Моделирование социального партнерства в банковской системе Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.83+519.86 Б01 10.18522/0321-3005-2016-1-21-25

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНОГО ПАРТНЕРСТВА В БАНКОВСКОЙ СИСТЕМЕ*

© 2016 г. В.А. Магдесян, А.Б. Усов

Магдесян Владимир Артурович - магистр, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: vmagdesyan@yandex.ru

Усов Анатолий Борисович - доктор технических наук, профессор, кафедра прикладной математики и программирования, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: usov@math.sfedu.ru

Magdesyan Vladimir Arturovich - Master, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: vmagdesyan@yandex.ru

Usov Anatolii Borisovich - Doctor of Technical Science, Professor, Department of Applied Mathematics and Programming, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: usov@math.sfedu.ru

Рассматривается проблема социального партнерства в банковской системе. В качестве субъектов выступают центральный банк (ведущий) и один или несколько коммерческих банков. Проблема социального партнерства в банковской системе, несомненно, актуальна. Она должна быть достаточно гибкой, чтобы обеспечить удобство взаимоотношений между людьми и банками. В качестве участников социального партнерства рассматриваются банковские учреждения, центральный банк, люди, пользующиеся услугами банков.

Ключевые слова: иерархия, двухуровневая система, Штакельберг, равновесие.

In this article we are going to analyze the problem of social partnership in the banking system. Without a doubt this problem is highly relevant. The system has to be flexible enough to provide comfortable relationship between people and banks. We will consider banks, the central bank and people, who use banking services, as the participants of this social partnership. The result of the partnership will be the income growth of the banks and the central bank.

Keywords: hierarchy, two-level control system, Stackelberg, equilibrium.

Современные системы управления являются сложными многоуровневыми системами, отношения внутри которых построены на основе иерархии. Имеется один субъект управления верхнего уровня (начальник) и один или несколько субъектов нижнего уровня (подчиненных). Каждый из субъектов преследует свои индивидуальные эгоистические цели, часто не имеющие ничего общего с общесистемными целями, которые состоят в поддержании системы в устойчивом состоянии [1-4]. Проблемы иерархического управления устойчивым развитием представляются чрезвычайно актуальными для экономических, эколого-экономических, социальных и политических систем различной природы и структуры [5, 6]. Иерархическое управление устойчивым развитием предназначено для решения экологических проблем на глобальном, региональном и локальном уровнях, а также проблем управления предприятиями и организациями

различных секторов экономики и форм собственности, проблем государственного устройства и других [7, 8].

Во всех указанных случаях (воздействие человека на окружающую природную среду, управление предприятиями и организациями, территориальное взаимодействие) имеются определенные общие черты: изменение состояния управляемых систем происходит в результате воздействия субъектов управления разных уровней, имеющих собственные цели и интересы; отношения между субъектами управления строятся на основе иерархии; цели и интересы разных субъектов различны, как правило, являются несовпадающими, а порой и противоречивыми; реализация эгоистических целей различных субъектов может привести к нарушению устойчивого состояния системы, иметь негативные последствия; можно указать одного или нескольких субъектов, заинтересованных в поддержании всей

*Работа выполнена при финансовой поддержке Южного федерального университета, проект № 213.01-07.2014/07-ПЧВГ.

системы в устойчивом состоянии и располагающих определенными возможностями для достижения этой цели. Наличие этих общих черт позволяет построить содержательную теорию, включающую как дескриптивные, так и нормативные аспекты [9, 10].

В данной статье рассматривается проблема социального партнерства в банковской системе. В качестве субъектов - центральный банк (ведущий) и один или несколько коммерческих банков. Участники социального партнерства - это банковские учреждения, центральный банк, люди, пользующиеся услугами банков.

Математическая постановка задачи

Простейшей иерархически управляемой динамической системой является двухуровневая, включающая в себя [9, 10]:

- источник воздействия верхнего уровня (ведущий);

- источник воздействия нижнего уровня (ведомый);

- управляемую систему (У С).

Взаимоотношения внутри иерархической системы устроены следующим образом: ведущий воздействует на ведомого, ведомый - на УС. Воздействуя на УС, ведомый преследует какие-то свои эгоистические цели (например, получение максимальной прибыли в результате производства). Ведущий, воздействуя на ведомого, способен обеспечить поддержание УС в заданном состоянии. В системе присутствует обратная связь, а именно информация о текущем состоянии УС, полученная в результате прогнозирования или проведения мониторинга, поступает ко всем субъектам управления.

Рассматривается двухуровневая модель банковской системы, включающая:

- центральный банк (ЦБ);

- коммерческие банки (КБ);

- управляемую систему (У С, клиенты КБ).

