CC BY
31
УДК 621.365: 621.785
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ МЕТАЛЛА В ПРОХОДНОМ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВАТЕЛЕ
© А.И. Данилушкин1, С.В. Князев2, А.П. Мостовой3
Самарский государственный технический университет, 443100, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Рассматриваются вопросы математического моделирования процесса непрерывного индукционного нагрева магнитных сталей в односекционном индукторе в установившихся режимах работы. Показана специфика распределения мощности внутренних источников тепла при нагреве ферромагнитных заготовок до температур пластической деформации. Предложена аппроксимация распределения источников тепла в виде трехступенчатой функции с фиксированным значением мощности на каждой ступени. Получено аналитическое решение для стационарного распределения температуры по длине столба заготовок. Разработана программа расчета стационарного температурного поля ферромагнитных заготовок в нагревателе непрерывного действия. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: индуктор; математическая модель; источники тепла; температура; индукционный нагрев.
MODEL OPERATION OF STATIONARY DISTRIBUTION OF TEMPERATURE OF METAL IN THE INDUCTION
HEATER THROUGH PASSAGE
A. I. Danilushkin, S.V. Knyazev, А^. Mostovoi
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeiskaya St., Samara, Russia, 443100.
Questions of mathematical model operation of process of the continuous induction heating magnetic staly in an one-section inductor in the established duties are considered. Specifics of distribution of capacity of internal sources of heat is shown when heating ferromagnetic preparations to temperatures of a plastic strain. Approximation of distribution of sources of heat in the form of three-stage function with the fixed value of capacity at each step is offered. The analytical decision for stationary distribution of temperature longwise a column of preparations is received. The program of calculation of a stationary temperature profile of ferromagnetic preparations in a heater of the continuous action is developed. 4 sources.
Keywords: inductor; mathematical model; heat sources; temperature; induction heating.
Предметом исследования является нагревательная установка для индукционного непрерывного нагрева заготовок подшипниковых колец перед раскаткой. Температура нагрева 1150-1250°С. Столб заготовок движется с постоянной скоростью по направляющим из жаропрочной стали. Очередная нагретая заготовка выталкивается в приемный лоток и транспортируется к обжимному устройству раскаточной машины. Загрузка холодных заготовок осуществляется автоматически из приемного бункера.
Процесс непрерывного индукционного нагрева описывается в общем случае нелинейной системой уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и теплового полей соответственно [1, 2]:
rotH = -S + —; divH = 0;
¿в а (1)
rot E =--; divE = 0;
а
fiT
cf)yf)— = div{hf)gradf) - cf)yf)VgradT - div[EH ], (2)
где H,E,B,D - векторы напряженностей магнитного и электрического полей, магнитной и электрической индукции; 8 = — E - плотность тока проводимости; cf), yf), - удельные значения теплоемкости и плотности
Р
металла нагреваемых изделий; V - вектор скорости перемещения обрабатываемого металла; T - температур-
1Данилушкин Александр Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры электроснабжения промышленных предприятий, тел.: 89272014736.
Danilushkin Aleksandr, Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Electricity industry SamGTU, tel.: 9272014736.
2Князев Сергей Валерьевич, аспирант, тел.: 89063439140, e-mail: sknyaz86@mail.ru
Knyazev Sergey, Postgraduate student of the Department of Electricity industry SamGTU, tel.: 89063439140, e-mail: sknyaz86@mail.ru
3Мостовой Алексей Петрович, аспирант, e-mail: epp@samgtu.ru
Mostovoi Aleksey, Postgraduate student of the Department of Electricity industry SamGTU, e-mail: epp@samgtu.ru
ное поле изделия.
Решение системы (1)-(2) относительно температурного поля, описывающего тепловое состояние объекта, в общем случае возможно только численными методами для каждой конкретной технологической ситуации. Однако для синтеза алгоритмов и систем управления необходимо иметь аналитическое приближение управляемого процесса, с достаточной степенью точности отражающее как электромагнитные, так и тепловые процессы в системе «индуктор - металл».
