CC BY
41
ЯКІСТЬ, НАДІЙНІСТЬ І СЕРТИФІКАЦІЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ І ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
УДК 681.32.019.3
В.М. ГРИБОВ*, В.П. СТРЕЛЬНИКОВ**
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ФУНКЦИЕЙ ^^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Национальный авиационный университет, Киев, Украина
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина
Анотація. Запропоновано генератор випадкових величин у вигляді програми на основі Mathcad, що конвертує рівномірно розподілені числа комп'ютерного датчика в послідовність DN-розподілу випадкових чисел. Досліджено характеристики відтворюваності, стабільності, незалежності й швидкодії програмного конвертора.
Ключові слова: випадкові числа, конвертування, закон розподілу, вибіркове середнє, відтворюва-ність, стабільність, незалежність, швидкодія.
Аннотация. Предложен генератор случайных величин в виде программы на основе Mathcad, конвертирующей равномерно распределённые числа компьютерного датчика в последовательность DN -распределённых случайных чисел. Исследованы характеристики воспроизводимости, стабильности, независимости и быстродействия программного конвертора.
Ключевые слова: случайные числа, конвертирование, закон распределения, выборочное среднее, воспроизводимость, стабильность, независимость, быстродействие.
Abstract. The generator of random values in the form of programme on the basis of Mathcad, converting regular uniformly distributed numbers of the computer gauge in sequence of the DN -distribution random numbers is offered. Characteristics of reproducibility, stability, independence and speedwork of programme converter are investigated.
Keywords: random values, conversion, distribution law, the sample mean, reproducibility, stability, independence, speedwork.
1. Введение
Моделирование можно определить как исследование реально существующих систем, процессов или явлений с целью их познания, изучения, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя. В авиации моделирование является одним из эффективных методов управления качеством авиационной техники. Моделирование процесса функционирования проектируемых систем позволяет исследовать с минимальными затратами времени и средств зависимость показателей эффективности и отказоустойчивости авионики как системных свойств перспективных авиационных комплексов бортового оборудования от принимаемых структурных технических решений и сравнить рассматриваемые варианты. По результатам моделирования на этапе проектирования осуществляется целенаправленное достижение заданного уровня указанных показателей за счет изменения технических решений, закладываемых в структуру авионики и обеспечиваемых на этапе производства.
Моделирование процесса эксплуатации авионики и воздушных судов в целом позволяет определить оптимальные параметры и характеристики технического обслуживания, в полной мере реализовать заданные свойства бортового оборудования и обеспечить эффективную работу авиакомпании.
Способ моделирования случайных величин подробно описан в различных источниках, например, в работах [3, 4], авторы которой реализуют описанный подход на алгорит-
© Грибов В.М., Стрельников В.П., 2014
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 1
мическом языке программирования, вычисляя функцию нормированного нормального распределения Ф(аг§) с помощью полиномиальной аппроксимации. Известно также представление Ф(аг§) с помощью степенного ряда [2].
Описанное ниже конвертирование “гпё(1)^ВК(Х)” основано на применении современного информационного системного приложения МаШсаё, которое на протяжении многих последних лет является бесспорным лидером в своем классе математического и образовательного программного обеспечения. Как показала практика преподавания в Национальном авиационном университете (г. Киев) учебных дисциплин, связанных с решением задач надёжности и диагностики бортового оборудования, МаШсаё предлагает простой и эффективный инструментарий для исследований по данной тематике, в том числе и в задачах имитационного моделирования процессов и систем.
2. Программа-конвертор “гп^1) ^ Б^Х)”
При моделировании процессов и систем авионики с целью статистического оценивания её надёжности в качестве случайной величины выбирается время до отказа г -го элемента или время достижения процессом деградации предельного значения, подчиняющегося БЫ -распределению.
