О проективно конечных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Попов В.В., 2013

УДК 513.83 ББК 22.152

О ПРОЕКТИВНО КОНЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Попов Владимир Валентинович

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики Волгоградского государственного университета [email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. Строится пример метризуемого пространства веса с = 2Н°, образ которого при любом открытом непрерывном отображении в метризуемое сепарабельное пространство состоит из одной точки.

Ключевые слова: проективно конечное пространство, метризуемое пространство, непрерывное открытое отображение, связное пространство, сепарабельное пространство.

В работе [1] А.В. Архангельский ввел понятие проективной мощности топологического пространства как точной верхней грани мощности всех сепарабельных метризу-емых пространств, являющихся образами этого пространства при открытых непрерывных отображениях. Там же поставлен ряд вопросов о структуре проективно конечных и проективно счетных пространств. Спрашивается, в частности, — может ли проективно конечное пространство содержать нетривиальную сходящуюся последовательность. В данной работе строится проективно конечное (а потому и проективно счетное, а также проективно дискретное) тихоновское пространство, мощность и вес которого равны с = 2Н°. Кроме того, это пространство содержит нетривиальные сходящиеся последовательности.

Напомним, что отображение / : X ^ У топологических пространств называется открытым, если образ f (и) любого открытого множества и С X открыт в У. Все необходимые определения можно найти в [1; 2]. Все отображения предполагаются непрерывными.

Основные результаты работы:

Теорема 1. Существует связное метризуемое проективно одноточечное пространство веса с = 2Н°.

Теорема 2. Для любого кардинала т > 2Н° существует связное проективно одноточечное пространство веса т, которое содержит гомеоморфный образ любого тихоновского пространства веса < т.

1. Открытые отображения подмножеств прямой

Лемма 1. Пусть X = (а,Ь) — интервал числовой прямой, а < Ь, и / : X ^ ¥ — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство ¥, состоящее более чем из одной точки. Тогда:

(1) Если у е У, то множество /-1(у) не имеет предельных точек в X.

(2) Для любого х е X найдутся такие числа а и @, что а < х < Р и ограничения / на полуинтервалы (а,х\ и [х,@) взаимно однозначны (и потому являются гомеоморфизмами).

(3) Для любого у е У найдется такая окрестность Оу точки у, которая гомеомор-фна или интервалу или полуинтервалу числовой прямой.

Доказательство. (1) Допустим, что существует последовательность хп различных точек X, которая сходится к некоторой точке х е X и для которой f (хп) = у при всех п. Выберем интервал и С X, который содержит х и для которого У \ f (и) = 0. Пусть п — такое число, что хп,хп+1,хп+2 е и. Положим

а = шип.{хп,хп+1,хп+2} и /3 = шах{хп,хп+1,хп+2}.

Тогда образ Z = /((а,@)) интервала (а,@) при отображении / совпадает с образом отрезка [а,Д]. При этом первое множество открыто, а второе замкнуто (ввиду компактности образа отрезка). Так как У связно, заключаем, что Z = У. Однако У \ Z Э У \ \ /(и) = 0. Противоречие с выбором и показывает, что f-1(у) не может содержать предельных точек.

(2) Используя (1), выберем число а1, для которого отрезок [а1,ж\ пересекает множество f-1/(ж) по единственной точке х, причем образ этого отрезка не совпадает с У. Если f взаимно однозначно на отрезке [а^,^, то заключению свойства (2) удовлетворяет число а = а1. Пусть теперь найдутся точки ^, £2, для которых а1 < ^ < Ь2 < х и /(£1) = /(^2). Тогда /(^2) = /(х), поэтому ^2 < х.

Если f взаимно однозначно на отрезке \Ъ2,х\, то заключению свойства (2) удовлетворяет число а = £2. В противном случае найдутся точки £3, £4, для которых £2 < £3 < < *4 < х и /(1з) = !(*4).

Положим Z = /((^1,^4)). По построению Z = /([11,14\). Ясно, что Z открытозамкнуто в У, поэтому Z = У. Однако это противоречит выбору числа а1. Противоречие показывает, что заключению свойства (2) удовлетворяет число а = £2. Существование числа /3 доказывается аналогично.

