CC BY
27
УДК 530.145 DOI 10.24147/2222-8772.2020.3.4-11
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПАДА ПРОСТРАНСТВА НА «АТОМЫ ПРОСТРАНСТВА»
А.К. Гуц
д.ф.-м.н., профессор, e-mail: guts@omsu.ru
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия
Аннотация. В статье показано, каким образом можно математически описать процесс распада пространства на бесконечное число несвязных кусков, которое может произойти при полной потере сцепленности (запутанности) частей бесконечно удалённой границы в рамках АйБ/СРТ-соответствия.
Ключевые слова: пространство, возникающее пространство, АйБ/СРТ-соответствие, пространство и запутанность подсистем.
В последние годы стало популярным воззрение, что пространство — это возникающая сущность из некоторого фундаментального объекта (см. обзор
Структура пространства, например топология или метрика, в математике вводится на некоторой подложке, каковой в общей теории относительности (ОТО) является канторовское множество. Элементы этого множества, представляемые в форме «точки», трактуются как события, которые произошли в каком-то месте и в какое-то время.
Но возможны и другие, более абстрактные, подложки. В матричных моделях физическое пространство-время эффективно возникает из набора матриц, а не задаётся в качестве априорного многообразия. Это эффективное описание пространства-времени часто называется некоторыми авторами возникающим пространством-временем.
Таким образом, отметим, что и под возникновением пространства понимается нечто более изощрённо-утончённое:
Я почти уверен, что пространство и время являются иллюзиями. Эти примитивные понятия будут замещены чем-то более утонченным (Nathan Seiberg).
Процитированный Зейберг считает, что пространство и время не должны присутствовать в исходной формулировке фундаментальной физической теории, а появляются только как макроскопическое приближение [2].
Более определённо высказывается Роберт Дейкгрофф [3]:
Пространство и время не являются основой наших рассуждений. Напротив, пространство и время сами появляются в результате этих рассуждений. За этими рассуждениями скрывается нечто более фундаментальное.
[1]).
В высказываниях Зейберта и Дейкгроффа видится желание не только отказать в фундаментальности структуре пространства, но и отказаться от фундаментальности подложки, на которой реализуются структура пространства. Подложка должна возникнуть (to emerge) из чего-то иного. Следует поэтому обратить внимание на работу [4], авторы которой заявляют, что пространство-время — это явление, возникшее в предшествующей особой субквантовой среде, и что сцепленность (запутанность) и туннельный эффект могут быть объяснены в терминах нелинейной связи между пространством и временем, обязанной субквантовым волнам.
В философии Гегеля Мир возникает по логике (а не во времени) из Ничего, которое есть чистое Бытие, и это чистое Бытие и есть подложка пространства, а значит и пространства-времени, которая в конкретном Бытии может быть и «Иным» [5, с. 139-140]. Другими словами, в рассуждениях о нефундаментальности пространства и времени скрывается поиск адекватного математического описания акта, который мы называем рождением Мира. Все существующие подходы неудовлетворительны в силу того, что они отрывают материю от духа (сознания). Неудовлетворенность современными физическими теориями выросла до неудовлетворенности самим постулатом о фундаментальности пространства и времени.
Цель данной статьи состоит в том, чтобы дать математическую модель возникающей подложки пространства, а значит и возникающей подложки пространства-времени, на которых легко обнаруживаются топология и геометрия, отождествляемые нами с реальным пространством и пространством-временем. Причём факты возникновения (и исчезновения) пространства мы ассоциируем с аналогичными фактами возникновения и исчезновения пространства, обязанными сцепленности частей удаленной границы балка в рамках AdS/CFT-соответствия.
Мы покажем каким образом можно математически смоделировать распад пространства на бесконечное число несвязных друг с другом кусочков, т. е. на «атомы пространства». В какой-то мере этот процесс отвечает полной потере сцепленности (запутанности) частей бесконечно удалённой конформной границы пространства (балка) в теории голографической вселенной [6].
1. «Исчезновение» прямой
Для начала разорвём прямую R на счетное число отрезков.
