Исследование аналитических формул числовых характеристик систем массового обслуживания открытого типа с ограничениями Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

Е. Ю. Шемахин, А. П. Кирпичников ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ОТКРЫТОГО ТИПА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Ключевые слова: Система массового обслуживания, характеристики системы, моделирование, исследование аналитических

формул.

Рассматриваются численные модели открытых систем массового обслуживания с ограничениями. Изложен процесс получения некоторых неизвестных аналитических формул характеристик системы на основе вспомогательных функций программы, реализующей данную модель.

Keywords: queuing system, characteristics of the system, modeling, study analytical formulas.

We study the numerical models of an open queuing system with restrictions. The paper presents the process of getting some unknown analytical formulas of the characteristics of the system, based on the support functions of the program that implements this models.

Процесс установления неизвестных аналитических формул систем массового обслуживания (СМО) открытого типа [1, 2] при помощи реализованной численной модели [3] включает следующие шаги:

1. Выявление принципа вычисления динамической величины указанной характеристики на этапе создания и отладки алгоритма [4], моделирующего исследуемую СМО.

2. Определение оптимальных сочетаний [3] входных параметров СМО, при которых минимальна общая погрешность динамических значений, либо погрешность значений, объединенных общим признаком, зависимость от которых искомой величины очевидна. Найденные наборы параметров позволят исключить влияние генераторов случайных чисел (ГСЧ) системы [5] на результаты.

3. Анализ установленных ранее зависимостей, попытка определения формулы методом подбора при помощи реализованного в программе инструмента «Испытание формул» [3], который позволяет вычислять в реальном времени значения формулы для сохраненных наборов входных параметров и сравнивать с динамическими значениями величин, полученных и отобранных по определенным критериям из испытаний [3].

4. Перебор при помощи «Испытания формул» сомножителей и слагаемых, образующих формулу, либо некоторую её часть, и определение соответствующего набора, при котором погрешность между динамическим и статическим значением будет минимальна для всех выбранных сочетаний входных параметров СМО. При равной погрешности двух формул алгоритм выбирает ту, которая записана меньшим количеством символов, по окончанию перебора программа предоставляет информацию о формулах, выбранных более 1 раза, а также формулах с наименьшей средней и минимальной погрешностями.

Стоит отметить, что описанные шаги не определяют строго последовательность действий при установлении неизвестной аналитической формулы. Та или иная формула может быть обнаружена на каждом из этих шагов по отдельности, однако, указанная последовательность действий позволяет

структурировать полученные результаты. Шаг № 4, не смотря на трудоемкость и временные затраты описанной процедуры, как правило оказывается лишь вспомогательным инструментом, т. к. анализ результатов и принятие решения остается за исследователем. Тем не менее, при определенной сноровке при помощи этого инструмента появляется возможность подобрать формулу, либо её часть, имеющую наименьшие погрешности, а, следовательно, аппроксимирующую свойства искомой характеристики. Примечание: в динамической модели существует понятие «непрерывного состояния», например, если в системе находилось m -1 требование, а следующее поступившее в систему требование заменит предыдущее точно в момент покидания им обслуживающего канала. Эти случаи не имею существенного влияния на выводимые аналитические формулы, однако, влияют на погрешность и проявляются при достаточно малых значениях параметров ГСЧ, а также при низком качестве ГСЧ.

Рассмотрим поочередно каждую из реализованных моделей СМО.

1. Многоканальная СМО с неограниченной очередью

1. Среднее число требований обслуженных подряд за период частичной и полной занятости z. В первый раз формула была найдена в результате эксперимента (по аналогии с формулой для однока-нальной модели), а лишь затем выведена аналитически. Смысл динамической величины: число требований, поступивших на обслуживание подряд, разделенные требованиями, заставшими обслуживающий прибор свободным. Очевидно, формула содержит вероятность того, что поступившее требование застанет обслуживающий прибор свободным p

Разделив число всех требований, поступивших в систему на число требований, заставших обслуживающий прибор свободным, мы получим искомую величину, однако, заменим первую величину на вероятность пребывания в системе любого числа тре-

бований (X р = 1), а вторую на вероятность отсут-

ствия требований в системе.

да

X Рк

- к=0

1

(1.1)

Р 0 Р 0

Формула выражает математическое ожидание числа требований, которые приходятся на 1 требование, заставшее обслуживающий прибор свободным. В данной формуле в число обслуженных подряд требований входит то, с которого начинается подсчет (заставшее обслуживающий прибор свободным). Исключив его из формулы (р0 в числителе), получим число требований, поступивших в систему за период частичной и полной занятости.