(3) Пусть у е У. Фиксируем х е X с условием у = f (х). Пусть числа а и /3 выбраны для х в соответствии со свойством (2). Если ограничение f 1{а,^) взаимно однозначно, то оно является гомеоморфизмом и за искомую окрестность точки х можно принять, например, f ((а,@)).

Пусть теперь найдутся точки х1,х2 е (а,Р), для которых f (ж1) = f (х2). Выбор а и /3 гарантирует, что а < х1 < х < х2 < @. Используя открытость отображения f, теперь несложно проверить, что f ((х1,х)) = f ((х,х2)). Поэтому за искомую окрестность точки у можно принять f ((ж^^).

Лемма 2. Пусть X = [а, Ь\ и [а1, Ь1 \ — объединение двух отрезков числовой прямой, а < Ь < а1 < У, и / : X ^ У — непрерывное отображение в тихоновское пространство. Пусть заданы множества Р и Р', причем Р = {а,Ь} или Р = {а}, Р1 = {а!,У} или Р' = {а'}. Пусть и = [а, Ь\ \ Р, и' = [а', Ъ'} \ Р' и ограничения отображения / на множества и и и' являются открытыми отображениями. Пусть /(и) П /(и') = 0, !(Р) П I(V) = 0 и !(и) П I(Р') = 0. Тогда }(и) = /(V) и /(Р) = }(Р').

Доказательство. Допустим, что /(и) С /(и'). Тогда и не содержится во множестве М = f-1 (!(и')). В то же время и П М = 0, поскольку f (и) П f (и') = 0. Так как и

cвязно, из сказанного следует существование точки £ е и, которая является граничной для множества М.

Выберем такие точки хп е М, что последовательность хп сходится к точке £. При любом п выберем точку х'п е и' с условием /(х'п) = f (хп). Тогда последовательность х'п имеет на отрезке [а!,Ь’\ некоторую предельную точку V. Ясно, что /(£) = f(^). Из /(и) П /(Р') = 0 получаем Ь' е и'. Но тогда Ь е М, поэтому Ь — внутренняя точка М, поскольку М открыто. Противоречие с выбором точки £ показывает, что /(и) С /(и'). Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно, /(и) = f (и'). Поэтому {(и и Р) = /([и\) = {([и'\) = /(и' и Р'). Теперь легко закончить доказательство леммы.

Лемма 3. Пусть / : X ^ ¥ — непрерывное открытое отображение тихоновских пространств и /(ж1) = {(х2) для некоторых различных точек х1,х2 е X. Пусть А — такое подмножество X, для которого х2 е [А\ \ А. Пусть также Ох1 и Ох2 — открытые окрестности точек х1 и х2 соответственно. Тогда найдутся точки х1 е е Ох1 и х!2 е Ох2 П А, для которых /(х^) = /(х2).

Доказательство. Множество и = /-1/(Ох-\_) П Ох2 является окрестностью точки х2, поэтому из х2 е [А\ \ А следует существование точки х'2 е и П А. Из х'2 е и следует /(х'2) е f (Ох1), поэтому найдется точка х\ е Ох1, для которой f (х\) = f (х'2).

Лемма 4. Пусть / : X ^ ¥ — непрерывное открытое отображение тихоновских пространств, X связно и ¥ = /(X). Пусть С — открытое связное подмножество X, а х1 е X \ С и х2 е С такие точки, что /(ж1) = /(х2) и С и {х{} — компакт. Тогда f (С) = У.

Доказательство. Множество ¥1 = /(С) открыто в У как образ открытого множества при открытом отображении. Множество же ¥2 = f ({ж1} и С) замкнуто в У ввиду компактности {х-{} и С. Из f (ж1) = f (х2) получаем У = У2. Следовательно, У = = f (С) — открыто-замкнутое подмножество связного пространства У, поэтому f (С) = = ¥1 = ¥.

2. Пространство П

Рассмотрим на координатной плоскости точки а = (0,0) и Ъп = (-1, 4^), п = = 1, 2, 3,... Пусть И — подмножество плоскости, являющееся объединением отрезков 1п = [а,ъп\, п =1, 2,...

Точку х тихоновского пространства X будем называть г-точкой, если она имеет открытую окрестность, которая гомеоморфна или интервалу или полуинтервалу числовой прямой. В последнем случае х является тем концом полуинтервала, который содержится в этом полуинтервале.

