Моделирование разрывных функций с помощью непрерывной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.715

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ НЕПРЕРЫВНОЙ ЛОГИКИ

© В.И. Левин

Levin V.I. Modelling explosive functions with the aid of continuous logic. The article proposes an opportunity to model analytically explosive functions with the aid of continuous logic operations under modelling intensity linear growth in regard to number of function explosions. This allows synthesising explosive curves as logical superposition of ordinary continuous curves.

1. ВВЕДЕНИЕ

Последние 50 лет большое внимание исследователей привлекает так называемая непрерывная логика (НЛ). Сфера применения НЛ очень широка, она включает технические, экономические, социальные и иные системы и решает весьма разнородные задачи: аппроксимация функций, синтез функциональных генераторов и преобразователей формы информации, расчет нелинейных цепей, изучение динамики автоматов и их диагностика, анализ надежности систем, распознавание образов и сцен, построение теории нечетких множеств и принятие решений в условиях неопределенности, обработка информации, анализ систем обслуживания, дискретная оптимизация и теория расписаний, математическое моделирование социальных, экономических и исторических процессов и др. [1-3]. Особое значение для техники имеет возможность решения с помощью НЛ обратных задач аналитической геометрии, т. е. аналитическое представление с помощью соответствующих уравнений НЛ заданных кривых, поверхностей и объемов. Применение в этой области аппарата НЛ позволяет описывать в аналитической форме нелинейные, изломанные и многозначные кривые и поверхности, а также объемы и их границы. Это дает возможность аналитического представления различных характеристик систем управления и других систем, с последующим их формализованным синтезом. Однако для одного, практически очень важного класса задач, аппарат НЛ до последнего времени не применялся, а именно, для аналитического представления разрывных кривых и поверхностей. Многие исследователи и сегодня считают, что для решения указанного класса задач аппарат НЛ в принципе не применим. Эта точка зрения привела к разработке альтернативных математических аппаратов, направленных на решение указанных задач [4].

В настоящей статье показано, что на самом деле НЛ вполне применима к решению задач аналитического моделирования разрывных кривых, являющихся характеристиками систем управления и других технических систем. При этом аппарат НЛ оказывается совершенно естественным средством решения указанных задач.

Пусть имеется некоторая разрывная кривая с одним, двумя или несколькими разрывами первого рода, в которой участки между соседними точками разрыва образованы отрезками горизонтальных прямых (рис. 14). Рассмотрение только разрывных кривых простейшего вида, показанных на рис. 1-4 (стандартные разрывные кривые), не ограничивает общности, поскольку хорошо известно, что произвольные разрывные кривые с разрывами первого рода всегда можно выразить через стандартные кривые с такими разрывами [1, 2]. Например, разрывную кривую /(х), описываемую при х < а выражением / (х) , а при х > а - выражением /2 (х) (т. е. терпящую в точке а разрыв первого рода), можно представить аналитически в виде

f(x) = f\(x)I(a -x) + f2(x)I(x - a) ■

(2.1)

где I (х) - стандартная разрывная кривая простейшего вида, определяемая как

I(X) =

\, при x > 0 0, при x < 0

(2.2)

(единичная функция). Таким образом, нашу задачу, без ограничения общности, можно сформулировать как задачу аналитического моделирования стандартных разрывных кривых типа показанных на рис. 1-4 с использованным операций НЛ. Эти операции вводятся следующим образом [1-3]. Пусть С = [А, В] - отрезок на оси вещественных чисел, с серединой в точке М = (А + В)/2 . Тогда базовые операции НЛ - дизъюнкция V , конъюнкция л и отрицание вводятся в виде

a v b = max( a, b), a л b = min( a, b), a = 2M - a, a, b є C.

(2.3)

Другие возможные операции НЛ вводятся через базовые операции (2.3). Это включение

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

а з Ь = (В - а + Ь) л В ,

импликация а в Ь а ^ Ь = а V Ь , эквивалентность

(2.4)

(2.5)

а ~ Ь = (а V Ь) л (а V Ь), (2.6)

неэквивалентность (исключающая дизъюнкция) а ~ Ь = (а л Ь) V (а лЬ), (2.7)

операция Шеффера

а | Ь = а л Ь, операция Вебба

(2.8)

(2.9)

противоречие а Ф Ь = а л а , автология (а = Ь) = а V а запрет

а ^ Ь = а л Ь .