В настоящей работе используется электротепловая модель, объединяющая аналитическое решение двумерного уравнения теплопроводности и приближенное численное решение электромагнитной задачи. Такая модель обеспечивает в рамках принятых допущений достаточно высокую точность описания технологического процесса. С учетом сказанного процесс индукционного нагрева полого цилиндра, непрерывно движущегося через индуктор, описывается уравнением нестационарной теплопроводности вида
i (r,x,t)
r,x,: if
= a
i2T (r,x,t) 11T (r,x,t)
cr2
i
_ V 1 (W) + 0{rxt),
i
(3)
где т(г,х^) - температурное распределение по объему кольца; a - коэффициент температуропроводности; V - скорость перемещения изделий через индуктор; г,ж - радиальная и аксиальная координаты соответственно; Ф{г,х,{) - функция распределения внутренних источников тепла; t - время процесса.
В общем случае функция ф{г,х,{) распределения внутренних источников тепла нелинейно зависит от температуры. Однако, как показано в [3], действительный характер зависимости Ф[т) можно с небольшой погрешностью заменить зависимостью от пространственных координат. В этом случае функция ф(г,х,г) распределения внутренних источников тепла может быть представлена в виде
Ф(г, x, t) = W (r )• F (x)- P(t),
(4)
где W(r) - функция распределения внутренних источников по радиальной координате r; F(x) - функция распределения внутренних источников тепла по аксиальной координате x; P(t) - мощность источников тепла.
При нагреве ферромагнитных изделий до температуры пластической деформации в индукторе непрерывного действия распределение мощности по длине L нагревателя представляется в виде ступенчатой функции
F(x) = H 1(x)_ l(x _ x,)]+H [l{x _ xj)_ l(x _ x2 )]+H[l(x _ x2 )_ l(x _ Z)],
(5)
где Ь - длина индуктора; х1,х2 - границы зон «холодного», «промежуточного» и «горячего» режимов, координаты которых определяются на основании электромагнитного и теплового расчетов.
Каждая зона при этом характеризуется своими постоянными теплофизическими параметрами и функциями внутреннего тепловыделения, что и позволяет считать их зависимыми от осевой координаты.
Переходя в целях большей общности последующего анализа к относительным единицам, представим уравнение (3) в форме [3]:
¿e(l,y,v)_ 12e(l,y,q>) | l od(l,y,p) ß^)dd(l,y,g>) | ^)ф(1,у,д>) ip 12 l i iy
Pk
(6)
где 0(l,y,p) = ttypLÄ -
Рб • R2
относительная температура; Тб - базовая температура; Хб = const - базовое
значение коэффициента теплопроводности; Рб = const - базовое значение удельной мощности; R2 - внешний
х r
радиус заготовки; >> =--относительное значение продольной координаты; l =--относительный радиус;
L R
ср = - относительное время; р{у) = V , а{у) = - теплофизические параметры; х(у) - коэффици-
Я2 а{У)Ь Л{У)
ент теплопроводности.
Уравнение (6) дополняется начальными и граничными условиями, которые при нагреве в футерованном индукторе представляются в виде
r
0(1,у0)=0о ;
а1Уг) = ч^уг) ;
а
^^ = q2 (1 У- г); а
в{ю, г) = вс (?) ,
(7)
(8)
(9) (10)
где q1(l,y,г) - тепловой поток с внешней поверхности изделия; ц2(11,у,г)- теплоотдача за счет конвекции с внутренней поверхности изделия; 9С(г) - температура среды; в0 - температура изделия на входе в индуктор.
