ е ; J.
7=о
В качестве точки г) приближенно возьмем одну из границ отрезка, например,
л-1 'j* > и-1
t,. Тогда I»Y.s(t.) |Г (í, , причем / = lim £ Ядро релаксации примем в виде [6, 10]:
Гс ^expC-J, ('-£))• (12)
Подставляя (12) в предыдущее выражение и интегрируя, получаем
п-1 0+1 Я п-ь ,
7=0 t¡ А 7=0
В случае если ядро релаксации ГС(У,^ будет задано в другом виде [6], тогда интегрирование в (13) может быть проведено численно. Первое соотношение из (11), используя выражение (13), можно преобразовать к виду:
W = l^W + + Aty{[) + Л£у\1) -
-^GZb^)-^^)-^^))!6^^-^.))-6^^-^))))' (14)
-Ц у=0
Рассмотрим последнее слагаемое в (14). Для начального времени t0 =0 оно будет равно 0, для времени ц :
28Э{2ех (í,) - fу (í,) - (/, - exp(-¿, (/, -10 )))/(3¿,), для времени :
[2 J /(3(5, )]G х (í,) - (^) - (tj )Хехр(-£, (fffl - tJ+x)) - ехр(-<5, (tm - tj)))).
7=0
Таким образом, аналогично рассуждая для других компонент напряжений, для произвольного момента времени г,+1 соотношения (11) приближённо можно переписать в виде
Щ j=0 28 >
7=0
4 7=0
Следовательно, для нахождения вязкоупругого напряженно- деформированного состояния элемента грунтового основания необходимо знать всю предысторию деформирования, т. е. деформации {е}0, {е}х, {е}2,... В начальный момент времени деформация элемента грунтового основания {е}0 может быть найдена из решения упругой задачи.
Перепишем соотношения (15) в матричном форме:
Н+1 - 1+1 (е}/+1
1 ;=о
где [е0] определяется как и в (8),
" 2 -1-10 0 0
Ы ={ехр(-8х((1+х -
1}+х))-ехр(-*х(1м Д
-1 2
-10 0 0 0 0
-1-12 О О О 0 0 1.5 О О 0 0 0 1.5 О О О О О 0 1.5 Аналогично рассуждая, как в случае микросваи несложно получить основное уравнение метода конечных элементов для грунтового основания:
{кф}+ ¡И^ )(+1 = [кп' 1+1 ^}.+,, (17)
где [к115],.,, =фгр]Т[Е0]м[огр] - матрица жёсткости конечного элемента
Г -1 Г 1С 1 _ _ _ _
грунтового основания, [Бгр ] = [сгр ][вгр ] ', [с115 ] и [вф ] определяются по аналогичным формулам, как и для микросваи, }/+1 = 5. Математическая модель плитного фундамента
Из первой гипотезы Кирхгофа следует, что деформации ех = 0 . Воспользовавшись уравнениями (6), получаем
ег=дп/& = 0. (18)
Следовательно, прогиб плиты не зависит от г, т. е. м> - \у(х,у). Из второй гипотезы следует, что прямоугольник, образованный вдоль осей ОЪ и ОХ или ОЪ и ОУ, не изменится, т. е. касательные деформации у и угх
равны нулю. Подставив последнее равенство в (6), получаем
дЗ д\л? ду/ ди п дЗ дн> ди дю
у - — + — = 0, Уг*~ — + — = 0. Следовательно, — =--, — =--.
дг ду дх дг дг ду дг дх
Интегрируя последние выражения по г, имеем
и = -гды!дх + /х(х,у), 3 = -гдп1ду + /2(х,у), где /х (х, у), /2 (х, у) - произвольные функции.