ЦБ воздействует на КБ. Его главной целью является поддержание банковской системы в заданном состоянии. Кроме того, ЦБ преследует свои частные цели и стремится к максимизации своего дохода. Подобная организация взаимоотношений обусловила иерархию между субъектами управления системы, в соответствии с которой ЦБ выступает в качестве субъекта управления верхнего уровня, КБ - нижнего. Взаимоотношения между субъектами данной системы носят следующий характер: ЦБ воздействует на КБ, КБ - на УС. Непосредственное воздействие ЦБ на УС отсутствует.

Предполагается, что ЦБ стремится к максимизации своего дохода, и его целевая функция имеет вид

J0 = КГО(у, РЖ) ■ V - Я(КУО(у, РБЬ), у) -

-M(KVD(v,PSL),v) ^ max,

(1)

PSLmin - PSL - PSLmax ?

v ■ — v — v v min — v — v max >

где v = W/100, W - процент, под который ЦБ вы-

T

дает деньги КБ; PSL = ^^, где T - процент, под

который КБ выдает деньги клиентам; KVD(v, PSL) -размер выданных ЦБ кредитов; R(KVD, v) - затраты ЦБ на рекламу; M (KVD, v) - зарплата сотрудников ЦБ.

Целевая функция КБ J1 = KVD(v, PSL) ■ (PSL - v) - L(KVD(v, PSL), PSL) -

-S(KVD(v,PSL),PSL) - KVD(v,PSL) ■ v ^ max , (2)

PSL

где L(KVD, PSL) - затраты в КБ на аренду помещения; S(KVD, PSL) - зарплата сотрудников КБ.

Функции R(KVD, v) , M(KVD, v) , L(KVD, PSL) , S(KVD, PSL) являются выпуклыми возрастающими, а KVD(v, PSL) - убывающей функцией своих аргументов.

В модели предполагается, что все взятые у ЦБ деньги выдаются КБ в качестве кредитов населению.

Ограничения на управления ЦБ и КБ берутся в виде

(3)

(4)

где PSLmin, PSLmax - минимально и максимально возможный процент выплат по кредитам; v m;n, vmax - минимальный и максимальный процент, взимаемый ЦБ.

Кроме того, потребуем, чтобы количество выданных кредитов лежало в заданном диапазоне, т.е.

kvmin < KVD(v,PSL) < kvmax, (5)

где kvm in, kvmax = const.

Итак, исследуется модель социального партнерства, описываемая соотношениями (1)-(5).

Исследование модели

Для модели (1)-(5) строится равновесие Шта-кельберга согласно следующему алгоритму [2, 3, 810]:

1. Решается задача (2), (3). Определяются оптимальные стратегии КБ в зависимости от стратегии ЦБ.

2. Найденные на первом шаге алгоритма величины PSL (v) подставляются в (1), (5). Решается задача (1), (3), (5). Решение обозначим через v*.

3. Равновесие имеет вид (v , PSL (v )) и является равновесием по Штакельбергу для модели (1)-(5).

v

Исследуем модель (1)-(5) согласно этому алгоритму для следующих входных функций:

KVD(v, PSL) =

CL . ..2 '

(6)

L(KVD, v, PSL) = B2 • KVD • PSL2 • v;

S(KVD, v, PSL) = B3 • KVD • PSL2 ;

R(KVD, v, PSL) = C2 • KVD • v3 • PSL ;

M(KVD, v, PSL) = C3 • KVD • v3 • PSL2.

Здесь Q, C2, C3, B2, B3 = const. Вид входных функций обусловлен анализом данных из сети Интернет [11].

Подставим (6) в (1)-(5). Первыми решаются задачи КБ (2), (3). Решение проведем методом множителей Лагранжа. Найдем первую производную (2) и приравняем ее к нулю:

-a/L = C-2• B, •

PSL

dPSL

- Ä

2 • PSL ..2

= 0.

Отсюда PSL =

1

2 • B2-v + 2 • B3

PSL =

PSLmin, anee v>

1 - 2 • PSLmin • B3

2 • PSLmin • B2

L - 2 • PSL • B PSLl, anee -:——3 <v<

1 - 2 • PSLmin • B3

2 • PSLmax • B2

2 • PSLmin • B2

PSLm<,„, anee v <

1 - 2 • PSLmax • B3 2 • PSLmax • B2

Обозначим

_1 - 2 • PSLmin • B3 . v _1 - 2 • PSLmax • B3

V1 = ПП7-П- ' V2 =

2 • PSLmin • B2

2 • PSL

max • B2

C

r2

Уравнение

ш 1 ^

—— = • — - С\ • с2 • ^^ах - С1 • С3 • ^¿шах = 0 ОУ V2

не имеет решений в области (4).

