Моделирование случайного микропрофиля дорожной поверхности методом формирующего фильтра Текст научной статьи по специальности «Математика»

веществ этими двигателями. - Введ. 2008.01.01. - Издание офиц. М.: Стандарт информ,-2005. -108 с.

5. Мирзоев Вагиф, Пущик Евгений. Европейский рынок добавок к бензинам: этанол, МТБЭ и ЭТБЭ // Проблемы местного самоуправления. - 2010.- № 41

6. Автомобильное топливо с биоэтанолом/ Карпов С. А., Капустин В.М., Старков А.К. - М.: КолосС, 2007 - 216 с. : ил.

Моделирование случайного микропрофиля дорожной поверхности методом

формирующего фильтра

к.т.н. доц. Чабунин И.С. Университет машиностроения 8(495)223-05-23 (доб. 1457), [email protected]

Аннотация. В статье рассматривается вопрос моделирования случайного микропрофиля дорожной поверхности методом формирующего фильтра. Получены дифференциальные уравнения формирующего фильтра для различных корреляционных функций.

Ключевые слова: микропрофилъ дорожной поверхности, формирующий фильтр, случайный процесс

В настоящее время для исследования колебательных процессов, протекающих в транспортном средстве, широко используются методы статистической динамики, которые в сочетании с современными мощными ЭВМ дают возможность получить реакцию машины практически на любое случайное воздействие, конечно, при условии наличия адекватной расчетной схемы.

Поверхность дороги, даже очень хорошего качества, не является идеально ровной. В общем случае аналитически такую поверхность можно выразить как функцию двух переменных (рисунок 1):

q=q(x, y)-.

где: x и y - координаты некоторой (обычно срединной) плоскости, относительно которой измеряют высоту q неровностей поверхности дороги.

Рисунок 1. Микропрофиль поверхности дороги как функция двух переменных

Для однородного по типу и степени его износа покрытия участка дороги микропрофиль можно рассматривать как случайную стационарную, нормально распределенную, эргодиче-скую функцию q(x, y) высот q микронеровностей от координат x, y с нулевым средним значением. Тогда исчерпывающей вероятностной характеристикой является ее двумерная корреляционная функция:

Rq (x1-y 1' x2-y 2 ) = (q (x1-y1 )• q (x2 - y 2)), (1)

где: - символ осреднения;

q(x1, y1), q(x2, y2 ) - значения функции q(x, y) для «путевых» координат xb y1 и x2, y2.

Для стационарных случайных функций начало отсчета x1, y1 можно принять произвольным. Тогда если ввести переменные xs = x2 - x1 и ys = y2 - y1, то корреляционная функция станет функцией двух переменных:

Rq (xs- ys ) = (я (x- У )' Я (x + xs - У + )). (2)

Однако проведение замеров микропрофиля сечений дорожного покрытия и последующее построение двумерной корреляционной функции - задача исключительно сложная и трудоемкая. Поэтому обычно ее упрощают.

При движении автомобиля неровности дорожной поверхности вызывают его колебания преимущественно в продольной и поперечной плоскостях. Следовательно, рационально определить те вероятностные характеристики дорожной поверхности, которые их вызывают.

При использовании плоской модели автомобиля, т.е. когда микропрофили под правыми и левыми колесами являются точными копиями друг друга, нас интересует микропрофиль дорожной поверхности только в продольном направлении по одной колее.

Если поверхность дороги рассматривать как случайную функцию только одного переменного x, то ее статистической характеристикой будет корреляционная функция микропрофиля сечения вдоль дороги. При среднем значении (математическом ожидании), равном нулю, корреляционная функция будет иметь вид:

Rq (Xs ) = (я (x)• Я (x + Xs)) . (3)

Полученную по экспериментальным данным корреляционную функцию для расчетов обычно аппроксимируют соответствующим аналитическим выражением. В общем случае ее аппроксимируют зависимостью:

Rq(Xs) = ^ • (A ■ е^+ 4 ■ е""2'■ cos рЛ ), (4)

где: A1, A2 - весовые коэффициенты (A1 + A2 = 1);

a; - параметры, характеризующие быстроту затухания корреляционной связи ординат микропрофиля;

Р1 - параметр, характеризующий гармоническую составляющую микропрофиля; с2 = Rq (0) - дисперсия.

Для некоторых типов дорог, например с цементобетонным покрытием или булыжным в удовлетворительном состоянии, можно ограничиться первым слагаемым, т.е.

Rq (xs) = a2 • е""31*1. (5)

Для асфальтового покрытия и булыжных дорог можно использовать только второе слагаемое:

Rq(xs) = ^2 • е""41*1 • COSР2 К|. (6)

Численные значения параметров At, ai, Д определяют, например, по методу наименьших квадратов, исходя из построенного по результатам замеров реального микропрофиля корреляционной функции.

