CC BY
16
Моделирование СМО открытого типа. Проверка численной модели
Шемахин Е. Ю.
Шемахин Евгений Юрьевич /Shemakhin Evgeny Urievich - аспирант, кафедра интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами,
Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань
Аннотация: рассматривается численная модель открытой системы массового обслуживания, степень влияния соотношения входных параметров системы на погрешность вычисляемых динамических значений характеристик.
Ключевые слова: система массового обслуживания, характеристики системы, моделирование, проверка динамических значений.
Первоначальная оценка погрешностей на этапе отладки алгоритма [2] производилась вручную путем создания нескольких прогонок (прогонкой здесь и далее называется запуск модели СМО от начала до достижения критерия остановки) модели одного типа и изменения входных параметров системы. Но больший интерес представляет дальнейшее исследование влияния входных параметров системы на динамические значения характеристик. Оценка погрешности и установление оптимальных входных параметров производились по нескольким критериям:
1. Определение входных параметров, при которых максимальная погрешность определенной характеристики при некотором числе испытаний минимальна. Данную оценку можно применить к группам характеристик, объединенных общим признаком, например, число требований в системе, под обслуживанием и т. п.
2. В некоторых случаях результат каждой из этих оценок необходимо проверить, вручную запустив прогонку модели с полученными входными параметрами и оценить поведение характеристик.
3. Повторение испытания с увеличением максимального числа требований в системе, а также числа прогонок.
4. Определение входных параметров, при которых максимальная погрешность испытаний по всем характеристикам созданной системы минимальна.
Погрешность испытаний также в значительной степени зависит от системы ГСЧ, используемой в созданной модели, поэтому этот параметр неизменен на протяжении всего испытания и выделен в отдельную характеристику при подсчете погрешностей. По этой же причине, а также чтобы минимизировать влияние ГСЧ на результаты испытаний, оцениваться будут максимальные погрешности, а не средние или минимальные. Таким образом, оценка в целом будет заключаться в поиске такого сочетания входных параметров, при котором максимальная погрешность по всем испытаниям определенной характеристики будет минимальна. Поэтапная оценка алгоритма, моделирующего СМО открытого типа с очередью ограниченной длины [1, с. 68], представлена ниже.
1. Первым испытанием станет «поверхностная» проверка многоканальной СМО с неограниченной очередью с использованием встроенного псевдослучайного ГСЧ среды Visual Studio-2010 [3] и с ограничением максимального числа требований в системе, равным 200000. Цель - выявление наилучшего порядка величин Я и /и. Также необходимо ограничить величину p/ m интервалом (0.05;0.95), т. к. сходимость динамической системы в граничных условиях не может быть гарантирована. При указанных ограничениях и числе испытаний каждого соотношения, равном 10, необходимо будет совершить 146240 прогонок. Наилучшим сочетанием входных параметров в целом, на основе определения минимальной погрешности наборов и максимальной погрешности характеристик в каждом наборе по всем прогонкам, для данного испытания является следующий набор, показанный в табл. 1.
Таблица 1. Наилучшее сочетание входных параметров в целом
Тип характеристик Я/ (и • m) Погрешность (%)
Моменты 1-го порядка 10.5/ (7 • 2) = 0.75 0.50131250
Моменты порядка выше 1 4/ (7 • 2) = 0.285714285 1.21424937998797
Из-за различной скорости сходимости моментов разного порядка, данная оценка была разбита на 2 части.
2. Последующая оценка погрешности СМО с очередью ограниченной длины производится аналогично, однако порядок величин Я и и изменяться не будет. Ограничение максимальной длины очереди разумно ограничить слева 1 , справа - средней длиной реальной очереди модели без ограничений, умноженной на 1.5 . Список характеристик, наилучших сочетаний входных параметров и максимальных погрешностей данного испытания показаны в табл. 2, где в столбце «О.» указано ограничение максимального числа требований в очереди.