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Поскольку все введенные операции НЛ выражаются через базовые операции НЛ (2.3), можно ожидать, что существует решение поставленной задачи, если оно может быть получено в терминах только базовых операций НЛ: дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

3. ИДЕЯ РЕШЕНИЯ

Идея решения поставленной задачи проста и заключается в следующем. Рассмотрим стандартную разрывную кривую простейшего вида из числа показанных на рис. 1-4 - кривую рис. 1 с двумя участками непрерывности и одним разрывом между ними. Ее уравнение можно записать в виде совокупности двух уравнений, соответствующих двум участкам кривой

/А (х, у ) = 0 на участке А; /В (х,у ) = 0 , на участке В.

(3.1)

где /А (х, у) и /В (х, у) - функции, соответствующие

участкам А и В кривой.

В общем случае произвольная точка М = (х, у) на

рис. 1 может находиться: 1) на участке А кривой; 2) на участке В кривой; 3) вне кривой. Между этими тремя возможными положениями точки М и соответствующими значениями функций /А (х, у) и /В (х, у) имеется следующее взаимнооднозначное соответствие

случай 1: /а (х, у ) = /в (х, у ) Ф 0 ;

случай 2: /а (х,у ) ф ° /в (х,у ) = 0 ;

случай 3: /А (х,у ) Ф 0 /В (х,у ) Ф 0.

(3.2)

Предположим, что функции /А (х, у) и /В (х, у) , с помощью которых записываются уравнения (3.1) участков А и В кривой рис. 1, удовлетворяют более определенным, чем выше, условиям

/А (х,у ) > 0 вне участка А; /В (х,у ) > 0 вне участка В.

(3.3)

Условия (3.3) означают, что указанные функции, которые, будучи приравненными нулю, описывают - каждая на своем участке (см. уравнения (3.1)) - кривую рис. 1, в любых других точках рис. 1, находящихся вне этого участка, имеют положительное значение. С учетом условий (3.3) соответствие (3.2) принимает вид:

случай 1: /а (х, у ) = ° /в (х, у ) > 0 ;

случай 2: /а (х,у) > 0, /в (х,у) = 0 ; (3.4)

случай 3: /А (х,у) > 0 или < 0, /В (х,у) > 0 или < 0.

Из (3.4) видно, что функция /(х,у) , обращающаяся в нуль на кривой рис. 1 и не равная нулю вне этой кривой, имеет вид:

/(х у) = /а (х у) л /в (х у) , (3 5)

где л - операция конъюнкции НЛ. Таким образом, уравнение кривой рис. 1 записывается с помощью введенной функции / (х, у) как

/(x, у) = 0 . (3 6)

После подстановки в (3.6) выражения этой функции

(3.5) получим явную форму искомого уравнения кривой рис. 1

/а (х,у) л /в (х, у) = 0 , (3.7)

выраженную через уравнения (3.1) обоих участков этой кривой. Как видно из (3.7), если функции /А (х,у) и

/В ( х, у) , с помощью которых записываются уравнения (3.1) участков А и В разрывной кривой рис. 1, удовлетворяют условиям (3.3), эти частные уравнения можно «сшить» в единое уравнение (3.7) кривой с помощью операции конъюнкции НЛ. Таким образом, для получения уравнения разрывной кривой рис. 1 надо представить участки А и В такими уравнениями (3.1), в которых представляющие функции / А и /В удовлетворяют условию (3.3).

