Моделирование вертикальной маркетинговой системы с учетом возможной коррупции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.83+519.86

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ МАРКЕТИНГОВОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КОРРУПЦИИ*

© 2015 г. А.Э. Назиров, А.Б. Усов

Назиров Адалят Эльшанович - аспирант, кафедра прикладной математики и программирования, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Миль-чакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-таИ: [email protected]

Nazirov Adalyat Elshanovich - Post-Graduate Student, Department of the Applied Mathematics and Programming, Institute of the Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Усов Анатолий Борисович - доктор технических наук, доцент, кафедра прикладной математики и программирования, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-таИ: [email protected]

Usov Anatolii Borisovich - Doctor of Technical Science, Associate Professor, Department of the Applied Mathematics and Programming, Institute of the Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]. ru

Представлена математическая модель, описывающая деятельность различных субъектов вертикальной маркетинговой системы. В роли субъектов управления выступают поставщик, производящий продукцию, посредник, с которым у поставщика заключен договор комиссии, и торговое предприятие, реализующее продукцию поставщика в розничной сети. Модель построена на основе теоретико-игрового и иерархического подходов. Строится равновесие по Штакельбергу с учетом требований поддержания системы в заданном состоянии и возможной коррумпированности субъектов управления. В качестве метода иерархического управления используется метод побуждения. Приведен ряд характерных примеров с последующей интерпретацией полученных результатов. Сделаны выводы о путях борьбы с коррупцией в трехуровневых системах управления.

Ключевые слова: иерархия, трехуровневая система управления, метод побуждения, равновесие по Штакельбергу, коррупция, имитация.

An original mathematical model, that describes different activities of actors in the vertical marketing system is presented. There are a provider, a mediator, a trading enterprise are presented as a controlling subjects. The relationship between provider and mediator accords to commission agreement. Trading enterprise sells products is produced by the provider. The model is based on the game-theoretical and hierarchical approach. A Stackelberg equilibrium in terms of sustainable development is established under possible corruption. The method of impulsion is used as a method of hierarchical control to solve this model. A number of typical examples followed by an interpretation of the results obtained are presented. Some contributions to fight corruption in three-level system are made.

Keywords: hierarchy, three-level control system, method of impulsion, Stackelberg's equilibrium, corruption, computing simulation.

Успешное функционирование любых экономических объектов невозможно без комплексного подхода к проблеме управления и предполагает наличие отлаженной системы управления. Изучение различного рода систем управления проходит в рамках теории активных систем [1, 2], теории иерархических игр [3], а также теории контрактов [4].

При анализе эколого-экономических систем особую роль играет теория иерархических систем управления, в концепции которой учитывается специфика механизмов управления реальными эко-лого-экономическими объектами.

Моделирование эколого-экономических систем начиналось с использования одноуровневых моделей. Системы такого рода содержат только один субъект управления. В таких моделях не учитыва-

ется всё многообразие связей экономической и экологической подсистем. Однако современные системы управления являются многоуровневыми, отношения внутри которых построены на принципах иерархии (начальник — подчиненный).

Простейшей иерархически организованной системой управления является двухуровневая, включающая в себя субъекты управления двух иерархически соподчиненных уровней управления (ведущий, ведомый), а также управляемую систему (УС) [3]. Такие системы управления часто используются при организации реальных экономических объектов и позволяют организовать работу всей системы оптимальным образом. Но существует множество экономических объектов, эффективное функционирование которых невозможно при использовании

* Работа выполнена при поддержке ЮФУ, проект № 213.01-07.2014/07ПЧВГ.

системы управления двухуровневой структуры. В этих случаях необходимо строить систему управления, учитывая потребности в дополнительных субъектах управления, относящихся к разным иерархически соподчиненным уровням. Поэтому наряду с двухуровневыми системами управления экономическими объектами в настоящее время распространены трехуровневые системы, в состав которых входят субъекты управления верхнего, среднего и нижнего уровней. Такие системы управления более точно отражают структуру взаимоотношений между хозяйствующими субъектами.