X Рк т-1 -.к 1

' = _= ур+_. X

1А „„I

т-1 пк

Р

Р0

к=1 к! т! к=тт

(1.2)

X Рк - Р0

=-1- -1

Р0 Р0

Для проверки найденной формулы, как и последующих в данной модели, используется следующий набор входных параметров: интенсивность потока требований Я и потока обслуживания ^ в

диапазоне (1;10) с шагом 0.5, число каналов в диапазоне (2;10) с шагом 1, также ограничено отношение приведенной интенсивности потока требований к числу обслуживающих каналов р/т интервалом (0.05;0.95). Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Яшах = 1.211%, КтШ = 0.095%, КШ1П = 5-10-5%. Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1.

2. Среднее время непрерывной работы прибора при частичной и полной занятости 12. Смысл динамической величины: среднее время существования обслуживающего прибора, в течение которого он обслуживал поступающие подряд требования. Данная формула была получена из (1.2) по аналогии с обобщенными формулами Литтла [1, с. 190].

/ =

г -1 1- Р0

(1.3)

Я Р0

Формула выражает математическое ожидание суммы промежутков времени между поступающими подряд требованиями. Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 1.72%, КтШ = 0.25%,

Кш1п = 3.4 10-6%. Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1.

3. Среднее число требований обслуженных подряд за период полной занятости прибора хпз.

Данная формула была получена также в результате экспериментов, а лишь затем выведена аналитически. Значения данной характеристики для многоканальной СМО с неограниченной очередью совпада-

ют со средней длиной реальной очереди, однако, как будет показано далее, сама величина отличается. Смысл динамической величины: число требований, поступивших на обслуживание подряд при полной занятости обслуживающего прибора, либо непрерывно занимающие последний свободный канал, разделенные требованиями, заставшими на обслуживающем приборе т -1 занятых каналов (при этом обслуживание не было непрерывным).

да

, = Х Рк = Р_, + Рожид =

Р0

( Рт-1

Р

(т -1)! (т -1)!- (т -р)

(1.4)

Р0

Р

(т-1)!

1+

Р

т - р _ т

1 т - р Формула выражает математическое ожидание числа требований, заставших обслуживающий прибор занятым, которые приходятся на 1 требование, заставшее на обслуживающем приборе т -1 занятых каналов. В данной формуле в число обслуженных подряд требований входит то, с которого начинается подсчет (заставшее т -1 занятых каналов). Исключив его из формулы ( р в числителе),

получим число требований, поступивших на обслуживание за период полной занятости.

X Рк

Р0-

_ . Рожид

Рт-1 Рт-1 рт

(1.5)

(т -1)! (т -р) р

рт-1 = т-р

Р°' (т-1)!

Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 195%, КтШ = 0.43%, Кшш = Ы0-4% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 0.

4. Дисперсия числа требований, обслуженных подряд при полной занятости прибора и2п .

Данная формула была получена в результате перебора сочетаний-множителей при помощи инструмента «Испытание формул».

^2 = т р-(т + р) = т- р-(т + р) (1.6) 2п' т - р (т - р) (т - р)3 Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 7.9%, КтШ = 1.85%, Кшш = 5.10-4%. Погрешность данной величины растёт при рт ^ 0 и р/т ^ 1.

5. Среднее время непрерывной работы прибора при полной занятости Т^ . Смысл

динамической величины: среднее время

к =0

г

к=0

существования обслуживающего прибора, в течение которого он обслуживал поступающие подряд требования, при этом все т каналов были заняты. Данная формула была получена из (1.5) по аналогии с обобщенными формулами Литтла [1, с. 190].

=(— - = = (1.7)

пз ут — р ) (т— р)-Я (т - р)-/

Формула выражает математическое ожидание суммы промежутков времени между поступающими подряд требованиями при т занятых каналах. Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 1.98%,

КтШ = 0.25%, Кшт = 6 • 10—5% . Погрешность данной

величины растёт при р/т ^ 0 и р/т ^ 1.

6. Дисперсия времени непрерывной работы прибора при полной занятости С . Данная формула была получена в результате перебора сочетаний-множителей при помощи инструмента «Испытание формул», основываясь на формуле (1.6) и обобщенных формулах Литтла [1, с. 190].

