Система противоударной изоляции с вязкоупругими элементами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 539.3

СИСТЕМА ПРОТИВОУДАРНОЙ ИЗОЛЯЦИИ С ВЯЗКОУПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

A.А. Локтев, д-р техн. наук,

Московский финансово-юридический университет МФЮА E-mail: aaloktev@yandex.ru

B.В. Вершинин,

Московский государственный строительный университет E-mail: aaloktev@yandex.ru

Аннотация. В статье решается задача динамического контакта твердого тела и балки с учетом располагающегося между ними в зоне контакта противоударного изолятора, состоящего из упругого и вязкого элемента, соединенных параллельно и последовательно в разных вариантах изолятора. Определяются динамические характеристики удара, оценивается вклад в значения конечных характеристик упругих и вязких параметров изолятора.

Ключевые слова: ударное воздействие, вязкоупругий элемент Кельвина-Фойгта, вязкоупругий элемент Максвелла, динамические характеристики.

Abstract. In this article, the problem of the dynamic contact of a solid body and a beam is solved taking into account a shockproof isolator installed in the contact area between them. The shockproof isolator consists of the elastic and viscous elements which are connected parallel or consecutive in different isolators modifications. The dynamic characteristics of the contact interaction are determined. The contribution to the magnitudes of final characteristics of the elastic and viscous isolator's parameters are estimated.

Keywords: impact interaction, Kelvin-Voigt viscoelastic element, Maxwell viscoelastic element, dynamic characteristics.

Задачи, связанные с моделированием противоударных систем и изоляторов, рассматривались неоднократно отечественными и зарубежными учеными [1; 2; 3; 4]. В некоторых работах определялись контакт-

ная сила в месте удара [1;2], перемещения точек мишени [1; 2; 3; 4], ускорения, которые приобретает мишень после удара по ней [1; 2; 3]. В работах [2; 5; 6] рассматривались ударники, обладающие вязкоупру-гими, нелинейно упругими и упругопластическими свойствами, также изучалось влияние упругих и неупругих свойств мишени на конечные динамические характеристики удара с учетом стационарных и нестационарных процессов, появляющихся в них после начала контакта. Но одним из неизученных вопросов является выявление оптимальных значений параметров вязкоупругих изоляторов двух простейших типов: с ограниченной и неограниченной деформацией вязкого демпфера, - и определение возможностей использования того или иного вязкоупру-гого элемента.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работе рассматривается механическая система (рис. 1) из двух тел и расположенным между ними изолятором, состоящим из вязкого и упругого элемента. На рис. 1а представлен изолятор с линейным вяз-коупругим элементом типа Кельвина-Фойгта, а на рис. 1б - изолятор с вязкоупругим элементом Максвелла.

Предполагается, что ударник и точки мишени могут двигаться прямолинейно вдоль одной и той же прямой. Движение ударника и мишени после начала контакта для модели вязкоупругого тела типа Кельвина-Фойгта относительно основания описывается [1] системой дифференциальных уравнений:

т1 (&&1 + ¿3 )+ К (¿¿1 — ¿2 ) + С (¿1 — ¿2 ) = 0

(1)

т

(¿2 + ¿3)+ К (г2 — г 1)+ С (¿2 — ¿1) = Г

для модели вязкоупругого элемента Максвелла справедливы следующие соотношения: г—(>

т1 (¿&1 + '¿3) — К^(¿1 — ¿2)е Ж' + С(¿1 — ¿2) = 0

о ,

г—г'

г

т2 (¿2 + ¿3 ) — К| (¿2 — ¿1 )е Т 1 Ж' + С (¿2 — ¿1 ) = Г (2)

где т1 и т2 - массы тел ударника и мишени соответственно, 2 и 22 - координаты ударника и мишени относительно верхней точки изолятора, 23 - координата верхней точки изолятора относительно инерциальной системы отсчета, К - коэффициент вязкого сопротивления, С - коэффициент жесткости упругого элемента, Г - управляющая сила.

а)

Ударник

Уо

б)

Рис. 1. Вид противоударных изоляторов с вязкоупругими элементами: а) Кельвина-Фойгта, б) Максвелла

Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 крайняя точка изолятора и область мишени под изолятором (контактная область) покоятся, т.е. уравнения (1), (2) рассматриваются при начальных условиях:

верхней точке изолятора, и считается заданной функцией времени. В качестве критериев работы изолятора могут быть приняты такие величины, как сила, действующая на мишень под изолятором, максимальное смещение мишени, ускорение, которое получают точки защищаемой от ударного воздействия конструкции.