Специфика любой трехуровневой системы управления состоит в том, что интересы субъектов управления среднего и верхнего уровней различны, а порой и противоположны. Как следствие, субъекты управления среднего уровня могут быть заинтересованы в получении взяток от субъектов управления нижнего уровня, в обмен на которые они ослабляют свое воздействие на них. Таким образом, в трехуровневых системах управления возможны побочные платежи, которые являются скрытыми действиями в целях достижения собственной выгоды и видом оппортунистического поведения [5-7]. Подобного рода «комиссионные» получили широкое распространение под термином «откат» (kickbacks) [5, 6]. Откаты являются одним из видов взяток, и в современном мире имеют место как с участием государственных органов или чиновников, так и между субъектами бизнеса при наличии посредника между ними. Между субъектами управления могут возникнуть коррупционные отношения.

Основополагающей работой по математическому моделированию коррупции считается статья С. Роз-Аккерман [7]. В ней представлен ряд моделей, описывающих коррупционное поведение экономических субъектов. В дальнейшем отдельные вопросы коррупции исследовались в [1, 6, 8 — 11]. В этих и других работах изучаются статические и динамические (многошаговые) модели коррупции; случаи попустительства и вымогательства; политическая, экономическая, организационная коррупция; дилемма взяточника; возможность подкупа контролирующего органа, случай его независимости, неподкупности и другие. Классификация и анализ работ, посвященных математическому моделированию коррупции, приведены в [8].

В данной работе строится и исследуется трехуровневая модель, описывающая взаимодействие нескольких субъектов вертикальной маркетинговой системы: поставщика (ПС), посредника (ПР) и торгового предприятия (ТП). Взаимоотношения ПР и ПС происходят в соответствии с договорами комиссии или агентским.

Наличие иерархии в отношениях между субъектами управления обусловлено порядком принятия ими решений. Этот факт определяет инструментарий исследования построенной модели [3]. Взаимоотношения ПС и ПР происходят в соответствии с договором комиссии или агентским договором. Предполагается, что основной целью ПС является поддержание системы в заданном состоянии [3]. В качестве метода иерархического управления в предложенной модели используется метод побуждения [2, 3, 9].

Математическая постановка задачи

Основная цель экономических субъектов — увеличение собственной прибыли. Важную роль в достижении этой цели играет способ движения товара от производителя к конечному потребителю. Система, включающая в себя ряд организаций, которые принимают на себя или помогают передать другому право собственности на конкретный товар на пути от производителя к потребителю, называется каналом распределения продукции [12]. Выделяют традиционные каналы распределения, вертикальные и горизонтальные маркетинговые системы.

В данной работе рассматривается трехуровневая модель вертикальной маркетинговой системы, включающая ПС; ПР; ТП; УС (потребители).

Взаимоотношения между субъектами управления данной системы носят следующий характер: ПС воздействует на ПР, ПР - на ТП.

Подобная организация взаимоотношений обусловила иерархию между субъектами управления системы, в соответствии с которой ПС выступает в качестве субъекта управления верхнего уровня, ПР - среднего, ТП — нижнего. ТП действует от собственного имени, используя товары и товарные знаки ПС; ПР — от имени ПС, который в свою очередь контролирует деятельность ПР.

Деятельность ПС связана с производством строительных материалов из древесины. Его основной целью является поддержание системы в заданном состоянии (гомеостаза). Компании-производители для осуществления своей деятельности нуждаются в разрешении на выброс загрязняющих веществ (ЗВ), в котором оговаривается класс опасности ЗВ и их объемы. Данное разрешение может быть отозвано в связи с превышением объемов ЗВ или их класса опасности, а функционирование компании — приостановлено. Предполагается, что основной целью ПС является выполнение экологических нормативов и поддержание системы в го-меостазе, и во вторую очередь — максимизация собственной прибыли. Будем считать, что система находится в гомеостазе, если количество ЗВ, поступающих в атмосферу при производстве строи-

тельных материалов, соответствует нормам, установленным государством. Данное условие может быть выполнено не единственным образом, поэтому, кроме того, ПС стремится к максимизации прибыли, полученной в результате реализации произведённой им продукции. ПС реализует продукцию через ПР, с которым у него заключен договор комиссии. В соответствии с данным договором ПС выступает в роли комитента, а ПР — комиссионера.