Лемма 5. Пусть Х0 — связное замкнутое подмножество плоскости, пересекающее множество В по единственной точке а. Пусть X = Х0 и В — подмножество плоскости с обычной евклидовой метрикой и / : X ^ ¥ — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство ¥. Пусть / (а) = /(х) для некоторой г-точки х0 е X. Тогда ¥ состоит из одной точки.

Доказательство. Допустим, что \¥| > 1. Тогда по лемме 1, (3) у = f (х0) является г-точкой, поэтому найдется открытая окрестность Оу точки у и гомеоморфизм р : Оу ^ ^ И на связное подпространство У числовой прямой.

Пусть отображение д : f-1(Оу) ^ У определено формулой д(х) = р(!(ж)). Тогда д — непрерывное открытое отображение. Положим у0 = д(а).

Так как любая окрестность точки а содержит все отрезки 1п, начиная с некоторого номера, найдется такой номер п0, что f (1п) С Оу при п > п0. Ясно, что д(1п) С У при п > п0.

Допустим, что д(1п) = {у0} при некотором п. Тогда д(1п \ {а}) = {у0}, причем д(1п \ {а}) открыто в У, поскольку 1п \ {а} — открытое в X множество, а д — открытое отображение. Связность У дает У = {у0}, откуда следует У = {/(а)} и лемма доказана.

Предположим теперь, что 1д(1п)1 > 1 для всех п. Тогда д(1п) при любом п > п0 — отрезок числовой прямой, поскольку это множество связно, компактно и лежит в И.. Концы этого отрезка обозначим ап, 13п, где ап < 13п. Ясно, что ап < у0 < @п.

Так как д непрерывно, а любая окрестность точки а содержит все отрезки 1п, начиная с некоторого номера, справедливы равенства

Иш ап = уо = Иш @п.

Поэтому будут выполнены условия хотя бы одного из следующих случаев.

Случай 1. у0 < рп < Рт при некоторых п, т. В этом случае множество 1п \ {а} открыто в X, а его образ д(1п \ {а}) не открыт в У, поскольку точка @п принадлежит этому образу, но не является его внутренней точкой. Противоречие с открытостью отображения д показывает, что этот случай невозможен.

Случай 2. ап < ат < у0 при некоторых п,т > п0. Этот случай рассматривается аналогично. Выясняется, что и этот случай также невозможен.

Случай 3. ап = у0 = @п при всех п > п0. Однако, как показано выше, в этом случае ¥ = {/(а)}.

Лемма 6. Пусть X = Х0 и Д где Х0 — связное замкнутое подмножество плоскости и Х0 П В = {а}. Пусть X наделено обычной евклидовой метрикой и / : X ^ ¥ — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство ¥, причем \¥ | > > 1. Тогда:

(1) Ограничение / взаимно однозначно (и потому является гомеоморфизмом) при любом п.

(2) Если /(1п\{а})П/(1т\{а}) = 0 при некоторых п и т, то /(1п\{а}) = /(1т\{а}) и I(Ьп) = }(Ьт).

(3) Для любого п множество М = {т : /(1п \ {а}) П /(1т \ {а}) = 0} конечно.

Доказательство. (1) Допустим, что f (ж1) = f (х2) для некоторых различных точек х1,х2 е 1п = [а,Ьп\. Считаем, что точка х2 лежит между точками х1 и Ьп или же х2 = Ьп (в противном случае х1 и х2 меняем местами). Пусть С — та компонента связности множества 1п \ {х{}, которая содержит точки х2 и Ьп. По лемме 4 верно f(С) = У. Поэтому найдется точка х3 е С, для которой f(х3) = f(а). Ясно, что х3 является г-точкой, поэтому из равенства f (х3) = f (а) по лемме 5 следует \¥| = 1. Противоречие с условием доказываемой леммы завершает доказательство пункта (1).

(2) При любом п множество f (1п\{а}) открыто в У, а множество f (1п) замкнуто в нем (ввиду своей компактности), а также связно. Из (1) следует, что f (а) е /(1п \{а}), поэтому множество ¥п = f (1п \ {а}) открыто-замкнуто в подпространстве У \ {{'(а)} и

потому является компонентой связности. Известно, что две компоненты связности или не пересекаются или совпадают. Поэтому из Уп П Ут = 0 следует Уп = Ут, откуда легко заключить, что /(Ьп) = /(Ьт).

