Математическая модель индукционного нагрева цилиндрических заготовок перед раскаткой Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.365: 621.785

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ЗАГОТОВОК ПЕРЕД РАСКАТКОЙ А.И. Данилушкин, С.В. Князев, С.И. Семенов

Предложена аналитическая модель процесса непрерывного индукционного нагрева цилиндрических заготовок перед обработкой на деформирующем оборудовании. Для рассматриваемой номенклатуры заготовок в рамках технологических требований, которые предъявляются к температурному состоянию объекта, предложено оценивать температурное состояние в процессе нагрева по средней по сечению заготовки температуре. Полученная аппроксимация позволяет использовать в дальнейших расчетах оптимальных алгоритмов и систем управления рассматриваемого класса объектов математическую модель теплотехнически тонкого тела. Получены соотношения, позволяющие определить коэффициенты аппроксимации из условия минимизации среднеквадратичной ошибки приближения температуры теплотехнически тонкого тела к средней температуре, рассчитанной по точной аналитической зависимости

Ключевые слова: индукционный нагрев, математическая модель, источники тепла, температура, аппроксимация

Предметом исследования является

нагревательная установка для индукционного непрерывного нагрева стальных цилиндрических заготовок перед обработкой на деформирующем оборудовании. Температура нагрева - 1150-1250°С. Столб заготовок движется по направляющим из жаропрочной стали. Очередная нагретая заготовка выталкивается в приемный лоток и транспортируется к штампу. Загрузка холодных заготовок осуществляется автоматически из приемного бункера. Для перемещения заготовок по направляющим служит кулачковый механизм с приводом от электродвигателя. Футеровка индуктора выполнена из жаростойкого бетона. В индукторе одновременно находится от 20 до 30 заготовок, что при производительности технологической линии 600^800 кг/час дает возможность рассматривать процесс нагрева как непрерывный с постоянной скоростью перемещения заготовок через индуктор.

Для большинства промышленных установок при достаточно большой мощности, выделяемой в процессе нагрева в поверхностном слое изделий, величина теплового потока в радиальном направлении по меньшей мере на порядок больше осевого, поэтому с небольшой погрешностью можно пренебречь передачей тепла по оси изделия.

Математическая модель процесса непрерывного индукционного нагрева цилиндрической заготовки при равномерном распределении мощности по длине нагревателя может быть представлена для абсолютной температуры в виде [1]:

dd4i,r,t

а

■ = a

d2e*,r,t

а2

1 d6i(,r,t

'+ — -

а

-Vi —0i,t

(1)

с начальными и граничными условиями e4i,r,0j= в0 4с,г дв^,г,{

a

r=R

а

0ic,r,t\={)=fC

aei,o,t

A'

(2)

•=M*,r,tX=o*<

а

Здесь температурное распределение,

V 4, 3= V - скорость перемещения заготовок через индуктор, которая по условиям работы технологической линии «нагреватель-

деформирующее оборудование» можно принять постоянной, а - коэффициент

температуропроводности, а - коэффициент теплообмена, Я - коэффициент теплопроводности, с- удельная теплоемкость металла, у- плотность металла, Ф4л ^ - функция распределения

внутренних источников тепла, которую для линейной модели можно представить в виде произведения Ф С\ I = 1>4^ С . где Р 4 мощность внутренних источников тепловыделения; II' 4; - функция распределения внутренних теплоисточников по радиусу изделия.

Для решения уравнения (1) с граничными условиями (2) применим конечное интегральное преобразование Ханкеля по радиальной координате [2]. _

Полагая ввиду ее малости температуру в04:,(^ заготовки на входе в индуктор по сравнению с конечной температурой изделия равной нулю, получим для температурного распределения

в^,г,Г\

ск

су

r

Данилушкин Александр Иванович - СамГТУ, д-р техн.