Стационарное распределение температуры при нагреве изделий в индукторе непрерывного действия описывается уравнением стационарной теплопроводности вида
аЩА+1 W (/-У Р=0
а2 I а/ а
(11)
/ а ау
/ е[/1,1], у е[0,1],
с граничными условиями
= Ч1(1,у); = qL2(1,у); ф) = ве. (12)
а а
Для решения уравнения (11) с граничными условиями (12) применим конечное интегральное преобразование Ханкеля по радиальной координате 1 вида [4]:
_ 1
/(¿ип )=1/¥п (Мп/)/(№/, (13)
/
где ядро преобразования \уп (мп1) определяется согласно [4] как решение граничной задачи Штурма-Лиувилля в форме
¥п (м/) = УоИ)--?Амп% М/), (14)
где УоИ/), У1(мп), %0(мп/), %1(мп) - функции Бесселя; /ип - собственные числа, определяемые как корни уравнения для первого и второго ряда,
У^И)-¿ММ) = 0 ■ (15)
Применяя интегральное преобразование (13) с ядром (14) к уравнению (11) и граничным условиям (12), получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно изображения по Ханкелю в(мп,у) температурного распределения
Р{у)
дв(Ип-У ) ду
с граничным условием
м2пд(Мп,у)=w(Мn,y)■ ро- ql(l,y)vn (Мп)+ q2 (1,у)¥(Мп/1) (16)
в(мп,о)= ]юМм/)/ , (17)
где
в(Мп,у)= 11ве (/,У (Мп1 )д;
/
_ 1
W(мп,у)= 1 ш(/,у)¥п(м/д ■
11 _
Решение уравнения (16) с граничным условием (17) для изображения в(/лп,у) имеет вид
(18) (19)
в(Мп-У) = е 0
у И
-Лт д $Мп,о)+уу
о
д(Ху(Ип,х)ро , д(х\, (.. )
их +р{х)¥п м)
X И
„ о^)
дх,
(20)
11
где 4(х) = Ч1{1,х)-42{1'х); ЯА1'х) = Ч1{1,х)¥П(Мп); 42{1'х)= 42{1,х№п(Мп,11) ■
Для перехода к оригиналу воспользуемся обратным преобразованием Ханкеля
/ (г )=1
¥п {Мп1) 7,
Г Мп);
0 Шп
1К
2Я1
\Т1 (Мп )-¿1(Мп1)
п > 0
,п = 0
Я2 - Я
1
Решение уравнения (10) с краевыми условиями (11) в окончательной форме имеет вид
9{1,У)= I
Шп (Мп1 У Мп ¿2 (Мп11
п=12Я]
¿1(Мп)-(Мп1)
У М -\M4dz
В)
{1всШп (Мп У1 -
+ \4г\шп (Мп )• е'
0 В(х)
х М
)
+ ^ (м„ )Р(х)д(х) • е
011
У Мп
Р(х )
оР(* )
ёхё1
(21)
I е[11,1}у е[0,1] ■
Сложная нелинейная зависимость распределения внутренних источников тепла от температуры по длине проходного нагревателя аппроксимируется ступенчатой функцией координаты, имеющей три участка постоянства, в пределах каждого из которых физические свойства стали считаются постоянными. В «холодной» зоне нагрева, где температура любой точки сечения кольца ниже температуры магнитных превращений, источники тепла практически сосредоточены на поверхности изделия и процесс нагрева можно рассматривать без учета распределенности источников тепла по радиальной координате. В «промежуточной» зоне, где слои металла, начиная от поверхности, проходят при нагреве точку Кюри, магнитная проницаемость от слоя к слою резко изменяется, приводя к неопределенности закона распределения мощности теплоисточников по радиусу изделия. В «горячей» зоне нагрева, когда изделие теряет магнитные свойства, закон распределения источников тепла по радиальной координате определяется однозначно как для немагнитного тела. Принятая аппроксимация позволяет для односекционного нагревателя непрерывного действия рассматривать процесс нагрева как трехстадийный нагрев, где теплофизические параметры а(у), /з(у), тепловые потери ц{у), относительная мощность Р(у) и функция распределения внутренних источников тепла щ(,£) определяются следующим образом.
Для «холодного» участка
а(у) = ахол ; В(у) = Вхол ; 41(у) = 41 хол';
42(у)= 42ХоЛ'; ) = ЯХолШ; Vy е\0,уп]■ (22)
Для «промежуточного» участка
а{у)=апр; В(у )=Рпр; 41(у )=41пр; 42 (у) = 42пр
; щ(г,^)=щпр (г,£пр); Чу ^УпрУ ] ■
Для «горячего» участка
а(у)=аго р; Р(у)=Ргор; 41{у)=41гор ; 42 (у) = 4 2 гор ; Щ(^)= Щгор {.4гор ); Чу е[угор ,1],
(23)
(24)
где ахол =-
ахол = СОШ
Л
Л
апр Л
п р
агор .