(3) Множество V = f-1 (У \ {/(Ьп)}) является окрестностью точки а. Допустим, что М бесконечно. Тогда найдется т е М, для которого 1т С V. Но тогда /(1т) С У \ \ {I(Ьп)}, откуда /(Ьт) = /(Ьп), что противоречит свойству (2).

Отметим, что если ко множеству Б (из предыдущего раздела) применить гомотетию с коэффициентом 2^, а затем произвести параллельный перенос на вектор (1, 2^), то получим множество Ип.

Лемма 7. Пусть X — объединение множества Е и интервала на плоскости с концами (—1,0) и (1,0), рассматриваемое с обычной метрикой плоскости. Пусть / : X ^ У — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство У, состоящее более чем из одной точки. Тогда:

(1) Ограничение / 1\ап^\ взаимно однозначно (и потому является гомеоморфизмом) при любых п, %.

(2) Множество /((йп,еп,!\) является компонентой связности в подпространстве У \ {/)} при любых п, %.

(3) Для любого п множество М = {т : /^т) = /^п)} конечно.

(4) Ограничение / 1[с,ап] взаимно однозначно (и потому является гомеоморфизмом) при любом п.

Доказательство. (1) следует из леммы 6 и гомеоморфности В и Вп\

(2) вытекает из того, что f (^п,епг\) открыто в У, f([<йп,епг\) замкнуто в нем и /(йп) е /((йп,еПг\) (по свойству (1)).

(3) Допустим, что при некотором п множество М бесконечно. Положим у0 = f (&п). Так как последовательность dm сходится к точке ^ = (1,0, получаем f (^) = у0.

Из леммы 6, (3) следует существование таких г и ^, для которых множества ¥Пг = /((^,6^) и Уп^ = f (^п,бщ\) дизъюнктны. Рассмотрим окрестность V = У \ \{1 (еПг), /(е^)} точки у0. Так как любая окрестность точки ^ содержит все множества Ик, кроме, быть может, их конечного числа, а множество М бесконечно, найдется номер т е М, для которого /(Вт) С V.

По свойству (1) (и ввиду выбора г, ]) множества УПг и Уп^ являются различными компонентами связности в пространстве У \ {у0}. Связное множество f ((с^т)) лежит в том же подпространстве, поэтому оно не может пересекать одновременно компоненты УПг и У^. Пусть для определенности оно не пересекает первого из этих множеств.

3. Пространство Е

Рассмотрим на координатной плоскости следующие точки:

где п,т = 1, 2, 3,... Положим

Оп — и{[Лп, спт\ : т — 1,2...},

■Ь = [с^п] и Вп, где : п =1, 2,...}, Е = и{Зп : п =1, 2,...}.

Применяя лемму 3 при х1 = dm, х2 = йп, 0х1 = ,1т \ {с}, Ох2 = ,1п \ {с} и

А = (&п,е,т), выберем точки х[ е ,1т \ {с} и х'2 е (йп,ет), для которых f (х^) = f (х'2).

Так как У^ П f (с^т) = 0, найдется такое к, что х\ е ,етк\.

Положим у' = f (ж^. Тогда

/((dn, П /((^т-, &тк\) ^ {У } = 0.

Из /^т) = f (&п) и свойства (2) следует, что Утк является компонентой связности

множества У \ {у0}. Поэтому эти компоненты совпадают:

/ (($п,6т]') — / ((^т,^тк \^

откуда

/ (^пг) / (^тк ^

что противоречит включению f (От) С V. Противоречие завершает доказательство свойства (3).

(4) Допустим, что f(ж1) = f(х2) для некоторых различных точек х1,х2 е [с^п]. Считаем, что точка х2 лежит между точками х1 и dn или же х2 = dn (в противном случае х1 и х2 меняем местами). Пусть С — та компонента связности множества Jn \ \ {х{}, которая содержит точки х2 и йп. По лемме 4 верно f (С) = У. Пусть т > 1 — любое целое число. Тогда f^т) е У = /(С), поэтому f^т) = f(х) для некоторой точки х е С. Если х — г-точка, то |У | = 1 по лемме 5, что невозможно. Единственной не г-точкой в С является йп. Поэтому f ^т) = f (&п). Следовательно, f ^т) = f (си) при всех т. Противоречие со свойством (3) завершает доказательство свойства (4).

