К вопросу о статистическом моделировании надежности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.32.019.3

А.В. ФЕДУХИН, Н.В. СЕСПЕДЕС-ГАРСИЯ

К ВОПРОСУ О СТАТИСТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НАДЕЖНОСТИ

Abstract: Generators of the random numbers distributed according to DN-distribution, exponential distribution, lognormally distribution and distribution Weibull are developed. Their characteristics of accuracy, stability, independence and speed are investigated.

Key words: random numbers, the law of distribution, accuracy, stability, independence, speed.

Анотація: Розроблено генератори випадкових чисел, які розподілені у відповідності до DN-розподілу, експоненційного розподілу, логарифмічно нормального розподілу та розподілу Вейбулла. Досліджено їх характеристики точності, стабільності, незалежності і швидкодії.

Ключеві слова: випадкові числа, закон розподілу, точність, стабільність, незалежність, швидкодія.

Аннотация: Разработаны генераторы случайных чисел, распределенных в соответствии с DN-распределением, экспоненциальным распределением, логарифмически нормальным распределением и распределением Вейбулла. Исследованы их характеристики точности, стабильности, независимости и быстродействия.

Ключевые слова: случайные числа, закон распределения, точность, стабильность, независимость, быстродействие.

1. Введение

Методы статистического моделирования довольно часто используются в практике надежности. Их можно использовать как для имитации результатов испытаний на надежность изделий и систем, так и для исследования наилучших вариантов выравнивания статистических данных или исследования процессов деградации. Данные методы основаны на применении генератора случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения. В качестве случайной величины чаще всего выбирается время до отказа i-го изделия или время достижения процессом деградации предельного значения. Статистическое моделирование позволяет имитировать любой план испытаний и получать все статистические оценки исследуемой выборки «отказавших» изделий. Переход к количественным показателям надежности осуществляется либо непосредственно через статистические оценки (моменты и квантили) при непараметрических методах оценки надежности, либо путем вычисления параметров теоретических распределений отказов.

Способ моделирования случайных величин основан на использовании генератора равномерно распределенных в интервале [0, 1] псевдослучайных последовательностей чисел, которые используются в качестве значения вероятности отказа объекта. Задаваясь функцией

распределения в интервале [0, 1] и определять значение аргумента , для которого ¥(? ;э,у)= у. Полученная таким образом случайная величина tr будет иметь заданную функцию распределения ¥( ;5,п). Входными параметрами генератора случайных чисел являются математическое ожидание 5 случайной величины t для однопараметрических функций

распределения или математическое ожидание 5 и коэффициент вариации V для двухпараметрических функций распределения.

распределения

можно выбирать случайное значение g из равномерного

2. Моделирование случайных величин с функцией йЫ- распределения

Задаваясь функцией ОМ-распределения [1, 2] и решая уравнение (1) относительно t

нормированное нормальное распределение; 5

математическое ожидание случайной величины t; V - коэффициент вариации случайной величины t, получим случайную величину tr, которая будет иметь заданную функцию

распределению являются математическое ожидание 5 и коэффициент вариации V случайной величины t.

Решение уравнения (1) относительно t осуществляется с помощью итерационной процедуры. При этом с целью повышения быстродействия генератора рекомендуется задавать плавающую точность вычисления tr, равную е =0,001 у.

С целью упрощения вычислений интегральные функции нормированного нормального распределения Ф( г) можно заменять разложением в ряд. Один из вариантов такого разложения приведен ниже:

С1 =4,986734Е-02; С2 =0,021141; С3 =3,27763Е-03;

С4 =3,80036Е-05; С5 =4,88906Е-05; С6 =5,383Е-06.

Описанный подход по генерации случайных чисел может быть практически реализован на любом алгоритмическом языке программирования, в состав которого входит встроенная функция генератора равномерного распределения ЯЫО. На рис. 1 и 2 приведены гистограммы, соответственно, генератора равномерного распределения у в диапазоне [0,1] и генератора

случайных чисел по ОМ-распределению (ОЫСЕЫ) для выборки объемом N = 300.

