CC BY
42
УДК 621.3.019.076 А. В. ФЕДУХИН
К ВОПРОСУ О ТАБУЛИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ
Abstract: The reparametrization of the basic strictly probabilistic functions of refusals distribution: exponential distributions, logarithmically normal distribution and distribution Weibull are carried out. Tables of refusals distribution functions and examples of their use for the decision of some tasks on reliability are developed.
Key words: refusals distribution function, parameters of tabulation.
Анотація: Проведено перепараметризацію основних строго ймовірнісних функцій розподілів відмов: експоненційного розподілу, логарифмічно нормального розподілу, розподілу Вейбулла. Розроблено таблиці функцій розподілів відмов та приклади їх використання для рішення деяких задач з надійності.
Ключеві слова: функція розподілу відмов, параметри табулювання.
Аннотация: Проведена перепараметризация основных строго вероятностных функций распределения отказов: экспоненциального распределения, логарифмически нормального распределения и распределения Вейбулла. Разработаны таблицы функций распределения отказов и примеры их использования для решения некоторых задач по надежности.
Ключевые слова: функция распределения отказов, параметры табулирования.
1. Введение
Решение ряда задач по надежности с учетом различных распределений отказов значительно упрощается, если функции этих распределений табулированы. Впервые эффективное решение задач по надежности с использованием таблиц функции DN-распределения предложено в [1], где функция DN-распределения была параметризована и табулирована в параметрах х и n .
t
Использование в качестве параметра распределения относительной наработки — = х позволило
уйти при табулировании от реального масштаба времени, упростить табулирование функции и ее использование при решении ряда задач по надежности. Дополнительным преимуществом такого табулирования функции DN-распределения является использование в качестве параметра табулирования интегральной характеристики распределения отказов - коэффициента вариации n , оценку которого можно получить на основе разнообразной априорной информации об отказах и процессах деградации, протекающих в изделиях и приводящих их в состояние отказа.
Целью данной работы является разработка табулируемых функций основных строго
вероятностных теоретических моделей надежности в параметрах х и n , что позволит
пользоваться этими моделями так же эффективно, как и вероятностно-физическими моделями: DN и DM-распределениями [2].
2. Экспоненциальное распределение
Функция экспоненциального распределения имеет вид
E (t; Л) = 1 - exp(-1t ), 0)
где Л - интенсивность отказов. Для удобства использования проведем параметризацию функции
Л 1
экспоненциального распределения через параметр 5 , используя известное выражение Л = —.
E(t; 5) = 1 - exp(- -) .
5 (2)
Обозначив отношение — = х и проведя соответствующую замену в (2), получим
5
табулируемую функцию экспоненциального распределения вида
Е (х) = 1 - ехр(-х).
(3)
3. Логарифмически нормальное распределение
Функция логарифмически нормального распределения имеет вид
1п I - тЛ
ьы Цт,е) = Ф
а
1 ^
где Ф(2 ) = ^= [ ы2я -
ехр
Г X2 Л
V 2 J
ёх - нормированное нормальное распределение;
(4)
/т = 1п 5 — 1п(1 + —); а =
2 52
; 5 - математическое ожидание случайной величины t;
Б - дисперсия случайной величины t . Для удобства использования проведем параметризацию функции логарифмически нормального распределения в параметрах 5 и V, используя известное
выражение V =-----, где V- коэффициент вариации случайной величины t.
5
/1 = 1п 5 - ~1п(1 + V2); а = [1п(1 + п2)]/2.
Подставив (5) в (4), получим
ЬЫ Ц; 5, V) = Ф
1п
t (1 + V )
2\/2
[1п(1 + V2)]/
(5)
(6)
Обозначив отношение — = х и проведя соответствующую замену в (6), получим
5
табулируемую функцию логарифмически нормального распределения вида
ЬЫ (х; V) = Ф
1п
х(1 + V )
2ч/2
Л
[1п(1 +v2)]/
(7)
4. Распределение Вейбулла
Функция распределения Вейбулла имеет вид
5
5
Ж (¿; а, Ь) = 1 - ехр
а
(8)
где Ь »1 ( 3Ь < 0,15); а = V
Г [1 +1 ) Г(1 + п)
; Г (г) - гамма-функция. Для удобства
использования проведем параметризацию функции распределения Вейбулла в параметрах 5 и V:
Ж(¿; 5,п) = 1 - ехр
' 1Г (1 + п)' 1/ ' /V
_ 5 _
(9)
Обозначив отношение — = х и проведя соответствующую замену в (9), получим
5
табулируемую функцию распределения Вейбулла вида
Ж (х; V) = 1 - ехр{- [хГ (1 + п)]1п}.