4. Классификация точек

Точку х тихоновского пространства X назовем а-точкой, если существует такая открытая окрестность Ох точки х, замыкание которой представимо в виде [Ох\ = У{Zn : : п = 1, 2, 3,...}, где каждое Zn гомеоморфно отрезку числовой прямой, причем Zn \ {ж} связно, Zn П Zm = {ж} при различных т, п и любая окрестность точки ж содержит все Zn, начиная с некоторого номера.

Для удобства введенные ранее в разделе 2 г-точки будем называть также точками типа 1, а а-точки — точками типа 2.

Рассмотрим еще три типа точек в тихоновском пространстве X.

Точку х е X назовем точкой типа 3, если существует последовательность хп е X \ \ {ж} а-точек в X, которая сходится к ж.

Точку х е X назовем точкой типа 4, если для этой точки существует такая окрестность Ох, которая не содержит а-точек и имеет бесконечно много компонент связности.

Точку х е X назовем точкой типа 5, если для этой точки имеется счетная база Оп(х) связных окрестностей, каждая из которых содержит точки типа 5.

Отметим, что в пространстве X из леммы 7 а-точками являются точки <!п (и только они), точкой типа 3 является ё,0, точками типа 4 являются точки интервала (с,ё,0), а точкой типа 5 является с. Все остальные точки этого пространства являются г-точками (то есть точками типа 1).

Лемма 8. Пусть / : X ^ У — отображение из леммы 7. Пусть х е X и у = /(х). Тогда:

(1) Если х — точка типа к, где к =1,2, 3,4,5, то и у — точка типа к.

(2) Если х1 е X — точка типа к, х2 е X — точка типа I и к = I, то /(ж1) = /(х2).

Доказательство. (1) вытекает из лемм 5 и 7.

(2) следует из (1), а также того факта, что точка у е У не может быть одновременно точкой типа к и точкой типа I при различных к и I.

5. Пространство Ь(0)

Пусть 0 = (01,в2,...) — последовательность из нулей и единиц и

И, если вп = 0,

Е, если вп = 1.

Пусть также Ь(в) — подмножество плоскости, определяемое равенством

Ь(в) = в и УК (Рп(в)) : п =1, 2, 3,...},

где 5 = {(х, 0) : х > 0,х е И} — луч на плоскости, а пп — параллельный перенос плоскости на вектор (п, 0). Множество Ь(в) будем рассматривать в обычной топологии плоскости, индуцированной евклидовой метрикой. Через О будем обозначать точку на плоскости с координатами (0, 0). В дальнейшем будем также предполагать, что выполнены следующие условия:

(^1) последовательность в не содержит двух нулей подряд;

2) 01 = 1;

(13) последовательность 9 не является периодической.

Лемма 9. Пусть / : Ь(в) ^ ¥ — непрерывное отображение на тихоновское пространство, состоящее более чем из одной точки, причем ограничение / на Ь(в) \{0} является открытым отображением. Тогда пространства /(Ь(в) \ {О}) и Ь(в) \ {О} гомеоморфны.

Доказательство. Положим

^1(^) = {х е Ь(в) \ {О} : х — точка типа 1}.

Множество Ь1(в) распадается на компоненты связности. Для точки х е Ь1(в) обозначим через Ш(х) компоненту связности, содержащую точку х, а через Р(х) — множество ее граничных точек в Ь(9). Ясно, что Ш(х) — это интервал или полуинтервал на плоскости, а Р(х) состоит из одной или двух точек, имеющих тип, больший 1. Единственным исключением является компонента, граничными точками которой являются точки с координатами (0, 0) и (1, 0). Тип первой из этих точек пока не определен. Далее доказательство разбивается на ряд отдельных шагов.

(1) Пусть х е Б — точка типа 2. Тогда существует (и единственна) точка х' е Б типа 3 такая, что интервал и с концами х и х' состоит из точек типа 1.

(2) Во множестве Ь(в) \ Б нет интервала, состоящего из точек типа 1, концы которого имели бы тип 2 и 3.

По лемме 2 из (1) и (2) следует:

(3) /(и) П /(Ь(в) \ Б) = 0, где и — интервал из пункта (1).

(4) Пусть d е Ь(в) \ в — точка типа 2. Тогда f (3) <£ /(&).