Описанный «метод сшивания» пригоден для получения не только уравнения простейшей разрывной кривой рис. 1 с двумя участками, но и уравнений любых стандартных разрывных кривых. Так, для кривой рис. 2 с тремя участками непрерывности и двумя разрывами между ними описывающее ее уравнение можно представить по участкам в виде совокупности трех уравнений, соответствующих трем участкам кривой

/А (х, у ) = 0 на участке А;

/В (х,у ) = 0 на участке В; (3.8)

/с (х, у ) = 0 на участке С,

где .[а (х у) , /в (^ у") и /с (^ у) - функции, соответствующие участкам А, В и С кривой. Если эти функции удовлетворяют условиям типа (3.3)

/А (х,у ) > 0 вне участка А;

/В (х,у) > 0 вне участка В; (3.9)

/с (х, у) > 0 вне участка С,

то имеется следующее взаимнооднозначное соответствие между различными возможными положениями

произвольной точки М (х, у) на рис. 2 и значениями функций [а , [в и Iс

случай 1: М находится на участке А кривой,

/а (х, у) = 0, /в (х, у) > 0, /с (х, у) > 0 ; случай 2: М находится на участке В кривой,

/в (х, у) = 0, /а (х, у) > 0, /с (х, у) > 0; случай 3: М находится на участке С кривой,

/с (х,у) = 0, /а (х,у) > 0, /в (х,у) > 0 (3.10)

случай 4: М находится вне кривой,

/а (х, у) > 0 или < 0, /в (х, у) > 0 или < 0, /с (х, у) > 0 или < 0.

Как видно из (3.10), функция /(х,у) , равная нулю на кривой рис. 2 и отличная от нуля вне этой кривой, имеет вид

/(х,у) = /а (х,у) л /в (х,у) л /с (х,у) . (3.11)

Таким образом, если функции /А, /В и /с , которые описывают уравнения (3.8) участков А, В и С кривой рис. 2, удовлетворяют условиям (3.9), то явная форма уравнения кривой рис. 2 в терминах операций НЛ такова

/а (х,у) л /в (х,у) л /с (х,у) = 0 . (3.12)

Так что, как видим из (3.12), и в случае разрывной кривой рис. 2 с тремя участками непрерывности, если функции /А (х, у) , /В (х, у) и /с (х, у) , с помощью которых записываются уравнения (3.8) участков А, В и С кривой, удовлетворяют условиям (3.9), эти частные уравнения сшиваются в общее уравнение (3.12) кривой с помощью операции конъюнкции НЛ.

Аналогично, уравнение разрывной кривой рис. 3 с четырьмя участками непрерывности (и тремя разрывами между ними), которые описываются уравнениями

/А (х, у ) = 0 на участке А;

/В(х,у) = 0 на участке В; (3.13)

/с (х, у ) = 0 на участке С;

/п (х, у ) = 0 на участке В

с функциями / (•) , удовлетворяющими условиям /А (х, у ) > 0 вне участка А;

/В (х,у) > 0 вне участка В; (3.14)

/с ( х , у ) > 0 вне участка С;

/п (х, у ) > вне участка В,

записываются с помощью операций НЛ в виде

/а (х,у) л /в (х,у) л /с (х,у) л /0 (х,у) = 0 . (3.15)

Вообще, если имеется разрывная кривая типа показанных на рис. 1-4 общего вида (см. рис. 4), с произвольным числом п +1 участков А1,...,Ап+1 (и п разрывами между ними), описываемых уравнениями

/А (ху) = 0 А 6 {А1,...,Ап+\}, (3.16)

с функциями / (•) , удовлетворяющими условиям

/А (х, у ) > 0 вне участка А, А 6 {А¡,..., Ап+г}, (3.17)

то с помощью метода, продемонстрированного выше, уравнение этой кривой можно записать с помощью операций НЛ в виде

Л, /а (Х У) = 0 .