На отрезке [0,1] определим параметрическое семейство функций ft(x), t е [0,1], такое, что для любого х е [1/2, 3/2]
/с(ж) = 1, /i(x) = 2|x - 1|,
а при t е (0,1) семейство функций ft представляет непрерывную деформацию функции /С в функцию /ь причём все ft(x) (t < 1) непрерывны вместе с первыми производными. Единственной функцией, производная которой имеет разрыв первого в точке х =1, является f1(x) (см. рис. 1). Более того, для
любого t
Л(0) = Л(1) = 1.
Построенные функции ft продолжим на всю прямую R (см. рис.1). Две точки a,b G R назовём ¿-эквивалентными тогда и только тогда, когда a = b = k/2, k — целое число.
Если этот случай не имеет места, то a,b G R назовём ¿-эквивалентны, если
1) а = Ь;
2) ft(o) = /t(6);
3) lim fl(x)= lim f(x).
x^a-0 x^-b+0
Профакторизуем пространство R по введённому отношению эквивалентности ~t. Получаем фактор-пространство rt = R/^t.
Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство rt при t < 1 гомеоморфно отрезку R, а при t =1 — несвязному пространству
... и [-2, -1] и [0,1] и [2, 3] и [4, 5] U ...
Другими словами, прямая распалась на счетное объединение непересекающихся отрезков, т. е. на «атомы пространства».
Удобно последнее несвязное пространство обозначить как
ri = U (k + 1)-].
кег
Итак, мы определили семейство топологических пространств |(Г4, 7г)}, где % — рассмотренная фактор-топология на Гt. При этом если £ = 1, то Гt & [0,1], а = [0, (1/2)- и [(1/2)+, 1], и справедливы соотношения [0, (1/2)- & [0,1] и [(1/2)+, 1] & [0,1]. Таким образом, мы рассмотрели разрыв отрезка на два с топологической точки зрения.
2. «Исчезновение» плоскости
Для описания изменения топологии плоскости К2, ведущей к потере связности и распада плоскости на квадраты с целочисленными координатами вершин
(k,m), k,m G Z квадратов, по аналогии с предыдущим параграфом вводим семейство функций
* = ft(x,y),
причём при t < 1
ft(х,У) G С~ fo{x,y) = l,
0 <ft(x,y) ^ l, ft(k/2,m/2) = 1, ft(x,y) >fr(x,y)(t<t'), f1(x,y) < ft(x,y)
lim ft(x,y) = fl(x,y), i—1-0
и функция f1(x,y) показана на рис.2.
Рис. 2.Функция fi(x,y).
Мы видим, что функция f1(x,y) теряет гладкость на прямых х = к и у = т, по которым будем разрывать плоскость.
Точки (a,b) и (c,d) считаем эквивалентными, если а = с = к/2 и b = d = т/2.
Если этот случай не имеет места, то (a,b), (c,d) G R2 назовём t-эквивалентными, если
1) а = Ь, с = d;
2) ft(a,b) = ftМ);
3)
lim ^^(х,у)= lim (х,у),
х—а-0 дхК х—с+0 Ох
у—Ъ-0 y—d+0
lim ^^(х,у)= lim (х,у).
х—а-0 ду х—Ус+0 Qv
у—Ъ-0а y—d+0 *
Профакторизуем пространство R2 по введенному отношению эквивалентности ~t. Получаем фактор-пространство Г = R/^t.
Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство Г при Ь < 1 гомеоморфно плоскости К2, а при £ =1 — несвязному пространству, состоящему из счётного числа компонент связности Ба, каждая из которых гомеоморфна квадрату [0,1] х [0,1].
Другими словами, плоскость распалась на счётное объединение непересекающихся квадратов, т. е. на «атомы пространства» ва = [к+, (к + 1)-], к е Z:
R2 ^ ri = U sa.
aeZ
3. «Исчезновение» сферы S2
Нетрудно понять, что подобным же образом можно устроить распад сферы S2 вдоль меридианов и параллелей.