ПС предоставляет ПР товар по базовой цене, которой ПС может управлять. ПР может менять (увеличивать или уменьшать) цену, установленную ПС, в пределах, оговоренных договором комиссии. ПР управляет величиной собственной накрутки или скидки к цене ПС. Согласно договору комиссии, ПР за оказанные им услуги получает комиссионное вознаграждение, величина которого зависит от объема проданной им продукции.

ТП занимается продажей строительных материалов, приобретаемых у ПС через ПР. ТП стремится к максимизации своей прибыли, управляя размером своей наценки на стоимость продукции, по которой оно приобретает товар у ПР. С доходов всех субъектов управления государство взимает налог.

В качестве метода иерархического управления используется метод побуждения [3, 9].

Интересы ПР и ПС не совпадают. Каждый из них заинтересован в максимизации своего дохода. Поэтому ПР может быть заинтересован в получении взяток от ТП, в обмен на которые он уменьшает свою наценку на продукцию ПС. Размер взятки определяется ТП. ПР в свою очередь может принять ее или отклонить. В случае принятия взятки ПР уменьшает свою наценку на стоимость продукции. Предполагается, что ПС не обращает внимание на наличие коррупции в системе, т.е. не контролирует и не наказывает ПР и ТП за взятки.

Пусть ПС производит и продает товары одного типа. Кроме того, имеется одно ТП, которому ПС через ПР продает свой товар.

ТП стремится к максимизации своей прибыли. При этом оно несет фиксированные и переменные затраты. Фиксированные затраты, в отличие от переменных, не зависят от объема продаваемой продукции.

Целевая функция ТП имеет вид

jrn = С1" v)((стп - s ■ Ртп - srs)-v(ртп) -FCm - S ■ Cr ■ V (Ртп) ^ max ,

CTi7,Cr

(1)

РТП ~ РПР + стп , V (РТП) _ '

(Ртп )°

В (1) v - величина налога на прибыль; PПР , PТП цена единицы продукции у ПР и ТП соответственно; сТП — наценка ТП; V(PТП) — объем продаваемой

ТП продукции; он зависит от цены РТП с постоянным коэффициентом эластичности а; cTn-V(PTn) — доход ТП от реализации продукции; FCTn = const — фиксированные затраты ТП; s=const — доля выручки ТП, выделяемая в фонд заработной платы (se(0,1)); SRS=const — средства, которые ТП тратит на хранение единицы продукции (SRS>0); Cr — размер взятки, приходящейся на единицу продукции; д — постоянная, равная единице, если взятка ПР принимается, и нулю — в противном случае. Предполагается, что товар, который продает ТП, является эластичным, т.е. | а |>1; A, а = const.

ПР получает от ТП заказ на товар в количестве V(PTn) и направляет его на исполнение ПС. Последний поставляет готовую продукцию ПР, тот в свою очередь — ТП. ПР тратит собственные средства на повышение своей квалификации, аренду офиса и использование средств связи. С учетом возможной коррупции в системе целевая функция ПР имеет вид

J^ = (1 - v)(1 - cos t ПР) ■ b ■ Рпс ■ V(Ртп) + +S ■ Cr ■ V (Ртп) ^ max ,

(2)

РпР0 = Рпс ■ (1 + Спр - СпР -СпР■ Cr-S). (3)

Здесь

Cr

Cr

■ Cr — полезность взятки, ко-

торая показывает, насколько взятка уменьшает цену, устанавливаемую ПР; Сгтах - максимально возможный размер взятки; сПР — наценка ПР; сПРт,„ — размер минимальной наценки ПР, указанный в договоре комиссии; Ь — величина комиссионных за единицу проданной продукции; РПС — цена единицы продукции у ПС; ЬРПСУ(РТП) — комиссионные, получаемые от ПС, за единицу проданного товара; они зависят от стоимости продукции у ТП; со$ХПР — доля средств от общей выручки ПР, которую составляют переменные затраты.

