Моделирование распределения поля в магнитных системах электротехнических устройств с использованием нелинейных многополюсников Текст научной статьи по специальности «Физика»

Моделирование распределения поля в магнитных системах электротехнических устройств с использованием нелинейных

многополюсников

А.Н. Ткачев, А.И. Кондратенко

Южный Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, Новочеркасск

Аннотация: Рассматривается задача моделирования распределения магнитного поля в магнитопроводах электротехнических устройств с целью оценки их характеристик в режимах эксплуатации. Проблема сводится к решению краевой задачи для уравнения эллиптического типа в ферромагнитной среде с нелинейными характеристиками. Для расчета предложено использовать блочные элементы в виде многоугольников произвольной конфигурации, которые рассматриваются как нелинейные многополюсники. Вебер-амперные характеристики многополюсников находятся в результате решения краевых задач для многоугольников, образующих блочные элементы. Краевые задачи решаются с использованием комплексного метода граничных элементов, что обеспечивает прямое нахождение уравнений связи между магнитными напряжениями и потоками многополюсников.

Нелинейность характеристик учитывается по найденному в результате расчета распределению поля на границе многополюсников путем корректировки магнитных проницаемостей блочных элементов, которая выполняется итерационно. Ключевые слова: электротехническая система, магнитная цепь, краевая задача, блочный элемент, многополюсник, комплексный граничный элемент, матрица проводимостей.

Методы теории цепей широко используются для моделирования различных технических систем [1,2]. Так, схемы замещения магнитопроводов электротехнических устройств применяются для анализа распределения поля в их элементах [1,2], особенно на этапах проектирования или оптимизации, когда возникает необходимость выполнения многовариантных расчетов. При этом на точность расчетов существенное влияние оказывает выбранная топология схемы замещения и магнитные характеристики ее элементов, которые при насыщении электротехнической стали в реальных режимах эксплуатации описываются нелинейными зависимостями.

Сложившиеся подходы к построению схем замещения не являются формализованными, в основном основываются на эвристических

допущениях о характере пространственного распределения поля в магнитных системах. Это не только ограничивает возможности применения магнитных цепей для моделирования распределения поля в магнитопроводах электротехнических систем, но и делает проблематичным такое приближение в тех случаях, когда локальное перемагничивание стали носит пространственный характер.

Ниже описан формализованный подход к построению схем замещения магнитопроводов электротехнических устройств с помощью нелинейных многополюсников, которые могут быть использованы для приближенного анализа распределения магнитного поля при любых режимах локального перемагничивания.

Рассмотрим следующую типовую задачу, к решению которой сводится расчет поля в магнитных системах. Пусть область О на плоскости с границей Ь (рис.1) заполнена ферромагнитной средой с нелинейными характеристиками, которые задаются магнитной проницаемостью Н). При

этом В = ц(Н )Н, где В, Н - индукция и напряженность магнитного поля соответственно.

Тогда магнитное поле в области О описывается системой уравнений

Рис. 1. - Расчетная область

тоШ = 0 ; сНуВ = 0 ; В = уШ .

(1)

Будем считать, что на участках Ц, г = 1, р, границы Ь области О известна либо касательная составляющая напряженности магнитного поля Н т, либо нормальная составляющая индукции Вп:

; г = 1Р ; (2)

Нх| Ь = Н 0

я I =я°

Вп\ц Вп

Ь

Ь

г = 1Р , (3)

где Н0, вП - известные на участках Ьг границы Ь функции. В дополнение к граничным условиям (2), (3) будем считать заданными магнитные потоки через участки границы Ьг, на которой задана напряженность поля:

$Впй\ = Ф0 , (4)

Ц

где Ф0 - известные значения магнитного потока через соответствующие участки границы Ц.

Заметим, что на границе Ь области выполняются следующие соотношения: $ВШ = 0;

Ь

$ Ней = 0.

Ь

Поэтому условия (2), (3) и последние равенства должны быть согласованы.

Для моделирования распределения поля в области О будем использовать блочные элементы [8,9], которые строятся с использованием двух допущений, характерных для расчета поля в нелинейных средах. Блочным элементом в дальнейшем будем называть любой многоугольник, расположенный в области О , в пределах которого поле меняется так, что магнитную проницаемость в его отдельных точках можно считать

постоянной. Заметим, что такая линеаризация является стандартным приемом при численных расчетах физических полей в нелинейных средах.

