Моделирование распределения напряжений с учетом зависимости упругих характеристик материала в стенке втулки цилиндра при центробежном индукционном напекании Текст научной статьи по специальности «Физика»

Р. Д. Баширов

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛА В СТЕНКЕ ВТУЛКИ ЦИЛИНДРА ПРИ ЦЕНТРОБЕЖНОМ ИНДУКЦИОННОМ НАПЕКАНИИ

В процессе центробежного индукционного напекания (ЦИН) стенки цилиндра подвергаются давлению порошкового слоя и центробежной силы. При высоких температурах упругие характеристики материала втулки, которые имеют немаловажное значение при ее напряженном состоянии, зависят от температуры нагрева.

Решим задачу моделирования напряжения в стенке втулки цилиндра при ЦИН с учетом зависимости модуля упругости и коэффициента линейного расширения от температуры.

Основные уравнения теории упругости для рассматриваемого осесимметричного случая имеют [1] вид:

- уравнение равновесия:

л 2 2

й а г ую р .

а г - а е + р —= 0; (1)

й Р Я

- уравнение совместности деформаций:

е е - е г + Р -^Р-^ = 0 ; (2)

й р

- физические уравнения, связывающие деформацию с напряжениями:

ег = -1 [аг -т(ае + аг)]+ет ; (3)

Е

ее = ~ [а е - т (а г + а г )]+е т ; (4)

Е

= 1 [аг - т(аг + ае )]+ е;

Е

(5)

т Ли и

где ет = Iа*йт ; ег = —; ее = —;

0 й Р Р

и - радиальное перемещение; р = г/г2 - безразмерный текущий радиус втулки цилиндра.

Система уравнений (1)-(5) путем несложных преобразований сводится к одному уравнению относительно аг. Подставим для этого ег и ее из

е г

(3) и (4) в уравнение совместности деформаций. Используя в преобразованиях формулы (1) и (5), получим следующее уравнение:

dp ^p 1-m dp Edp) dp

і + 4 m dm + і - 2 m 1 dE ] о r _ ^

і - m2 d p і - m e d p) p

E 1 d Г ( M (3 + m) 2 (, p dE

_----(-^Гєг(1 + mll--— у®211 -tt -t

p (1 -m ) d p g ^ Ed p

Считаем, что зависимости Е(Т), m(T) и а*(Т) нам известны. Неоднородность цилиндра заключается в зависимости Е, m и а от радиуса, что обусловлено в рассматриваемом случае влиянием неравномерного температурного поля.

Граничные условия для рассматриваемой задачи имеют следующий вид: or= -P при r = r1 или p _ m ; (7)

or = 0 при r = r2 или p = 1,

где величина давления P порошкового слоя на внутреннюю поверхность втулки определяется соотношением [2]

2

P _J~f~ (Г!2 - Го2).

2g

Для решения краевой задачи (6) и (7) будем использовать приближенные аналитические методы решения.

1. Метод малого параметра.

Рассмотрим случай, когда коэффициент Пуассона m - постоянная величина. При m = const уравнение (6) примет следующий вид:

2о ( 3 1 dE ]

d о

dp2

dor 1 - 2m 1 dE or

p E dp) dp 1 -m E dp p

E 1 deT (3 + m) 2 (, p dE ]

(8)

р (1 -т) Ф ё УЮ Г Е Ф

В качестве малого параметра е примем

е = 1 - 2 т .

Решение дифференциального уравнения (8) ищем в виде

а( = а(.0) + | еЧи). (9)

П_1

Здесь аГ0), аГ1, аГ2 ..., а) - неизвестные пока функции. Для граничных условий согласно (9) находим:

- для нулевого приближения:

а(° = -Р при ( = (1; (10)

а (° = 0 при ( = (2;

- для первого приближения:

а (1) = 0 при ( = (1; (11)

а1 = 0 при ( = (2;

- для г-го приближения:

а ) = 0 при ( = (1; (12)

а^ = 0 при ( = (2.

Используя процедуру метода малого параметра к уравнению (8), получим после некоторых преобразований последовательность уравнений

для нахождения всех неизвестных функций а (Я^, а (Р, а ..., а ((г) :

ё2а(0) Г 3 1 ёЕ I ёа(0)

+13 - ~ ёЕ | ^=^ (13)

ёр ^ р Е ёр) ёр

й2 а Ч ( 3 1 йЕ Ї й а

й р ^ р Ей р ) й р й 2а (") Г 3 1 йЕ X йа 1”

-= А,

(14)

(15)

Здесь

= _ Е. .йь. _(3+т)ую2 Г1 __р. йЕ X.

А =----------т-----------V — — 7® і і ■

р (і _ т) йр g ^ е йр

А = і. йЕ.

