CC BY
36
УДК 621.762.53
Р. Д. Баширов
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ В СТЕНКЕ ВТУЛКИ ЦИЛИНДРА ПРИ ЦЕНТРОБЕЖНОМ ИНДУКЦИОННОМ НАПЕКАНИИ
При проведении индукционного напекания нами экспериментальным путем определено распределение температуры по диаметрам и по длине втулки, а также найдена рациональная температурно-временная область [1]. Большой интерес представляет моделирование распределения температуры в стенке втулки цилиндра при центробежном индукционном напекании (ЦИН) в зависимости от времени напекания, а также с учетом геометрических параметров втулки, теплоотдачи, теплопроводности, материала втулки, температуры окружающей среды и т. д.
С учетом этих параметров нами аналитически решена задача по моделированию температуры в стенке втулки цилиндра при ЦИН.
Пусть начальное распределение температуры задано в виде Т = 0. Считаем, что начиная с некоторого момента ґ = 0 внутренняя поверхность втулки цилиндра за счет температуры напекания приобретает постоянную температуру Т0, т. е. полагаем, что внутренняя поверхность втулки цилиндра при г = г1 приобретает температуру Т0 внезапно.
Краевая задача теории теплопроводности о распределении температурного поля в стенке втулки цилиндра запишется в виде:
Здесь Т(У, г) - температурная функция; а* - коэффициент теплоотдачи; а - коэффициент температуропроводности; 1 — коэффициент теплопроводности материала втулки; Тс - температура окружающей среды, которую без нарушения общности можно считать равной нулю.
Для решения краевой задачи (1)-(3) используем преобразование Лапласа. Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (1) с граничным и начальным условиями (2)-(3).
Таким образом, преобразование Лапласа свело дифференциальное уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению:
д Т
а
( д 2 Т 1 д Т -------— +------------
ч д г2 2 д г
, Г1 < г < Г2 ,
(1)
д ґ
Т = Т0 при г = г , ґ > 0;
(2)
ґ > 0,
(3)
Т = 0 при ґ = 0 г < г < г2 .
ё2Т 1 ёТ
+ — •
ёг 2 2 ёг
- д2 Т = 0, г < г < г2
(4)
где д = — .
а
Граничные условия для изображения функции примут вид: т~ Т 0
Т = -р- при г = г1;
Л ёТ -
1-+ а *Т = 0 при г = г2.
ёг
(5)
Уравнение (4) представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка. Решение (4) можно записать в следующей форме:
Т = А1 о( дг ) + ВК о (яг ) , (6)
где I о (яг) и К о (дг) - функции Бесселя мнимого аргумента.
Постоянные А и В выбираются так, чтобы Т удовлетворяло условиям (5).
Подставляя их в решение (6), получим:
АІ0 (Чг 1) + ВК 0 (дг1 )= ■
(7)
я[А11 (дг2) — ВК 1 (яг2)]+ [А1 о (яг2) + ВК о (яг2 )] = 0 .
Решая полученную систему двух уравнений относительно А и В, окончательно получим:
А -Аі. •
А = а ;
В =
а.
а
Т
А1 = Т-°-
1 р
а і
Т0
р
■К0(дг2)- дКі(дг2)
а *
д11(чг 2) + 10(дг 2)
(8)
А=7 0 (дгі) - ^ 0 (дг і)
^ 0 (дг2)- д^і (дг2)
ді і (дг 2 )+ О-10 (дг 2 )
Теперь, чтобы найти температурную функцию Т, надо использовать теорему обращения. Согласно этой теореме
1 у
2 Р I у — ( ¥
где у должна быть настолько большой величиной, чтобы все особые точки функции Т (е) лежали слева от линии (у — /¥, у + /¥).
Подынтегральная функция является однозначной функцией от е с простым полюсом при е = о и простыми полюсами при е = — ааД , где ± а -корни уравнения
Го (аг1)
«Л (аг2)—-а*3 о (аг2)
— 3 о (аг1)
аГ1 (аг2)—а;1 Го (аг2)
= о.
(9)
Корни уравнения (9) действительные и простые. Не останавливаясь на нахождении вычетов подынтегральной функции в полюсах, приведем окончательную формулу для температурной функции:
Т(V)= Т^[Х — а-г-1"(^г= )] — „£е-а^ X
Аг1 + а, г1г21п(г2 / г1) п=\
Х Т° ^101 П ) {Ха п 31 (г2 а п ) — а"7о (г2 а п )}2 .
Р (а п )
Здесь ап — корни уравнения (9).
^ (а п ) = (д2 а п2 +а,2) [/ о (г1а п )]2 — [Да п^1 (г2 а п) —а, 3 о (г2 а п)] р1 (г1ап ) = — 3о (гап ) Г (г1ап ) + Го (гап К (г1ап )
(1о)
(11)
Полученные формулы (1о) и (11) дают возможность определить распределения температуры в стенки втулки цилиндра при индекционном центробежном напекании. Задаваясь числовыми значениями параметров центробежного индукционного напекания, по вышеуказанным формулам можно определить распределение температуры в стенке втулки цилиндра.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Баширов Р. Д. Определение оптимальной температурно-временной области при индукционном напекании втулки цилиндра // Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта: Материалы третьей регион. науч.-техн. конф. / НГМА. - Новороссийск, 2оо2. - С. 15о-153.
2