4. «Исчезновение» пространства
Для описания изменения топологии плоскости R3, ведущей к потере связности и распаду плоскости на квадраты с целочисленными координатами вершин (k,m,n), k,m,n G Z кубов, по аналогии с предыдущим параграфом вводим семейство функций
и = ft(x,y,z),
причём при t < 1
ft(x,y,z) G С~ fo(X,y,Z) = 1
0 <ft(x,y,z) ^ 1, ft(k/3,m/2,n/2) = 1,
ft(x,y,z) > ff (X,y,Z) (t<t'), fl(X,y,Z) <ft(x,y,z) t_Hm0 ft(x,y,z) = fl(X,y,z)
и функция u = f1 (x,y,z) строится по аналогии с предыдущими функциями f1(x) f1 (х,у). Но показать её затруднительно, поскольку её график выходит в 4-е измерение и. Функция f1 (x,y,z) теряет гладкость на плоскостях х = к, у = m и z = п, по которым будем разрывать пространство на кубы.
Точки (a,b,v) и (c,d,w) считаем эквивалентными, если а = с = к/2 и b = d = m/2 и v = w = n/2.
Если этот случай не имеет места, то (a,b,v), (c,d,w) G R2 назовем t-эквивалентными, если
1) а = b, с = d, v = w;
2) ft(a,b,v) = ft(c,d,w);
3)
T dft( Л 1 • dft( ч
lim ——(x, y,z)= lim —— (x,y,z),
x^a-0 dxK У ' X^c+0 dxK У " y^b-0 y^d+0
z^-v-0 z^-w+0
1- 9 \ V \
11ш ——(х,у, г) = пш -—(х, у, г),
х—а-0 ду х—с+0 ду
у—Ь-0 у—<1+0 *
г^т-0 z—ад+0
Г 9 \ Г 9 \
11ш ——(х, у, г) = 11ш -—(х, у, г).
х^а-0 дгУ 1 х—с+0 дхк 1
у—Ь-0 У—<1
z—v—0 z—ад+0
Профакторизуем пространство Е3 по введённому отношению эквивалентности . Получаем фактор-пространство Г = .
Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство Г при Ь < 1 гомеоморф-но пространству Е3, а при £ = 1 — несвязному пространству, состоящему из счётного числа компонент связности Qа, каждая из которых гомеоморфна кубу [0,1] х [0,1] х [0,1].
Другими словами, плоскость распалась на счётное объединение непересекающихся кубов, т. е. на «атомы пространства» Qa:
Е3 ^ Г1 = У Qa.
03 ^ Г1 =
Непрерывно деформируя плоскости х = к, у = т и г = п, мы можем привести ситуацию к разрыву пространства на деформированные кубы разной формы и размера.
Эти деформированные кубы и есть «атомы пространства», образующие подложку пространства в том случае, когда на бесконечно удалённой 2-мерной границе пространства полностью отсутствует какая-либо сцепленность (запутанность) её частей, и на которой в соответствии с голографическим принципом кодируются не только топологические метаморфозы потери связности, но и сопутствующие им геометрические процессы бесконечного удаления друг от друга компонент связности в распадающемся пространстве в ходе изменения метрики пространства:
9а..(х- У-= [Мх1у, 9а,^^ [^ ^, На,(Х.У-г) ^
^ Тл-охг^ПоТ29ае^г) ^ [/ 1(х1,)]2!1аеЬяЛ
о ' <г < 1,
где да. — исходная метрика пространства.
Поскольку ¡1(к,т,п)]2 = 0, то расстояние между кубами стремится к при Ь ^ 1, как и должно быть при ослаблении сцепленности.
Множество Г1 — это нечто более фундаментальное, чем пространство. Действительно, ведь можно склеить кубы в точки, и тогда пространство распадается на элементарные геометрические объекты — точки, т. е. имеем переход
Г1 ^ г;.
Фактически мы имеем дело с Ничем, или с чистым Бытием Гегеля. Это чистое Бытие, моделируемое нами как Г1 или Г1, и есть подложка пространства, которая в конкретном Бытии может быть и «Иным».