Генератор равномерно распределённых в интервале [0, 1] псевдослучайных чисел задаёт значения вероятности отказа Q(X, V) = Г(X, V) . Переход от Г(X, V) к значениям приведенных наработок до отказа X = / / ц реализуется на основе уравнения [4]
( X -1 Л ( 2 Л ( X +1 Л + ехр| -у Iф
V
(1)
Б+п := споті
V
+ ехр| — І-споті
/
^ V • V X ) \ V
где гпй (1) - функция обращения к генератору равномерно распределенных чисел;
Г(X, V) - функция БЫ -распределения случайной величины X;
/I и V - известные параметры БЫ -распределения элемента, смысловое содержание которых подробно изложено в [3].
Иллюстрация с комментариями, пояс-
няющими конвертацию равномерно распределённого числа гпй (1) в число X, имеющее диффузионное немонотонное распределение, представлена на рис. 1, где в выражении Г(X, V) ° Гт программа МаШсаё
спогш(аг§) обеспечивает вычисление функции нормированного нормального распределения Ф(агБ).
Последователь-
1
0.3
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Параметры элемента системы
н А ..
= 1 х ш летных часов . _ П -г-
—-0.531:
Число точек вычисления Рт(Хт)
М = 2х 103 - т := 1..М 0.01 = 20 —
п 33 Шаг ■у вычисления /лА = := ДХт Хм
и. ■л-т
Трассировка Х-У Х-значение 0.83 У-значение 0.5313 У2-значение
V Маркер точки данных
0.5 1 1.5 2 2.5
Относительная наработка элемента до отказа Хт
Рис. 1. Иллюстрация к конвертированию в статистическом эксперименте случайного гпй -числа 0,5313 в случайное йп -число X,, = 0,83
ность, содержащая Ы. йп -распределенных чисел, реализуется в компьютерной программе-конверторе и приведена на листинге 1.
dn :=
for n е 1.. N - число статистических экспериментов N = 1 х 10
у <- md(l) for m е 1.. М
Fm cnorm
V
Tv
ґ
+ exp
/ хт+Л
/
break if Fm > у
dnn^
return dn
Xm-1 +
У - Fm-1
Fm-Fm-1 + Ю
- 100
■ ДХ
■M-
dn =
989 1 1.066'ID4
990 1.18'Ю4
991 9.2'103
992 1.702'104
993 8.363'103
994 9.115'103
995 7.154'103
996 5.064'103
997 6.889'103
998 1.937'104
999 7.087'103
1000
Входными параметрами программы-конвертора случайных чисел являются математическое ожидание m и коэффициент вариации v случайной величины t (наработки до отказа) элемента системы.
Внешний цикл программы (for n е 1.. N) задаёт объём статистических экспериментов в имитационном моделировании.
Внутренний цикл программы (for m е 1.. M) обеспечивает последовательное вычисление значений правой части уравнения (1) как функции аргумента Xm с заданным шагом DX = Xm - Xm-1 и сравнивает полученные результаты Fm с у — rnd (1) ; выполнение условия Fm > у останавливает вычисления (break if Fm > y).
В этом состоянии программы выполняются соотношения
Fm > У > Fm—1 и Xm > Xdn > X
m—1 '
Рис. 2. Схема линейной интерполяции при вычислении Xdn
где Xdn - точный результат конвертирования равномерно распределенного числа у в случайное йп -распределённое число.
Точное значение йп -распределённого числа Xdn = Xm-1 + А и находится с помощью линейной интерполяции согласно приведенному на рис. 2 чертежу, где А определяется из подобия треугольников.
Интерполяционная формула в программе
(
dn —
Xm—1 +
У — Fm—1
Л
F_
'Fm—1 + 10
—100
AX
•m
(2)
обеспечивает также переход от Xdn к абсолютному значению случайной величины йп ~ I путём умножения результата интерполяции (в скобках) на заданное значение ц БЫ -распределения. Слагаемое 10-100 в формуле (2) исключает возможное обнуление знаменателя при малых значениях X в начале вычисления функции распределения Г(X). Введение интерполяции позволило увеличить шаг А^ вычисления функции распределения Г (X) без потери точности воспроизведения йп -последовательностей, что в конечном счё-
те повысило быстродействие конвертора. Рекомендованное значение ЛХ = 0,01 получено в результате исследования влияния ЛХ на точность воспроизведения параметров т и v -DN -распределения.
Качество конвертирования оценивалось по критериям воспроизводимости, стабильности, независимости и быстродействия [4].
