Математическое и имитационное моделирование профиля дорожного покрытия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.876.5

Белецкий Андрей Валерьевич

ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»

Филиал в г. Сочи Россия, Сочи1 Доцент, кандидат технических наук E-Mail: andy@sochi.com

Рекунов Сергей Сергеевич

ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»

Филиал в г. Сочи Россия, Сочи Доцент, кандидат технических наук E-Mail: rekunoff@mail.ru

Математическое и имитационное моделирование профиля

дорожного покрытия

Аннотация. Совершенствование систем автоматизированного проектирования требует развития и совершенствования математических моделей входных воздействий на проектируемые объекты. При движении колесной машины одним из факторов, определяющих динамический момент в трансмиссии и динамические силы в подвеске, является величина переменной вертикальной силы, действующей на колесо, существенно зависящей от характеристик неровностей дорожной поверхности. Основными характеристиками неровностей дорожного покрытия, представленных в виде случайных процессов, являются автокорреляционная функция, аппроксимированная суммой произведений экспоненциальной и тригонометрической функций, а также функция спектральной плотности. Разработаны математические модели и программное обеспечение, позволяющие получать значения высот неровностей микропрофиля как реализаций случайного процесса, задаваемого аналитическим описанием автокорреляционной функции в качестве входного воздействия для движителя, подвески и трансмиссии при проектировании колесных машин. Для получения математических моделей применены методы формирующего фильтра и авторегрессии - скользящего среднего, отличающиеся сложностью вычислений и точностью моделирования. Применение разработанных моделей при проектировании колёсных машин позволяет имитировать переменные нагрузки в подвеске и трансмиссии при движении по разным видам дорог, отличающихся заданными коэффициентами аппроксимации автокорреляционной функции.

Ключевые слова: математическое моделирование неровностей дороги, точные и приближённые модели случайных процессов, формирующий фильтр, автокорреляционная функция, спектральная плотность, нерекурсивная аналоговая фильтрация, алгоритм авторегрессии-скользящего среднего.

1 354351,Краснодарский край, г. Сочи, ул. Чекменёва, д.5 1

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Выпуск 5 (24), сентябрь - октябрь 2014

http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru

Движение колесной машины характеризуется непрерывным изменением сил взаимодействия шины в площадке контакта с дорожной поверхностью. Величина этих сил в значительной степени зависит от характеристик неровностей и упруго-демпфирующих свойств подвески и ходовой системы. Фактором, определяющим нагрузки в трансмиссии и динамические качества колесной машины, является момент сил сопротивления движению. Его точная количественная оценка необходима при анализе динамики трансмиссии и её элементов в процессе проектирования машины.

Общепринятой методикой определения момента на ведущем колесе Мк является следующее соотношение между его величиной, радиальной нагрузкой на колесо Gк, коэффициентом сопротивления качению /о и радиусом качения колеса в ведомом состоянии Гк

M = rKf0GK.

При этом пренебрегают моментом сил сопротивления в подшипниках колеса вследствие его малости. Для определения радиальной нагрузки на колесо используется уравнение равновесия сил, возникающих в контакте колеса с дорогой:

Mg + mg + 2сш (hcz (t) — т = Gk (t).

Учет изменения высоты микропрофиля под ведущим колесом, и как следствие, прогиба шины h (t) — ^(t), приводит к необходимости определения случайной переменной составляющей усилия в контакте колеса с дорогой:

Gk (t) = 2сш (hr (t) — 4(t)) .

Следовательно, точное определение нагрузки на колесах и в трансмиссии машины невозможно без определения зависимости ^(t) и без решения задачи анализа колебательной системы, включающей в себя шины, ведущий мост, подвеску и шасси [8].

В большинстве работ, посвященных проблемам моделирования профиля дорожной поверхности, приняты понятия микропрофиля, вызывающего колебания колес, и макропрофиля, не оказывающего такого влияния и состоящего из длинных неровностей (более 100 м) [1]. Микропрофиль дороги представляется в виде стационарного эргодического случайного процесса с автокорреляционной функцией (АКФ) вида [3]:

Rk(i) = Dk(Alke~^1 cosßkт + A2ke~^) ,

где Одк, а,2к, Рк - коэффициенты, найденные для к-го вида профиля, Бк - дисперсия к-го вида профиля. Результаты корреляционного анализа высот неровностей микропрофиля некоторых характерных поверхностей из [3] представлены в таблице 1.