5. «Исчезновение» сферы 53
Также как и в случае двумерной сферы, используя модель распада пространства К3, можно подобным же образом устроить распад сферы 53.
6. Возникновение пространства
Обратный процесс
Г ^ Г ^ Г ^ Г /, 0 1, (1)
на топологическом уровне означает склеивание кубов в единое пространство в результате процесса запутывания областей на границе, т. е. из атомов пространства возникает полное пространство - подложка под структуру, т. е. под оснащение топологией и геометрией. На геометрическом уровне имеем деформацию 3-метрики:
1 (х, y, г) ^ 1——да/3(х, y, г) ^ 1-—да/3(х, y, г) ^
[h(х,y,-]2 ' ' [ft(х,y, -]2 ' ' [и(х,У, z)}2í
[fo(х,y, г)]2 где да/з — исходная метрика пространства.
Следовательно, бесконечное расстояние между кубами=«атомами пространства» при Ь ^ 0 становится конечным, как и должно быть при усилении сцеп-ленности.
Возникновение пространства из «Ничего» — это одновременно и возникновение пространства-времени с метрикой
з2 = с2сИ2 — -т—.-гт-дая(х,у, г)йхайх^.
[¡t(х,У, z)\2
Здесь параметр Ь — это фактор осознания Мира людьми, т. е. это время, возникающее при гегелевском логическом переходе (1) из чистого бытия Мира к его конкретному бытию; из «Ничего» к «Нечто» [5].
Литература
1. Гуц А.К. Теории пространства-времени // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2019. № 4. С. 23-47.
2. Seiberg N. Emergent Spacetime. URL: http://rXiv:hep-th/0601234v1 (дата обращения: 01.10.2020).
3. Дейкгрофф Р. Конец пространства и времени. URL: https://www.youtube. com/watch?v=-B0PIWml9uw (дата обращения: 01.10.2020).
4. Castro P., Gatta M., Croca J.R., Moreira R. Spacetime as an Emergent Phenomenon: A Possible Way to Explain Entanglement and the Tunnel Effect // Journal of Applied Mathematics and Physics. 2018. V. 6. P. 2107-2118. URL: http://www.scirp. org/journal/jamp (дата обращения: 01.10.2020).
5. Гегель Г.В.Ф. Наука логики: в 3 т. Т. 2. М. : Мысль, 1972.
6. Van Raamsdonk M. Building up spacetime with quantum entanglement. URL: https: //arxiv.org/pdf/1005.3035v1.pdf (дата обращения: 01.10.2020).
MODELING OF THE SPACE DECAY INTO "ATOMS OF SPACE"
A.K. Guts
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: guts@omsu.ru Dostoevsky Omsk State University
Abstract. The article shows how you can mathematically describe the process of decay of space into an infinite number of disconnected pieces that can occur with a complete loss of entanglement parts of the infinitely distant boundary within the AdS/CFT-duality.
Keywords: space, emergent space, AdS/CFT-duality, space and entanglement of subsystems.
References
1. Guts A.K. Teorii prostranstva-vremeni. Prostranstvo, vremya i fundamental'nye vza-imodeistviya, 2019, no. 4, pp. 23-47. (in Russian)
2. Seiberg N. Emergent Spacetime. URL: http://rXiv:hep-th/0601234v1.
3. Deikgroff R. Konets prostranstva i vremeni. URL: https://www.youtube.com/ watch?v=-B0PIWml9uw. (in Russian)
4. Castro P., Gatta M., Croca J.R., and Moreira R. Spacetime as an Emergent Phenomenon: A Possible Way to Explain Entanglement and the Tunnel Effect. Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018, vol. 6, pp. 2107-2118. URL: http://www.scirp.org/journal/jamp.
5. Gegel' G.V.F. Nauka logiki: v 3 t. Vol. 2, Moscow, Mysl' Publ., 1972. (in Russian)
6. Van Raamsdonk M. Building up spacetime with quantum entanglement. URL: https: //arxiv.org/pdf/1005.3035v1.pdf.
Дата поступления в редакцию: 11.10.2020