(3.18)

^{А.-Л+і)

Из изложенного следует, что поставленная задача аналитического моделирования стандартных разрывных кривых типа показанных на рис. 1-4, с использованием НЛ, сводится к гораздо более простой задаче аналитического моделирования отдельных непрерывных участков таких кривых, имеющих вид отрезков горизонтальных прямых, с использованием той же НЛ. При этом функции /А (х, у) , с помощью которых описываются указанные участки (см. уравнения (3.1), (3.8), (3.13), (3.16)), должны быть положительными на всех других участках (см. условия (3.3), (3.9), (3.14), (3.17)), что, как мы увидим ниже, легко достижимо.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ УЧАСТКОВ СТАНДАРТНЫХ РАЗРЫВНЫХ КРИВЫХ

Как следует из рис. 1-4, имеются всего три типа горизонтальных непрерывных участков стандартных разрывных кривых. Первый тип представляет собой ограниченный слева и неограниченный справа горизонтальный отрезок В , задаваемый в виде системы уравнений и неравенств

У = Ь х > а

Перепишем эту систему в виде

У - Ь = 0 а - х < 0

(4.1)

(4.2)

В терминах операции НЛ - дизъюнкции V - систему (4.2) можно представить как одно уравнение

/в (х>У) = (У - Ь) V (а - х) = 0 .

(4.3)

Итак, любая точка (х, у) на изучаемом отрезке (4.1) удовлетворяет уравнению (4.3). С другой стороны, любая точка (х,у) , находящаяся вне отрезка (4.1), удовлетворяет хотя бы одному из условий: 1) у > Ь , 2) У < Ь , 3) х < а, вследствие чего для нее не выпол-

няется уравнение (4.3). Таким образом, уравнение (4.3) является уравнением ограниченного слева и неограниченного справа горизонтального отрезка типа (4.1), записанным с помощью операции V НЛ. При этом за пределами отрезка, т. е. при х < а , левая часть уравнения (4.3) положительна, т. е. выполнено условие (3.17).

Второй тип горизонтального участка стандартных разрывных кривых (рис. 1-4) представляет собой ограниченный справа и неограниченный слева горизонтальный отрезок А , задаваемый системой уравнений и неравенств

У = Ь х < а

Переписав систему (4.4) в виде

У - Ь = 0 х - а < 0

(4.4)

(4.5)

аналогично предыдущему представляем ее единым логическим уравнением

/а (хУ) = (У - Ь) V (х - а) = 0

(4.6)

и убеждаемся, что любая точка (х, у) на изучаемом отрезке (4.4) удовлетворяет уравнению (4.6), а любая точка вне этого отрезка не удовлетворяет ему. Так что уравнение (4.6) есть уравнение ограниченного справа и неограниченного слева горизонтального отрезка типа (4.4), записанное с помощью операции V НЛ. Причем за пределами отрезка, т. е. при х > а , левая часть уравнения (4.6) положительна, т. е. выполнено условие (3.17).

Наконец, третий тип горизонтального участка стандартных разрывных кривых (рис. 1-4) является ограниченным слева и справа горизонтальным отрезком С , который можно задать в виде системы уравнений и неравенств

У = Ь х > а х < с

К а < с .

(4.7)

Систему (4.7) можно переписать в виде

У - Ь = 0 а - х < 0 х - с < 0

а < с .

(4.8)

Системе (4.8) соответствует единое логическое уравнение вида

/с (хУ) = (У - Ь) (а - х) (х - с) = 0 .

(4.9)

Аналогично предыдущему убеждаемся, что любая точка ( х, у) на отрезке (4.7) удовлетворяет уравнению

(4.9), а любая точка вне этого отрезка не удовлетворяет

ему. Поэтому уравнение (4.9) и есть нужное нам уравнение ограниченного слева и справа горизонтального отрезка типа (4.7), записанное с помощью операции V НЛ. При этом опять за пределами отрезка, т. е. при (х < а) и(х > с), левая часть уравнения (4.9) положительна, т. е. выполнено условие (3.17).

Итак, все три возможных типа горизонтальных непрерывных участков стандартных разрывных кривых вида рис. 1-4 можно аналитически моделировать соответствующими логическими уравнениями (4.3), (4.6),

(4.9) со специальной (удовлетворяющей дополнительному свойству (3.17)) левой частью.

5. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ СТАНДАРТНЫХ РАЗРЫВНЫХ КРИВЫХ

Как показано в § 4, любой горизонтальный непрерывный участок А стандартной разрывной кривой типа показанных на рис. 1-4 можно промоделировать аналитически в виде уравнения (3.16) с помощью некоторой функции /А (х, у) , сформированной с помощью операций вычитания и непрерывно-логической дизъюнкции и удовлетворяющей условию (3.17). Это открывает возможность общего логико-аналитического моделирования указанных разрывных кривых путем «сшивания» уравнений их отдельных непрерывных горизонтальных участков в единое уравнение всей разрывной кривой (см. § 3).