Предполагается, что основной целью ПС является поддержание системы в гомеостазе. Будем считать, что система находится в гомеостазе, если выполнено неравенство

Мп (V) < Мпмах, (4)

где МПМах — максимально допустимый объем сброса ЗВ в окружающую среду, установленный государством; МП^(РТП)) — количество попадающих в окружающую среду загрязнений, зависящее от объема произведенной продукции (У(Ртп)).

Выполнения условия (4) ПС может добиться не единственным образом. Он стремится к увеличению собственного дохода, управляет базовой стоимостью продукции РПС, расходует средства на оплату услуг связи, рекламу и аренду склада. Эти затраты не зависят от объема продаж. Кроме того, ПС тратит средства на выплату комиссионных ПР,

с

пр

пР СпР min

аренду склада, зарплату сотрудникам, а также закупку сырья. Эти затраты зависят от объема проданной продукции.

Целевая функция ПС имеет вид

Jпс =(1" v)((Рпр - (cost пс + b) • рпс - zs)х xV (Ртп ) - FC ПС ) ^ тах >

Stnr

(5)

где FCnc = const - фиксированные затраты ПС; cos tnc - размер переменных затрат; zs - стоимость хранения одной единицы продукции у ПС.

Описанная выше модель решается при следующих ограничениях на управление:

РПС min - РПС < РПС max ^ СПР min < СПР < СПР max ,

s = {0,1},

0 - Cr < Crm

(6)

(7)

(8)

Тогда равновесие по Штакельбергу с учетом требований поддержания системы в заданном состоянии строится аналитически методом множителей Лагранжа. Оптимальное управление ТП выглядит следующим образом:

СТП min ' если СПР < С01 ТП\ если сПР 6 [c01' С02 ) ,

'ТПmax ' еСЛИ СПР ^ С02

СТП min - СТП - сТП max ,

где Pncmin, рПстах - размеры минимальной и максимальной цены единицы продукции у ПС; сПРтП,

СпРтах (Crnmin, СтПтах) - размеры минимальной и

максимальной наценки ПР (ТП) на единицу продукции.

Исследуемая модель описывается системой уравнений и неравенств (1) - (8).

Методы исследования модели

Бескоррупционный случай (Crmax = Cr = ö =0). Алгоритм нахождения равновесия побуждения в бескоррупционном случае

1. Решается задача (1), (8). Определяется оптимальная для ТП наценка, которая зависит от стоимости единицы продукции у ПР, т.е. от РПС и сПР. Обозначим ее через сТП (РПС, сПР).

2. Решается задача (2), (3), (7) при сТП = =сТП (РПС, сПР). Определяется оптимальное управление ПР в зависимости от величины РПС. Обозначим его сПР (РПС).

3. Подставим найденные на первом и втором шагах алгоритма величины сТП (РПС, сПР (РПС)) и сПР (РПС) в (4) - (6). Определяется оптимальная для ПС стоимость единицы продукции РПС .

4. Решение модели (1) - (8) имеет вид

{ Рпс , Спр (Рпс ), сТП (Рпс , сПР (Рпс ))}. Задачи, решаемые на шагах 1 - 3 алгоритма, представляют собой нелинейные задачи условной оптимизации, решаемые с учетом иерархии в отношениях между субъектами управления.

Пусть наложены следующие ограничения на входные параметры субъектов управления:

- ТП

0-5< 1; 0<SRS; 0<A; а> 1;

- ПР

0 < b < 1; 0 < costпр <1 -1 < спрmin;

- ПС

(1 + CnPmin ) > COstПС + b .

„ _сТП тт(«-1)(1 - Л) где С01 ----—--1;

(1 - 5 + а») • Рпс

„ _ сТП тах(°- 1)(1 - 5)

с02 — ~ ч „ 1 ; (1 - 5 + 0«) • Рпс

0 _ (1 - 5 + аж) • рпс (1 + спр ) + стп — .

