CC BY
21
УДК 539.3
В.В. Вершинин, А.А. Локтев
Московский государственный строительный университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ПРОТИВОУДАРНОЙ ИЗОЛЯЦИИ С ОГРАНИЧЕНИЕМ РАБОЧИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Исследуется проблема динамического контакта ударника в виде твердого тела и мишени в виде тонкостенной конструкции тел с учетом располагающегося между ними в зоне контакта противоударного изолятора, состоящего из упругого и вязкого элемента, соединенных параллельно и последовательно в разных вариантах изолятора. Определяются динамические характеристики контактного взаимодействия, оценивается вклад в значения конечных характеристик упругих и вязких параметров изолятора. Рассматривается задача оптимизации начальных параметров противоударного элемента для случая ограничения конечных характеристик удара, задача выявления управляющих параметров изолятора и способов их изменения после начала ударного воздействия на защищаемую конструкцию.
Ключевые слова: ударное воздействие, противоударный изолятор, вязкоупругий элемент Кельвина-Фойгта, вязкоупругий элемент Максвелла, динамические характеристики.
1. Постановка задачи
Задачи, связанные с моделированием противоударных систем и изоляторов, рассматривались неоднократно отечественными и зарубежными учеными [1-4]. В некоторых работах определялись контактная сила в месте удара [1, 2], перемещения точек мишени [1-4], ускорения, которые приобретает мишень после удара по ней [1, 3].
В работе рассматривается механическая система (рис. 1), состоящая из системы двух тел (ударника и мишени) и расположенным между ними изолятором, состоящим из вязкого, упругого элемента и элемента управления, который может генерировать некоторую силу противодействия начальному удару. На рис. 1, а представлен изолятор с линейным вязкоупругим элементом типа Кельвина-Фойгта, а на рис. 1, б - изолятор с вязкоупругим элементом Максвелла.
Предполагается, что ударник и точки мишени могут двигаться прямолинейно вдоль одной и той же прямой. Движение ударника и мишени после начала контакта для модели вязкоупругого тела типа Кельвина-Фойгта относительно основания описывается [1] системами дифференциальных уравнений
Ш1 (X + 7) + К (х - у) + С (х - у) = 0, ш2 (у + 7) + К (-у - X) + С(у - х) = ¥,
(1.1)
для модели Максвелла справедливы следующие соотношения:
г-г'
ш
т2
(X + 7)-К |( X - у) е 4 йг'+ С (х - у ) = 0, о
г ^
(у + 7)-К |( у - х) е Т1 йг' + С (у - х) = ¥ ,
(1.2)
где ш1 и ш2 - массы тел ударника и мишени соответственно, х и у - координаты ударника и мишени относительно верхней точки изолятора, 7 - координата верхней точки изолятора относительно инерциальной системы отсчёта, К - коэффициент вязкого сопротивления, С - коэффициент жесткости упругого элемента, ¥ - управляющая сила, приложенная к мишени со стороны изолятора (в данной работе она отсутствует).
Предполагается, что в начальный момент времени г = 0 крайняя точка противоударного изолятора и область мишени под изолятором (контактная область) покоятся, т.е. уравнения (1.1), (1.2) рассматриваются при начальных условиях
х (г = 0) = 0, у (г = 0) = 0, х (г = 0) = 0, у (г = 0) = 0.
Ударник -----^
(1.3)
Рис. 1. Вид противоударных изоляторов с вязкоупругими элементами: (а) Кельвина-Фойгта, (б) Максвелла (см. с. 140)
0
Рис. 1. Окончание
п
2. Метод решения
В данной работе рассматривается не мгновенный удар, т.е. контактная сила достигает своего максимального значения через какое-то время после касания ударником изолятора. В работе [4] приведены примеры расчёта, основанные на приближенной теории типа Сен-Венана для поперечного удара по балке, для которой учитываются вынужденные колебания, а контактная сила изменяется со временем по гармоническому закону, но предполагается, что ударное взаимодействие носит неупругий характер и не учитывается зависимость контактной силы от местных деформаций в зоне взаимодействия тел. Несмотря на распространенность данного подхода в инженерных задачах, результаты его использования не дают полной информации о характере процесса соударения и об изменении силы взаимодействия между соударяющимися телами по времени, и поэтому он неприменим в задаче противоударной изоляции.
В представляемой работе сделана попытка обобщить данный подход на случай вязкоупругих моделей ударного взаимодействия и большего временного интервала, включающего и повторные соударения тел. В работе предполагается, что за время ударного взаимодействия стационарные и нестационарные процессы деформирования ми-
шени не дошли до конца балки, т.е. рассматривается достаточно протяженная балка. Также предполагается, что балка, выступающая в качестве мишени, шарнирно оперта по краям, т.е. граничные условия можно записать в виде
Л—/)=Л*=0=^^рг'1=^^=0, (2.1)
ох ох
где I - полудлина балки.