распределения DN (і; 5,у). Входными параметрами генератора случайных чисел по ОЫ-

для А > 0 ¥ (і; 8,у) = 1 - ¥ + Е ■ ¥2; А < 0 ¥ (і; 5,у) = ¥3 + Е ■ ¥2,

где

¥1 =1 (і + С1А + С2 А2 + С3 А3 + С4А4 + С5 А5 + С6 А6 )-16;

¥2 =1 (1 - С1В + С2 В2 - С3 В3 + С4В4 - С5 В5 + С6 В6 )-16;

¥3 =1 (1 - С1А + С2А2 - С3А3 + С4А4 - С5А5 + С6 А6 )-16;

n n 35 i

34

33 33

30 -25 -20 -15 -10 -5 -0 -

28 26 29 26 25

31 30 31

І І І І І І І І I

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

115

Рис. 1. Гистограмма генератора случайных чисел по Рис. 2. Гистограмма генератора случайных чисел по равн°мерн°му распределению ОМ-распределению, N =300, 5 =1,03 и У =0,81

в интервале [0,1], N =300

Для исследования выходных характеристик генератора (5 и V) и оценки его стабильности было проведено моделирование 30 выборок объемом N = 300. Полученные характеристики 5І и

Vі были обработаны специальной программой, в результате которой определились статистические

оценки точности выходных характеристик генератора М[5]=0,9996 и М[р] =1,003. Результаты моделирования для начальных параметров генератора 5 =1 и у=1 показали, что оценки оказались эффективными, т.к. дисперсии среднего и коэффициента вариации малы: D[.^] = 0,0018,

D[v]= 0,0077. Относительная погрешность среднего составила 3^ = 1,94% в сторону занижения, а относительная погрешность коэффициента вариации 3У = 4,97% - в сторону завышения. Коэффициент вариации среднего составил V [5] = 0,0429, коэффициент вариации коэффициента вариации V [у] = 0,0838. Эти две оценки показывают разброс между выборками, т.е. стабильность формирования выборок случайных величин с заданными параметрами. Для оценки случайности выборок вычислялся коэффициент парной корреляции К[х,т] по формуле (2) для двух выборок N = 300.

K [ X ,Y ]

1 N

—Z (x - x )(y¿- y)

N i=1

1 N 1 N

- ^ {xt - x )2- ^ (yt - y )2

(2)

1 N 1 N

где хі уі - элементы 1-ой и 2-ой исследуемых выборок; х = — ^ хі ; у = — ^уі .

N і=1 N і=1

В результате расчетов коэффициент парной корреляции равен К[х,т] =0,1091, что свидетельствует о достаточной независимости выборок, формируемых генератором ОМЭЕМ.

3. Моделирование случайных величин с функцией экспоненциального распределения

Функция экспоненциального распределения имеет вид

E(t; Л) = 1 - exp(-1t),

где Л - интенсивность отказов.

t

Для удобства использования проведем параметризацию функции экспоненциального

3 1

распределения через параметр 5 , используя известное выражение Л = —.

Задаваясь функцией экспоненциального распределения и решая уравнение (3) относительно t

E 0; 5) = 1 - ехр(- -) = у,

5 (3)

получим случайную величину -у , которая будет иметь заданную функцию распределения Е(t; 5).

Так как функция экспоненциального распределения является однопараметрической, то входным параметром генератора случайных чисел по экспоненциальному распределению являются математическое ожидание 5 случайной величины t.

Уравнение (3) решается в аналитическом виде и выражение для квантиля распределения имеет вид

-у=-51п(1 -у) . (4)

На рис. 3 приведена гистограмма генератора случайных чисел по экспоненциальному распределению (ЕЗБЫ) для выборки объемом N = 300.

Не трудно видеть, что гистограмма (рис.3) хорошо выравнивается теоретической функцией плотности экспоненциального

Рис. 3. Гистограмма генератора случайных чисел по экспоненциальному распределению, N =300, распределения.