МЕТОД РЕШЕНИЯ

В данной работе рассматривается немгновенный удар, т.е. контактная сила достигает своего максимального значения через какое-то время после касания ударником изолятора. В работах [6; 7] приведены примеры расчета, основанные на приближенной теории типа Сен-Венана для поперечного удара по балке, для которой учитываются вынужденные колебания, а контактная сила изменяется со временем по гармоническому закону, но предполагается, что ударное взаимодействие носит неупругий характер и не учитывается зависимость контактной силы от местных деформаций в зоне взаимодействия тел. В данной работе предполагается, что за время ударного взаимодействия стационарные и нестационарные процессы деформировании мишени не дошли до конца балки, т.е. рассматривается достаточно протяженная балка.

Предполагается, что балка, выступающая в качестве мишени, шар-нирно оперта по краям, в качестве начальных условий ударного взаимодействия тел принимаются нулевые.

При нахождении аналитического выражения силы взаимодействия между ударяющим телом и балкой воспользуемся алгоритмом, приведенным в [8].

Дифференциальное уравнение колебаний стержня имеет вид:

д 4 у _ р д2 у Ч (х, t)

дх4 Е1

(4)

где р - приведенная к длине масса стержня.

Данное уравнение содержит производную по времени и производную по координате, для его решения необходимо избавиться или от одного типа производных с помощью условий совместности или от другого - с помощью преобразования Лапласа. Запишем уравнение (4) в пространстве изображений и представим неизвестные величины перемещения мишени и внешнюю нагрузку в следующем виде [8]:

У (х, р)_ 213 1

Р (р ) Е1п Р п

г пп а л

1

Б1П

^ пп х л

1

(5)

где р - параметр преобразования Лапласа, а - координаты точки приложения контактной силы Р (р), тильда над функцией обозначает ее представление в пространстве изображений, 1 - полудлина балки. Зависимости между функциями и изображениями указаны в [9]. Граничные и начальные условия в пространстве изображений остаются прежними.

После определения зависимости для прогиба балки можно перейти к определению контактной силы в месте взаимодействия двух тел, для этого рассмотрим уравнение движения ударника после начала контакта:

С2 5 Т1/ ч

т1 Л?=т1g - Р () , (6)

где 5 ( )_а ()+ у (а, /) - полное перемещение ударника, а () - деформации изолятора, а прогиб у (а, /) вычисляется в месте ударного воздействия.

Динамический контакт происходит при соблюдении следующих начальных условий:

5 ( = 0)_ 0, ^ = г. . (7)

Л

Зависимость местного смятия от контактной силы определяется при решении контактной задачи механическими и геометрическими параметрами контактирующих тел, в качестве основного чаще всего используется модифицированное соотношение Герца:

а () _ Ь Р () , (8а)

или, в случае вязкоупругого элемента Максвелла, контактная сила принимает интегральный вид с экспоненциальным ядром релаксации [2]:

Р()=Е1(а-^)-Е [(ос-)е т аГ,

г-г'

(8б)

где Ь определяется геометрическими и механическими свойствами соударяющихся тел, { - переменная интегрирования, ¿7=2/3 - для начального касания в одной точке, <7 = 1--о — 1 — ■

2п + \

2п+1

- для плотного

начального касания.

На основании соотношений (7) и (8), записанных в пространстве изображений, из уравнения (6) получим:

Р (Р)(1 + т р 2и )=-^1 р 2ьР (р /+«1 р^о+«1 ^

(9)

Для решения уравнения (9) можно использовать алгоритм последовательных приближений [8], в результате чего получим рекуррентную формулу для Р (р ):

Р ( р )=

1

тгр 2и

у'?

т1 р (рЬ)

1

т1 и

2 ( р ^

л1-

\— ч

Ьт1 р

,(10)

где у' = у0 + £.