В качестве начальных условий ударного взаимодействия тел принимаются следующие:
У (х,0) = 0, = 0. (2.2)
При нахождении аналитического выражения силы взаимодействия между ударяющим телом и балкой воспользуемся алгоритмом, приведённым в [4]. При этом изложенная теория будет применима к случаям соударения с балкой таких тел, что общая нормаль в точке соприкасания недеформированных поверхностей тела и балки проходила через центр инерции тела и была вертикальной. Кроме того, уравнение поверхности тела в точках начального касания с балкой и их окрестностях должно быть свободно от аналитических особенностей и не содержать особых точек, а кривизна ударяющего тела в тех же точках не должна быть равна нулю, иначе невозможно применение расширенной теории Герца [4].
Дифференциальное уравнение колебаний стержня имеет вид
о4у = р о2у . ч (х 0 (23)
Ох4 Е1 Ы2 Е1 ’
где р - приведенная к длине масса стержня.
Данное уравнение содержит производную по времени и производную по координате, для его решения необходимо избавиться от одного типа производных с помощью условий совместности или преобразования Лапласа. После записи уравнения (2.3) в пространстве изображений можно перейти от определения функции прогибов [4] к определению прогиба от действия единичной силы, для этого необходимо пронормировать функцию у (х, р) зависимостью Р (р):
(х, р ) = 4х4 = Г =1 5,п Г =1, (2.4)
Р(р) ~ЕЛ4 П=1 р2п4
п=1
где р - параметр преобразования Лапласа, а - координаты точки приложения контактной силы Р (р), тильда над функцией обозначает ее
представление в пространстве изображений. Граничные условия в пространстве изображений остаются прежними. После определения зависимости для прогиба балки можно перейти к определению контактной силы в месте взаимодействия двух тел, для этого рассмотрим уравнение движения ударника после начала контакта:
,12 Г
т1 ТГ = Щё - Р (1), (2.5)
м
где е (t ) = а (t) + у (а, t) - полное перемещение ударника, а (?) - местные деформации материала балки в месте удара, а прогиб у (а, t) вычисляется в месте ударного воздействия
Динамический контакт происходит при соблюдении следующих начальных условий:
Г (t = 0 ) = 0, ^1^ = V). (2.6)
В пространстве изображений уравнение (2.5) с учетом начальных условий (2.6) примет вид
р(р) = -щр25 (р) + щр¥0 + т^ . (2.7)
Зависимость местного смятия и контактной силы определяется при решении контактной задачи и определяется механическими и геометрическими параметрами контактирующих тел, в качестве основного чаще всего используется модифицированное соотношение Герца
а ^ ) = ЬР ^ )ч (2.8а)
или, в случае вязкоупругого элемента Максвелла, контактная сила принимает интегральный вид с экспоненциальным ядром релаксации:
t -1 -^
Р^) = С (а-^)-К |(а - м>) е dt', (2.8б)
где Ь определяется геометрическими и механическими свойствами соударяющихся тел, ч = 2/3 для начального касания в одной точке
и q = 1---1— для плотного начального касания, рассмотренного в [4].
2п +1
Голдсмит [4] и ряд других исследователей рекомендуют определять этот параметр экспериментально, г' - переменная интегрирования.
Для вязкоупругого элемента Кельвина-Фойгта на основании соотношений (2.6) и (2.8а), записанных в пространстве изображений из уравнения (2.7), получим
Р (р )(1 + т1 р 2и | = -т1 р 2ЬР (р )q + т1 рУ'
(2.9)
где У ' = У0 + —.
р
Отсюда получаем рекуррентную формулу для Р (р):
Р ( р ) =
Г_
V Ьр J
1 + (1 + т1 р2и )-
V
т1
\р ( рЬ)
1 + (1 + т1 р2и)
Р ( р )
Ьт1 р2
1—q ^1--
.(2.10)
Если положить в правых частях равенств (2.10) Р = 0, то получим приближения для контактной силы соответствующего порядка, который определяется степенью вложенности, т.е. количеством представлений Р (р )1 с помощью самого же выражения (2.10). Выбирая
соответствующие значения q, получим выражения для силы взаимодействия между ударяющим телом и балкой при различных условиях начального касания.
Решая данную задачу Коши методами операционного исчисления, можно легко получить выражения для смещения ударника х(/), после чего можно будет найти остальные динамические характеристики контакта.