(0-1)(1 - 5)

В бескоррупционном случае управление ПС,

вне зависимости от значений входных параметров,

*

имеет вид спс = спСтт.

Задача ПС исследуется аналитически методом множителей Лагранжа. На данном этапе определяется базовая стоимость единицы продукции с учетом значений параметров управления ПР и ТП, а также требования поддержания системы в заданном состоянии. Ниже приведено несколько примеров. Введем обозначения:

Pol =

СТП min(a- 1)(1 - s) SR

RS

(1 - s + as) • (c ПС mn + 1)

p _ СТПmax (a - 1)(1 - s) - a • SRS . p02 = ; (1 - s + as) • (cПС min + 1)

,0 zsa(1 + СПСmin ) + ((1 + СПСmin ) - (C0St ПР + b))СТПmin

p0 = P =

(1 + СПСmin )(a - 1)((1 + СПСmin ) - (C0StПР + b))

aS„

-—-((1 + cnCmn) - (costПР + b)) + azsL

0 _ (a-1)(1 -s) ПР '

P0 =

(a -1) • L((1 + С пс mn) - (cost пр + b))

0 СТП max ((1 + СПСmn ) - (costПР + b)) + azs (1 + СПСmn )

P0 =

L = (1 + С

(a - 1)(1 + СПСmin )((1 + СПСmin ) - (cost ПР + b)) (1 - s + as)(1 + Спс mln)

,) + -

(a-1)(1 - s)

Если выполняется ограничение на область допустимых управлений ПР

РПС max <

СТП min (a 1)(1 - s) -aSRS (1 - s + as) • (спр mn + 1)

то управление ПР принимает вид

P * = J

p ПС '

P p0 > P Ы P <r P

P ПС max, P0 P ПС max и P ПС max < P 01 ,

P0 P <P° <P

p 0 , p ПС min < p 0 < p 1

ПС max и РПС m ax < P0 1 ,

0

P ПС min, P ПС min ^ P 0 и P ПС max < P0 1 .

Если

СТП1)(1 ~ s) ~aSRS (1 - 5 + as) ■ (СпРш1п + 1)

P <

1 ПС шах ^

СТПшах(а- 1)(1 - s) -aSRS (1 - s + as) ■ (Спрmm + 1)

то

р * =

1 ПС

Р Р°>Р wP ^PwP s Р

1 ПС шах ' 1 1 — 1 ПС шах и 1 ПС шах < 1 02 и 1 ПС ш1п ^ 1 01,

р0 р <Р0^Р иР ^PwP S Р

1 1 , 1 ПС rnin — 1 1 < 1 ПС шах и 1 ПС шах < 1 02 и 1 ПС ш1п ^ 1 01,

Рл,

1ПС ш1п ^ 1 И 1ПС шах < 102 И p7С ш1п ^ P01.

При ограничениях вида

1ПС ш1п —

сТП шах (a - 1)(1 - s) - aSRS

(1 - s + as) ■(cпр тп +1)

оптимальное управление ПР принимает вид

р * =

1 ттп

Р Р0>Р wP >Р

1 ПС шах ' 1 2 — 1 ПС шах и 1 ПС ш1п — 1 02 ,

р°р <Р0^Р иР >Р

1 2 ' 1 ПС ш1п — 1 2 < 1 ПС шах и 1 ПС ш1п — 1 02 , 0

1 ПС rnm ' 1 ПС ш1п ^ 1 2 и 1 ПС ш1п — 1 02 .

Таким образом, оптимальная стратегия ПС РПС* принимает одно из девяти значений в зависимости от значений входных параметров: РПСтт, РПСтах, Ро0, Р10, Р20, Р01, Г?01-е;, Р02, Ро^е).

Равновесие Штакельберга принимает вид {РПР ,

* *

СПС , СТП

При наличии коррупции в системе (Сгтах^0) алгоритм нахождения равновесия побуждения заключается в следующем.