С учетом уравнений (1) при принятом допущении, магнитное поле в каждом многоугольном элементе разбиения Qк с границей Г описывается системой уравнений:

rotH = 0 ; divB = 0 ; B = ц^Н; ц^ = const. (5)

При этом на общих участках rrs границ элементов Q r, Q s должны

выполняться условия сопряжения

н{г) = h[s )

X г X

Г

B (

(r ) = B(s )

г

г

(6)

где в левой и правой частях приводятся предельные значения касательной составляющей напряженности и нормальной компоненты индукции со стороны элементов Qr, Qs соответственно.

С учетом уравнений (5) поле H в каждом элементе разбиения Qк можно описать с помощью двух потенциалов u(x, y) или v(x, y), равных:

H = gradu; H = rot (vez).

При этом оба потенциала в области Qr являются гармоническими функциями и на общих участках границы rrs удовлетворяют условиям

u (r) = u (s)

г

г

ц r

au(r)

Ц rv

(r )

г

= ц sv

(s )

an av(r)

=ц

au(s)

г

г

an

an av(s)

г

г

an

(7)

(8)

г

Каждому блочному элементу • •}) с границей

Г(Ге{Г1, Г2, • • }) поставим в соответствие многополюсник так, как это показано на рис. 2.

ип

Рис.2. - Блочный элемент, совмещенный с многополюсником Опишем алгоритм нахождения матриц проводимостей У и сопротивлений 2, связывающих магнитные потоки Ф г поля

В = |Н (|1 = , к = 1,2,...) через сечения, совпадающие с ребрами , с магнитными потенциалами и ^, определяемыми через поле Н. Уравнения связи зададим равенствами:

Ф = Уи; и = 2Ф; (9)

Ф = (ФЬФ2,..,Фп); и = (иьи2,...,ип).

Заметим, что введенные магнитные потенциалы и, V являются сопряженными функциями. Поэтому их можно рассматривать как действительную и мнимую части некоторой аналитической в области Q функции комплексного переменного:

ю(2) = и(2) + гу(2) . (10)

При этом гармоническая функция и(х,у), определена с точностью до постоянного слагаемого, а все функции v(x,y), сопряженные с функцией и(х,у), также могут отличаться только на постоянную [9,10]. Обеспечивая

единственность решения, достаточно положить в каких-либо двух точках М, ЫеГ:

u(м) = 0, 0. (11)

Для аналитической однозначной функции ю(z) (10) в односвязной области О справедлива интегральная формула Коши [10]:

ш(--)=^Г ^ ^ , (12)

где направление обхода контура Г выбрано таким образом, что при обходе контура область О остается слева.

Введем в комплексной плоскости 2, систему узлов {-, ^ ^, где п - число

узлов на контуре Г. Пронумеруем узлы последовательно, начиная с единицы в положительном направлении обхода контура Г, при котором область О остается слева. На контуре Г определим п граничных элементов Г,,

следующими соотношением [9]:

п

Г = и Г,,

,=1

где Г, = \- еО; - = (1 - 5 — + ,+1, 0 < 5 < 1}; Г,-1 п Г, = ; -п+1 = -1,

причем нумерация граничных элементов соответствует нумерации узлов.

Функцию ш(-) на границе Г аппроксимируем кусочно-линейной функцией вида

п

) = Хш ,е, (-), (13)

,=1

где ш, = ю(-,), а базисная функция е, (-), соответствующая узлу -,, определяется равенством

(г _ _1 )/(г. - ) 2 е Г.ч

е1 (г) Ч(г/+1 _ г)/(г/+1 _ 2]} ге Г], (14)

0, г £ Г. _1 и Г.

Из выражения (14) следует, что функция 0(2) на Г является непрерывной и G( г ^ ) = и. + ¡у., где и., V. - значения магнитных потенциалов

в узле г.. Подставляя функцию (13) в интегральную формулу Коши (12),

получим:

©( г )=-^ $ ^ ^ , (15)

где 2 - внутренняя точка области Q (2£Г). Функция ©(г) является аппроксимирующей для функции ©(г) в области & с погрешностью, обусловленной приближением функции ©(г) кусочно-линейной функцией (13) на границе Г. С учетом (13) выражение (15) для ©(г) можно записать следующим образом:

1 п I

]

На каждом элементе Г. функция задается равенством:

С(г) = Ь (г)иу + еу+1(г)иу+1}+ г Ь (+ +1(+1} , г е Г.. (17)

Используя соотношения (17) и (14), найдем интеграл в равенстве (16) по каждому элементу Г.:

$ в(£) $ (^+1 _О©. + )©.+1 ^, ^, 2£Г. (18)

Г] г гу +1 _)(С_г)

©(г) = — ^^^ , 2£Г, 2еП . (16)

2ш .. С — г

После вспомогательных преобразований, получим из формулы (18)

I 1 ^ | ©.+1 _©. ^ ^ .