с2 = т р(т + р) 1 = (т + р) (1.8) ' т — р (т — р) (т — р) • /

Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 8.1%, яти = 195%, Кш1П = 1.23 • 10—5% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 0 и р!т ^ 1.

7. Среднее число требований обслуженных подряд за период не полной занятости прибора 2нпз. Формула была получена благодаря объединению аналитической интерпретации величины по аналоги с формулами (1.1) и (1.4) и поиску недостающего коэффициента при помощи инструмента «Испытание формул». Смысл динамической величины: число требований, поступивших на обслуживание подряд, занявшие от 0 до т — 1 свободных каналов, и разделенные требованиями, заставшими обслуживающий прибор свободным или заставшими в системе т — 1 занятых каналов. Очевидно, формула содержит вероятность того, что поступившее требование застанет обслуживающий прибор свободным р0, вероятность застать т — 1 требование в системе, а также некоторые другие величины.

т—2

X Рк

(т — 2 )(т + 2) Р0 + "-/ ч •Рт—1

• (т + р)

(1.9)

X р

к к!

1 + (т — 2)-(т + 2) рт—1 т •(т + р) (т — 1)!

В числителе через вероятность пребывания к требований в системе выражены требования, обслуженные подряд при не полной занятости, в знаменателе же находится количество случаев непрерывного обслуживания, которое содержит требова-

ния, заставшие обслуживающий прибор свободным, а также заставшие т —1 требование в системе, при условии, что предыдущее требование застало т — 2 занятых канала. Это связано с тем, что подсчет величины не включает случаи, при которых среднее число требований, обслуженных подряд при не полной занятости, равно нулю, т. е. при переходе в состояние системы т —1 из состояния т —1 или т .

. - .- ч- т-4 т-а Ч Ч

Рис. 1 - Среднее число требований, обслуженных подряд при не полной занятости, для СМО с неограниченной очередью

Коэффициент в = (т — 2)'(т + 2) равен вероятно-

т •(т + р)

сти перехода в состояние Рт—1 из состояния Рт—2 , а не Рт—1 или Рт . Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 2.91% , КтШ = 0.35%, Кш1п = 1.17 • 10—5% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1, а также при числе каналов т = 3 . График зависимости значений формулы (1.9) от приведенной интенсивности потока требований р при различных значениях числа обслуживающих каналов т показан на рис. 1. Для наглядности большая часть графиков величин будет представлена в логарифмическом виде.

2. Многоканальная СМО с отказами

1. Среднее число требований обслуженных подряд за период частичной и полной занятости z. В данной модели из числителя формулы (1.1) необходимо исключить вероятность отказа рдтк.

Z = 1 — Р отк = робсл (2.1)

Р0 Р0

Для данной модели формула числа требований, поступивших в систему (не обязательно на обслуживание) за период частичной и полной занятости, совпадает с формулой (1.2).

?= 1—20 = ± —1 (2.2)

Р0 Р0

При проверке найденной формулы, как и последующих в данной модели, ограничено отношение приведенной интенсивности потока требова-

г

ний к числу обслуживающих каналов р/т интервалами (0.05;0.95) и (1.05;2). Максимальная, средняя

и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 2.73%, КтШ = 0.23%, Кш1п = 2.3.10-5% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1.

2. Среднее время непрерывной работы прибора при частичной и полной занятости .

Данная формула была получена из (2.2) по аналогии с обобщенными формулами Литтла [1, с. 190].

Т = I-1 = 1 - р0 (2.3)

2 Я р0 -Я

Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 2.86% , КтШ = 0.27%, КшШ = 1.68 -10-6% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1.

3. Среднее число требований обслуженных подряд за период полной занятости прибора 2пз.

Значение данной характеристики в численной модели равняется 1, если за время существования системы хотя бы раз были заняты все каналы одновременно, и 0 в противном случае. Аналитическая же формула всегда равна 1. В данной модели из числителя формулы (1.4) необходимо исключить вероятность отказа Р .

г отк

да

X Рк- р отк .

2 = к=т-1_ = Рт-1 + Рт - Рт = Рт-1 = 1 (2.4)

п.'.

Рт-1 Р т-1 Рт-\

Для данной модели формула числа требований, поступивших в систему (не обязательно на обслуживание) за период полной занятости, совпадает с формулой (1.5), однако в числителе будут представлены только требования, заставшие т занятых каналов.

X Рк

_ к =т _ Рт _

п.'.