1. Решается задача (1), (8). Определяется оптимальная для ТП наценка и размер предлагаемой ПР взятки. Эти величины зависят от стоимости продукции у ПР (т.е. от РПС и сПР) и решения ПР о принятии взятки от ТП. Обозначим эти значения через {стп*(Рпс, Спр, 8), Сг*(Рпс, Спр, 8)}.

2. Найденные в первом пункте алгоритма величины {Стп (Рпс, Спр, 8), Сг (Рпс, Спр, 8)} подставляются в (2), (3). Решается задача (2), (3), (7). Определяется оптимальное управление ПР в зависимости от РПС. Обозначим его через {сПР (РПС), 8 *(Рпс)}.

3. Подставим найденные на первом и втором шагах алгоритма величины {сПР (РПС), 8 (РПС)} и {стп*(Рпс, Спр*(Рпс), 8*(Рпс)), Сг*(Рпс, Спр*(Рпс), 8 (РПС))} в (4) — (6). Определяется оптимальное для ПС значение стоимости единицы продукции РПС .

4. Решение модели (1) - (8) имеет вид

{Рпс , СПР (рпс ), 8 (рпс ) , СТП (рпс, спр (рпс), 8 (Рпс )), Сг (рпс , П (рпс ), 8 (рпс ))}.

В общем случае равновесие с учетом возможной коррупции строится численно методом прямого упорядоченного перебора областей допустимых управлений на основе имитационного моделирования.

Равновесие Штакельберга принимает следующий вид: {Рпр , спс , стп }.

Результаты расчетов

Приведем несколько примеров исследования модели (1) — (8).

Пример 1. При отсутствии коррупции в системе для следующего набора входных параметров:

Л=10000; я=1,35; сШтт=2 у.е.; сШтах=5° у.е.; Сгтах=0 у.е.; 8=0; ^Сш=50 у.е.; 5=0,1; ¿^=0,3 у.е.; Спртт=—0,2; Спртах=1,5; оо8?пр=0,3; Ь=0,3; Рпсти=10 у.е.; Рпстах=2°° у.е.; Мдмах=1° т; оо8?пс=0,2; ^Спс=100 у.е.; ^=0,5 у.е.; о=0,15. Оптимальные стратегии субъектов управления имеют вид Стп*=Стптах=50 у.е.; Спр*=Спртп=—0,2; Рпс*=Р2°=185 у.е.

Доход субъектов управления в равновесии системы равен JПС=285,9 у.е.; УПР=262,0 у.е.; Утп=159,1 у.е.

Здесь JПС, JПР, JТП — доходы ПС, ПР и ТП соответственно; у.е. - стоимость в условных единицах; т - тонна.

В данном случае ТП и ПР выгодно назначать максимально возможные наценки к ценам ПР и ПС соответственно.

Пример 2. В случае входных данных примера 1 и я=1,55 получим, что сТП*=сТП0=18 у.е.;

СПР*=сПРтт= 0,2; РПС*=РПСтт = 1° у.е.;

Jпc=51,3 у.е.; JпР=114,4 у.е.; Jтп=780,1 у.е.

Следовательно, с ростом коэффициента эластичности прибыль ТП растет, а ПР и ПС — падает.

Пример 3. В случае входных данных примера 1

и Рпстах=50 у.е. имеем сш*=сштах=50 у.е.;

СПР*=сПРтт= 0,2; РПС*=РПСтах = 50 у.е.;

JПС=198,5 у.е.; JПР=205,3 у.е.; JТП=753,3 у.е.

С уменьшением максимально возможной стоимости единицы товара у ПС для него оптимальным становится именно это значение цены единицы продукции. Прибыль ТП в этом случае возрастает по сравнению с примером 1, прибыли ПР и ПС падают.

Пример 4. В случае входных данных примера 1 и Л=5000: Стп*=стптах=50 у.е.; спр*=спртп=—0,2; Рпс*=Р2°=185 у.е.; Jпc=100,5 у.е.; Улр=131,0 у.е.; Jтп=58,3 у.е.

Снижение объема производства у ПС влечет за собой снижение прибыли всех субъектов управления системы.