Рп(в) = {

Для проверки (4) допустим, что /(д) = f (х), где х е в. Тогда х — точка того

же типа, что и й, то есть точка типа 2. Пусть и — интервал, выбранный для х в

соответствии со свойством (1).

Пусть Od — такая окрестность точки й, все точки которой являются г-точками и Od П 5 = 0. Тогда /-1(f (Од)) — окрестность точки х, поэтому из х е [и\ \ и следует существование точки и е и П /-1(f (Од)). Тогда /(и) е f (Од), поэтому существует точка V е Od, для которой $(и) = /(у), поэтому $(и) е /(и) П {(Ь(в) \ в), что противоречит свойству (3). Свойство (4) доказано.

(5) Пусть х е Ь(в) \ Б. Тогда /(д) е /($).

Для проверки (5) допустим, что /(х) = /(х'), для некоторой точки х' е в. Тогда

по свойству (4) х не может иметь тип 2. Так как Ь(в) \ Б состоит из точек типа 1 и 2,

заключаем, что х и х' — точки типа 1. Поэтому для них определены интервалы Ш(х) и Ш(х') с множествами граничных точек Р(х) и Р(х') соответственно. По лемме 2 имеем /(Р(х)) = f (Р(х')). Из х е Ь(в) \ Б следует, что Р(х) состоит или из двух точек типа 2 и 5 или из одной точки типа 2. В любом случае Р(х) содержит точку х0 типа 2. Но тогда по свойству (4) /(х0) е /(8), что невозможно, поскольку /(Р(ж)) = f (Р(х')) и Р(х') С 5. Свойство (5) доказано.

Из открытости отображения / и свойства (5) следует свойство (6).

(6) Ограничение f на Б является открытым отображением.

Используя тот факт, что последовательность 9 не периодическая, и рассуждая, как при доказательстве свойств (1)-(4), несложно убедиться, что справедливо свойство (7).

(7) Ограничение f на Б \ {О} взаимно однозначно и потому является гомеоморфизмом.

Из свойства (7), а также лемм 6 и 8 вытекает гомеоморфность пространств f (Ь(в) \{0}) и Ь(в) \ {О}.

6. Пространство К

Пусть 0 — множество всех последовательностей из нулей и единиц, удовлетворяющих свойствам (Ь1) — (Ь3). Ясно, что 101 = 2Н°. Пусть

к = фш»);»е 0} —

дизъюнктная сумма метрических пространств. При каждом 9 е 0 обозначим через Ре(х,у) обычную евклидову метрику на пространстве Ь(в). Пусть также 0$ — точка с координатами (0,0). Склеим все точки 0$, 9 е 0, в одну точку О*. В полученном множестве К можно ввести метрику р(х,у) следующим образом:

Если х,у е Ь(в) \ {Оо} при некотором в, то р(х,у) = рв(х,у).

Если х е Ь(в) \ {Ов}, то р(х, О*) = рв(х, Ов).

Наконец, если х е Ь(в) \ {Ов}, у е Ь(в') \ {Ов>} и в = в', то р(х,у) = рв(х, Ов) + р(Ов>,у).

При в е 0 и при п = 0,1, 2,... пусть хп(в) — точка пространства Ь(в), имеющая координаты (п, 0). Считаем, что при 9 = в' пространства Ь(в) и Ь(в') лежат в различных координатных плоскостях, не имеющих общих точек, поэтому хп(9) = хп(9') при п > 1. В то же время х0(в) = О* при всех в.

Через Уп(в) будем обозначать интервал с концами хп(в), хп+1(в). Точка хп(в) при п > 1 имеет тип 2 в пространстве Ь(в), если вп = 0, и тип 5, если вп = 1. Интервал же

Vn(9) состоит из точек типа 1 (если 9п = 0) или из точек типа 1, 3 и 4 (если 9п = 1). Поэтому f (хп(в)) </ f (Vm(9')) при любых в, в', п > 1 и любых т > 0.

Лемма 10. Пусть f : К ^ Y — непрерывное отображение на сепарабельное тихоновское пространство и ограничение f на К \ {О*} — открытое отображение. Тогда

Y состоит из одной точки.

Доказательство. Допустим, что \Y| > 1. При каждом в е 0 множество f(V0(d)) открыто в Y и непусто. Ввиду сепарабельности Y найдутся различные в, в', для которых

f (Vom П f (Vo(в')) = 0. При этом f (хот = f (°*) = f (М®')).