Р0'

р

(т)! =р (2.5)

^ Р0' р

(т-1)!

Оценивать погрешность данной величины, равно как строить график зависимости от приведенной интенсивности потока требований р, не имеет

смысла, т.к. она будет равна либо 100%, либо 0%.

4. Среднее время непрерывной работы прибора при полной занятости Т^ . Данная формула

была получена из (2.5) по аналогии с обобщенными формулами Литтла [1, с. 190].

Уя= -1- (2-6)

V. т Л т- / Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 3.05%, КтШ = 0.37%, КшШ = 9.92-10-5% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 0 и р/т ^ 1. График зависимости значений формулы (2.6) от приведенной интенсивности потока требований р при различных значениях числа обслужи-

вающих каналов т показан на рис. 2. Интенсивность потока требований для данного графика фиксирована. На графиках данной и последующих моделей ключевым словом «геБй"» обозначено ограничение величины (в данном случае количества требований в очереди).

1В*3, '«(г-0

Рис. 2 - Среднее время непрерывной работы прибора при полной занятости для СМО с отказами

3. Многоканальная СМО с очередью ограниченной длины

1. Среднее число требований обслуженных подряд за период частичной и полной занятости 2. В данной модели формула совпадает с (2.1).

2 = 1 - Ротк = робсл (3.1)

Р0 Р0

Формула числа требований, поступивших в систему (не обязательно на обслуживание) за период частичной и полной занятости, совпадает с формулой (1.2) и (2.2).

1 - р

0 = ±-1 Р0

(3.2)

При проверке найденной формулы, как и последующих в данной модели, ограничено отношение приведенной интенсивности потока требований к числу обслуживающих каналов р/т интервалами (0.05;0.95) и (1.05;2). Ограничение длины очереди Е находится в интервале (1;10). Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 5.73% ,

КтШ = 0.36%, Кш1п = 1.48 -10-6%. Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1, а также при больших значениях ограничения Е .

2. Среднее время непрерывной работы прибора при частичной и полной занятости 12. Данная формула совпадает с (2.3).

_ = £-2 = 1-Р, (3.3)

Я р0 - Я

Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах = 3.7%, КтШ = 0.24%, Кшт = 9.2 -10-6% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1, а также при больших значениях ограничения Е .

3. Среднее число требований обслуженных подряд за период полной занятости прибора £п..

да т+Е—1

X Рк - Ротк X Рк

Р

(т-1)!

т!

Л Р Р 1...

т

т

- (3.4)

Ро

Р

(т-1)!

-1 +

т

(1 -(р/т )Е Л 1 — р/т

-1+-

Р

т — р

Е

1 —

Е

т — р + р — р-(р/т) 1 — (р/т) т — р 1 — р/т

Данная формула выводится аналогично (1.4), с той лишь разницей, что в числителе будут вероятности состояний системы от рт до рт+ .

Для данной модели формула числа требований, поступивших в систему (не обязательно на обслуживание) за период полной занятости, совпадает с формулой (2.5), однако в числителе будут представлены только требования, заставшие от т до т + Е находящихся в системе требований.

т+Е р \Лр Р

хРк ро-I1+т+■■■

Ро

р

(3.5)

рр т

(т —1)!

1 — (р/т)Е+' ^ р(1 — (р/т)Е+') 1 — р/т т —р

\ У

Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Яшах - 2.43% , КтШ - 0.28%, КШ1П -1.96 • 10—14% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1, а также при больших значениях ограничения Е .

4. Среднее время непрерывной работы прибора при полной занятости Т^ . Данная формула

была получена из (3.5) по аналогии с обобщенными формулами Литтла [1, с. 190].

У(1 — рт))) , р

т — р

Д- (р/т)

(т — р)-М

(3.6)

Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах - 5.3%,

КтИ - 0.76%, КШ1П - 8.08 -Ю—6%. Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 0 и р/т ^ 1, а также при больших значениях ограничения Е. График зависимости значений формулы (3.6) от приведенной интенсивности потока требований р при различных значениях числа обслуживающих каналов т и ограничения числа требований в очереди Е показан на рис. 3. Интенсивность потока требований для данного графика фиксирована. При построении графиков данной модели интервалы числа каналов и

ограничения длины очереди сокращены для удобства восприятия.

