Моделирование структурных технологических напряжений в волокнистых композиционных материалах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Моделирование структурных технологических напряжений в волокнистых композиционных материалах

© С Л. Косачёв МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Представлен аналитический метод расчета структурных технологических остаточных напряжений в волокнистом композиционном материале (ВКМ), основанный на использовании модели регулярно армированного ВКМ, геометрия и напряженное состояние которого полностью определяются микроструктурой фундаментальной ячейки. Приведены результаты расчетов для стеклопластика с гексагональной решеткой по предложенной методике.

Ключевые слова: композиционный материал, прочность, остаточные напряжения, периодические структуры.

Постановка задачи. В качестве модели ВКМ примем некоторую трехмерную изотропную кусочно-однородную среду, упругие и геометрические свойства которой неизменны в направлении х3 и имеют двоякопериодический характер в плоскости х1х2 (рис. 1). Будем полагать, что в среде реализуется такое напряженно-деформированное состояние, при котором компонента деформации е33 не зависит от всех координат, а остальные компоненты деформации — от координаты х3.

Поскольку напряженно-деформированное состояние слоя ВКМ является двоякопериодическим, то достаточно рассмотреть периодический элемент структуры в виде параллелограмма периодов (фундаментальная ячейка). Пусть Ю1 и Ю2 — основные периоды структуры. Внутри параллелограмма периодов Рт,п (т, п = 0, ±1, ±2, ...) со-

Рис. 1. Модель волокнистого композиционного материала

держится к непересекающихся включений (волокон), ограниченных контурами Lj. Конечные односвязные области, ограниченные контурами Lj, обозначим через Dj, упругие постоянные среды в областях Dj (волокна) и D (матрица) — через Ej, vj и E, v соответственно.

Предположим, волокна посажены в матрицу с некоторым известным натягом hj в плоскости x1x2 и упругое взаимодействие матрицы и волокон идеально, что означает непрерывность векторов напряжений и перемещений (с учетом натяга) при переходе через Lj.

Сведение задачи к системе интегральных уравнений. Пусть в области D справедлив закон Гука, тогда

eil = -~(gii -VO22), e22 = ^(^22 -von), ei2 = — 012. (1) E E д

Уравнения равновесия в напряжениях имеют вид

5o11 | 5o12 = 0 5012 | 5022 = 0 (2)

0X1 dx2 ' 0X1 5x2

Уравнения совместности деформаций

52en | 52e^2 = д2в12 (3)

5x22 5x2 5x15x2

Если ввести в рассмотрение функцию напряжений (функцию Эри) по формулам

5 2U 5 2U 5 2U

011 022 012 = -д я > (4)

5x2 5x2 5x15x2

то соотношения (1) и (3) приводят к бигармоническому уравнению

V2V 2U (x1, x2) = 0, (5)

при этом уравнения равновесия удовлетворяются автоматически. Таким образом, функция Эри является бигармонической. Если ввести в рассмотрение комплексную переменную 2 = х\ + 1x2, то любую бигармоническую функцию можно выразить через две произвольные аналитические в области Б функции (потенциалы) ф(г), г) по формуле Гурса [1]. Тогда напряжения и перемещения, действующие в среде, запишутся в виде

Моделирование структурных технологических напряжений...

011 + 022 = 4ЯеФ(г), 022 -011 + 2/012 = 2[гФ'(г) + ¥(г)], 033 = 2 д (1 + V) езз + 4у Яе Ф( г), (6)

2д(и + Ш2) = кф(г) - гФ(г) - у (г),

где ¥(г) = г), Ф(г) = ф'(г), к = 3 - 4V. Черта над функцией означает комплексно сопряженную функцию.

Рассмотрим поля напряжений, обладающие той же группой симметрии, что и область V. В этом случае напряжения в V должны иметь двоякопериодическую структуру. Тогда постановку задачи о плоской деформации композиционного материала можно сформулировать следующим образом. Определить функции ф(г), г) и

ф у (г), уу (г), регулярные, соответственно, в областях Б, Бу (у = 1, 2, ..., к) и удовлетворяющие на границе раздела Ь = \Ьу следующим условиям сопряжения матрицы и волокон:

• непрерывность вектора напряжений

Ф (г) + tФ(t) + у (г) = фу (г)+гФу (г) + у у (г); (7)

• непрерывность (с учетом натяга) вектора перемещений

1 [кф(г) - гФ(г) - у (г)] =—[к, фу (г) - гФу (г) -- у у (г)] + % (г), (8)

Д Д у

ч dф(г) Е Еу 3-V

где г е Ьу, Ф(г) = —, Д = ^;-г, Ду = ( ' , , к = --,

dz 2 (1 + V) 2 (1 + V у ) 1 + V

3 -V

ку =--.

у 1+ VJ

При этом подразумевается, что все условия периодичности выполнены автоматически за счет специального вида представлений искомых регулярных функций. Как показано в [2], искомые функции ф(г), у(г) можно выразить через две неизвестные комплексные функции (плотности) р(г) и q(t), причем таким образом, что для определения р(г) и q(t) получается эквивалентная исходной краевой задаче система интегральных уравнений. Подставив выражения для ф(г) и у(г) в условия сопряжения (7) и (8), получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода:

р(г0) - му (р(г), q(t), г0) = Яу (к), (9)

q(to) - Ыу (р(г), q(t), г0) = а (г0).