Таблица 1

Коэффициенты аппроксимации автокорреляционной функции некоторых типов микропрофиля

Дорожное покрытие D, см2 А1 А2 а1 а2 Р

1. Асфальтовое в хорошем состоянии 0,664 1 0 0,13 0 1,05

2. Асфальтовое изношенное 1,21 0,15 0,85 0,05 0,2 0,6

3. Щебеночное 6,3 0,047 0,953 0,049 0,213 1,367

4. Уплотненный грунт 10,63 0,1 0,9 0,2 0,7 1,57

Приведенной автокорреляционной функции соответствует спектральная плотность, полученная прямым преобразованием Фурье:

1 ™

Бк( ю) = — [ Я( х )cos юхd х = л *

а

л

А

а—к( <

—к

(< -Р

1

—к

■^к)2 + 4а—к <

2 + А2к

а

2к

<2 +а 1к)

Для моделирования стационарных случайных функций с заданными спектрально-корреляционными свойствами (автокорреляционной функцией или спектральной плотностью и дисперсией) используется большое количество методов, среди которых универсальный выделить нельзя. Большинство известных методов описано, например, в [1], [4].

Известные методы моделирования можно классифицировать следующим образом:

1. По степени точности алгоритма:

• точные методы, к которым относятся рекуррентные алгоритмы авторегрессии -скользящего среднего и алгоритмы на основе дискретизации синтезируемого фильтра;

• приближенные методы, к которым относятся метод формирующего фильтра, метод скользящего суммирования и методы канонического и неканонического представления случайного процесса.

2. По требованию к виду функции спектральной плотности:

• не требующие рационального вида функции спектральной плотности (метод скользящего суммирования, методы неканонического разложения);

• требующие рационального вида функции спектральной плотности (большинство известных методов).

Кроме того можно отметить, что ряд методов можно считать машинно-ориентированными - например, методы формирующего фильтра с численным интегрированием дифференциальных уравнений и авторегрессии - скользящего среднего. Для реализации данных фильтров в разработанном программном обеспечении получены соответствующие математические модели.

Наиболее простым решением для построения модели дорожной поверхности является применение метода формирующего фильтра [4], [9]. Для этого рассмотрим линейный фильтр как динамическую систему, описываемую линейными однородными дифференциальными уравнениями [5].

Спектральную плотность представим суммой двух выражений: S(ю)=Sl(ю)+ $2(ю). Для каждого из слагаемых уравнение передаточной функции формирующего фильтра найдется из равенства:

Жг(]ю)Ж(-'ю) = 2пБг( ю),г = 1,2.

Тогда:

= + ). } = А2

к1(1)=ф)

'ю + 2ау'ю + а + р

АУ2Ра ('ю + Уа2 + р2 ^ , 'ю2 + 2ау'ю + а2 + р2

к2(Х) = ф)

ую + у

А24Щ

У'ю + у

Учитывая принцип суперпозиции, получим:

к1(1) + к2(1) = ц(1)

А^2Эа Сю + ^а2 + р2; А2Л/2Ру ('ю )2 + 2а/'ю + а2 + р2 'ю + у

Ж аю) = ^ою)+^ю) = ;+^^

('ю) + 2а'ю + а +р 'ю + у

(1)

где же^ш) - частотная передаточная функция формирующего фильтра.

На основании данного выражения получены следующие дифференциальные уравнения формирующего фильтра:

у = -(а2 + р2у)х - 2ау + (^/а2 + р2 - 2аХ/пГ 1 Л'

. 2Ра ^ . 2Ру

где = А7А-, = А24/-, пО) - дискретный белый шум, h - шаг

\ И у И

интегрирования уравнений.

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Выпуск 5 (24), сентябрь - октябрь 2014

http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru

Реализация случайной функции высоты неровностей кип0) найдется в виде суммы

ьмп (0 = Х(г) + 2(1).