1 р і _ т е йр ’

. 1 а1”_1) 1 йЕ

А„ =--------------

”

р 1 _ т е йр

Решение уравнений (13)-(15) можно выразить в квадратурах. Окончательно имеем:

Г I ТГ Р г.3

= Л? Iл-Ртф+с“

т I г т

^р + с2(п)

Произвольные постоянные С(п), С2и) (п = 0, 1, 2...) определяются из граничных условий (10)-(12).

Используя граничные условия и решение (16), находим значения произвольных постоянных С1(п), С2п) (п = 0, 1, 2...):

1 Е

Р - / ?ъф ' Р >

С” = -г1?-; С2"' = -Р; ъ = /л„ Еф;

г Е : Е

[ -г Ф т (17)

т Р

с(п) =-Іл« ргФ; с2(и) = о (п = 1 2,...).

тЕ

Входящие в решение интегралы целесообразно вычислять численно. Будем использовать метод Симпсона. Разобьем отрезок интегрирования [т, 1] на четное число п равных частей с шагом Д р.

Для определения значения определенного интеграла используем формулу

І Г <Р>Ф.4Г |7 <р о'+4[/ <Р'> + / 'Рз' +'/(Р-)|+г

3 1 + 2[/ <Р2> + 7 (р 4 > + —7 <Р«-2 )]+ ¡<рп >1

3>

п-2 >

После определения Сг вычисляются остальные компоненты напряжений и деформаций. Из уравнения (1) находим окружное напряжение Се в виде

Ас УЮ2Р2

V + УЮ Р Ар р

се=сг +Р-Т + ^^. (18)

Решение (9) является знакочередующимся рядом (в этом убеждаемся при расчетах) и при малом значении параметра е быстро сходится. Достаточно в расчетах ограничиться тремя первыми членами решения (9).

2. Метод коллокации.

Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент Пуассона т зависит от температуры и тем самым от координаты Р .

т

Решение граничной задачи (6), (7) ищем в виде

С = /о + X Сп/п.

(19)

Здесь/.,/1,/2, ... /, — выбранные базисные функции, а С1, С2 ... Сп— постоянные, пока неизвестные. Функция / должна удовлетворять заданным граничным условиям (7), а остальные базисные функции/1,/2, ... /п — соответствующим однородным краевым условиям.

Выбираем базисные функции следующим образом:

/. =—Г. - —=1(1—Рп) (п - 1, 2 п

1 — т ^ р)

При таком выборе решение (19) примет следующий вид:

с, =-®-Р> + &п

1 - т п=1

('-рп )■

(20)

Для определения искомых коэффициентов Сп (п = 1, 2 ... , Ы) воспользуемся методом коллокации. Для этого подставим сг согласно (15) в дифференциальное уравнение (6) и потребуем его тождественного удовлетворения в N точках коллокации, лежащих внутри интервала интегрирования (т < рк < 1, к =1, 2, ... Ы). В результате получим систему N алгебраических уравнений для определения искомых коэффициентов Сь С2, ... , СЫ:

+ в1(рк)

X Сп {-Ц-1 -РП)- 2тпрП

'=1 { Р2

-рп )-

п-2 -п(п-1)

V

1 т

Рк

„и-1 .

Рк +

/

т и

Р2

V

прП-1

- В2 (Рк )

V

Рк

-р2 )

=-в1(рк І

р

+ В(Рк)[ р(1 Рк)] -Вз(Рк)

1 — т ) 1 — т

(к = 1, 2, ... , Ы).

Здесь были приняты следующие обозначения:

„ / \ „ 2 т а т р аЕ •

В1 (р)= 3 —-,—

1 — т2 а р е а р

В (р) 1+4т Ф , 1—2т 1 йЕ;

В2(р)--------т“-“Г + ^--------й • ~Г;

1 — т 2 ар 1—т е ар

(21)

в,(р)= —■-[(1+ Л,]+(3 + т)тю’ри--Р ^ 1

1 -т2 Ф р,ТІ 8 ^ Е ф)

N

П = 1

Искомое напряжение Сг находится по формуле (19), а входящие в него коэффициенты Сп - из решения линейной алгебраической системы (21).

Используя уравнение равновесия (1) и соотношение для напряжения Сг (19), получим формулу для окружных напряжений Се.

N

1 — т

п-1

1 —рп)—11 — т |пр"

Полученные формулы (18) и (22) дают возможность определить напряжения, возникающие в стенке втулки цилиндра при центробежном индукционном напекании.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Мирсалимов В. М., Емельянов В. А. Напряженное состояние и качество непрерывного слитка. - М.: Металлургия, 1990. - 151 с.

2. Баширов Р. Д. Определение напряжений в стенке втулки цилиндра при индукционном напекании // Судостроение. - 2002. - № 4. - С. 62-63.