Решив систему (9), получим значения плотностей р(г), д(г) на контуре Ь. После этого вычисляются производные от комплексных потенциалов, а затем и напряжения на границе раздела компонентов по формулам [2]

Учет остаточных напряжений. Гетерогенная структура ВКМ в силовых конструкцияx обычно формируется в условияx повышенный температур (160...180 °С) с последующим оxлаждением до окружающей комнатной температуры, что обеспечивает достижение наиболее высоких меxаническиx свойств. Процесс оxлаждения сопровождается температурными деформациями компонент КМ, а поскольку термоупругие свойства волокон и матрицы различны, возникает их стесненная температурная деформация, пропорциональная разности коэффициентов температурного расширения и температурному интервалу режима охлаждения. Разделение главных действующих напряжений в поперечном срезе, проведенное по результатам поля-ризационно-оптических измерений, показало, что в плоскости, перпендикулярной направлению армирования, действуют радиальные

ост

остаточные напряжения сжатия сг и тангенциальные напряжения растяжения аост, достигающие своих наибольших значений на поверхности раздела.

Для аналитического расчета остаточных напряжений в одноосно армированном композите используется экспериментально установленная термоупругая аналогия [3], в соответствии с которой остаточные напряжения считаются термоупругими, пропорциональными разности коэффициентов температурного расширения матрицы и армирующих волокон и разности температур ДГ при охлаждении композита.

Стесненные температурные перемещения армирующих волокон и матрицы могут быть определены из уравнений [4]:

Здесь a1j и а2j — коэффициенты температурного расширения

вдоль и поперек ^го волокна соответственно, а — коэффициент температурного расширения матрицы. Осевые остаточные напряжения

стг (г) = Яе[2Ф(г) - г Ф'(г) (г)], ае (г) = Яе[2Ф (г)+ТФ'(г) + ^ (г)].

(10)

и +1V = г (а-а 2 ] )ДГ, Ж = г (а -а1 ] )ДГ, г е Ь.

(11)

Моделирование структурных технологических напряжений.

Оест, МПа

90 9°

90 9°

Рис. 2. Распределение тангенциальных остаточных напряжений

Рис. 3. Распределение радиальных остаточныx напряжений

о°ст образуются вследствие различия коэффициентов Пуассона для

волокон и матрицы.

Напряжения о°сти о°ст, действующие в поперечный сеченияx,

наxодятся из решения задачи о плоской деформации композита (9) при следующем нагружении:

(ап> = (а22> = <^12> = 0, к/ * 0,

(12)

где к] — поперечный натяг волокна, вызванный температурными деформациями матрицы и волокна. Его можно определить из уравнения

к] (/) = tДT [(а - а2 /) + (а - а1 / )(у - V/)].

(13)

В отличие от полученный ранее решений, здесь учитываются поперечные деформации не только матрицы, но и волокон, т. е. определяются напряжения как в областяx, занимаемых волокнами, так и в области, занимаемой матрицей.

Результаты расчета. По предложенной методике проведены расчеты для различных типов решеток, температурных интервалов и степеней армирования ВКМ. На графиках (рис. 2, 3) представлено распределение остаточных напряжений для стеклопластика вдоль границы раздела матрица — волокно, где они достигают максимальных значений, для гексагональной решетки ( Ю1 = 2, Ш2 = 2егя/3 ), имеющей в узлах включения радиусом Я = 0,75, ДТ = -120°С .

Для выявления влияния на уровень начального напряженного состояния степени армирования и температуры отверждения построены графики распределения относительных эквивалентных остаточных напряжений для стеклопластика (рис. 4), рассчитанные по тензорно-инвариантному критерию прочности Гольденблата — Копнова.

Как видно на графиках, при высоких степенях армирования и температурах разрушение матрицы может наступать еще на этапе изготовления материала без приложения внешней нагрузки. Кроме того, установлена некоторая оптимальная степень армирования, соответствующая v ~ 0,6, при которой остаточные напряжения являются минимальными для различных температур отверждения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Москва, Наука, 1966, 708 с.

[2] Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. Москва, Наука, 1992, 287 с.

[3] Молодцов Г.А. Напряженные элементы конструкций ЛА из композиционных материалов. Москва, Машиностроение, 1993, 224 с.

[4] Косачёв С.Л. Структурные остаточные напряжения в гибридных волокнистых композиционных материалах. Материалы международного научного семинара «Технологические проблемы прочности». Подольск, 2004, с. 193-198.

Статья поступила в редакцию 05.02.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Косачёв С.Л. Моделирование структурных технологических напряжений в волокнистых композиционных материалах. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 1. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/material/1182.html

Косачёв Сергей Леонидович родился в 1972 г., окончил Московский авиационный институт в 1995 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической механики им. Н.Е. Жуковского МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сфера научных интересов: механика и прочность композиционных материалов. е-mail: vector_sk@maiL.ru

Рис. 4. Распределение относительных эквивалентных остаточных напряжений