Плоская деформация регулярно армированного волокнистого композиционного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №2/2016 ISSN 2410-6070

УДК 539.3

С.Л. Косачев

К.ф.-м.н., доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана, г. Москва, Российская Федерация

ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ РЕГУЛЯРНО АРМИРОВАННОГО ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА

Аннотация

В работе представлен аналитический метод расчета напряжений в волокнистом композиционном материале (ВКМ) при плоской деформации, основанный на использовании модели регулярно армированного ВКМ, геометрия и напряженное состояние которого полностью определяются микроструктурой фундаментальной ячейки. Приведены результаты расчетов для композиционного материала с различным строением ячейки в случае поперечного сдвига и двухосного растяжения.

Ключевые слова

композиционный материал, плоская деформация, прочность, периодические структуры

В качестве модели ВКМ примем некоторую 3-мерную изотропную кусочно-однородную среду, упругие и геометрические свойства которой неизменны в направлении хз и имеют двоякопериодический характер в плоскости Х1Х2. При построении уравнений, описывающих упругое поведение такой структуры, важное значение имеет двоякопериодическое решение, при котором компонента деформации езз не зависит от всех координат, а остальные компоненты деформации - от координаты хз.

Такое напряженное состояние распадается на два линейно независимых - плоскую деформацию и продольный сдвиг [1]. Соответственно этому будем рассматривать плоскую среду X3=const, усиленную двоякопериодической системой инородных включений. Поскольку напряженно-деформированное состояние слоя ВКМ является двоякопериодическим, то достаточно рассмотреть периодический элемент структуры в виде параллелограмма периодов (фундаментальная ячейка) рис.1.

Рисунок 1 - Расчетная модель композиционного материала

Пусть и основные периоды структуры. Внутри параллелограмма периодов содержится к непересекающихся включений (волокон), ограниченных контурами Lj. Конечные односвязные области, ограниченные контурами Lj обозначим через Dj, упругие постоянные среды в областях Dj (волокна) и D

(матрица) - через Е^, у и Е, V соответственно. Будем предполагать, что упругое взаимодействие матрицы и волокон идеально, а на площадках, перпендикулярных координатным осям, действуют средние

напряжения ^ ^ . Рассмотрим состояние плоской деформации.

Плоская деформация ВКМ. Пусть в области В справедлив закон Гука, тогда

h Л К л 1

E E ц

Уравнения равновесия в напряжениях имеют вид

^11 + ^11 = 0 ^12 + аа22 = Q

дх^ дх^ дх^

Уравнения совместности деформаций:

д2е11,+ д^е22 _ д2е12

(2)

(3)

^дх^ ^дх^ ^дХ-^ ^дх^

Если ввести в рассмотрение функцию напряжений (функцию Эри) по формулам

д2и д 2и д2и аи = Т"2; а22 = ^"2 012 = — д я , (4)

то соотношения (1) и (3) приводят к бигармоническому уравнению

У2У2и (х1, х2) = 0, (5)

при этом уравнения равновесия удовлетворяются автоматически. Таким образом, функция Эри

является бигармонической. Если ввести в рассмотрение комплексную переменную 2 = Х1 + IX2 , то любую бигармоническую функцию можно выразить через две произвольные аналитические в области В функции

(потенциалы) ф(2) , 2) по формуле Гурса [2]. Тогда напряжения и перемещения, действующие в среде, запишутся в виде

оп + о22 = 4Яе Ф( 2),

а22 -ап + 2/012 = 2[2Ф'(2) + ¥(2)], (6)

а33 = 2д(1 + у) е + 4у Ке Ф( 2),

2|и(и + ш2 ) = кф(2) — 2Ф(2) — 2),

где 2) = 2) , Ф(2) = ф'(2), к = 3 — 4у . Черта над функцией означает комплексно сопряженную функцию.

Рассмотрим поля напряжений, обладающие той же группой симметрии, что и область В. В этом случае напряжения в В должны иметь двоякопериодическую структуру. Тогда постановку задачи о плоской деформации композиционного материала можно сформулировать следующим образом: определить функции

ф(2), 2) и фД2),^Д2) , регулярные, соответственно, в областях В, В/ (/ = 1, 2, ..., к) и удовлетворяющие

на границе раздела Е = ^Е^ следующим условиям сопряжения матрицы и волокон:

- непрерывность вектора напряжений

Ф (г) + гФ (г) + ф (г) = ф, (г) + гФ, (г) + ф, (г); (7)

- непрерывность вектора перемещений

1 [ф)- *Ф (t) - у (t)] = — [kjу (t)-*Ф (t)- уj (t)

где

d ф( z) _ E _ Ej _3 -v _3 -v,

- - " "

t e Lj, Ф(z) = v 7, V = —--г, Vj = —7-1—k = --, Kj = j

dz 2(1 + v)' j 2(1 + vy.)' 1 + v' j 1 + v

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №2/2016 ISSN 2410-6070

При этом подразумевается, что все условия периодичности выполнены автоматически за счет специального вида представлений искомых регулярных функций. Как показано в [3], искомые функции ф(^)

, ) можно выразить через две неизвестные комплексные функции (плотности) p(t) и q(t), причем таким образом, что для определения p(t) и q(t) получается эквивалентная исходной краевой задаче система