Следовательно, в этом случае равновесием является одна из стратегий PSLшax),

Р^шах) ;

2) V2 < V < VI . Тогда РЬЪ* = PSL1 и

J 0 = C1---C1 • C2

1 -V

- C1 • C3-v

2• (B2 ^v + B3)

(1 -v)2

4• (B2 • v + B3)

с/

2

а2зх1 dPSL2 < о.

Следовательно, если стратегия PSLl существует и принадлежит множеству допустимых управлений КБ, то она является для него оптимальной. Оптимальное управление ведомого определяется формулой

Решим задачу ЦБ. Его целевая функция имеет вид

= С - С • С2 • V • PSL - С • С • V • PSL2 .

Пусть vшin ^2 < VI < vшax. Рассмотрим три возможных случая:

1) ^т .

В этом случае PSL = PSLшax,

J0 =--C1 ' C2 'v' PSLmax - C1 ' C3 'v' PSLmax .

Уравнение —— = 0 не имеет вещественных решений. Следовательно, равновесием в этом случае является одна из пар стратегий: (vb PSLj), (v2, PSLj);

3) vi <v<vmax.

Этот случай аналогичен первому, PSL = PSLm;n и оптимальной является одна из стратегий

(vmin,PSLmin) , (vmax,PSLmin) .

В результате равновесием системы является одна из точек

(vmin,PSLmax) > (vmax,PSLmax) > (v1,PSL1) > (v2, PSL1) > (vmin PSLmin) > (vmax,PSLmin) > (v1, PSLmax) , (v2,PSLmax) .

Выбор одной из этих точек проводится после задания всех входных параметров задачи.

В случае входных функций общего вида равновесие строится путем имитации и перебора областей допустимых управлений ЦБ и КБ [8-10].

Результаты счета

Ниже приведены результаты проведенных расчетов для ряда характерных наборов входных данных в случае входных функций вида (6).

Пример 1. Пусть PSLmin = 0,05 ; PSLmax = 0,3 ;

vmin = 0,05 ; vmax = 0,14; B2 = 15 р.; B3 = 1,7 р.; C1 = 15000 р.; C2 = 12 р.; C3 = 200 р. Тогда v = vmin = 0,05; PSL = PS.Ц = 0,204; J = 291915,87 р.; J1 = 12244,897 р.

Пример 2. Для входных данных примера 1 и C2 = 12 р. получим, что оптимальные стратегии субъектов не изменятся и J0 = 350299,04 р.; J1 = 14693,88р. Таким образом, при увеличении

v

v

v

1

<

величины С1, связывающей количество взятых у ЦБ кредитов и ставку по кредитам, доход обоих субъектов растет.

Пример 3. Для входных данных примера 1 и С2 = 20 р. оптимальные стратегии субъектов не изменятся и J0 = 290691,38 р.; J1 = 12244,897 р.

Пример 4. Для входных данных примера 1 и С3 = 500 р. - J0 = 282544,78 р.; J1 = 12244,897 р. Таким образом, при увеличении затрат ЦБ на рекламу или на зарплату сотрудникам ЦБ его доход падает, а КБ - не меняется.

Таким образом, повышение процента, под который КБ выдает деньги клиентам, до определенного момента увеличивает его доход, а затем доход начинает падать (количество клиентов, обратившихся в банк, уменьшается). ЦБ в этом случае все время терпит убытки, так как количество кредитов, выданных КБ, уменьшается.

Заключение

В работе на основе теоретико-игрового и иерархического подходов построена математическая модель банковской системы, учитывающая субъектов управления двух уровней. Использован метод побуждения (в качестве метода иерархического управления в системе). Проведен ряд численных экспериментов исследования равновесия Штакель-берга. Выявлены некоторые закономерности функционирования системы:

1. Построение равновесия Штакельберга с учетом требований к управляемой системе возможно. Ведущий может добиться поддержания системы в заданном состоянии.

2. Чем меньше процент, под который ЦБ выдает деньги КБ, тем больше прибыль ЦБ, но этот процент для используемых входных данных не должен опускаться ниже 5 %. Действительно, чем меньше процент, тем больше банков, которые берут кредиты у ЦБ.

3. При низком проценте, под который ЦБ выдает деньги КБ, КБ выгодно завышать процент, под который они выдают деньги клиентам.

4. Увеличение расходов на рекламу или зарплату сотрудникам уменьшает доход ЦБ, хотя эти рас-

Пример 5. Для входных данных примера 1 и В2 = 15,5 р. - J0 = 292060 р.; J1 = 6060,6 р.

Пример 6. Для входных данных примера 1 и В3 = 1,71 р. - J0 = 291974,02 р.; J1 = 9756,097 р.