(10)
5. Использование таблиц функций распределения отказов
В табл. 1-4 приведены фрагменты таблиц функций, соответственно, ОМ-распределения БЫ (х; V) [1], экспоненциального распределения Е(х), распределения Вейбулла Ж(х, п) и логарифмически нормального распределения ЬЫ (х, V). Для двухпараметрических функций значение коэффициента вариации равно V = 0,75 .
Таблица 1. Функция БЫ(х; V) V = 0,75
5
х 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00005
0,1 0,00014 0,00032 0,00064 0,00116 0,00194 0,00303 0,00449 0,00634 0,00864 0,01138
0,2 0,01460 0,01830 0,02248 0,02712 0,03223 0,03777 0,04374 0,05011 0,05685 0,06395
0,3 0,07137 0,07910 0,08710 0,09536 0,10384 0,11253 0,12140 0,13044 0,13961 0,14891
0,4 0,15831 0,16780 0,17736 0,18698 0,19663 0,20632 0,21602 0,22572 0,23542 0,24511
0,5 0,25477 0,26440 0,27399 0,28353 0,29302 0,30245 0,31182 0,32112 0,33035 0,33950
0,6 0,34857 0,35756 0,36646 0,37527 0,38400 0,39263 0,40117 0,40961 0,41795 0,42620
0,7 0,43435 0,44241 0,45036 0,45821 0,46597 0,47362 0,48118 0,48863 0,49599 0,50325
0,8 0,51041 0,51747 0,52443 0,53130 0,53807 0,54475 0,55133 0,55782 0,56422 0,57052
0,9 0,57674 0,58286 0,58890 0,59484 0,60070 0,60648 0,61217 0,61777 0,62329 0,62873
1,0 0,63409 0,63937 0,64457 0,64970 0,65474 0,65971 0,66461 0,66943 0,67418 0,67886
Таблица 2. Функция Е (х)
х 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,00000 0,00995 0,01980 0,02955 0,03921 0,04877 0,05824 0,06761 0,07688 0,08607
0,1 0,09516 0,10417 0,11308 0,12190 0,13064 0,13929 0,14786 0,15634 0,16473 0,17304
0,2 0,18127 0,18942 0,19748 0,20547 0,21337 0,22120 0,22895 0,23662 0,24422 0,25174
0,3 0,25918 0,26655 0,27385 0,28108 0,28823 0,29531 0,30232 0,30927 0,31614 0,32294
0,4 0,32968 0,33635 0,34295 0,34949 0,35596 0,36237 0,36872 0,37500 0,38122 0,38737
0,5 0,39347 0,39950 0,40548 0,41140 0,41725 0,42305 0,42879 0,43447 0,44010 0,44567
0,6 0,45119 0,45665 0,46206 0,46741 0,47271 0,47795 0,48315 0,48829 0,49338 0,49842
0,7 0,50341 0,50836 0,51325 0,51809 0,52289 0,52763 0,53233 0,53699 0,54159 0,54616
0,8 0,55067 0,55514 0,55957 0,56395 0,56829 0,57259 0,57684 0,58105 0,58522 0,58934
0,9 0,59343 0,59748 0,60148 0,60545 0,60937 0,61326 0,61711 0,62092 0,62469 0,62842
1,0 0,63212 0,63578 0,63941 0,64299 0,64655 0,65006 0,65354 0,65699 0,66040 0.66378
Таблица 3. Функция Ж(х,у) V = 0,75
х 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,00000 0,00192 0,00484 0,00830 0,01215 0,01633 0,02077 0,02545 0,03033 0,03540
0,1 0,04063 0,04601 0,05152 0,05715 0,06290 0,06874 0,07468 0,08071 0,08682 0,09300
0,2 0,09924 0,10555 0,11191 0,11832 0,12478 0,13128 0,13782 0,14439 0,15100 0,15763
0,3 0,16428 0,17096 0,17765 0,18436 0,19108 0,19781 0,20455 0,21130 0,21805 0,22479
0,4 0,23154 0,23829 0,24503 0,25176 0,25848 0,26520 0,27190 0,27859 0,28527 0,29193
0,5 0,29857 0,30519 0,31180 0,31838 0,32494 0,33148 0,33799 0,34448 0,35094 0,35738