Микропрофили автомобильных дорог с твердым покрытием могут различаться между собой в зависимости от категории, степени изношенности и других факторов, но в любом случае должны соответствовать определенным дорожным стандартам. Поэтому с той или иной степенью погрешности они могут быть описаны приведенными выше зависимостями.

В теоретических исследованиях значения q( x) могут быть комплексными, поэтому наряду с функцией (3) рассматривают комплексно-сопряженную. При этом в окончательных расчетах используют только действительную часть получаемых комплексных выражений, а оператор вычисления действительной части этих выражений, как правило, не указывают. В этом случае вместо соотношения (3) применяют выражение

Rq (xs ) = (q*(x)• y (x + xs)), (7)

где: «*» - знак комплексно-сопряженной величины.

Наряду с корреляционной функцией достаточной характеристикой стационарной случайной функции является ее спектральная функция Sq (9), где: 0 - «путевая» частота

2п

(0 =—, где: ^ - длина неровности). Функции Rq (xs) и Sq (9) связаны между собой преоб разованием Фурье (формулы Винера-Хинчина):

оо

Rq (Xs )={ Sq (0). e"* • d0 ,

CO

Sq (0)= ^J Rq (Xs )■ e^ * ^ .

(8)

(9)

В технических приложениях спектральные плотности определяются только для положительных частот. Для их обозначения введем волнистую черту сверху. Тогда:

(10)

Sq (е) = 2 * Sq (б) 5 00 00 1 00 Rq (xs) = J Sq (0) • eBx-' ■ d0 = 2 J2§q (0). e,ex' • d0 = JSq (0) • eBx-' ■ d0;,

(л

sSq (0) = 2 • Sq (0) = 2 — { Rq (x, )■ ^ ■ dX:

\ —00

J

f 1

= 2 ^2"JR (x )•

V о

Л

(11)

(12)

qVXs )■ e s ■ dx„

-JRq (x,)■ e~BXs • dxs.

о J л 0

Соответствующие корреляционным функциям (4) - (6) выражения для спектральных плотностей имеют вид:

г

S,(«) = 2-о; •±

к

A • ^

а2 + Р2 + 02

Л

«Г +02 (е2 -а2 -Р2) + 4а?82

S, (в) = 2 • 1 •

а.

Sq (0) = 2 -о2 ^

ж (а32 + 02) а 4 +Р2 +02

к (е2 -а2 -Р2) + 4а303

Для ряда дорог параметры Ai, ai, Рг., Gqi приведены в таблице 1 [2].

(13)

(14)

(15)

Таблица 1

Дорожная поверхность a q , М A1 A2 0^1 СС 2 tt 4 ^ -1 м -1 0С3, м Р1 =Р2 , -™"1

Цементобетонное 0,005 - 0,012 1 0 0 0,15 0

Асфальтированное 0,008 - 0,012 0,85 0,15 0,20 0,05 0,60

Ровное булыжное 0,013 - 0,022 1 0 0 0,45 0

Разбитое булыжное 0,025 - 0,033 0 1 0,10 0 0,238

Изношенное бетонное 0,013 - 0,025 0,85 0,15 0,50 0,20 2,0

Разбитая грунтовая дорога 0,100 - 0,140 0,55 0,45 0,085 0,08 0,235

При исследовании случайных колебательных процессов автомобиля, вызванных действием на автомобиль случайного микропрофиля дороги, в качестве аргумента обычно принимается время t. В этом случае случайные функции называются случайными процессами. Если принять скорость движения транспортного средства v постоянной, то x = v • t. При v = 1 м / с x = t и случайная функция q(x) перейдет в случайный процесс q(t) при единичной скорости.

Для случайных процессов аргументом в формулах (4) - (6) является время t. Сдвигу xs

будет соответствовать временной сдвиг т .

Методы моделирования случайных процессов можно разделить на точные (рекуррент-

ные алгоритмы типа авторегрессии - скользящее среднее) и приближенные (метод формирующего фильтра, скользящего суммирования, канонических и неканонических представлений) [3].

Точный метод моделирования основан на уравнении типа авторегрессии - скользящее среднее [3]:

l m

qk = I ajSk-j "I bjqk-j, k = m m + U, (16)

j=0 j=0

где: l, m, a , b - параметры, определяемые по корреляционной функции R (г) процесса

j j q \ У

q(t), которые могут быть найдены методом факторизации. Метод лишен методической ошибки, но подготовительные работы, заключающиеся в расчете коэффициентов aj, bj, чрезвычайно трудоемки.

Приближенные методы моделирования имеют методическую ошибку. Среди них наиболее простым и распространенным является метод формирующего фильтра. Величина методической ошибки стремится к нулю при стремлении к нулю шага интегрирования дифференциального уравнения формирующего фильтра. Ошибка будет уменьшаться существенно быстрее при использовании двойной точности проведения расчетов.