Согласно третьей гипотезе для срединной плоскости плиты получаем и0- О и 90 = 0, где щ и Э0 - соответственно перемещения срединной плоскости вдоль осей ОХ и ОУ. Таким образом, для срединной плоскости, т. е. при г = 0, получаем щ = /\(х,у) = 0 и Э0 = /2(х,у) - 0, откуда
и = -гдюIдх, 3--гдм/ду. (19)
Соответственно уравнения Коши (6) для тонкой плиты преобразуются к виду £х =-гд^/дх2, £у =-гд2ы!ду2, уху = -2гд2м>/дхду. (20)
Из четвертой гипотезы следует, что напряжения вдоль оси 02 аг = 0. Таким образом, вектора деформаций и напряжений будут иметь по три ненулевые компоненты {е}т = |£х £у уху}, {а}т = (сгх ау тху}. Следовательно, в
плите реализуется плоское напряженное состояние. Используя закон Гука для этого случая [6], аналогично рассуждая, как в случае грунтового основания,
принимая ядро релаксации в виде (12), получаем
e,+i )=(*« ('w )+м)£у >)-
1 -МО
d, j-o
См ) - ^ ('<+1} + (Î'+1
1 f*[J)
-—GX ((ехр(-£, (r,+1 - tJ+l )) - exp(-<5, (i,+1 - tj )))(- £x (tj ) + s, (/, )))
j=о
, , £(0 1-MO „ x
TJTTT* **ОФЛЩЩЛ»1 т»тх no
M ici _ iLrîVÎL™ 1 Ы Ï
ôx j=0
где
=
1-MO2
i //(о о MO 1 0 о о
E™kL = (exp(-<^,+1 ~tj+x ))-exp(-£, (fI+1 -/,)))
1 -1 0 -1 1 0 0 0 1
Рассмотрим прямоугольный конечный элемент, работающий на изгиб при действии поперечной нагрузки [2, 9]. Каждый узел конечного элемента будет
иметь три степени свободы: вх 9у}, (22)
где и> - перемещение вдоль оси ОЪ, 9Х - угол поворота относительно оси ОХ,
ву - угол поворота относительно оси ОУ, причем вх = дм I ду, ву = Эи> / дх.
Для выражения поверхности прогиба принимается полином, удовлетворяющий однородному дифференциальному уравнению изгибаемой плиты [2, 6,
9]: м(х)}>)=а5 +<%х+с%у-юу2 +а(ру+ар?'у+а£с$ +су<? л-а^^у+а^. Дифференцируя это выражение, получаем {5™}=[аШ1]^хШ1}} (23)
где
1 X у х у2 ху х2у ху2 х3 у3 х Зу ху3
0 0 1 0 2у X X2 2ху 0 3у2
3 ху2
м=
О 1 0 2х 0 у 2ху у2 Зх2 0 3х2у у3
|а'ё| = {а, а2 аг а4 а5 а6 а7 аъ а9 аю аи а12}
Так как равенство (23) имеет место для любой точки прямоугольного конечного элемента, то для его вершин справедливы соотношения
.Цвшфпл^ (24)
где 26
tef = к еХ1 eyiwZ2 0Х2 0У2 w23 еХз еУз^4 еХ4 eyJ
[впл]=
1 У V 2 У, ■ВД Х\У\ 2 ЗД 3 *] .У]3 Х?У\ Х1 У,3
0 1 0 2x¡ 0 У\ 2х,у, 2 y¡ Зх2 0 з x2y¡ V
0 0 1 0 2 У, х, 2 Х1 2 х,у, 0 2 Х'з 3 х,у2
1 х2 У2 х22 2 Уг Х2Уг х2Уг х2у22 3 х2 3 Уг Х2 У2
0 1 0 2хг 0 Уг 2х 2у2 2 У2 Ъх2 0 Ъх2у2 3 У2
0 0 1 0 2Л х2 х 2 2*2Уг 0 Ъу2 3 х2 Ъх2у2
1 Уз V 2 Уз *з Уз ЪУз хз Уз 3 Ху 3 Уз хзУз хзУз
0 1 0 2х3 0 Уз 2х3у3 2 •Уз 1 2 0 ^хзУз 3 Уз
0 0 1 0 2у3 х3 2 *3 2хзУз 0 З*2 3 х3 3W
1 х4 У А V 2 У4 х4у4 х/у4 хаУа 3 3 У* ХаУа х4у4
0 1 0 2х4 0 У4 2 х4у4 2 Уа Ъх4 0 3 Х42У4 3 Уа
0 0 1 0 х4 2 *4 2*4 У4 0 ЗЛ2 3 х4 ЗХАУ42
х1, у1, г1 (г = 1,4) - координаты узлов конечного элемента. Из (20) следует МФ^Пё™}-
(25)
Подставим соотношение (24) в уравнения Коши (20) и продифференцируем, в итоге получим {е} = -г[спл |апл}, (26) "0 0 0 2 0 0 2у 0 бх 0 бху 0 " 0 0 0 0 2 0 0 2х 0 6у 0 бху
где
и=
О 0 0 0 0 2 4х 4у 0 0 6х2 6у2
Подставляя равенство (25) в (26), получаем {е} = -^[С'ф™ ]"' }. (27)
Используя (27), выразим в соотношениях (21) деформации через перемещения, тогда для произвольного момента времени будем иметь
Мы =Ч4+1[спл1вплП8сп;}7+4^1
Принцип возможных перемещений (1) для рассматриваемого конечного элемента можно переписать в виде
Е
вязк
,[спл1в-П§™}1 (28)
Л
Ь а 2
h+1
о о_л 2
где h - толщина плиты. Подставим (27) и (28) в (29):
h
Ь а 2
(29)
fo L {*'" }= í Н éz L [в "Г [с - г z([Е ],+1 [с - 1в » Y {g ™ }1+1
0 0 А ' 2
dzdxdy.