5 =1,0 и V =0,99

4. Моделирование случайных величин с функцией логарифмически нормального распределения

Задаваясь функцией логарифмически нормального распределения, имеем

LN (і;<и,е) = фФ = у,

а

(5)

1іп D. де и = 1п 5 — 1п(1 + —-); а-2 5

1п(1 + 4)

; D - дисперсия случайной величины і. Для

удобства использования проведем параметризацию функции логарифмически нормального распределения в параметрах 5 и V , используя известное выражение V =----.

и = 1п 5 - ~1п(1 + У2); а = [іп(1 + У2)]72.

(6)

Подставив (6) в (5), получим

5

5

LN (t; s,n) = Ф

C 1 2 >

ln t - ln s + — ln(1 + n ) _______________2

[ln(1 + V2)]2

Ф

ln

t (1 + n2)

s

[ln(1 + П2)]72

g.

(7)

Решая уравнение (7) относительно ^, получим случайную величину , которая будет

иметь заданную функцию распределения ЬЫ ^; я, у). Входными параметрами генератора случайных чисел по логарифмически нормальному распределению являются математическое ожидание я и коэффициент вариации у случайной величины I.

Решение уравнения (7) относительно I осуществляется с помощью итерационной

процедуры. С целью упрощения вычислений интегральную функцию нормированного нормального распределения Ф( г) можно заменять разложением в ряд (см. р. 2):

для А > 0 ¥(¿; я,у) = 1 - ¥1;

А < 0 ¥(¿; я,у) = ¥3,

где

A = Ф

ln

о 1/

t (1 + n )

Л

[ln(1 + n2)]^

V J

На рис. 4 приведена гистограмма генератора случайных чисел по логарифмически нормальному распределению (LNGEN) для выборки объемом N = 300. Не трудно видеть, что гистограмма (рис. 4) хорошо выравнивается теоретической функцией плотности логарифмически нормального распределения.

5. Моделирование случайных величин с функцией распределения Вейбулла

Задаваясь функцией распределения Вейбулла, имеем

W(t; a, b) = 1 - exp<{ -\ — V a

7 1

где b = —; a = n

g,

(8)

Г\ 1 +

Г (1 + n)'

b

Рис. 4. Гистограмма генератора случайных чисел по логарифмически нормальному распределению, N =300, я =1,04 и У =1,02

Г ( z ) - гамма-функция.

s

s

s

1

Для удобства использования проведем параметризацию функции распределения Вейбулла в параметрах 5 и п:

Ж(і; 5, V) = 1 - ехр| -

Г (1 + ')'

Ниже, в табл. 1, приведены значения гамма

распространенных значений коэффициента вариации п .

У (9)

функции Г (г) для наиболее

Таблица 1

V Г (1 + ')

0,3 0,8975

0,4 0,8873

0,5 0,8862

0,6 0,8935

0,7 0,9086

0,75 0,9191

0,8 0,9314

0,9 0,9618

1,0 1,0000

1,1 1,0465

1,2 1,1018

1,3 1,1667

Решая (9) относительно ^, получим случайную величину , которая будет иметь заданную функцию распределения Ж (¿; 5, п). Уравнение (9) решается в аналитическом виде, и выражение для квантиля распределения выглядит следующим образом:

о, к <и 1 (іГ (1 + п) ї ^ - = У\ 1 = 1 ■ іГ (1 + ')"

1 5 ) _ 5 _

[- 1п(1 - у)]' = ІГ(1 + П) . Откуда

5[- 1п(1 - Г')]'

имеем

іУ

(11)

У Г(1 + п)

Входными параметрами генератора случайных чисел по распределению Вейбулла являются математическое ожидание 5 и коэффициент вариации 'случайной величины і.

На рис. 5 и 6 приведены гистограммы генератора случайных чисел по распределению Вейбулла (МЄЕМ) для выборок объемом N = 300 и, соответственно, коэффициентов вариации '=1 и V =0,7.

120

100

80

60

40

20

0

тп

01

76

39

-28

И1,109 6 5 4 ...............