0,6 0,36379 0,37017 0,37652 0,38284 0,38912 0,39538 0,40160 0,40779 0,41395 0,42008
0,7 0,42616 0,43222 0,43823 0,44421 0,45016 0,45607 0,46194 0,46777 0,47356 0,47931
0,8 0,48503 0,49071 0,49634 0,50194 0,50750 0,51301 0,51849 0,52393 0,52932 0,53467
0,9 0,53999 0,54526 0,55049 0,55568 0,56082 0,56593 0,57099 0,57601 0,58099 0,58593
1,0 0,59083 0,59568 0,60049 0,60526 0,60999 0,61468 0,61933 0,62393 0,62849 0,63301
Таблица 4. Функция ЬЫ(х,п) V = 0,75
х 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00002 0,00005 0,00013 0,00028 0,00054
0,1 0,00093 0,00149 0,00226 0,00327 0,00454 0,00611 0,00800 0,01022 0,01278 0,01570
0,2 0,01899 0,02264 0,02665 0,03103 0,03576 0,04084 0,04625 0,05199 0,05804 0,06439
0,3 0,07103 0,07794 0,08510 0,09250 0,10013 0,10797 0,11600 0,12420 0,13257 0,14109
0,4 0,14974 0,15852 0,16740 0,17637 0,18543 0,19456 0,20374 0,21298 0,22225 0,23155
0,5 0,24087 0,25019 0,25953 0,26885 0,27816 0,28745 0,29671 0,30594 0,31513 0,32428
0,6 0,33338 0,34242 0,35141 0,36033 0,36919 0,37798 0,38670 0,39534 0,40390 0,41239
0,7 0,42079 0,42911 0,43735 0,44550 0,45356 0,46153 0,46941 0,47720 0,48489 0,49250
0,8 0,50001 0,50743 0,51475 0,52198 0,52912 0,53616 0,54311 0,54997 0,55673 0,56340
0,9 0,56998 0,57647 0,58286 0,58917 0,59538 0,60151 0,60755 0,61350 0,61936 0,62513
1,0 0,63082 0,63643 0,64195 0,64739 0,65275 0,65802 0,66322 0,66833 0,67337 0,67833
Проиллюстрируем использование разработанных таблиц для решения двух типовых задач по надежности.
Таблица 5. Распределение отказов изделий Таблица 6. Вариационный ряд отказов
изделий
№ изделия Наработка до отказа ti, час № изделия Наработка до отказа ti, час
1 706 26 193
2 2750 27 1309
3 1935 28 797
4 748 29 3391
5 244 30 3000
6 1508 31 746
7 300 32 311
8 440 33 2288
9 682 34 676
10 450 35 1182
11 1223 36 876
12 2596 37 593
13 1108 38 571
14 407 39 269
15 589 40 399
16 1315 41 284
17 1272 42 1236
18 1165 43 685
19 519 44 305
20 355 45 1271
21 1607 46 620
22 1173 47 1300
23 1227 48 637
24 1625 49 782
25 745 50 1668
№ отказа Наработка до отказа ti, час № отказа Наработка до отказа ti, час
1 193 26 782
2 244 27 797
3 269 28 876
4 284 29 1108
5 300 30 1165
6 305 31 1173
7 311 32 1182
8 355 33 1223
9 399 34 1227
10 407 35 1236
11 440 36 1271
12 450 37 1272
13 519 38 1300
14 571 39 1309
15 589 40 1315
16 593 41 1508
17 620 42 1607
18 637 43 1625
19 676 44 1668
20 682 45 1935
21 685 46 2288
22 706 47 2596
23 745 48 2750
24 746 49 3000
25 748 50 3391
Задача 1. На испытания поставлена выборка изделий объемом N =50 шт. По истечении времени испытаний = 400 ч. необходимо методом квантилей определить среднюю наработку до
отказа изделий Т, для различных гипотез о распределении отказов (DN-распределение, экспоненциальное распределение, распределение Вейбулла и логарифмически нормальное распределение), сравнить ее с выборочным значением Т, и определить относительную погрешность 8Т.