Начнем с вывода логического уравнения простейшей стандартной разрывной кривой с двумя участками непрерывности и одним разрывом между ними (рис. 1). Согласно § 3, общий вид уравнения этой кривой есть (3.7), при условии, что 1) уравнения первого (А) и второго (В) ее участков имеют вид (3.1) и 2) входящие в эти уравнения функции - левые части /А (х, у) и /В (х,у) удовлетворяют условиям (3.3). Но, согласно § 4, уравнение участка А есть уравнение (4.6), при Ь = Ь , а = а, уравнение участка В - это уравнение

(4.3) при Ь = Ь2 , а = а1. При этом оба уравнения имеют вид (3.1), а их левые части /А (х,у) и /В(х,у) удовлетворяют условиям (3.3). Следовательно, уравнение кривой рис. 1 имеет вид (3.7). Подставив в (3.7) конкретизированные согласно вышеуказанному левые части уравнений участков А и В - функции /А (х, у ) и /В (х, у ), получим искомое уравнение кривой рис. 1 с двумя участками непрерывности и одним разрывом между ними в форме

[(у - Ь1) (х - а1)]л [(у - Ь2 ) (а1 - х )] = 0 . (51)

нения первого (А), второго (С) и третьего (В) ее участков имеют вид (3.8); 2) входящие в эти уравнения функции - левые части /А (х, у) , /В (х, у) и /с (х, у) удовлетворяют условиям (3.9). Согласно § 4, уравнение участка А есть уравнение (4.6) при Ь =Ь , а=а , уравнение участка С - уравнение (4.9) при Ь = Ь2, а = а1, с = а2, уравнение участка В - уравнение (4.3) при Ь = Ь3, а = а . При этом все три уравнения имеют вид (3.8), а их левые части /А (х,у) , /В (х, у) и /с (х, у) удовлетворяют условиям (3.9). Следовательно, уравнение кривой рис. 2 имеет вид (3.12). Подставив в (3.12) конкретизированные, как сказано выше, левые части уравнений участков А, В и С, т. е. функции [а (X у"), [в (X у") и [с (х у) , получим нужное уравнение кривой рис. 2 с тремя участками непрерывности и двумя разрывами между ними в фор-

[(у - Ь) V (х - а1)] л [(у - Ь2) V (а1 - х ) V V (х - а2 )] л [(у - Ь3) V (а2 - х )] = 0.

(5.2)

Из (5.2) следует, что уравнение кривой содержит в левой части 7 алгебраических операций вычитания «-», 4 логические операции дизъюнкции НЛ « V » и 2 логические операции конъюнкции НЛ « л ». Т. е. на один участок (разрыв) кривой в ее уравнении приходится: 1) 2 операции «-» на каждый из двух крайних участков плюс 3 такие операции на средний участок; 2) 1 операция « V » на каждый из двух крайних участков плюс 2 такие операции на средний участок; 3) 1 операция « л » на каждый разрыв кривой.

Методика, использованная выше для вывода логического уравнения стандартной разрывной кривой с тремя участками непрерывности и двумя разрывами между ними (рис. 2), остается в силе и для произвольных кривых этого класса, содержащих произвольное число участков непрерывности и разрывов между ними. При этом необходимо лишь учитывать, что последовательное усложнение этих кривых проявляется только в увеличении числа их средних участков, при постоянстве числа крайних участков, равного двум. Этим путем, например, для кривой с четырьмя участками непрерывности (два крайних и два средних) и тремя разрывами между ними (рис. 3) получим следующее уравнение

[(у - Ь) V (х - аЛ л [(у - Ь2) V (ах - х) V (х - а2)] л л [(у - Ь) V (^ - х) V (х - а})] л [(у - 64) V (а} - х)] = 0.