6 5 4 1 1 1 2 11

І І І І І І І І І І І І І І І І I

47

52

35

.25

42

26

60

50

40

30

20

10

0

4е* <*>клч п$п4>„Ф

V V <у 'Ъ'

17

14

10

76544

Ши

1122

І І І І І І І І І І І І І І І I

Рис. 5. Гистограмма генератора случайных чисел по распределению Вейбулла, N =300, 5 =1,05 и

V =1,06

Рис. 6. Гистограмма генератора случайных чисел по распределению Вейбулла, N =300, 5 =0,96 и

V =0,7

При п=1 распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение (рис. 5), а при п=0,7 гистограмма (рис. 6) хорошо выравнивается традиционной одномодальной функцией плотности распределения с левой асимметрией.

6. Сравнительная оценка стабильности и точности генераторов случайных чисел

Для исследования выходных характеристик генераторов (5 и V) и оценки их стабильности было проведено моделирование 30 выборок объемом N = 300. В табл. 2 приведены статистические оценки точности и стабильности выходных характеристик четырех разработанных генераторов.

Таблица 2. Характеристики генераторов случайных чисел

Обозначение характеристики генератора Числовые значения характеристик генераторов

йЫвЕЫ ЕвЕЫ ¡.ЫвЕЫ ШвЕЫ

5 =1,0 П=1,0 5 =1,0 5 =1,0 П=1,0 5 =1,0 П=1,0 5 =1,0 V =0,7

Математическое ожидание среднего М [5] 0,9996 0,9968 0,9902 0,9996 1,0044

Математическое ожидание коэффициента вариации М[р] 1,003 0,9951 0,9484 0,9802 0,6999

Дисперсия среднего -0[.5] 0,0018 0,0002 0,0017 0,0030 0,0016

Дисперсия коэффициента вариации в[ї] 0,0077 0,0007 0,0004 0,0023 0,0009

Относительная погрешность среднего 8^ 0,0194 0,0032 0,0098 0,0004 -0,0044

Относительная погрешность коэффициента вариации 8П -0,0497 0,0516 0,0198 0,0002

Коэффициент вариации среднего V И 0,0429 0,0147 0,0411 0,0552 0,0400

Коэффициент вариации коэффициента вариации V [V] 0,0838 0,0272 0,0204 0,0494 0,0433

Коэффициент парной корреляции К [х ,г ] 0,1091 0,0195 0,0513 0,0130 0,0308

Время формирования случайного числа, сек. 0,113 0,0023 0,09 0,002

* - знак «-» означает завышение в среднем выходных параметров генератора (М [5] или М[р]) по отношению к задаваемым входным параметрам 5 или V.

7. Выводы

Разработанные генераторы случайных чисел имеют высокую точность и стабильность работы при достаточно высоком быстродействии, что обеспечивает их практическую пригодность для моделирования надежности различных систем.

Относительная погрешность в работе генераторов по среднему и коэффициенту вариации зависит от сложности процедуры вычисления квантиля распределения. В этом отношении наименьшую точность имеют генераторы ОЫЗЕЫ и ЬЫЭЕЫ, использующие итерационные процедуры вычисления квантилей распределения. В целом погрешность генераторов по среднему составляет от 0,04% до 1,9%, а по коэффициенту вариации - от 0,02% до 4,9%.

Стабильность работы генераторов характеризуется коэффициентами вариации выходных параметров. Чем они меньше, тем стабильнее работают генераторы. В нашем случае

коэффициенты вариации среднего находятся в диапазоне от 0,015 до 0,055, а коэффициенты вариации коэффициента вариации - от 0,02 до 0,084.

Независимость или случайность выборок, формируемых генераторами, характеризуется коэффициентом парной корреляции (при К[ху] =1 выборки X и У считаются полностью взаимозависимыми). В нашем случае коэффициент парной корреляции находится в диапазоне от

0.013.до 0,11, что вполне удовлетворяет требованиям по независимости выборок в задачах по моделированию надежности.

Разработанные генераторы случайных чисел могут найти широкое применение в задачах моделирования надежности систем в рамках различных гипотез о теоретических законах распределения отказов элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. -К.: Логос, 2002. - 486 с.

2. Сеспедес-Гарсия Н.В. Статистическое моделирование надежности системы с последовательной структурой элементов // Математические машины и системы. - 1999. - № 2. - С. 123-127.