Более сложный и точный метод авторегрессии-скользящего среднего обеспечивает

л

совпадение передаточных функций аналогового и цифрового фильтров на частотах ю < —,

4h

где h - шаг дискретизации. Необходимые коэффициенты для реализации метода могут быть найдены билинейным z-преобразованием передаточной функции фильтра [1]. Передаточная функция цифрового фильтра получается из передаточной функции аналогового (1) путем

21 - z-1

подстановки выражения p =--— , где p - оператор Лапласа:

h 1 + z

W(z) = ВМ = ao + а^-1 +... + amz- m

A(z) 1 + Ъ^-1 +... + Ъ^- п

После алгебраических преобразований получаем значения коэффициентов a и Ь рекуррентной формулы для фильтра п-го порядка, реализующего процесс авторегрессии -скользящего среднего:

У1 = а0 - Л, + а1 • Л,-1 + ... + ат • Л,-т - Ъ1 • У,-1 - Ъ2 • У1-2 -...- Ъп • У,-п . (2)

Для получения рекуррентного уравнения формирующего фильтра, не имеющего методической погрешности по функции спектральной плотности, получим передаточную функцию фильтра методом билинейного z-преобразования. Произведя в выражении (1) замену

21 -

]Ю =--—, получим после алгебраических преобразований:

h 1 + 5

^ (5) = ^(5) + W2(z) =

_ + 2) + 5-1 • 2Ь2^2Ба(а2 +р2) + 5-2 • Ьл/Жа^Та^+р2 - 2)

= 1 4(1 + аЬ) + Ь2(а2 + Р2) + 5• ((а2 + р2)Ь2 -8) + 5-2 • (4(1 - аЬ) + h2(а2 + р2)) +

+А Ь^/Жу + • Ь^/Жу 2 (Ьу + 2) + 5-1 • (Ьу - 2).

Учитывая (2), получены уравнения формирующего фильтра, реализующего метод авторегрессии - скользящего среднего:

X, = А1(ао - л, + ai ■ л,-1 + a2 ■ Л,-2)- bi ■ Х;_! - Ь2 • Х;_2); у, = А2 (со ■л, + c ■л,_1) _ diYi_i; h, = Х, + у, >

>

(3)

или:

hi = А1(а0 ■ Л, + а1 ■ Л,-1 + а2 ■ Л,-2) + A2(C0 ■ ^i + C1 ■ ^i-i) _ bi ■ Xi-1 _ b2 ■ Xi_2 _ diy,-i),

где :

_ W2Dg (hyjg2 +ß2 + 2) _ 2h^2Dq(q2 +ß2) a° = 4(1 + gh) + h2(g2 +ß2) ' ai = 4(1 + gh) + h2(g2 +ß2)'

_ hVzDg(hyjg2 +ß2 + 2) 2h2(g2 +ß2)-8

a2 = 4(1 + gh) + h2(g2 +ß2) ' 1 = 4(1 + gh) + h2(g2 +ß2)'

_ 4(1 -gh) + h2(g2 +ß2) _hy-2

2 = 4(1 + gh) + h2(g2 +ß2)' °0 =Ci = hy + 2; 1 = hy + 2'

ni - дискретный белый шум.

Структурная схема полученных фильтров представлена на рис. 1.

На рис. 2,а представлен результат моделирования микропрофиля изношенного асфальта с автокорреляционной функцией, аппроксимированной выражением .R=1,21(0,15e-0,05i-cos(0,6-i)+0,85-e-0,2'i) по уравнениям формирующего фильтра (1), на рис. 2,б - по рекуррентным алгоритмам авторегрессии - скользящего среднего (3) в разработанном программном обеспечении.

В качестве дискретного белого шума при моделировании использовались значения стандартного датчика случайных чисел Free Pascal Lazarus с равномерным распределением на отрезке ]0,1[, преобразованные с помощью точного обратного метода Бокса-Мюллера в нормально распределенные с математическим ожиданием, близким к нулю, и дисперсией, близкой к единице.

Адекватность полученных моделей микропрофиля проверялась корреляционным и статистическим анализом полученных реализаций в разработанном программном обеспечении. Проведенные вычислительные эксперименты показали:

• удовлетворительное совпадение исходной функции спектральной плотности и построенной для полученных моделей в границах выбранных оценок (число оценки значений автокорреляции выбирается из условия Nm=N/9, где Nm - число точек АКФ, N - число наблюдений; данное условие получено исходя из того, что стандартное отклонение оценки спектральной плотности не должно превышать одной трети ее значения);

• вычисленные реализации высот микропрофиля распределены по нормальному закону (выполняются критерии Пирсона и Чебышева).