Следовательно, при изменении величин В2 и В3 в некотором диапазоне доход КБ падает, а ЦБ -меняется незначительно.

Пример 7. Для входных данных примера 1 и В3 = 1,5 р.; vmax = 0,15 в таблице указана зависимость доходов ЦБ и КБ от процента, под который КБ выдает деньги клиентам.

ходы и можно увеличивать для привлечения новых клиентов.

5. Увеличение количества клиентов у КБ значительно увеличивает доход как КБ, так и ЦБ. Поэтому и КБ, и ЦБ выгодно в известном диапазоне уменьшать процент по кредитам для привлечения большего числа клиентов.

7. При увеличении различных затрат ЦБ или КБ основные убытки несет в любом случае КБ, доход ЦБ уменьшается незначительно.

Литература

1. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интереса-

ми. М., 1976. С. 326.

2. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Динамические иерархиче-

ские игры двух лиц в программных стратегиях и их приложения // Математическая теория игр и ее приложения. 2013. Т. 5, вып. 2. С. 82-104.

3. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Исследование дифференци-

альных моделей иерархических систем управления путем их дискретизации // АиТ. 2013. № 2. С. 109-122.

4. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Равновесия в моделях

иерархически организованных динамических систем с учетом требований устойчивого развития // АиТ. 2014. № 6. С. 86-102.

5. Петросян Л.А., Ширяев В.Д. Иерархические игры. Са-

ранск, 1986. С. 92.

6. Угольницкий Г.А. Иерархическое управление устойчи-

вым развитием. М., 2010. С. 336.

7. Кононенко А. Ф. О многошаговых конфликтах с обменом

информацией // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1977. № 4. С. 922-931.

8. Новиков Д.А. Теория управления организационными

системами. М., 2012. 604 с.

9. Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Динамические модели

конфликтов. Иерархические игры // Автоматика и телемеханика. 2015. № 2. С. 89-106.

Доходы ЦБ и КБ

PSLmin PST ± u^max PSL * J0 > P. J , P-

0,05 0,2 0,2 292200 60000

0,2 0,25 0,22 290592,59 66666,7

0,25 0,3 0,25 288375 56250

0,3 0,35 0,3 283800 15000

10. Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении орга-

низационными системами. М., 2002. С. 148

11. URL: https://www.cbr.ru/ckki/ (дата обращения:

12.12.2015).

References

1. Germeier Yu.B. Igry s neprotivopolozhnymi interesami

[Game with nonconflicting interests]. Moscow, 1976, p. 326.

2. Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Dinamicheskie ierarkhicheskie

igry dvukh lits v programmnykh strategiyakh i ikh prilozheniya [Dynamic hierarchical two-person game in program strategies and their applications]. Mat. teoriya igr i eeprilozheniya, 2013, vol. 5, no 2, pp. 82-104.

3. Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Issledovanie differentsial'nykh

modelei ierarkhicheskikh sistem upravleniya putem ikh diskretizatsii [Investigation of differential patterns of hierarchical control systems by means of their sampling]. AiT, 2013, no 2, pp. 109-122.

4. Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Ravnovesiya v modelyakh

ierarkhicheski organizovannykh dinamicheskikh sistem s uchetom trebovanii ustoichivogo razvitiya [Equilibrium models of hierarchically organized dynamic systems with

Поступила в редакцию

the requirements of sustainable development]. AiT, 2014, no 6, pp. 86-102.

5. Petrosyan L.A., Shiryaev V.D. Ierarkhicheskie igry [Hierar-

chical games]. Saransk, 1986, p. 92.

6. Ugol'nitskii G.A. Ierarkhicheskoe upravlenie ustoichivym

razvitiem [Hierarchical management of sustainable devel-opmen]. Moscow, 2010, p. 336.

7. Kononenko A.F. O mnogoshagovykh konfliktakh s obme-

nom informatsiei [About multistage conflicts with the exchange of information]. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki, 1977, no 4, pp. 922-931.

8. Novikov D.A. Teoriya upravleniya organizatsionnymi

sistemami [Theory of control in organization systems]. Moscow, 2012, 604 p.

9. Gorelov M.A., Kononenko A.F. Dinamicheskie modeli kon-

fliktov. Ierarkhicheskie igry [Dynamic models of conflict. Hierarchical games]. Avtomatika i telemekhanika, 2015, no 2, pp. 89-106.

10. Gubko M.V., Novikov D.A. Teoriya igr v upravlenii organ-

izatsionnymi sistemami [Game theory in the management of organizational systems]. Moscow, 2002, p. 148.

11. Available at: https://www.cbr.ru/ckki/ (accessed

12.12.2015).

29 января 2016 г.