Гу С _ г г] +1 _ г] Гу С _ г ^ + 1 _ ^ Гу С _ г

Г;

С- -

Г

1 +

-

С- -

Г

dС

с-- ;

I = 1п(С--)| С--

ч+1

1п

Г;

- 7_|_1 - -

V +1

+ /0^./ +1,,):

где 6(, +1,,) - угол между лучами, соединяющими узлы -^ и -,+1 с точкой О рис.3. Запишем интеграл (18) в виде:

Г,

р(С) С--

- - ] - - +1 7

V+1-ш , + ш ,+1-1— Н, -ш ,-1—Н,+1

-,+1 +1

dС = ш,+1 - ш, + ш

Н, =1п

+1 - -

+ /0(, +1,,).

Подставив полученные выражения в формулу (16), получим

^Л 1 Л 1 п (- - )ш ,+1 - (- - -,+1)ш ,1

ш(-) = —- Х (ш,+1 - ш ,) + -— Х-—-,-, Н

2л/ , =1 2Ш ,=1 -,+1 - -,

(19)

где принято шп+1 = ш1, -п+1 = -1. Тогда первая сумма в равенстве (19) равна

нулю и, поэтому

ш (-)

1_ ^(- - )ш,+1 - (- - +1)ш, ^

2л/,=1

+1 -

(20)

к

Рис.3. - К вычислению интеграла по контуру Г

-

Равенство (20) задает аппроксимирующую функцию (15) во

внутренних точках области Q через узловые граничные значения комплексного потенциала ю.

Для определения величин ы]-, V] поступим следующим образом.

Внутреннюю точку 2 области & устремим к узлу 2 к, 2 ^ 2к, тогда, переходя к пределу в левой и правой части равенства (20), получим:

Шш й(.-) = ВШ £(2 ~ ^)ю'+1~(2 ~ 2'+1)ю' 1п

г ^ гк

2 ^¿к 2л/ ]=1

Г

]+1-2]

Г

]+1

Г

г 1 - г V ] у

Находя предел в последнем выражении, имеем

1 п

юк = ^ £ 2Л/ ] _1

] * к ] * к-1

(2к - 2] )ю]+1 - (2]+1 - 2к )ю,

1п

Г

]+1- 2]

2 ]+1 - 2к

2 1 - 2к V ] к .

+

11Ш

2л/ 2

(2 - 2к-1)юк- (2 - 2к )юк-1

1п

2к - 2к-1

2к - 2 V 2к-1 - 2 у

+

(2 - 2к )юк+1- (2 - 2к+1)юк, +--1п

2к+1- 2к

г \

2к+1- 2

2к - 2 V к у

Упростив выражение, стоящее в скобках последнего равенства,

получим:

юк

1 _ £(2к - 2])ю]+1 - (2к - 2]+1

2л/ ]_1

1п

+юк

2л/

1п

с \

2к+1- 2к

2к-1- 2к

2]+1- 2] , к = 1, п.

2 ]+1 - 2к

2 ] - 2к

V ]

+

(21)

Уравнения (21) после разделения в них действительной и мнимой части можно записать в виде:

<

>

1

Е(ак]и] -рк^]) =0;

]= (22)

п

Е (рк]и] +а к^]) =

]=1

При этом систему (22) необходимо дополнить уравнениями (11). Для определения матрицы проводимостей У (9) будем находить решение системы (22) при значениях потенциалов узлов равных

с \

и = и к =

0,...,0,1,0,...0

V к

, к = 1,2,..п. Отметим, что система уравнений (22)

имеет число уравнений, в два раза превышающее число неизвестных. Поэтому для решения этой системы используется метод наименьших квадратов.

По найденным узловым значениям потенциала V находятся потоки через ребра многоугольника. Так, если к ребру с потоком Ф к примыкают вершины (узлы) с потенциалами VI, VI+1, то поток через него равен Ф к = VI+1 - vi. В результате расчетов при каждом заданном распределении

потенциалов узлов и = и к определяется к-й столбец матрицы У и далее сама матрица. Матрица 2 находятся аналогично.