Как видно из (5.1), наше уравнение содержит в левой части 4 алгебраические операции вычитания «-»,

2 логические операции дизъюнкции НЛ « V » и 1 логическую операцию конъюнкции НЛ « л », т. е. 2 операции «-» и 1 операцию « V » на один участок и 1 операцию « л » на один разрыв кривой.

Используем тот же прием для вывода логического уравнения следующей по сложности стандартной разрывной кривой, имеющей три участка непрерывности и два разрыва между ними (рис. 2). Общий вид уравнения этой кривой есть (3.12), при условии, что 1) урав-

Уравнение (5.3) содержит в левой части 10 алгебраических операций вычитания «-», 6 логических операций дизъюнкции НЛ « V » и 3 логические операции конъюнкции НЛ « л ». Таким образом, на один участок (разрыв) кривой в ее уравнении приходится: 1) 2 операции «-» на каждый из двух крайних участков и

3 операции «-» на каждый средний участок; 2) 1 операция «V» на каждый из двух крайних участков и 2 операции « V » на каждый средний участок; 3) 1 операция « л » на каждый разрыв кривой.

ме

В общем случае, для произвольной стандартной разрывной кривой с п +1 участками непрерывности и п разрывами между ними, п > 1 (рис. 4), уравнение будет иметь следующий вид:

[(у - Ь1) V (х - а1) л

л ^/\ [(у - Ьг+1 ) V (аг - х ) V (х - аг+1 )]| л (5.4)

л [(у - Ьп+1) V (ап - х )] = 0

На один участок (разрыв) стандартной разрывной кривой общего вида в ее уравнении (5.4) приходится такое же число различных операций, как и для кривой с четырьмя участками и тремя разрывами между ними (см. пояснения к уравнению последней (5.3)). Это позволяет легко сосчитать общее число различных операций, необходимых для логического моделирования произвольной стандартной разрывной кривой с п +1 участками непрерывности и п разрывами между ними с помощью уравнения (5.4). Обозначив Иа(п) число

операций типа « О », а N(п) - общее число операций всех типов, получим

N- (п) = 2 + 2 + 3(п -1) = 3п +1,

NV (п) = 1 +1 + 2(п -1) = 2п,

Nл (п) = 1 +1 + (п - 2) = п,

N (п) = ^ (п) + ^ (п) + Nл (п) = 6п +1.

(5.5)

Как видно из оценок (5.5), трудоемкость логического моделирования стандартных разрывных кривых уравнениями вида (5.1 )-(5.4), измеряемая числом операций различного вида в этих уравнениях, а также суммарным числом этих операций, растет линейно

относительно числа п разрывов кривой. Это позволяет моделировать с помощью указанных уравнений кривые практически неограниченной сложности (с практически неограниченным числом разрывов).

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей статье показана возможность аналитического моделирования произвольных разрывных кривых, практически неограниченной сложности, с использованием операций непрерывной логики. Таким образом, теперь можно говорить о логическом моделировании разрывных кривых. Это открывает возможность последующего формализованного логического синтеза таких кривых, с использованием хороших конструктивных качеств языка алгебры логики (в данном случае - непрерывной логики), позволяющего, как видно из статьи, выражать разрывные функции в виде логико-алгебраической суперпозиции непрерывных функций. Последние, как хорошо известно, могут быть легко реализованы как схемным, так и программным путем и, таким образом, могут быть взяты за элементарные функции при указанном логическом синтезе разрывных кривых.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гинзбург С.А. Непрерывная логика и ее применения // А и Т. 1967. № 2. С. 115-132.

2. Левин В.И. Непрерывная логика и ее применение. I, II // А и Т. 1990. № 8. С. 3-22; № 9. С. 3-26.

3. Левин В.И. Методы непрерывной логики в задачах управления // А и Т. 2003. № 3. С. 28-51.

4. Волгин Л.И. Предикатная алгебра выбора и ее модификации // Опыт, результаты, проблемы повышения конкурентоспособности радиоэлектронной аппаратуры. Вып. 4. Таллинн: Валгус, 1986. С. 64-104.

Поступила в редакцию 26 октября 2004 г.