Формирующим фильтром называют динамическую систему, преобразующую случайный процесс q0 (t) вида белого шума в случайный процесс q(t) с заданными статистическими характеристиками [3].

Корреляционная функция гауссовского случайного процесса с нулевым средним, называемого белым шумом, имеющего бесконечную дисперсию и постоянную спектральную

плотность _L, будет иметь вид: 2ж

R% (т) = 8(т), (17)

где: 5(т) - дельта-функция Дирака, определяемая соотношениями:

Гда при х = 0; % %е

8(т) = \ F ' j 8(x)dT = f 8(x)dT = 1,

l0 при ХФ0; i 0-E

s - сколь угодно малая величина.

Задача моделирования микропрофиля формулируется следующим образом. По известным характеристикам случайного процесса требуется построить вычислительный алгоритм, позволяющий получать на ЭВМ реализации случайных процессов q(t) или последовательностей qk(k = 0, 1, 2, ...). В случае гауссовского стационарного случайного процесса эта задача является полностью определенной.

Рассмотрим получение дискретных значений микропрофиля в отдельные чередующиеся друг за другом моменты времени, соответствующие шагу дискретизации, методом формирующего фильтра. Смоделируем случайный процесс q(t) с заданной спектральной плотностью Sq (©) по случайному процессу q0(t) со спектральной плотностью S0(©). Будем считать, что процесс q(t) может быть описан спектральной плотностью в виде дробно-рациональной функции, а процесс q0(t) будем считать «белым шумом» со спектральной

плотностью S0 (ш) = 1 = const.

к

Для решения поставленной задачи рассмотрим систему, описываемую уравнением [1]

A{q(t)}= L2 ЫО^ (18)

где: линейные дифференциальные операторы Ll и L2 определяются соотношениями:

dn dn~x d

L = a0--b a,-- +... + an ,--h an, (19)

1 0 dtn 1 dt""1 n_1 dt n ( )

r a dm a dm~x у d .

l2 = ь0 — + ь —- +... + bm, — + bm, 2 0 dtm 1 dm1 m_1 dt m

(m, и > 0; m < и -1).

Спектральные плотности процессов q(t) и q0(t) связаны соотношением: b) (^Г + Ь1(/Ш)""1 + ... + bm_1(/Q) + bm

(20)

S («) =

2 ^ 0

S0(ю).

(21)

a0 (ад)n + aj (ад )n +... + an_x (ад) + an

Из (21) следует, что поставленная задача может быть решена соответствующим подбором коэффициентов at и bj (i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, ..., m).

Пусть, например, требуется сформировать случайный процесс со спектральной плотностью (14) и соответствующей ей корреляционной функцией (5).

Приравниваем правые части выражений (21) и (14) с заменой в на со :

b (i«)m + b1(iQ)m1 + ... + bm_1(iQ) + bm 2

a0 (ад )n + aA(m )n 1 +... + an_l(m) + a 1

2 ^ 0

S0(®) = 2 ■ -

a.

q n (a2 +ш2)

Так как S0 (q) = —, то для числителей получим выражение:

ж

b (ад )m + Ь(ад )m1 +... + bm_x(rn) + bn

о 2 = 2 ^3-

Отсюда m = 0; b0 =aq 2a3 .

y0 ~ q

Аналогично для знаменателей:

a0 (iw)n + aj(iQ)n4 +... + an4 (ад) + a Отсюда n = 1; a0 = 1; aj = a3. Согласно выражениям (19), (20):

L = q + «3Я; L2 = aq 2a3 • q0. Уравнение (18) примет вид:

q + <^3 ■ q = Gq' ■ q0. Дифференциальное уравнение фильтра:

q = -а3 ■ q + Qq ■ q0.

22 = ш + а 3.

(22)

Теперь сформируем случайный процесс со спектральной плотностью (15) и соответствующей ей корреляционной функцией (6).

Приравниваем правые части выражений (21) и (15). Учтя, что S0(ш) = 1, после приве-

дения подобных слагаемых получим:

Ь0(ш)m + Ь(ш) m~1 +... + b

= 2 • <x q -a 4 • 0 +

2-а]-ал-(«42 +A22).

Отсюда m = 1; b0 =a q ^T2^; b =Gq 2a4 -(a 2 + P2) .

\ n—1

4

= о4 +

(2a4 - 2P2 )-ш2 +(a4 +P2 )*.

a0 (ад )n + )n 1 +... + an

Отсюда n = 2; a0 = 1; aA = 2a4; a2 = a4 + P2. Согласно выражениям (19), (20):

L1 = Я + 2«4Я + (a2 +P2)' я; L2 = ^q ■ Я0 +°q ^4 '(a2 +P2) ■ q0.

