CC BY
21
УДК 629.113
И.Ф. ДЬЯКОВ
К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛАВНОСТИ ХОДА АВТОМОБИЛЯ
Интенсивность колебаний автомобиля на неровных участках дороги зависит от скорости его движения уа и жесткости подвески. Обеспечить плавность хода автомобиля можно путем улучшения покрытия дорожного полотна или конструкции подвески:
Анализ полной характеристики случайных значений неровностей дороги возможен на основе теории случайных процессов. На практике такая характеристика не всегда достаточно точна. В этих случаях используют приближенное описание случайной величины, характеризующей затухание функции. Значение коэффициента затухания определяют по методу наименьших квадратов, задаваясь рядом значений коэффициента затухания колебаний а, для каждого из которых находят сумму квадратов отклонений К^. Для ряда дорог вычислены характеристики минимального числа неровностей, отражающие наиболее существенные особенности их распределения. Такими характеристиками для одной случайной величины являются среднее математическое ожидание высоты неровности дороги Шф}, дисперсия Д^ и среднее квадратическое отклонение сгя/к). Характеристики асфальтированных дорог изучали методом записи, используя динамический преобразователь, включающий в себя медленный маятник. Записанный на магнитограф сигнал колебаний маятника с помощью ЭВМ пересчитывали в микропрофиль. По записи определяли Д, Оф} и спектральную плотность сигнала и пересчитывали ее в спектральную плотность микропрофиля дороги .
14
Вестник УлГТУ 4/2000
Результаты обработки данных показали, что для асфальтированных дорог тф) = 5,7см; сгф) =1,1 см; Д,^ = 1,32 см2, грунтовых - тя(Н) = 1,69 см;
Л
~ 1,83 см; Оф} = 1,32 см . Высоты неровностей случайны по величине. При увеличении числа п замеров некоторые значения повторяются к раз, и множитель д(Ь)^п = со приближается к вероятности Р(к) появления значения ц(к)1. Взаимосвязь случайных значений по высоте д(И) и по длине 1Я,Н) участка дороги характеризуется корреляционной функцией
1 ш
+ (1)
о
где д(И+\) - значение функции микропрофиля дороги при смещении д(к) на величину ¿11 (значение аргумента).
При нулевом сдвиге аргумента (1 = 0) величина корреляционной функции будет максимальной и равной огф). С увеличением сдвига аргумента 1ф} значение Кц(^ уменьшается. Длину отрезка характеризующего протяженность вероятности взаимосвязи высот д(к) и длин неровности дорожного участка, рассматривали по степени неровности. Значение корреляционной функции при 1 ~><х> постепенно ослабевает, и можно считать ее независимой случайной величиной. Полученные при этом корреляционные функции микропрофиля дороги почти во всех случаях удовлетворительно аппроксимируются выражением вида:
Ъ=Вч(н)Ир{-п\ч(Ь)|)- ^Чм+^Чм)- (2)
Для грунтовых дорог а = 0,47 и нормированная корреляционная функция имеет вид:
р1д = 1,32 (1 + 0,47 + 0,53 , (3)
а для булыжного шоссе ровного замощения -
р1ь = 3,37 ¿Г(1 + 0,251ч{к) + 0,75 (4)
Чем больше коэффициент а, тем быстрее убывает функция. Если корреляционная кривая функции не пересекает ось абсцисс, то для определения протяженности корреляционной взаимосвязи высоты неровности по длине Условно принимают, что величина 1д(и)тах определяется абсциссой, соответствующей сравнительно малому значению корреляционной функции (0,05 ¡(¡ф)). Поскольку неровности дороги имеют вид волн, то целесообразно для исследования подвески использовать в качестве характеристики дороги спектральную плотность. Периодическую функцию д(И) в каждом интервале дискретности можно разложить в ряд Фурье
(i \ v1 iTikh Inkhj ...
q{h) = a0+2,в*8т---l- + bk cos ', (5)
/=1 lq{h) q{h)
, 2 як где л - порядок гармоники;-= co - дискретное значение волновой частоты неровности дороги.