После определения уравнений связи многополюсников (9), соответствующих блочным элементам разбиения, выполняется анализ распределения потоков в магнитных системах исследуемых устройств. При этом условия на границе расчетной области для нормальной составляющей индукции позволяют задать часть потоков через участки блочных элементов, примыкающие к границе. Учет граничного условия относительно касательной составляющей напряженности обеспечивается соответствующим заданием разности магнитных потенциалов для узлов многополюсника, совмещенных с границей. Выполнение условия непрерывности поля на

п

общих участках границы соседних блочных элементов обеспечивается в слабой форме путем приравнивания потенциалов общих узлов и потоков магнитной индукции через общие участки границы, вычисленных в примыкающих областях разбиения с разными магнитными проницаемостями.

Нелинейность характеристик учитывается за счет того, что проницаемости в областях разбиения уточняются итерационно по значениям напряженности, получаемым в результате расчета. Для этого используется ее среднее значение напряженности на границе каждого элемента разбиения, которое приближенно может быть оценено по найденному распределению потенциалов и потоков в многополюсниках. Отметим, что матрицы многополюсников находятся однократно и корректировке не подлежат.

Литература

1. Носков В.Н., Пустоветов М.Ю.Компьютерное моделирование режима холостого хода электромеханического расщепителя фаз на базе трехфазного асинхронного электродвигателя// Инженерный вестник Дона, 2016, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3633/.

2. Пивнев В.В., Басан С.Н. Математическое моделирование нелинейных характеристик элементов применительно к задаче реализации двухполюсников с заданными нелинейными зависимостями// Инженерный вестник Дона, 2016, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3857/.

3. Нго Фыонг Ле, Гульков Г.И. Эквивалентная схема магнитной цепи синхронного двигателя с инкорпорированными магнитами. Энергетика, 2015, №4. c. 13-24.

4. Miller T.J.E. Brushless Permonent-Magnet and Relactance Motor Drives. Oxford: Clarendon Press, 1989. pp. - 207.

5. Булыжев Е.М., Меньшов Е. Н., Джавахия Г.А. Оптимизация магнитного сепаратора. - Известия Самарского центра РАН, т.13, №4, 2015. с. 111-116.

6. Носов Г.В., Лусс А.А. Расчет внешнего магнитного поля рельслтронов. Фундаментальные исследования. 2013. №10. с. 3363-3367.

7. Буль О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов: Магнитные цепи, поля и программа FEMM. М.: Издательский центр «Академия», 2005. 336 с.

8. Ткачев А.Н., Клименко В.В. Метод сопряженных потенциалов для расчета двухмерных электрических и магнитных полей: монография. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГПУ (НПИ), 2012. 172 с.

9. Tkachev А., Pashkovskiy А., Burtceva О. Application of block elements method for a calculation of the magnetic field and force characteristics in electromechanical systems. Vol. 129: International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2015). Procedia Engineering. 2015. pp. 288-293.

10. T. Hromadko, C. Lai, The Complex Variable Boundary Element Method in Engineering Analysis, Springer Vergas New York Inc, 1987. pp. 303.

References

1. Noskov V.N., Pustovetov M.Ju. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3633/.

2. Pivnev V.V., Basan S.N. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №4 URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3857/.

3. Ngo Fyong Le, Gul'kov G.I. Jenergetika, 2015, №4. pp. 13-24.

4. Miller T.J.E. Brushless Permonent-Magnet and Relactance Motor Drives. Oxford: Clarendon Press, 1989. pp. 207.

5. Bulyzhev E.M., Men'shov E. N., Dzhavahija G.A. Izvestija Samarskogo centra RAN, t.13, №4, 2015. pp. 111-116.

6. Nosov G.V., Luss A.A. Fundamental'nye issledovanija. 2013. №10. pp. 3363-3367.

7. Bul' O.B. Metody rascheta magnitnyh sistem jelektricheskih apparatov: Magnitnye cepi, polja i programma FEMM [Methods for calculating the magnetic systems of electrical apparatus: Magnetic circuits, fields and the program FEMM]. - M.: Izdatel'skij centr «Akademija», 2005. 336 p.

8. Tkachev A.N., Klimenko V.V. Metod soprjazhennyh potencialov dlja rascheta dvuhmernyh jelektricheskih i magnitnyh polej: monografija [The method of conjugate potentials for the calculation of two-dimensional electric and magnetic fields: monograph]. Juzh.-Ros. gos. tehn. un-t. Novocherkassk: JuRGPU (NPI), 2012. 172 p.

9. Tkachev A., Pashkovskiy A., Burtceva O. Application of block elements method for a calculation of the magnetic field and force characteristics in electromechanical systems. Vol. 129: International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2015). Procedia Engineering. 2015. pp. 288-293.

10. T. Hromadko, C. Lai, The Complex Variable Boundary Element Method in Engineering Analysis, Springer Vergas New York Inc, 1987. pp. 303.