На рис. 3. представлены автокорреляционные функции исходного микропрофиля и его моделей, полученных методом формирующего фильтра и рекуррентных уравнений авторегрессии-скользящего среднего. Для полученных моделей вычислялась среднеквадратичная ошибка R2 к автокорреляционной функции вида ^=1,21(0,15 ^-0,05лсо£(0,6^)+0,85^-0,2'г) (рис. 3). Рекуррентный алгоритм авторегрессии - скользящего среднего позволил получить лучший результат R2=0,902.

Рис. 1. Структурные схемы фильтров: а - нерекурсивного аналогового; б - рекурсивного цифрового, реализующего алгоритм авторегрессии - скользящего среднего

Реализации высот микропрофиля Р Очищать

б)

Рис. 2. Результаты моделирования микропрофиля дорожной поверхности с шагом 0,01 м: а - интегрированием дифференциальных уравнений формирующего фильтра методом Рунге-Кутта 4 порядка; б - реализацией рекуррентного алгоритма

авторегрессии-скол ьзящего среднего

в)

Рис. 3. Автокорреляционные функции микропрофиля дорожной поверхности: а - исходный профиль, заданный уравнением автокорреляционной функции вида Я=1,2Г(0,15е-0■05t•cos(0,6•t)+0,85•e~0,2 t) , б - автокорреляционная функция модели, полученная методом формирующего фильтра, ошибка Я2=0,688; в - автокорреляционная функция модели, полученная рекуррентными уравнениями авторегрессии-скользящего среднего, ошибка Я2=0,902; нарис.б,вразмерность оси абсцисс с/1000

Выводы:

1. Разработаны математические модели микропрофиля дорожной поверхности как случайной функции, заданной автокорреляционной функцией, аппроксимированной

аналитическим выражением вида X) — Dk(Alke a'kX COSP^X + A2ke a2kX) , отличающиеся применением методов формирующего фильтра и дискретизации формирующего фильтра с помощью рекуррентного алгоритма авторегрессии-скользящего среднего.

2. С помощью разработанного программного обеспечения было установлено, что рекуррентный алгоритм авторегрессии-скользящего среднего обладает большей точностью моделирования по сравнению с методом формирующего фильтра.

3. Разработанные математические модели микропрофиля дорожной поверхности позволяют получить реализации высот неровностей как входные воздействия для исследования динамики шасси, подвески и трансмиссии в процессе автоматизированного проектирования колёсных машин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бакалов В. П. Цифровое моделирование случайных процессов. СПб.: Сайнс-Пресс, 2004. 88 с.

2. Динамика системы дорога-шина-автомобиль-водитель. /А. А. Хачатуров, В. Л. Афанасьев, В. С. Васильев, Г. В. Гольдин и др. Под ред. А. А. Хачатурова. М.: Машиностроение, 1976. 535 с.

3. Силаев А. А. Спектральная теория подрессоривания транспортных машин. М.: Машиностроение, 1971. 241 с.

4. Шалыгин А. С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение, 1986. 320 с.

5. Белецкий А.В. Математическое моделирование и выбор оптимальных проектных решений в САПР преобразователей момента инерционных передач: дис. ... канд. тех. наук / Воронежский государственный технический университет. Воронеж, 2005. 149 с.

6. Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2001. 209 с.

7. Ходяков Д.С., Белецкий А.В. Автоматизация проектирования систем подрессоривания колесных машин с учетом микропрофиля дорожного основания. // Прогрессивные технологии и оборудование в машиностроении и металлургии: сб. научных трудов международной научно-технической конференции, т. 2: Липецк, изд. ЛГТУ, 2006. с. 256-259.

8. Белецкий, А.В. Моделирование профиля дорожного основания в задаче анализа динамики трансмиссии колесной машины. [Электронный ресурс]. / «Строительные, дорожные машины и техника, строительное оборудование» кафедры ДСМ МАДИ. - Режим доступа: http://sdm.str-t.ru/ , свободный, яз. русский, загл. с экрана, 2008.

9. Чабунин И.С. Моделирование случайного микропрофиля дорожной поверхности методом формирующего фильтра // Известия МГТУ «МАМИ», 2013. № 1(15). Т. 1.с. 218-225.

10. Рыков С.П., Бекирова Р.С., Коваль В.С. Моделирование случайного микропрофиля автомобильных дорог. // Системы. Методы. Технологии, 2010. №4(8). с. 33-37.