наук, профессор, тел. (846) 242-36-90

Князев Сергей Валерьевич - СамГТУ, аспирант,

тел. (906) 343-91-40, e-mail: [email protected]

Семенов Сергей Иванович - СамГТУ, аспирант,

тел. (846) 242-36-90, e-mail: [email protected]

в*’г’С=-^Ц-

r^A2+s„2 j2a„rZ

JrJ0 4nr^rf -1

+ ahRJ0 tnR

И-2

jrJ0 4nr^drf i.-v e “■s"u •!<-(;

e-^" M-U-Г e^-K-u-r^r

-ahRJо SnR

t

'И-

о

я t

k\\W 4nrl?4-'1

0 0 R t

"T -1

Tdrdr -

ahJ{) (¡„КУе

jw 4rJ0 C„r dr-11-1<

7 -aslt -aslv

-k e n -e n

(3)

Здесь u = — , к = —!—.

V cyV

В установившемся режиме работы нагревательной установки, характеризующемся постоянством управляющего воздействия

j= const, температурное поле изделия достаточно полно определяется его средней по сечению температурой. Это обусловлено отсутствием жестких ограничений на температурный перепад между центром и поверхностью изделия в процессе нагрева и выбором частоты источника питания,

соответствующего условию сквозного нагрева изделия.

В переходных режимах работы в общем случае необходимо дополнительно учитывать ограничения на температурные перепады по сечению изделия путем ввода соответствующих фазовых ограничений. В том случае, если указанные ограничения не достигаются, можно и в переходных режимах оценивать температурный режим в процессе нагрева по средней по сечению температуре изделия.

В подобных практически часто встречающихся ситуациях, таких, например, как широко применяемый в производстве сквозной индукционный нагрев заготовок токами

промышленной и более высоких (1000-10000Гц) частот, достаточную для практических целей точность дает аппроксимация процесса

непрерывного индукционного нагрева

математической моделью нагрева теплотехнически

тонкого тела. Действительно, благодаря наличию внутренних источников тепла равномерность прогрева по сечению изделия в данном случае значительно выше, чем при нагреве внешними источниками. При индукционном нагреве указанная неравномерность зависит от характера изменения плотности индуцированного в изделии тока по радиусу изделия. Закон распределения плотности тока, в свою очередь, определяется параметром

Ял/2

С,------- [3], характеризующим степень

проявления поверхностного эффекта, где Я -характерный размер изделия, в данном случае -толщина стенки кольца, А - глубина проникновения тока в материал изделия.

Для сквозного индукционного нагрева для рассматриваемого класса промышленных нагревателей С, = 4. В этом случае температурный градиент по радиусу заготовки имеет небольшую величину и разность температур поверхности и центра в процессе нагрева в реальной ситуации никогда не достигает критического значения.

Благодаря такой специфической особенности процесса сквозного индукционного нагрева оценку температурного режима и в переходных режимах можно производить по средней по сечению заготовки температуре на выходе из нагревателя, принимая ее за единственный параметр, полностью характеризующий тепловое состояние объекта. В свою очередь, как это следует из вышеизложенного, средняя по сечению температура заготовки при ее индукционном нагреве может быть легко представлена (как интегральный параметр) в форме температуры эквивалентного тонкого тела, теплофизические характеристики которого определяются через параметры реального объекта. Такая аппроксимация, в том случае, если она допустима, позволяет весь последующий анализ динамики исследуемого процесса непрерывного индукционного нагрева и синтез оптимальных алгоритмов управления для рассматриваемого класса объектов выполнить для модели нагрева теплотехнически тонкого тела, оценивая, где это необходимо, величину погрешности

аппроксимации.

Интегрируя (4) по г в пределах от 0 до Я и переходя к относительным единицам, получим для средней температуры:

1 {2+M2„J,lii, ■ \4р-т~1Г3"т -Pip-u-r^e

■8„ 4+т ^

+Z-

П=1

4*^, ф„>о <Н-‘-

e-S„v

i2+V2n JoilJ

■ \w<tj0iinrdi.