Решение.
Распределение отказов изделий в процессе испытаний приведено в табл. 5. По результатам испытаний для плана [NUN ] предварительно получены выборочные оценки
Т =1041 ч. V =0,71. Представим вариационный ряд наработок изделий в виде табл. 6.
По табл. 6 определим количество отказов изделий на момент времени tH = 400 ч.: r = 9 отказов.
Вычислим эмпирическую вероятность отказов изделий на момент времени tH = 400 ч.:
- r
F (400) = — =0,18.
N
Входя в табл. 1-4 по вероятности F(400) = 0,18, находим для каждого из теоретических распределений отказов значения относительной наработки х.
Среднюю наработку до отказа изделий определяем по формуле Т, = —. Результаты
х
расчетов приведены в табл. 7.
Таблица 7. Результаты прогнозирования средней наработки до отказа
Обозначение функции распределен ия отказов Относительная наработка, х Средняя наработка до отказа, Т, час Относительная погрешность оценки, Т - Т sT = ll „ ll Т,
DN 0,42 952 0,085
E 0,2 2000 -0,92
LN 0,32 1250 -0,2
W 0,43 930 0,107
Задача 2. Определить предполагаемое количество отказов изделий г в выборке объемом N =50 шт. по истечении времени испытаний tн =300 ч., сравнить его с выборочным значением г и
определить относительную погрешность 8Г.
Средняя наработка до отказа изделий равна Т1 =1041 ч., коэффициент вариации наработки до отказа равен V =0,71.
Решение.
По табл. 6 определим эмпирическую оценку количества отказов г за tн =300 ч. - г = 5.
Вычислим относительную наработку х = — =0,288.
Т\
Входя в табл. 1-4 по значениям х , находим величины вероятностей отказов Е(зоо). Количество отказов вычислим по формуле г = ЫЕ(зоо). Результаты расчетов приведены в
табл. 8.
Таблица 8. Результаты прогнозирования количества отказов
Обозначение функции распределения отказов Вероятность отказов, Е (\50) Количество отказов, г, шт. Относительная погрешность оценки, 8 = Г - Г
г ^ г
ОЫ 0,06395 3 0,4
Е 0,25174 12 -1,4
Ш 0,15763 8 -0,6
М 0,06439 3 0,4
7. Выводы
Анализ результатов, приведенных в табл. 7, показал, что наиболее точный прогноз средней наработки до отказа изделий по квантилю малого уровня получен для ОМ-распределения. Погрешность составила 8,5% в сторону занижения результата. На втором месте по точности стоит распределение Вейбулла с погрешностью 10,7% в сторону занижения результата. Экспоненциальное распределение дало погрешность в 92% в сторону завышения результата.
Анализ результатов, приведенных в табл. 8, показал, что более точный прогноз количества отказов по относительной наработке малого уровня (х << \) получен для всех
двухпараметрических распределений. Погрешность составила 40% в сторону занижения результата для ОМ-распределения и распределения Вейбулла. Для логарифмически нормального распределения погрешность составила 60%, но в сторону завышения результата. Экспоненциальное распределение дало большую погрешность в 140% в сторону завышения результата.
Разработанные таблицы основных строго вероятностных функций распределения отказов, имеющих широкое применение в теории надежности, позволяют создавать на их основе эффективные инженерные методики оценки и прогнозирования некоторых показателей надежности изделий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Погребинский С.Б., Стрельников В.П. Проектирование и надежность многопроцессорных ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1988 - 168 с.
2. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. -К.: Логос, 2002. - 486 с.