Таблица 2. Сводная таблица испытания № 2
Характеристика Я/(и• т) О. Погр. (%)
Л 7.5/ (5.5 • 2) = 0.681818 2 0.114549
м 9 (4.5 • 3) = 0.666667 7 0.134736
р 9 (9 • 2) = 0.5 7 0.207253
Р обсл 4.5/ (7 • 4) = 0.160714 7 1.03 -10 6
Ро 5.5/ (10.5 • 4) = 0.13095 4 0.151057
Р ожид 5.5/ (4 • 2) = 0.6875 1 0.311252
Р отк 9 (7.5 • 2) = 0.6 1 0.611648
к.з. 7.5/ (4 • 2) = 0.9375 6 0.173171
к.п. 4/ (10.5 • 4) = 0.095238 5 0.031151
m 7.5/ (4 • 2) = 0.9375 6 0.173171
* 5.5/ (6 • 2) = 0.458333 1 0.466394
l 9 (4 • 3) = 0.75 1 0.523339
*2 9.5/ (7 • 2) = 0.678571 1 0.547221
1 реал 8.5/ (6.5 • 2) = 0.65384 2 0.11537
2 реал 19 (4.5 • 3) = 0.740741 2 1.78959
к 9 (4 • 3) = 0.75 1 0.205864
* 5.5/ (6 • 2) = 0.458333 1 0.451092
t обсл 9 (4.5 • 3) = 0.666667 7 0.134457
*2 1обсл 9.5/ (9 • 4) = 0.263889 4 0.936609
бжид 9.9 (5 • 2) = 0.95 2 0.447388
*2 1ожид 8 (5.5 • 2) = 0.727273 1 1.38888
t , ожид, реал 7.9 (4.5 • 2) = 0.833333 1 0.273048
*2 1ожиду реал 8.9 (5.5 • 2) = 0.772727 1 1.91754
t сист 9.9 (9.5 • 4) = 0.25 7 0.148548
*2 сист 9.5 (9 • 4) = 0.263889 4 0.831737
KmJ 5.9 (6 • 2) = 0.458333 1 1.16965
rm,l 8.9 (9.5 • 2) = 0.447368 1 0.640149
Примечание: из результатов исключена нулевая погрешность средней длины реальной очереди при ограничении максимальной длины очереди, равной 1 или 2 , для исключения влияния этого вырожденного случая на оценку погрешности. На основании данных результатов можно сделать вывод, что сходимость моментов порядка выше 1 медленнее и требует увеличить число требований в системе.
3. Основываясь на предыдущей оценке, можно выбрать 5 наилучших сочетаний входных параметров для каждого момента порядка выше 1, что в результате даст 38 различных уникальных сочетаний ввиду повторения некоторых из них. Во втором испытании также будет использован встроенный псевдослучайный ГСЧ VS 2010, число прогонок для каждого набора увеличится до 20, максимальное число требований же возрастет до 2000000 , и оцениваться будут только моменты порядка выше 1. Список характеристик, наилучших сочетаний входных параметров и максимальных погрешностей данного испытания показаны в табл. 3.
Таблица 3. Сводная таблица испытания № 3
Характеристика Л/(м m) О. Макс. (%)
4.9 (7.5 • 2) = 0.3 1 0.346925
а2 10/ (5.5 • 2) = 0.909 1 0.40711
al реал 7/ (4.5 • 2) = 0.7778 2 1.4231
*2 3.5/ (9.5 • 3) = 0.12281 8 0.3887
а] ‘■обсл 8.5/ (5.5 • 2) = 0.7727 1 1.2221
af 1ожид 9.5/ (4.5 • 3) = 0.7037 1 1.011
а/ 1ожиду реал 8.5/ (5.5 • 2) = 0.7727 1 1.222
at 1сист 4/ (6.5 • 4) = 0.1538 6 1.288
KmJ 10/ (5.5 • 2) = 0.909 1 0.61
10/ (5.5 • 2) = 0.909 1 0.5179
Наилучшие сочетания входных параметров в целом показаны в табл. 4.
Таблица 4. Наилучшее сочетание входных параметров в целом
Тип характеристик Л/(^ • т) Погрешность (%)
Моменты 1-го порядка 9.5/ (7 • 2) = 0.6876 0.4588
Моменты порядка выше 1 9.5/ (4.5 • 3) = 0.7037 1.1086
Исследовано поведение модели [2] при различных наборах входных параметров, что позволило выявить наиболее удачные из этих сочетаний для созданных моделей СМО и отдельных характеристик, использование которых позволит снизить влияние ГСЧ на результаты прогонки. Результаты данного исследования будут полезны при поиске неизвестных пока аналитических формул характеристик СМО открытого типа с ограничениями.
Литература
1. Кирпичников А. П. Методы прикладной теории массового обслуживания. -Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. - 200 с.
2. Шемахин Е. Ю., Кирпичников А. П. Моделирование многоканальных открытых систем массового обслуживания с ограничениями в среде Visual Studio-2010 / Вестник Казанского технологического университета. - 2015. Т. 18, - № 3.
3. Microsoft Developer Network. [Электронный ресурс]. Руководство по программированию на C#. Режим доступа: https://social.msdn.microsoft.com/Search/ru-RU (дата обращения 28.10.2014 г.).