0

0

00

1

as,, t

2

as

n

o

Здесь м„=^пЯ; 8п=^г'> Р = 1 = 77;

К К К-

- функция распределения внутренних теплоисточников по радиусу цилиндра.

Среднюю по сечению температуру изделия можно с удовлетворительной точностью представить в виде температуры эквивалентного теплотехнически тонкого тела

' 4,<Р^= А^Р^-т'е. brdr-

(5)

- В |Р <-о - Ът Л4-и-т1}т +

0

+ с{-ь9-е-^ 4|-1ф_и^

Коэффициенты приближения определяются из условия минимизации среднеквадратичной ошибки приближения

J =

т I

(6)

Для нахождения коэффициентов приближения составляется система уравнений вида

^ = 0; ^ = 0

сС ¿В

« 4А/4/! i

-<5„о

-1 r2

2 \

+ a(-

~bv

(7)

Г +

R2

J0iinln

затем, решая систему уравнений (7) при I = и относительно коэффициентов А , В, С, получаем трансцендентное уравнение

.2 А

А2 +

R

JlbnX

.g J^GJxitnb2

(8)

И=1

Г +

R2

¿2С2|си-2<-е

лчи;

Т

-2bv

Т

-Ъи

$п+С_

і

J

' 82С2 [сv-2(-e-bD ri-e-2bv i-e-bv

\-e-2bv J-e^ Jn+ С из которого определяется коэффициент b.

Самарский государственный технический университет

MATHEMATICAL MODEL OF INDUCTION HEATING OF CYLINDRICAL BILLETS BEFORE ROLLING A.I. Danilushkin, S.V. Knyazev, S.I. Semenov

In this work the analytical model of continuous induction heating process of cylindrical billets before deformation machining is presented. For the billets variety under examination in the terms of process requirements imposed to the thermal state of an object it

Коэффициенты А и В находятся из соответствующих соотношений (7).

В (7) и (8)

1

оп = ]иЧ^0<к/>

0

По полученным в (7) и (8) зависимостям рассчитывают коэффициенты аппроксимации .!. В, С и значения температуры в* на выходе из индуктора эквивалентного тонкого тела, средней температуры в , температуры поверхности вп и

температуры центра в массивного тела для

квазистационарного режима для параметров процесса.

Как следует из анализа полученных результатов, погрешность аппроксимации зависит от параметра

(глубины проникновения тока) и параметра к .

Так, для £ = 4 и к = 7,2 разность между средней температурой, рассчитанной по точному выражению (4) с учетом первых десяти членов ряда и температурой эквивалентного тонкого тела (5) составляет 18°С, а для с = 4 и к = 12.4 эта разность составляет 9°С. При 4" = 7 и к = 18,5 погрешность равна -12°С. Для рассматриваемых параметров процесса полученная аппроксимация дает вполне удовлетворительную точность, что позволяет использовать в дальнейших расчетах по динамике рассматриваемого класса объектов и синтезу оптимальных алгоритмов управления

математическую модель «тонкого» тела с коэффициентами, рассчитанными по (7) и (8).

Литература

1. Лыков А.В. Тепломассообмен (Справочник) М.: Энергия, 1978. - 480 с.

2. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: - М.: Высшая школа, 1985 - 480 с.

3. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева машиностроительных деталей. Л.: Энергия, 1975. - 183 с.

is assumed to assess the thermal state during heating by average temperature of cross-section of a billet. The obtained approximation makes it possible to apply the mathematical model of a thermotechnically thin body in further calculations of the optimal algorithm and operating systems of the object class under examination. There have been obtained correlations providing a means of defining approximation ratio in the terms of mean-square error minimization of temperature approximation of a thermotechnically thin body to average temperature calculated using accurate analytic dependence

Key words: induction heating, mathematical model, heat sources, temperature, approximation

0

0

e