ш-г т-1 ГЩ-1 ■ 7 (йМ-С

(П-1 т гм1г т - ?//гп|1 ■ 7 т-5.г ■6 тО/вяг.6 //// '^"ЙГ"! 3

//п/г. !/// г»».г и/ / геи ё7/ / / жж

о.аылпаета

Рис. 3 - Среднее время непрерывной работы прибора при полной занятости для СМО с очередью ограниченной длины

4. Многоканальная СМО с ограниченным средним временем пребывания в очереди

1. Среднее число требований обслуженных подряд за период частичной и полной занятости £ . В данной модели из числителя формулы (1.1) необходимо исключить вероятность покинуть очередь до начала обслуживания Р .

гпок.оч.

1 —

у • I

Т

1 — Р

г п

_ Робсл.

(4.1)

Р0 Р0 Р0

где у - интенсивность ухода требований из очереди, I - средняя длина очереди. Формула числа требований, поступивших в систему (не обязательно на обслуживание) за период частичной и полной занятости, совпадает с формулой (1.2) и (2.2).

£-1—- ± —1 (4.2)

Р0 Р0

При проверке найденной формулы, как и последующих в данной модели, ограничено отношение приведенной интенсивности потока требований к числу обслуживающих каналов р/т интервалами (0.05;0.95) и (1.05;2). Ограничение среднего времени пребывания в очереди 7 находится в интервале (0.01;0.2). Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины: Кшах - 4.1% , КтШ - 0.42%, Кш1п - 4.91 • 10—6% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1, а также при больших значениях ограничения Т.

2. Среднее время непрерывной работы прибора при частичной и полной занятости !п. Данная формула совпадает с (1.3).

(4.3)

Р0 Т

Максимальная, средняя и минимальная относительная погрешность К данной величины:

- £—1 - 1 — Р0

п.п.

т—1

Кшах = 4.3% , КтИ = 0.17%, Кшт = 3.09-10-6% . Погрешность данной величины растёт при р/т ^ 1, а также при больших значениях ограничения 7. График зависимости значений формулы (4.3) от приведенной интенсивности потока требований р при различных значениях числа обслуживающих каналов т ограничения среднего времени пребывания в очереди 7 показан на рис. 4. Интенсивность потока требований для данного графика фиксирована. При построении графиков данной модели интервалы числа каналов и ограничения среднего времени пребывания в очереди сокращены для удобства восприятия.

1. Среднее количество требований, обслуженных подряд при частичной и полной занятости, а также при полной и не полной занятости обслуживающего прибора.

2. Среднее время непрерывной работы обслуживающего прибора при частичной и полной занятости, а также при полной и не полной занятости.

Вспомогательные инструменты данного программного обеспечения, реализованные для исследования зависимостей характеристик, определения аналитических формул и удобного представления результатов, позволяют упростить процесс исследования, а также возложить часть действий (порой большую) на ЭВМ.

Рис. 4 - Среднее время непрерывной работы прибора при частичной и полной занятости для СМО с ограниченным средним временем пребывания в очереди

В заключение отметим, что в данной работе при помощи созданного программного обеспечения [3, 6], моделирующего многоканальные системы массового обслуживания открытого типа с ограничениями [1, 2], а также обладающего широким функционалом и удобным интерфейсом, получены аналитические формулы следующих величин:

Литература

1. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2008. 112 с.

2. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

3. Шемахин Е.Ю., Кирпичников А.П. Моделирование многоканальных открытых систем массового обслуживания с ограничениями в среде Visual Studio 2010, Вестник технологического университета. 2015. Т. 18, № 3, С. 263-268.

4. Шемахин Е.Ю., Кирпичников А.П. Моделирование многоканальной открытой системы массового обслуживания с ограничениями. Необходимый функционал и проверка численной модели, Вестник технологического университета. 2015. Т. 18, № 6, С. 210-215.

5. Шемахин Е.Ю., Кирпичников А.П. Моделирование многоканальной открытой системы массового обслуживания с ограничениями в среде Visual Studio 2010. Часть 2. ГСЧ, Вестник технологического университета. 2015. Т. 18, № 5, С. 170-175.

6. Microsoft Developer Network. [Электронный ресурс]: Руководство по программированию на C#. URL: https://social.msdn.microsoft.com/Search/ru-RU (дата обращения: 28.10.2014).

© Е. Ю. Шемахин - аспирант каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, shupachet@gmail.com; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru.

© E. U. Shemakhin - graduate student of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, shupachet@gmail.com; А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci., Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, kirpichnikov@kstu.ru.