Пример 5. В случае входных данных примера 1 и Стптах=5 у.е. получим Стп*=Стптах=5 у.е.;

сПР*=сПРтт= —0,2; РПС* = Р2 =5° у.е.;

Jпc=686,5 у.е.; Jпp=579,9 у.е.; Jтп=214,1 у.е.

Снижение величины максимально допустимой наценки ТП влечет увеличение прибыли ПС и ПР и снижение прибыли ТП.

Пример 6. В случае входных данных примера 1 и Сгтах=20 у.е. в системе появляется коррупция, причем сТП*=50 у.е.; Сг*=5,5 у.е.; сПР*=1,5; 8*=1;

ПС rnm

Рпс*=26 у.е.; .пс=557,5 у.е.; .пр=194,8 у.е.; •тп=495,5 у.е.

Максимальную выгоду от взяток получает ТП, прибыль ПР также возрастает, а ПС — падает.

Пример 7. В случае входных данных примера 6 и Сгтах=50 у.е.: сш*=50 у.е.; Сг*=0 у.е.; спр*= —0,2; ¿*=0; Рпс*=185 у.е.; •пс=285,9 у.е.; •пр=262,0 у.е.; •тп=159,1 у.е.

С повышением величины максимально допустимой взятки эффективность взятки падает (формула (3)). ПР стремится получить с ТП чересчур большую взятку. ТП становится невыгодно ее предлагать.

Пример 8. В случае входных данных примера 6 и Сгтах=20 у.е. и спртах=0,3: сш*=50 у.е.; г*=0 у.е.; спр*= —0,2; ¿*=0; Рпс*=185 у.е.; •пс=285,9 у.е.; •пр=262,0 у.е.; .тп=159,1 у.е.

Если возможности ПР невелики - он не может сильно завышать цену ПС, то коррупции в системе нет. ТП невыгодно предлагать ПР взятку.

Заключение

В работе на основе теоретико-игрового и иерархического подходов предложена математическая модель системы управления вертикальной маркетинговой системой с учетом возможной коррумпированности субъектов управления; введено понятие равновесия Штакельберга в игре трех лиц с учетом требований поддержания системы в заданном состоянии, указан алгоритм его построения.

Выявлены основные закономерности функционирования системы и способы борьбы с коррупцией в ней, которые состоят в следующем:

1. Увеличение объема продаж влечет за собой увеличение прибыли всех субъектов управления. С ростом коэффициента эластичности (а) происходит снижение прибыли ПС и ПР.

2. При отсутствии коррупции в системе уменьшение максимально допустимой скидки, предоставляемой ПР, приводит к увеличению прибыли ПС. ПР выгодно предоставить ТП максимально возможную скидку. При увеличении размера комиссионных прибыль ПР увеличивается, ТП и ПС — снижается.

3. В бескоррупционном случае для ПС выгоднее платить комиссионные ПР исходя не из собственной цены, а из цены ПР; ТП выгодно, чтобы комиссионные рассчитывались исходя из цены ПС. При низкой эластичности товара суммарная прибыль всех субъектов управления выше при расчете комиссионных исходя из цены ПР.

4. При низкой эластичности товара коррупция повышает суммарную прибыль всех субъектов. При высокой эластичности товара коррупция не

меняет суммарную прибыль субъектов. Следовательно, повышение эластичности товара является одним из средств борьбы с коррупцией в системе.

5. При указанной в модели функции эффективности взятки для ТП дача взятки выгодна только при «небольших» значениях максимально допустимой взятки. В противном случае запросы ПР превышают возможности ТП. Взятка не дается. Уменьшение возможностей ПР, а именно уменьшение максимально допустимой его наценки к цене ПС, делает для ТП невыгодным дачу взятки и способствует искоренению коррупции в системе.

Отметим, что в бескоррупционном случае исследованный в работе механизм взаимодействия субъектов управления в той или иной мере находит отражение во взаимодействии ряда мебельных фабрик, их региональных представителей, дилеров, индивидуальных частных предпринимателей и фирм.