интегральных уравнений. Подставив выражения для ф^) и ) в условия сопряжения (7) (8), получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода:

p(to) -Mj(p(t),q(t),tQ) = Rj (tQ),

q(t0) - NJ (p(t),q(t),to) = Qj(to), (9)

Решив систему (9), получим значения плотностей p(t), q(t) на контуре L. После этого вычисляются производные от комплексных потенциалов, а затем и напряжения на границе раздела компонентов по формулам [2]

аг (t) = Re[2O(t) - tO'(t) - ¥(t)]

(t) = Re[2O(t) + tO' (t) + ¥(t)] (10)

тг fi = Im[tO ' (t) + Y(t)] Результаты расчета. По приведенным выше алгоритмам были проведены расчеты стеклопластика с

решеткой гексагонального (треугольного) строения G\ = 1,^2 = exp(iff / 3) при двух различных видах нагружения (поперечный сдвиг и двухосное растяжение). В пределах ячейки находится одно стекловолокно эллиптического поперечного сечения. Полуоси эллипса a и b ориентированы вдоль осей Oxi

a a

и Ox2, a = 0,o^ . Размеры волокон варьировались в пределах от = 2 до = 1 (волокно кругового поперечного сечения).

Основные свойства волокон и матрицы, использующиеся в расчетах, приведены в таблице.

Материал Модуль упругости Е, ГПа Модуль сдвига // ,ГПа Коэффициент Пуассона V

Стекловолокно 68,7 28,63 0,2

Матрица 3,05 1,103 0,382

На рисунках 2-6 приведены результаты расчетов для двух различных видов нагружения:

- поперечный сдвиг (^12 ) = 1 1 ) = (^22) = 0

- двухосное растяжение ) _ 0 ) _ (^22 ) _ 1

Рисунок 2 - Распределение радиальных напряжений на границе раздела компонентов при поперечном

сдвиге

Рисунок 3 - Распределение окружных напряжений на границе раздела компонентов при поперечном сдвиге

Рисунок 4 - Распределение касательных напряжений на границе раздела компонентов при поперечном

сдвиге

Рисунок 5 - Распределение радиальных напряжений на границе раздела компонентов при двухосном

растяжении

Рисунок 6 - Распределение окружных напряжений на границе раздела компонентов при двухосном

растяжении

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №2/2016 ISSN 2410-6070

Во всех случаях распределение напряжений в материале имеет периодический характер с периодом Я. При поперечном сдвиге абсолютные значения радиальных и окружных напряжений имеют примерно одинаковый уровень (но различные знаки), касательные же напряжения превосходят их в 2,5-3 раза и

достигают уровня ТrQ =1,5. При реализации в композите двухосного растяжения, картина распределения напряжений существенно меняется. При этом максимальных значений достигают радиальные напряжения (7г = 1,25 ^ 1,4, абсолютные значения окружных напряжений практически не изменяются, но они меняют свой знак на противоположный, касательные же напряжения практически обращаются в нуль.

Анализ результатов показал, что неоднородность поля напряжений в композите с треугольной решеткой возрастает с увеличением степени армирования (относительного размера волокна) и увеличением отношения полуосей эллиптического включения. Максимальные значения напряжения, как и следовало ожидать, принимают на границах раздела компонентов и на перемычках между волокнами.

Список использованной литературы: 1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Москва, Наука, 1966, 708 с.

2. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев, Наукова думка, 1985, 304 с.

3. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. Москва, Наука, 1992, 287 с.

4. Молодцов Г.А. Напряженные элементы конструкций ЛА из композиционных материалов. Москва, Машиностроение, 1993, 224 с.

© Косачев С.Л., 2016

УДК 004.81

И.А. Коськин

Магистрант

Учебно-научно-исследовательский институт информационных технологий

Приокский государственный университет г. Орёл, Российская Федерация

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОЦЕНКИ СИТУАЦИИ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ В

КОЛЛЕКЦИОННЫХ КАРТОЧНЫХ ИГРАХ

Аннотация

В статье рассматриваются вопросы моделирования взаимодействия игровых объектов в классических и коллекционных карточных играх. Рассматриваются простой и расширенный методы динамического моделирования. Описывается специфический метод кластеризации игровых объектов, построены оценочные кривые стоимости для различных игровых ситуаций. Материал может быть полезен при разработке игровых компьютерных роботов.

Ключевые слова

Оценка игровой ситуации, карточные игры, моделирование, динамический метод, кластеризация.

Компьютерные игроки (роботы) сейчас являются неотъемлемой частью большинства игр. Высокую популярность за последние годы набрали коллекционные карточные игры (и их компьютерные реализации), в которых человек играет против другого человека. Но зачастую по разным причинам игроку требуется, чтобы его противником был компьютер. Это может быть в случае, когда у человека нет достаточно скоростного и стабильного интернета, в случае, когда игроку-новичку необходимо лучше освоить игру и другие игроки для него слишком сильные соперники или в случае, если игроку-профессионалу не хочется показывать новые тактики и стратегии перед соревнованиями. В этом случае необходимы компьютерные игроки разного уровня. Очевидно, что такие роботы должны будут действовать (и, возможно, имитировать