3. Воспроизводимость конвертора “гп^1)^ОК(Х)”
Критерий воспроизводимости означает, что статистические моменты формируемой конвертором случайной числовой DN -последовательности должны соответствовать характеристикам распределения отказов исследуемой системы. Иными словами, случайные числа на выходе конвертора (наработки до отказа) должны адекватно воспроизводить во времени “картину” появления отказов в реальной системе. Для проверки воспроизводимости конвертора обычно используют известные статистические критерии согласия (Пирсона, Колмогорова, ю [3]). Процедура количественной оценки воспроизводимости конвертора ёп -последовательностей случайных чисел представлена на листинге 2.
Листинг 2. Количественная оценка воспроизводимости конвертора
Значение вероятности P = 0,50 означает, что расхождения теоретической кривой плотности fmeор (7) и гистограммы распределения ёп -чисел на выходе конвертора носят исключительно случайный характер, что свидетельствует о высокой воспроизводимости конвертором заданной модели f (7 ,т, V) распределения случайных значений величины 7 -наработки до отказа.
Критерий стабильности означает, что статистические характеристики dn -последовательностей на выходе конвертора имеют малый разброс при последовательных выборках случайных чисел. Стабильность конвертора оценивалась точностью воспроизведения заданных характеристик распределения при моделировании наработок до отказа в J = 50 выборках объёмом N = 1000 каждая.
Для получения средних значений и коэффициентов вариации случайных чисел в формируемой на выходе конвертора dn -последовательности, как по одной выборке, так и по J выборкам, используются стандартные процедуры Mathcad:
• mean (■) - для оценки средних значений;
• stdev (■) - для оценки средних квадратичных отклонений от среднего значения.
Обработка полученной статистики показывает, что относительные выборочные погрешности воспроизведения параметров DN -распределения составляют mean(8|l)=0,314 % и mean(8v)=0,085 % (листинг 3), что говорит о высокой стабильности характеристик, формируемых конвертором dn-последовательностей случайных чисел.
Листинг 3. Оценки стабильности воспроизведения параметров ц и v
5[iv :=
for j є 1.. J - количество вибірок J = 50
З
for ne 1..N - количество испытаний в выборке N = 1 х 10
Уп^тсі(і)
for m є 2.. М
Fm cnorm
'Хт-О
\
v-J Хт j
+ exp
2
)
break if Fm > yn
Шп<-
ДХ ■ (m - 1) +
Уп - F m-1
- 100
■ДХ
V -
5[j,V2
И
stdev (DN) mean(DN)
воспроизведения параметра в j-ой выборке;
- относительная ошибка v воспроизведения параметра V в j-ой выборке.
return 5|J.V
Результаты оценивания стабильности воспроизведения параметров ]Д. и V DN-распределения
=
1 2 3 4 5 6 7 8
1 -0.D24 -8.038'Ю’3 -1.748'10‘3 4.015'10‘3 9.909'10‘3 3.693'10‘3 -0.019 0.023
2 0.D13 0.032 -0.016 -0.042 0.02 0.018 -0.102
Преобразование строк матрицы 6fJVB векторы 6|J и будля вычисления выборочных средних 5ц. :=
for J є 1.. 50 бці -S— 5|J,V1 j 5[j, = return 5 [J,
1
1 -0.024
2 -8.038'10‘3
3 -1.748' 10‘3
4
5v :=
for j є 1.. 50 6vj 5|j,V2,j 5v = return 5v
1
47 -0.02
48 -6.099'10‘3
49 4.735'10‘3
50
Средние выборочные погрешности воспроизведения
параметров распределения отказов системы: теап(5ц) = 0.314% теап(5т/) = 0.085%
5. Независимость конвертирования числовых последовательностей
Критерий независимости характеризует случайность формируемых ёп -последовательностей или неповторяемость случайных чисел в соседних выборках [1] и оценивается коэффициентом парной корреляции Ксогг для двух выборок, который вычисляется по зависимости вида:
1 N _ _
— • Е(х- х)х ( Уі - у)
к 1=1
СОГГ г -,0 5
л N _ л N _ '
— • Е (х1 - х)2 х — • Е (у - у)2 N 1 ’ N ІҐ,1 "
(3)
где хг, уг - элементы 1-ой и 2-ой исследуемых ёп -последовательностей (выборок X и У ), интерпретируемые как приведенные значения наработок до отказа I / т ;
1 ы - -
— Е (хг — х) х (уг — у) = Ксуаг - корреляционный момент (ковариация) выборок X и
N г =1
У.