Коэффициенты ряда определяют из соотношений:
ао = Z?<W/( п+1)-ак ;
П~~х п
, 2 л ■ 2як Ah L h =Al )sm-,
где q(i,Al) - значение неровности дороги в i-й точке; Al, Ah - шаг дискретности по длине и высоте неровности.
По q{h) в 13 равноотстоящих точках h¡, (¿' = 0,1,2,...,12) определены
приближения тригонометрическим многочленом 5-го порядка, после чего вычислены для сравнения значения функции и тригонометрического многочлена в двух произвольных точках. Подставив полученные коэффициенты в уравнение (5), получили в аналитической форме значение высоты неровности асфальтированной дороги в следующим виде:
q(h) = 0,450 + 0,294 cos 2 як + 0,4062 cos 4 лй + 0,3484 cos 6 як + + 0,3170 cos 8 як + 0,5096 cos 10 ж/г+ 0,1110 sin 2 як + + (-0,1226 • sin 4яИ - 0,0369 sin 6яИ - 0,0926 sin %як - 0,0325 sin 10nh) (6) Функция q(h) для булыжной дороги ровного замощения q(h) = 0,208 + 0,061 cos 2 як + 0,051 cos 4 яй + 0,039 cos 6 ph +
+ 0,044 cos 8 7th + 0,038 cos 10 ith + (-0,0083 sin 2nh - 0,0024 • • sin Anh- 0,015 sin бяй- 0,0083 sin 8яй- 0,0024 sin \0nh). (7) Таким образом, предварительный статистический анализ неровностей дороги дает количественное представление об изменении структуры дорожного полотна. Ввиду линейности преобразования Фурье корреляционную функцию можно представить как сумму нескольких функций, которые могут быть представлены как сумма преобразований Фурье этих элементарных функций. Для процессов с монотонными корреляционными функциями, которые чаще всего встречаются в дорожных условиях, корреляционную функцию представляют в виде суммы треугольных функций. Каждой такой функции соответствует спектральная плотность
у \
sin 0,5 ú) ki
У сок /2 j
К
где /г( , k¡ - высота и основание треугольника.
Треугольнику с единичными высотами и общим основанием соответствует спектральная плотность
2 к
'вт (со/2)л2
со/2
Имея график функции Л (¿у), можно легко найти спектральную плотность для произвольного треугольника с высотой /г, по формуле
Для средних значений неровностей грунтовой дороги коэффициенты Фурье равны а0 = 0,45; ак = 0,047; Ьк=-ОД 12; д(к) = 0,29. Каждой частоте соответствуют определенная амплитуда колебаний автомобиля Ак и начальная фаза
Ак = -1а1+ьк ; Ш<Рк =Ьк/ак . Функцию д(И) можно представить в комплексной форме
где Ск = 0,5(ак -ibk)', ¡ = V—Т - мнимое число. Комплексная амплитуда
1/2
Щ Ы .
1 ш
Ъ'Г-Р
'<?(>•) -1/2
^ 00 1/2
тогда = — \д(к)е~с<0к *< <11.