Уравнение (18) примет вид:

я + 2a4q + (a4 + Р2)■ Я = °q • V2^ ■ <?0 + aq ^2a4 -(а2 +р22) • я0.

2

2

Серия 1. Наземные транспортные средства, энергетические установки и двигатели. Преобразуем полученное выражение:

q ~Gq 'V2^ ■ (0 ="2«4(/ "(а2 +Р2 )■ q + °q 2а4 '(а4 +Р2 ) ■ (о- (23)

Обозначим (г - aq -yj2а4 • q0 = После интегрирования получим:

q - • V2^ ■ (о = (i.

Выразим q и подставим в выражение (23):

q = (i +aq ^V2^ ■ (О; q = "2a4 • (i - 2Gq • a4 • 72a4 ■ (o - (a^ + P2) ■ q + cq 2a4 -(a^ +$22) • (o .

Тогда уравнениями формирующего фильтра будут: q = (1 +aq -V2^ ■ (o;

( = -2a4 • (1 - (a^ + P2) ■ q + aq ■ (Ja^p2 - 2a4j • T2^ ■ Jo-

Для получения уравнений фильтра в случае спектральной плотности вида (13) нельзя сложить полученные уравнения (22) и (24), умножив их на соответствующие коэффициенты Ai, так как принцип суперпозиции не применим. Приравниваем правые части выражений (21) и (13):

b()(rn)m + bl(rn)m-1 + --.+bm_x(rn)+bn

ao (m )n + a1 (rn)n +...+an_x (m)+an

2 ■ SoM = 2■

Ж

a.

A -гЧ+A 7

Otj + Ш (

a2 +P2 +G>2

22 ш -a2 -

P2) + 4a:

22 2

(25)

1

В этом случае также So(q) = —. Дальнейшие преобразования оказываются слишком

к

громоздкими, поэтому приведем правую часть уравнения (25) к общему знаменателю и зададимся конкретными численными значениями. Пусть A1 = o,85 ; A2 = o,15 ; aq = o,oo8м ;

a1 = 0,2c_1; a2 = 0,05c_1; Д = 0,6c_1. Тогда получим два выражения:

bQ(rn)m + b1(/®)m"1 +... + b

= 2,272-10"5 V -1,5172-10"5 V + 2,8733-10"6,

a0(rn)n + a1(rn)

n—1

+... + a„

= (06 -o,675 -co4 + o,1o28 -co2 + 5,2563,

из которых m = 2; bo = 4,767 • 1o, b1 = 9,937 • 10; b2 = 1,695 • 1o"3; n = 3; ao = 1; a1 = o,3 ;

a2 = 0,382; a3 = 0,073 .

Опуская промежуточные математические преобразования, запишем уравнения фильтра в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

bo

q = (1 +—(o;

ao

a0b, + a,b0 <(1 = (2 + 01 2 10 (o;

a

(26)

л 2 =

a1 a2 a3

■ (2 —2 (1 -—q+

a

a

a

b2 a1 a0b1 - a1b0 a2b0

V ao

a

a

a

(o.

<0 ao ao у

На рисунках 2 a, б, в приведены случайные функции микропрофиля дорог, смоделированные с помощью уравнений фильтра (22), (24), (26), для соответствующих корреляционных функций (4), (5), (6). Для сравнения на рисунках 3 а, б, в приведены графики корреляционных функций, построенные по смоделированным микропрофилям (сплошные линии) и по аппроксимирующим формулам (4), (5), (6) (штриховые линии). Из сравнения графиков видно

2

2

2

Серия 1. Наземные транспортные средства, энергетические установки и двигатели. достаточно хорошее совпадение корреляционных функций.

Таким образом, по описанной методике можно смоделировать случайный процесс по любой спектральной плотности в виде дробно-рациональной функции.

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 Xs М

q, м

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 Xv, Л4

0.02 О

б)"

V

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 Xs, М

Рисунок 2. Смоделированные микропрофили дорог

Rc/xs), м?

R<j(xs),

б 10 4 1СГ: 2 10 :

б)

16 20

28 Xs, М

Рисунок 3. Корреляционные функции микропрофилей

Литература

1. Надежность механических систем и конструкций при случайных воздействиях. / А.С. Гусев, А.Л. Карунин, Н.А. Крамской, С.А. Стародубцева. Под ред. А.Л. Карунина. - МГТУ «МАМИ», 2001. - 284 с.

2. Тарасик В.П. Теория движения автомобиля: учебние для вузов. / В.П. Тарасик. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 478 с.

3. Шалыгин А.С. Прикладные методы статистического моделирования. / А.С. Шалыгин, Ю.И. Палагин. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд., 1986. - 320 с.