_ 1 N _ 1 N
х=—• Тх>, у=^• Ту> -
математические ожидания параметра масштаба в выборках X и У;
N1^1 N 1=!
1 N _ 1 N _
— • Е(хі - х)2 = о2 , — • Е(х1 -х)2 = °2 - дисперсии выборок X и У .
N і=1 N і =1
В результате расчётов ковариация двух выборок не превышает 0,012 %
(Ксуаг =-0,00012), а коэффициент парной корреляции составил не более 0,02 %
(Ксогг = -0,0002) (листинг 4).
Листинг 4. Результат оценивания независимости формируемых ёп -последовательностей X и У случайных чисел
Параметры элемента 4
[і. = 1x10 час и = 0.75
X =
1
996 1.86
997 0.773
998 0.391
999 0.589
1000
У =
1
996 0.535
997 1.925
998 0.642
999 0.965
1000
Объёмы выборок X и У .3
N = 1х 10
Средние значения X и У теап(Х) = 1.026 теап(У) = 0.98 Средние квадратические отклонения <т1 := зі(1єу(Х) = 0.838 <т2 := а1(1еу(У) = 0.705
VI := ------— = 0.816
тєап(Х)
Коэффициенты вариации
v2 :=
Корреляционный момент двух выборок суаг(Х,ї) = -1.203 х 10
теап(У) 4
0.72
Коэффициент парной корреляции
согг(Х,Т) = -2.037 х 10
-4
Столь малые значения ковариации и коэффициента парной корреляции свидетельствуют о более чем достаточной для практических исследований независимости формируемых О^конвертором случайных числовых последовательностей.
6. Быстродействие конвертора “гп^1) ^ Б^Х)”
Предварительно приближённая оценка быстродействия конвертора может быть получена по продолжительности работы программы анализа стабильности статистических характе-
ристик формируемых последовательностей случайных чисел (листинг 3). При общем числе статистических экспериментов, равном J x N = 5 104, и ожидаемом числе итераций вычисления функции Fm, равном ~ 80 после каждого обращения к датчику rnd(1), затраты
времени на получение оценок стабильности 8|1 и 8v составили 60 sec при рабочей частоте процессора РС 0,95 GHz.
7. Выводы
1. DN-конвертор случайных числовых последовательностей имеет достаточно высокие значения характеристик воспроизводимости, стабильности, независимости, быстродействия и может использоваться в научных исследованиях для имитационного моделирования процессов и систем, в которых последовательность событий (появление отказов) описывается диффузионным немонотонным распределением.
2. При имитационном моделировании процессов и систем предлагаемое конвертирование “rnd(1) ^ DN(X)” в информационном пакете Mathcad исключает необходимость программирования решений задач надёжности в алгоритмических языках [2, 4], а конвертор логически встраивается в моделирующую программу.
3. Все этапы реализации модели и обработка результатов моделирования оформляются на страницах рабочего поля в виде единого Mathcad-документа с комментариями на основе текстового редактора, с выводом результатов на основе символьного и графического редакторов и вставками необходимых иллюстраций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Вентцель Е.С. - [изд. 5-е]. - М.: Наука, 1998. - 576 с.
2. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Basic для персональных ЭВМ / Дьяконов В.П. - М.: Наука, 1987. - 240 с.
3. Стрельников В.П. Оценка и прогнозирование надёжности электронных элементов и систем / В.П. Стрельников, А.В. Федухин. - К.: Логос, 2002. - 486 с.
4. Федухин А.В. К вопросу о статистическом моделировании надёжности / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес Гарсия // Математичні машини і системи. - 2006. - № 1. - С. 156 - 163.
Стаття надійшла до редакції 23.01.2014