Положим т = К/
2т1
п = С
т
. Возможны три случая:
при п > т
г
х
(г) =-1— [Р(х)- е т(г т) • 8Ш
т. *
п1т3 0
( П1 (г — х)) d х, где П1 = 4 п2 — т2:
(2.11)
ч
q
при т < п
г
х(г)--------— |Р(х)- е т х) • (а(г -х)) ёх, где а -у[т
атз 0
2 2 - п :
(2.12)
при т - п - X
х
(г)-—— [Р(х)(г-х)е х(г х)ёх.
7 Т7/1„ » 7
т
(2.13)
Время первого ударного контакта находится по формуле для Р(г). Для временного интервала после окончания первого ударного контакта принимаем 2( г) - 0 .
В случае изолятора с вязкоупругим элементов Максвелла система уравнений (1.2) решается также с помощью метода преобразования Лапласа.
Решая эту систему, получим выражения для а и w, которые в случае действительных корней характеристического уравнения а1, а2, а3 в пространстве оригиналов примут вид
- А2 ехр (а1г) + В2 ехр (а2г) + С2 ехр (а3г) + Б
- А3 ехр (а1г) + В3 ехр (а2г) + С3 ехр ( а3г) + Б3 + С3 +
+ ( Е3 + Н3) ехр ( а7г) + ( ¥3 + К3) ехр ( а8г),
(2.14)
(2.15)
В случае комплексно сопряженных корней а4, а5 и одного действительного корня а6 характеристического уравнения эти выражения можно записать в следующем виде:
а- ехр (-1/2а? )|^ 1/2 2 ^1/2^ 2В4 - аА4 ] +
+ А4 соб
1 ^1/2?][ + С4 ехр(абг) + Б4 ,
V2 У]
(2.16)
w - ехр (-аг /2)|^1/28т -2 ^1/2 г^[2В5 - аА5 ] +
+ А5 С08 ^2 ^1/2 г+ ^5 ехр (абг) + Б5 + ^5 +
+ (Е5 + Н5 ) ехр ( а9г) + (Р5 + К5 ) ехр (а10г) .
(2.17)
0
где коэффициенты, обозначенные буквами, определяются через соотношения известных величин [2]. После определения величин w, а и их подстановки в (2.8б) можно записать выражение для контактной силы Р(г).
3. Численные исследования
На рис. 2 представлены графические зависимости контактной силы от времени для случаев использования изолятора с вязкоупругим элементом Кельвина-Фойгта (кривые 1, 2, 3) и элементом Максвелла (кривые 4, 5, 6) для различных значений упругой и вязкой составляющей изолятора.
36
Кривые 1 и 4 получены для случая С = 10 Н/м, К = 10 Нс/м, кривые 2 и
33
4 соответствуют значениям С = 10 Н/м, К = 10 Нс/м, а кривые 3 и 6 -
63
С = 10 Н/м, К = 10 Нс/м. Остальные параметры взаимодействия принимают следующие значения: Е = 2,1 • 105 МПа, q = 2/3, т = 1 кг, ¥0 = = 8 м/с, I = 2м, тип профиля - двутавр № 40.
0 2-10-4 4-10-4 6-10-4 8-10-4 10-3 (с)
Время
Рис. 2. Зависимость контактной силы от времени для значений С и К
На этом рисунке видно, что сила взаимодействия в месте установки изолятора имеет различный характер зависимости от времени для двух вязкоупругих элементов. Однако такие явления, как увеличе-
ние времени взаимодействия тел и уменьшение максимума контактной силы наблюдаются и для элемента Максвелла, и для элемента Кельви-на-Фойгта. ^ рис. 2 видны примеры прилипания ударника и мишени (кривые 1 и б), это происходит при противоположных значениях соотношения параметров упругости и вязкости и различном характере остаточных деформаций в изоляторах. При использовании последовательной модели изолятора уменьшение контактной силы более существенно и вязкоупругие свойства демпфера влияют в большей степени на конечные динамические характеристики, в то время как при наличии параллельного вязкоупругого элемента в изоляторе контактная сила может уменьшиться до некоторого значения, которое практически не будет меняться со временем.
Библиографический список
1. Баландин Д. В., Болотник H. H. Предельные возможности противоударной изоляции системы с двумя степенями свободы // Изв. PAH. МТТ. - 2001. - М 6. - С. 52-62.
2. Локтев A.A. Удар вязкоупругого тела по упругой изотропной пластинке // Механика композиционных материалов и конструкций. -2007. - Т. 13. М 3. - C. 170-178.
3. Concept of a platform-based impact isolation system for protection of wheelchair occupants from injuries in vehicle crashes / D.V. Balandin, N.N. Bolotnik, W.D. Pilkey, S.V. Purtsezov, C.G. Shaw // Medical Engineering and Physics. - 2008. - М 30. - P. 258-267.
4. Гольдсмит В. Удар. - М.: Стройиздат, 1965. - 595 с.
Получено 21.03.2011