Рецензент: Заместитель Председателя Поволжского отделения Российской академии транспорта, академик РАТ, доктор технических наук, профессор Овчинников Игорь Георгиевич.

Andrey Beletskiy

Sochi Branch of Moscow State Automobile & Road Technical University

Russia, Sochi E-Mail: andy@sochi.com

Sergey Rekunov

Sochi Branch of Moscow State Automobile & Road Technical University

Russia, Sochi E-Mail: rekunoff@mail.ru

Mathematical modeling and simulation of road surface profile

Abstract. Improving CAD systems demands development and improvement of mathematical models of input actions to designed objects. At the movement of the car one of the factors determining the dynamic torque in the transmission and the dynamic forces in the suspension, is the value of a variable vertical force acting on the wheel, greatly dependent on the characteristics of the road surface irregularities. The main characteristics of the road surface irregularities represented as random processes is the autocorrelation function, which approximated by the sum of products of exponential and trigonometric functions, and the spectral density function. The mathematical models and software that make it possible to obtain the the values of the heights irregularities microprofile as realizations of the random process defined by an analytical description of the autocorrelation function as an input action for propulsion, suspension and transmission in the vehicles design. For mathematical models applied methods shaping filter and autoregression - moving average. These methods differ in complexity of calculations and accuracy of modeling. Using of developed models for the design of vehicles to simulate variable load suspension and transmission when driving on different types of roads, given differing approximation coefficients of the autocorrelation function.

Keywords: mathematical modeling of the road surface irregularities; the exact and approximate models of ergodic random processes; shaping filter; autocorrelation function; spectral density function; non-recursive analog filtering; algorithm autoregressive moving average.

REFERENCES

1. Bakalov V. P. Tsifrovoe modelirovanie sluchaynykh protsessov. SPb.: Sayns-Press, 2004. 88 s.

2. Dinamika sistemy doroga-shina-avtomobil'-voditel'. /A. A. Khachaturov, V. L. Afanas'ev, V. S. Vasil'ev, G. V. Gol'din i dr. Pod red. A. A. Khachaturova. M.: Mashinostroenie, 1976. 535 s.

3. Silaev A. A. Spektral'naya teoriya podressorivaniya transportnykh mashin. M.: Mashinostroenie, 1971. 241 s.

4. Shalygin A. S., Palagin Yu.I. Prikladnye metody statisticheskogo modelirovaniya. L.: Mashinostroenie, 1986. 320 s.

5. Beletskiy A.V. Matematicheskoe modelirovanie i vybor optimal'nykh proektnykh resheniy v SAPR preobrazovateley momenta inertsionnykh peredach: dis. ... kand. tekh. nauk / Voronezhskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet. Voronezh, 2005. 149 s.

6. Prokhorov S.A. Matematicheskoe opisanie i modelirovanie sluchaynykh protsessov. Samar. gos. aerokosm. un-t, 2001. 209 s.

7. Khodyakov D.S., Beletskiy A.V. Avtomatizatsiya proektirovaniya sistem podressorivaniya kolesnykh mashin s uchetom mikroprofilya dorozhnogo osnovaniya. // Progressivnye tekhnologii i oborudovanie v mashinostroenii i metallurgii: sb. nauchnykh trudov mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii, t. 2: Lipetsk, izd. LGTU, 2006. s. 256-259.

8. Beletskiy, A.V. Modelirovanie profilya dorozhnogo osnovaniya v zadache analiza dinamiki transmissii kolesnoy mashiny. [Elektronnyy resurs]. / «Stroitel'nye, dorozhnye mashiny i tekhnika, stroitel'noe oborudovanie» kafedry DSM MADI. - Rezhim dostupa: http://sdm.str-t.ru/ , svobodnyy, yaz. russkiy, zagl. s ekrana, 2008.

9. Chabunin I.S. Modelirovanie sluchaynogo mikroprofilya dorozhnoy poverkhnosti metodom formiruyushchego fil'tra // Izvestiya MGTU «MAMI», 2013. № 1(15). T. 1.c. 218-225.

10. Rykov S.P., Bekirova R.S., Koval' V.S. Modelirovanie sluchaynogo mikroprofilya avtomobil'nykh dorog. // Sistemy. Metody. Tekhnologii, 2010. №4(8). c. 33-37.