- Г [Е^зк I [с- 1в- ]-' }
¿>1 ;=<Л
Поскольку, матрица [в™ ] и вектор узловых перемещений ^) не зависят
от координат, то их можно вынести за знак интеграла, тогда, проинтегрировав последнее соотношение по г, будем иметь
{ипл)+ ^ ™зк }/+1 = [кпл ]/+1 {ё "р },+1 > (30)
где
l¿(\ j=oV
.rml р \j _
аЬ
Ы=№
00
1 -1 -1 1 0 О
\c\lxdy, Н+1 И^Цв'-)-1
- матрица жесткости конечного элемента плиты, причем значения интегралов в последних выражениях легко могут быть вычислены точно.
6. Математическая модель системы "плитный фундамент с микросваями - неоднородное вязкоупругое грунтовое основание"
Для обеспечения общей дискретизированной границы между различными элементами системы предлагается первоначально всю рассматриваемую область разбить на параллелепипеды. Будем считать, что каждый такой параллелепипед, соответствующий грунтовому основанию или микросвае, состоит из шести равновеликих тетраэдров, представляющих собой соответствующие конечные элементы. Параллелепипеды, дискретизирующие плитный фундамент, в математической модели будут аппроксимироваться плоскими конечными элементами в форме прямоугольников. Степени свободы таких элементов определяются выражением (22) и будут вычислены для срединного слоя параллелепипеда. При составлении ансамбля конечных элементов для всси системы необходимо вычислить узловые перемещения для вершин каждого параллелепипеда плитного фундамента. При этом степени свободы узла плиты должны соответствовать степеням свободы узлов грунтового основания и микросвай, т. е. степени свободы любого узла системы должны определяться вектором {и, 9, и-). Воспользовавшись (19) и полагая, что направление оси ОЪ совпадает с направлением действия вертикальных сил, на нижней грани параллелепипеда будем иметь следующие узловые перемещения: {¡»пл }= [ь]^™},
а!
и=
[м] и и и
М N м и
и И [м] и
И И И [ми
,[м] =
> и=
ООО ООО ООО
Отсюда крЛ}=|ь~'1Н-(31)
Подставив равенство (31) в (30), получим основное уравнение метода конечных элементов в перемещениях для нижней плоскости плиты:
{1*ПЛ}+ {1Сзк }м - [к пл 1+1 [ь-1},+1. (32)
Матрица жесткости всей системы в целом строится в следующем порядке:
N
К™ = , где N - количество конечных элементов, которыми дискретизиро-
г=1
вана рассматриваемая система; К™- элемент глобальной матрицы жесткости [кгл], характеризующий вклад у-го единичного перемещения в /'-й компонент узловых сил всей системы в целом; К'ц - элемент матрицы жесткости [кг] г-го конечного элемента, характеризующий вклад/-го единичного перемещения в /'-й компонент узловых сил, причем матрицы жесткости [кг] могут вычисляться по формулам (10), (17), (30). Разумеется, под знаком суммы ненулевой вклад дадут лишь элементы, примыкающие к узлу, в котором приложен г'-й компонент сил. Таким образом, для всей рассматриваемой системы:
|кГЛ1§^}={к}+{квязк}, (33)
где [кгл] - глобальная матрица жесткости; } - вектор узловых перемещений 28
всей системы; {и} - вектор узловых усилий; {Явязк} - вектор узловых усилий,
определяемый для конечных элементов грунтового основания и плитного фундамента по формулам (17) и (30).