^(/г) -со -1/2
Набор д(к) по частотам со повторения высоты неровности дороги характеризует спектральную плотность при случайном процессе. Если I ^
стремится к бесконечности и Лео = 2ж / 1д(к), где ^¿у-частный интервал между
соседними гармониками, частоты которых равны 2як/1^ , то при —> со,
Лео —» с1со, 2л к ¡1^ —> со Аш выражает текущую частоту; тогда сумма в
уравнении перейдёт в интеграл
« СС 00
д(к)=— | д(к) ешй\. (8)
—СО —ОС
Случайную функцию g(h) можно рассматривать как предельный случай периодической функции при значениях от -оо до +«?. Эти преобразования связывают корреляционную функцию случайного процесса с его спектральной плотностью, отражающей распределение дисперсии по частоте. Зная корреляционную функцию и используя прямое преобразование Фурье, можно записать
1
Ки (9)
Из выражения (9) следует, что 8я(са) йсо есть амплитуда для интервала частот со, й) ■>■ ¿со, причем можно рассматривать как «плотность» амплитуд, приходящихся на интервал частот. Вычисление спектральной плотности численным методом представляет определенные трудности, так как интеграл в большинстве практических задач не вычисляется в конечном виде, а корреляционная функция, как правило, известна на дискретном множестве длины пути 1. Поэтому возникает необходимость отыскания методов, позволяющих вычислить спектральную плотность. Введем в рассмотрение функции такое число, при котором для заданного интеграла выполняется неравенство
1
2 7V
о
< х > что возможно в силу того, что интеграл
l^tq{(o)'cosa>^{oi)'^q{a) сходится при % оо. Приступив к приближенному
о
вычислению интеграла, можно предположить, что функция задана на упорядоченном множестве lq(h\,lq{h)2> ■ ■ Jq{h\ так, что lq(hh <lq(hh < <
Интегрированием по частотам можно вычислить многочлен Бф/со) и определить приближенное значение спектральной плотности Sq(a>). Соотношение между двумя главными характеристиками случайных величин - корреляционной функцией и спектральной плотностью - представляет собой интегральное преобразование Фурье. Тогда, придав выражению cos cokh = 0,5 -{еш1 +е~шг) комплексную форму, можно привести спектральную плотность к виду
(10)
Полагая в зависимости (10) q(h) = 0, получим выражение дисперсии случайной функции
00
(И)
-00
Решение уравнения (11) позволит найти спектральную плотность неровности дороги
Выражение (12) связывает корреляционную функцию стационарного случайного процесса с его спектральной плотностью, отражающей распределение дисперсии случайного воздействия на автомобиль по частоте неровности дорожного полотна. Возмущающее воздействие микропрофиля дороги на автомобиль, как на динамическую систему, должно быть выражено в виде изменения ординат поверхности не в функции расстояния от начала отсчета, а в функции времени и соответствовать смещению значения аргумента. Тогда в качестве критерия оптимальности подвески можно использовать передаточную функцию системы, представляющую собой отношение спектра возмущения подрессоренной массы автомобиля к спектру возмущения дороги. Если передаточная функция минимальна, то подвеска обладает фильтрующей способностью. Однако микропрофиль дороги и скорость движения существенно сказываются на плавности хода автомобиля и коэффициенте сопротивления амортизатора кар. Чтобы проанализировать кар, следует рассмотреть коэффициенты дорожных частот к\ и Л2, характеризующих переход от спектра со1 к спектру <оА и переход от спектра со'4к спектру со'2, если спектр возмущающего воздействия от дороги имеет вид
2 2
г / \ г-. СО + СО,
к2{ 2 1 ь (13)
со (со +0){}
где со-частота колебаний автомобиля; С0\ = Уи-Аь сог = Уа М .
На асфальтированных дорогах коэффициент Х2 настолько мал, что лишь при очень высоких скоростях движения автомобиля Уа>со/Л2 сопротивление амортизаторов следует выбирать из условий движения со спектром со'4. Если учитывать третью производную перемещения подрессоренных масс, то диапазон регулирования сопротивления амортизаторов должен быть значительно расширен в сторону меньших значений кар. Для получения оптимальной подвески по плавности хода значение коэффициента сопротивления амортизатора кар при изменении скорости движения должно непрерывно регулироваться, т.е. подвеска должна быть самонастраивающейся. В самой постановке задачи о самонастраивающейся подвеске предполагается, что профиль дороги - нестационарный случайный, поэтому прежде всего следует построить его математическую модель, основа которой изложена в данной статье. Однако в математическую модель оптимизации параметров подвески включаются условия ограничения по ускорению подрессоренных масс и безопасности движения. Для решения поставленной задачи используется соответствующий метод оптимизации.
Дьяков Иван Федорович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Основы проектирования машин и автомобилестроение» УлГТУ. Окончил Саратовский политехнический институт. Имеет монографию и статьи в области оптимального проектирования автомобилей.