Литература

1. Выборное Р.А. Модели и методы управления организационными системами с коррупционным поведением участников. М., 2006. 110 с.

2. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. М., 2012. 604 с.

3. Угольницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием. М., 2010. 336 с.

4. Тамбовцев В.Л. Введение в экономическую теорию контрактов : учеб. пособие. М., 2004. 144 с.

5. Баев И.А., Климов Б.О. Моделирование оппортунистического поведения менеджеров промышленного предприятия // Вестн. Южно-Уральского гос. унта. Экономика и менеджмент. 2009. № 29 (162). C. 63 - 65.

6. Lambert-Mogiliansky A., Majumdar M., Radner R. Petty corruption: A game - theoretical approach // J. of Economic Theory. 2008. Vol. 4. P. 273 - 297.

7. Rose-Ackerman S. The economics of corruption // J. of Political Economy. 1975. Vol. 4. P. 187 - 203.

8. Левин М.И., Цирик М.Л. Коррупция как объект математического моделирования // Экономика и математические методы. 1998. Т. 34, № 3. C. 40 - 62.

9. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Статические модели коррупции в системах контроля качества водных ресурсов // Проблемы управления. 2012. № 4. С. 38 -44.

10. Горбанева О.И., Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Моделирование коррупции в иерархических системах управления. Ростов н/Д., 2014. 412 с.

11. Bac M. Corruption and supervision costs in hierarchies // J. of Comparative Economics. 1996. № 2. P. 99 -118.

12.Голубков Е.П. Основы маркетинга. М., 1999. 656 с.

References

1. Vybornov R.A. Modeli i metody upravleniya or-ganizatsionnymi sistemami s korruptsionnym povedeniem uchastnikov [Models and methods of control of organizational systems with the corrupt behavior of participants]. Moscow, 2006, 110 p.

2. Novikov D.A. Teoriya upravleniya organizatsion-nymi sistemami [Theory of control of organizational systems]. Moscow, 2005, 604 p.

3. Ugol'nitskii G.A. Ierarkhicheskoe upravlenie us-toichivym razvitiem [Hierarchical management of sustainable development]. Moscow, 2010, 336 p.

4. Tambovtsev V.L. Vvedenie v ekonomicheskuyu teoriyu kontraktov [Introduction to the economic theory of contracts]. Moscow, 2004, 144 p.

5. Baev I.A., Klimov B.O. Modelirovanie opportu-nisticheskogo povedeniya menedzherov promyshlennogo predpriyatiya [Simulation of opportunistic behavior of managers of industrial enterprises]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Ekonomika i menedzhment, 2009, no 29 (162), pp. 63-65.

Поступила в редакцию

6. Lambert-Mogiliansky A., Majumdar M., Radner R. Petty corruption: A game - theoretic approach. J. of Economic Theory, 2008, vol. 4, pp. 273-297.

7. Rose-Ackerman S. The economics of corruption. J. of Political Economy, 1975, Vol. 4, pp. 187-203.

8. Levin M.I., Tsirik M.L. Korruptsiya kak ob"ekt matematicheskogo modelirovaniya [Corruption as an object of mathematical modeling]. Ekonomika i matemati-cheskie metody, 1998, vol. 34, no. 3, pp. 40-62.

9. Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Staticheskie modeli korruptsii v sistemakh kontrolya kachestva vodnykh re-sursov [Static models of corruption in the system of quality control of water resources]. Problemy upravleniya, 2012, no 4, pp. 38-44.

10. Gorbaneva O.I., Ugol'nitskii G.A., Usov A.B. Modelirovanie korruptsii v ierarkhicheskikh sistemakh upravleniya [Corruption modeling in hierarchical control systems]. Rostov-on-Don, 2014, 412 p.

11. Bac M. Corruption and supervision costs in hierarchies. J. of Comparative Economics, 1996, no 2, pp. 99118.

12. Golubkov E.P. Osnovy marketinga [Fundamentals of marketing]. Moscow, 1999, 656 p.

_23 марта 2015 г.