Решение полученного основного уравнения метода конечных элементов (33) для определения напряженно-деформированного состояния системы производится с учетом граничных условий. При исследовании математической модели граничные условия определяются значениями перемещений на границах активной зоны грунтового основания и зависят от способа закрепления железобетонной плиты. При этом предполагается, что в каждом узле любого конечного элемента могут быть заданы известные перемещения или узловые усилия.
7. Верификация математической модели и вычислительный эксперимент
Для проверки адекватности математической модели, верификации алгоритмов и программного обеспечения была рассмотрена реальная система плитных фундаментов на неоднородном грунтовом основании, упрочненном набивными фундаментами [1]. Грунтовое основание представлено пылеватыми и мелкими песками с включением рыхлых слоев толщиной до 1 м со следующими характеристиками: Е = 9 МПа, // = 0.41. На плитный фундамент размером 20 х 30 м и толщиной 0.35 м с утолщениями до 0.65 м в местах опоры колонн действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью <? = 114кПа. Модуль упругости и коэффициент Пуассона для плиты и микросваи соответственно будут равны Е = 27 000 МПа, ¡и =0,33 и Е = 24 000 МПа, ц =0,2. Диаметр в верхней части микросваи равен 1,2 м, диаметр в нижней части - 0,5 м, длина -2 м. При моделировании цилиндрические микросваи будем заменять равновеликими параллелепипедами. Временной интервал был выбран равным 1095 суткам с шагом 0,5 сут. Параметры релаксации согласно экпериментальным данным были приняты равными 5 = 0.05сут-1, 5, = 0.02сут-1. Было осуществлено компьютерное моделирование указанной системы, причем в силу симметричности рассматривалась только ее четверть. Плитный фундамент дискретизировал-ся 2400 конечными элементами в форме прямоугольников, грунтовое основание и микросваи дискретизировались 460800 конечными элементами. Количество узлов в дискретной математической модели системы составило 82533. Размерность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (33) после учета граничных условий составила 219900 неизвестных.
Для решения СЛАУ (33) применялся метод сопряженных градиентов [11], при этом использовался критерий завершения итерационного процесса, когда в 70 % точек с максимальными значениями перемещений разница между предыдущими и последующими значениями не превышала заданной точности. Таким образом, для рассматриваемой задачи при использовании указанного критерия для нахождения линейного решения требовалось порядка 3700 итераций метода сопряженных градиентов, а время нахождения решения составило 3115с.
При организации итерационного процесса нахождения вязкоупругого напряжённо-деформированного состояния в методе сопряжённых градиентов в качестве начального приближения использовалось решение, полученное на предыдущем шаге. Общее время нахождения решения согласно предложенному алгоритму составило примерно 12751 с.
Результаты моделирования сравнивались с данными натурных наблюдений за фактическими осадками фундаментов построенного здания [1, рис. 3]. Максимальная величина мгновенных осадок была в центре плитного фундамента и составила: в результате исследования математической модели 1,53 мм и согласно наблюдениям - 1,62 мм. Минимальная величина мгновенных осадок была в
углах плитного фундамента и составила 0,2 мм, что соответствовало экспериментальным данным. Стабилизационная осадка была достигнута во временной точке 405 суток и составила 55,01 мм. Расхождения между экспериментальными данными и результатами вычислительного эксперимента не превышали 9 %.
Выводы
1. Согласно результатам проведенного моделирования предлагаемая математическая модель, алгоритм и программное обеспечение могут быть использованы для исследования напряженно-деформированного состояния сложных систем неоднородных вязкоупругих дисперсных и сплошных твердых тел.
2. Достоинством предлагаемой математической модели и методики ее исследования является возможность рассматривать напряженно-деформированное состояние сложных систем неоднородных вязкоупругих дисперсных и сплошных твердых тел с различными граничными условиями.