р

Если положить в правых частях равенств (10) Р = 0, то получим приближения для контактной силы соответствующего порядка, который определяется степенью вложенности. Ограничиваясь в выражении для и только первым членом ряда, в соответствии с рекомендациями [6], и заменяя всю массу балки приведенным к точке приложения контактной силы значением 1 р!, в пространстве оригиналов получим окончательное выражение [9]. Время первого ударного контакта находится по формуле для Р(г) и соответствует времени, при котором Р(г)=0.

В случае изолятора с вязкоупругим элементом Максвелла система уравнений (2) решается также с помощью метода преобразования Лапласа.

Решая эту систему, получим выражения:

а =

Уо [(х + р)(р+В)+4 ]

р

р3 +(х+ В ) р2 +(С1 + Во) р + ВС

(11)

ж = а

Р (х + Р )+ —

_т

Уо (Х+ Р )

(12)

т

т

, —1

гДе X = 1/тР 4 = , 1 2 , В = р п п г0

, С1 = —1 , 2 + , со = р п п г0 т

—

т

Представление выражений (11), (12) в пространстве оригиналов зависит от корней характеристического уравнения:

представляющего равенство нулю знаменателя соотношения (11).

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для анализа полученных аналитических зависимостей и установления влияния параметров изолятора на конечные характеристики удара построим графики для ускорения точек мишени под областью контакта (рис. 2) от времени для случаев использования изолятора с вязкоупругим элементом Кельвина-Фойгта (кривые 1,2,3) и элементом Максвелла (кривые 4,5,6) для различных значений упругой и вязкой составляющей изолятора. Кривые 1 и 4 получены для случая С = 103 Н/м, К = 106 Нс/м, кривые 2 и 5 соответствуют значениям С = 103 Н/м, К = 103 Нс/м, а кривые 3 и 6 -С = 106 Н/м, К = 103 Нс/м. Остальные параметры взаимодействия принимают следующие значения: Е = 2Д.105 МПа, ^=2/3, т = 1 кг, У0 = 8 м/с, /=2м, тип профиля - двутавр № 40. На рис. 2 видно, что максимальные ускорения мишени соответствуют изолятору с вязкоупругим элементом Кельвина-Фойгта, кроме того, время их возникновения существенно меньше, чем для элемента Максвелла, для которого кривые в целом более плавные и имеют максимальные значения сильнее разнесенные во времени в зависимости от параметров упругости и вязкости.

(13)

Время

Рис. 2. Зависимость нормального ускорения от времени для различных значений упругих и вязких характеристик изолятора

Приведенные на рис. 2 зависимости позволяют воспользоваться качественными параметрами, вычисляемыми по формулам (4 - 6), и сделать вывод о том, что изолятор с вязкоупругим элементом типа Максвелла в целом является более мягким, но вместе с тем элемент Кельвина-Фойгта обеспечивает большее время, в течение которого прогиб мишени не вернется в ноль. Работа элемента Кельвина-Фойгта существенно зависит от времени приложения нагрузки: в случае кратковременной динамической нагрузки (ударное взаимодействие) деформации не успевают развиться и изолятор ведет себя достаточно жестко, а деформации нарастают и после приложения нагрузки. Элемент Максвелла работает практически при любой длительности приложения нагрузки, но он не позволяет распределить значения динамических характеристик точек мишени во времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баландин Д. В., Болотник H. Н. Предельные возможности противоударной изоляции системы с двумя степенями свободы // Изв. РAH МТТ. 2001. №6.

2. Локтев А.А. Удар вязкоупругого тела по упругой изотропной пластинке // Механика композиционных материалов и конструкций, Т. 13. 2007. №3.

3. Баландин Д. В., Болотник H. H. Оптимизация параметров противоударных изоляторов для системы с двумя степенями свободы // Изв. РAH МТТ. 2003. №3.

4. Balandin D.V., Bolotnik N.N., W.D. Pilkey, S.V. Purtsezov, C.G. Shaw Concept of a platform-based impact isolation system for protection of wheelchair occupants from injuries in vehicle crashes // Medical Engineering and Physics. - 2008. № 30.

5. Локтев А.А. Исследование нелинейности ударника на процесс ударного взаимодействия твердого тела и тонкой пластинки // Сб. тр. Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» - СПб., 2005.

6. Кильчевский H. А. Теория соударений твердых тел. - Киев, 1969.

7. Беляев H. М. Сопротивление материалов. - М., 1962.

8. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. -М., 1975.

9. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. - М.;Л., 1951.