Допустим, что п > 1, f (хп-\(в)) = f (хп-\(в1)) и f (Vn-i(d)) П f (Vn-i(d)) = 0. Проверим, что тогда f (хп(0)) = f (хп(&)) и f (Vn(6)) П f (Vn(6')) = 0.

Применяя лемму 2 к интервалам Vn-1(9) и Vn-1(Q'), заключаем, что f (уп-1(в)) = = f (Vn-i(d')), а множества {f (xn-i(6)), f(xn(6))} и {f (хп-г(в')),f (хп(в'))} совпадают. Так как f (хп-1(в)) = f (хп-1 (в1)), получаем f (хп(в)) = f (хп(в')). По свойству (7) леммы 9 ограничения отображения f на Se \ {Ов} и на Se< \ {0$/} открыты, откуда легко заключить, что f (Vn(в)) П f (Vn(в1)) = 0. Таким образом, по индукции доказано, что f (хп(в)) = f (хп(в')) при всех п. Отсюда следует, что вп = в'п при всех п, то есть в = 9'. Противоречие с выбором 0 и в' показывает, что \Y| = 1.

Доказательство теорем 1 и 2. По лемме 10 условиям теоремы 1 удовлетворяет пространство К (введенное в разделе 6).

Для доказательства теоремы 2 рассмотрим дизъюнктную сумму X = 1Т ф [а, b] ф ф К, где 1Т — тихоновский куб веса т, [а,Ь] — отрезок числовой прямой. Фиксируем произвольную точку х0 е 1Т. Пусть X — фактор-пространство, полученное из X путем склейки пары точек х0, а и пары точек Ь, О*. Из леммы 10 легко выводится, что X проективно одноточечно. Осталось вспомнить, что тихоновский куб 1Т содержит гомеоморфный образ любого тихоновского пространства веса < т [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Архангельский, А. В. Некоторые новые направления в теории непрерывных отображений / А. В. Архангельский // Сб. науч. тр. Латвийского госуниверсита «Непрерывные функции на топологических пространствах». — 1986. — C. 5-35.

2. Архангельский, А. В. Основы общей топологии в задачах и упражнениях / А. В. Архангельский, В. И. Пономарев. — М. : Наука, 1974. — 424 с.

3. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. — М. : Мир, 1986. — 752 с.

REFERENCES

1. АгкЬа^еГэклу A.V. Меко1:огуе поууе паргау1ешуа v 1еогп пергегуупукЬ о1оЬгагЬеп1у [Some new directions in the Шеогу of continuous mappings]. Sb. nauch. tr. Latviyskogo gosunivеrsita «Nеprеryvnyе funktsii na topologichеskikh prostranstvakh» [The collects of scientific papeгs of Latvian state unive^^ “The continuous functions on topological spaces”], 1986, pp. 5-35.

2. Aгkhangе1’skiy A.V., Ponomaгеv V.I. Osnovy obs^y topologii v zadachakh i uprazhnеniyakh [The foundation of general topo1ogy in tasks and exercises]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 424 p.

3. Engelking R. Obschaya topologiya [Outline of general topo1ogy]. Moscow, Mfr Publ., 1986. 752 p.

ON PROJECTIVE FINITE SPACES

Popov Vladimir Valentinovich

Candidate of Physica1 and Mathematical Sciences,

Associate Professor Department of Computeг Science and Experimental Mathematics

Volgograd State University

[email protected]

Pгospect Univeгsitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. A.V. Arhangei’skii [1] defines the notion of projective power of a Tychonoff space. In particular the space X is projectively finite, if for any open continuous mapping f : X ^ Y onto шetrizaЬie separaЬie space the image

Y = f (X) is a finite set. The following results are obtained in this paper: Теорема 1. There is a projectively finite metrizable space of the weight с = 2Ы°. Теорема 2. For every cardinal number т > 2H° there exists such a projectively finite Tychonoff space X, that any Tychonoff space of the weight < т is embeddable in X.

It follows from theorems 1 and 2 the existance of such a projectively finite space, that contains a non trivial convergent sequence. This is an affirmative answer to one of the question of A.V. Arhangel’skii [1].

Key words: projective finite space, metrizable space, open continuous mapping, connected space, separable space.