3. В случае принятия гипотезы о постоянстве во времени коэффициента Пуассона ц и модуля упругости Е глобальная матрица жесткости на каждом шаге итерационного процесса будет оставаться неизменной. Данное предположение позволило значительно ускорить процесс нахождения вязкоупругого решения и исследования математической модели при различных граничных условиях и действующих внешних силах. Для этого на нулевой итерации (при нахождении мгновенных деформаций) можно осуществить какое-либо преобразование матрицы /"К"1 у. Например, найти матрицу [К™или осуществить её предобусловливание [11]. Пред обусловливание матрицы системы выполняется один раз на нулевой итерации. Таким образом, время, затрачиваемое на нахождение деформаций на каком-либо шаге итерационного процесса, оказалось значительно меньше времени, требуемого для выполнения нулевой итерации, т. е. нахождения мгновенных деформаций.
Литература
1. Сеськов В.Е., Лях В.Н. Эффективные фундаменты для каркасных зданий и сооружений// Современные архитектурно-конструктивные системы зданий и сооружений, новые строительные материалы и технологии: Сб. тр. / Ред. колл.: А. И. Мордич и др. - Минск: Стринко, 2000. - С. 109 - 118.
2. Быховцев В.Е., Быховцев A.B., Бондарева В.В. Компьютерное моделирование систем нелинейной механики грунтов. - Гомель: УО «Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины», 2002.
3. Макскмей И.В. Математическое моделирование больших систем: Учебное пособие для спец. «Прикл. матем.». - Минск: Выш. шк., 1985.
4. Методология функционального моделирования. Рекомендации по стандартизации - Москва: ИПК Издательство стандартов, 2001.
5. Гома X. UML. Проектирование систем реального времени, параллельных и распределенных приложений. - Москва: ДМК Пресс, 2002.
6. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности: Учеб. для вузов. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
7. Курочка КС. Формализация процесса компьютерного моделирования линейной системы: здание-фундамент-основание: Материалы IV-й республиканской научн. конференции студентов и аспирантов. "Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научн. исследованиях". - Гомель: У О «ГГУ имени Ф. Скорины», 2001. - С. 29 - 31.
8. Быховцев В.Е., Быховцев A.B., Курочка КС. Визуальное объектно-ориентированное моделирование зданий с фундаментами на грунтовых основаниях// Труды Межд. науч.-техн. конф., Минск, 10-12 окт.2001 г.- Т. 2. - Минск:
Стринко, 2002.-С. 5-16.
9. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Перев. с англ. - Москва: Мир, 1975.
10.Цытович Н.А. Механика грунтов. - 2-е изд., Учебн. для вузов. Москва, «Высш. школа», 1973.
11 .Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1989.
MATHEMATICAL MODELING STRESS-STRAIN STATE OF COMPLEX SYSTEMS CONSISTING OF HETEROGENEOUS VISCOELASTIC DISPERSE AND CONTINUOUS FIRM BODIES
K.S. Kurachka
The article describes the mathematical model of complex 3D system consisting of heterogeneous viscoelastic basis, the flexible plate and micropiles. The algorithm and the software of mathematical model is based on the methods a finite elements method. The method of system decomposition is applied. The divergence of results of mathematical model and available experimental data for considered system has not
-------J__I inn/
CAUCOUCU I \J У О.
Вопросы теории пластичности
ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ИЗГИБАЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЗАЩИТНЫХ СООРУЖЕНИЙ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ
В.Н. ШУЛЬГИН , канд. техн. наук В.И. ЛАРИОНОВ", д-р техн. наук
Академия Государственной противопожарной службы, Москва Центр исследований экстремальных ситуаций, Москва
После достижения изгибающим моментом в среднем сечении предельной величины в балке начинают развиваться пластические деформации.
Расчет шарнирно опертой балки При изучении деформации балки, пластические деформации сосредоточивают в одном среднем сечении - шарнире пластичности, в котором приложен постоянный сосредоточенный момент Мо. Расчетная схема балки в пластической стадии имеет вид, представленный на рис. 1.
После образования шарнира пластичности балка превращается в механизм, состоящий из абсолютно жестких дисков (полубалок), соединенных шарниром пластичности и поворачивающихся на угол ф относительно оси х. Угол поворота половинок балки составляет половину угла раскрытия трещин (у/= 2<р). Для получения уравнения движения балки в пластической стадии приравняем нулю сумму работ всех действующих сил на возможных перемещениях у = <рх:
1/2 II2
§р(1)ухс1х- | тщх2с1х - М0ф = 0.
о о
Откуда находим —й = - М (2)
24 У 8