Л
Рхол V
Я2
го р
I • У,
Впр = V-
Я2
пр
а
п р • угор
В = V-
Уго р
Я2
го р
• У
а
пр
= const; а
го р
= const; ахол = сот1
Лп р
= соп5(; агор = соп5( - соответствующие значения
коэффициентов на «холодном», «промежуточном» и «горячем» участках нагрева, 41хол =
0х
Рб • Я2
42хол
02 х
Рб • Я2
41п р
пр
42пр
02
пр
41гор
О1.
гор
42гор
02.
гор
; а хол ' 02 хол ' 01пр , 0-2,
¿пр
Рб • У Рб • Щ " Рб • Я2 """ Рб • Я2
01гор, 02гор - соответственно удельные тепловые потери 4 и удельные объемные мощности 0 на «холодном», «промежуточном» и «горячем» участках, определяемые при электромагнитном расчете индуктора; Щхол(1,^хол), Щпр (},^пр), Щгор ({,%гор) - функции распределения внутренних источников тепла на соответствую-
1
2
2
2
2
е
11
Л
а
щих этапах нагрева, определяемые по известным решениям одномерных электромагнитных задач для ферромагнитной, двухслойной и немагнитной сред.
Подставляя в решение уравнения теплопроводности в форме (21) полученные выше выражения для теплофизических параметров а(у), ¡(у), тепловых потерь q1(y), q2(у), относительной мощности р{у), функции распределения внутренних источников тепла W (/,)), получим после интегрирования и несложных преобразований температурное распределение в загрузке односекционного нагревателя на «холодном», «промежуточном» и «горячем» режимах нагрева соответственно:
Wхол(мп)Рхол 'ахол , Чх
вхол(1-У ) = $ср.хол(у,/)+ЕФ(Мп,/)
п=1
2 Мп
2 ' уп (мп )
Мп
,(Мп )
(
1_е ¡хол '
■Уу е[11-УПр е[/1,1],
(25)
где
2
вср.хол(1,у) =-"7 +
1 - /2
Ц1хол у Рхол ' ахол
Рх
Рх
У + Оо (/)
; W хол (Мп ) = 1 Шхол (/,)хол )Уп (Мп1 №
На «промежуточном» участке
$пр (/,у) = вср .хол (/-У)+1 ф(мп,1)\
т=1
Wпр (мп )Рпрапр Чпр / т + Т уп(М
2 Мп
2 Мп
(
¡пр
У
- е
W пр (Мп )рпрапр Ч
пр (Мп)р прапр Чпр / \
1-+ — Уп (Мп )
Мп Мп
УУ ^[Упр- Угор\У/ ^\/1,1\ ,
2 \ м (у-уп)
1 - е
где вср.пр (У) =
1 -1
п /Л Цпр рпрапр Чпр ( \ УУпр (Мп ¥апр ( \
во (/ ) + ~пр Упр + р Упр + д V - Упр )+~ д-^ V - Упр )
пр
Р а
пр пр
р -пР Р ^пр ¡у 7пр, п
¡пр ¡пр ¡пр
упр>
Цпр
пр
^ (Мп К
пр
(26)
пР \Мп) 1 ""пр \)пр Уп 11
На «горячем» участке
вгор (/ -У) = $ ср.гор (у) + Е ФМп-Щ
п=1 I
1 2 2 W пр (Мп )= 1 Щр (/,)пр \п (Мп1 У" , Vп =-Мп—Упр +М (У - Упр )
^пр
о -пр о V •Упр> Рхпр Рп,
г
р У -гп> -V
е^ хол - е го
Л
Wпр (Мп )Рпрапр Чпр I \
-2-+ "Г Уп (Мп )
М2 Мп
W (мп )Рхолахол , Ч хол ,,, ( ,, \ -3-+-Туп(Мп) ■
2
+-Мп-(Угор -Упр Ь пр
И
г И
Р[ холк' п Р,
2 Мп
_р ¡хол'
Упр -*<г
Wгор (Мп )Ргорагор Ч ^
+~г У
мп
п2 гор~гор +1гр УП (Мп )
М "2
' --И2-(у-Угор )Л
1 - е '°<гор
Уу е[у„р ,1\У/ е[/1,1],
(27)
где вср.гор.(У ) = "
1 -12
во (/ ) + Упр + Чпр- (Угор - Упр ) + (У - Угор ) + Рхол Рпр ¡гор
Р а
Рга а
рхолахол„ , рпрапр (угор - упр ) + ргорагор (у - угор )
¡х.
Упр +-
д
пр
¡г
гор 2
_ 1 2 2 2
W гор (Мп )= 1 ор (,)гор )уп (Мп" У1 , ^ор =-И~ Упр +М~ (Угор - Упр (У - Угор ) ■
Рхол Рпр Рго.
гор
1
)
-V
•пр
+
2
+
е
+
2
+
На основе полученного решения уравнения теплопроводности в форме (25) - (27) разработана программа расчета стационарного температурного поля ферромагнитных кольцевых заготовок в нагревателе непрерывного действия. Программа содержит два расчетных блока - электрический и тепловой. Исходными данными для расчета являются:
- конструктивные параметры нагревателя - длина катушки нагревателя, диаметр индуктирующей катушки, число витков индуктора, толщина и теплофизические характеристики тепловой изоляции, размеры сечения трубки индуктора;
- энергетические параметры - напряжение питания, частота тока;
- параметры нагреваемых заготовок - внутренний и внешний радиусы кольцевой заготовки, материал заготовки, длина, скорость продвижения через нагреватель, массив табличных значений зависимостей удельного сопротивления от температуры, теплоемкость, плотность, коэффициент теплопроводности; табличные значения зависимостей относительной магнитной проницаемости загрузки от напряженности магнитного поля, коэффициент черноты поверхности;
- условия нагрева - начальная температура, базовая и заданная конечная температуры, температура охлаждающей жидкости, уровень тепловых потерь.
В электрическом блоке определяются интегральные параметры индуктора с загрузкой. Расчет производится с использованием магнитной схемы замещения системы «индуктор - металл» по методу общего потока. В результате расчета определяются сопротивления загрузки и индуктора, токи и напряженность магнитного поля на каждом участке постоянства. По значениям напряженности итерационным циклом с точностью 1-2% определяются величины магнитной проницаемости на «холодном» участке загрузки. Далее рассчитываются функции распределения источников тепла W (l,)).
В тепловом блоке определяются: средние температуры вСрхол{у),вСрпгюм {у),всргор.{у),вСркон {у) . По результатам тепловых расчетов уточняются теплофизические параметры, тепловые потери и координаты границ режимов. Вновь производится электрический, а затем тепловой расчет. Итерационный цикл прекращается, когда достигается точность расчета 0,5-1% в определении координат границ «холодного», «промежуточного» и «горячего» режимов. Далее производится расчет температурного распределения вк {l,y).
Библиографический список
1. Вайнберг А.М. Индукционные плавильные печи. М.: Энергия, 1967. 415 с.
2. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.
3. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. 279 с.
4. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001.
УДК 621.982.5
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ПРАВКИ ФРЕЗЕРОВАННЫХ ДЕТАЛЕЙ КАРКАСА РАСКАТКОЙ РОЛИКАМИ
© А.А. Макарук1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Для расширения технологических возможностей правки маложестких деталей представлена раскатка роликами как один из реализованных методов местного пластического деформирования. Обоснована необходимость комплексной обработки с применением разработанного инструмента. Предложена методика расчета технологических параметров процесса. Ил. 7. Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: раскатка; раскатники; полотно; ребро; крутка; изгиб.
METHODS TO CALCULATE TECHNOLOGICAL PARAMETERS OF SHAPING MILLED FRAME PARTS BY BURNISHING ROLLERS A.A. Makaruk
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.
To broaden out the technological capabilities of shaping low-rigid parts the article presents burnishing rollers as one of the implemented methods of local plastic deformation. The need for complex treatment with the use of developed tools is justified. The methods for calculating the technological parameters of the process are worked out. 21 figures. 3 sources.
1Макарук Александр Александрович, аспирант, тел.: 89526106495, e-mail: makaruk_aa@mail.ru Makaruk Alexander, Postgraduate, tel.: 89526106495, e-mail: makaruk_aa@mail.ru
