Моделирование процессов потребления экономических ресурсов с помощью вероятностных цепочек (на примере стран Западной Европы) Текст научной статьи по специальности «Математика»

в среде Microsoft Visual Studio 2010 на технологии .NET Framework 4.0.

Принципы работы системы состоят в следующем:

• пользователь работает с проектом, в который можно добавлять наборы данных (представляют собой параметры);

• наборы данных аппроксимируются моделями - в набор данных можно добавить любое количество моделей следующих типов: линейная, полиномиальная, логарифмическая, степенная, экспоненциальная;

• по выбранному набору данных можно осуществить поиск оптимальной модели по одному из критериев (при этом можно задать ограничения на значения других критериев);

• для наборов данных, либо для отдельных моделей можно создавать прогнозы;

• после задания верхней и нижней границы допустимых значений, прогноз отобразит время выхода модели за эти границы;

• программа автоматически осуществляет поиск прогнозов с наименьшим временем выхода

список л

1. Майо, Д. Самоучитель Microsoft Visual Studio 2010 [Текст]/ Д. Майо; пер. О. Кокоревой. -БХВ-Петербург, 2011. -464 с.

моделей за границы допустимых значений и помечает их красным цветом, а также выводит их наименования в строке состояния;

• наименьшее время выхода моделей за границы допустимых значений отображается в строке состояния;

• проект может быть сохранен на любой носитель информации в виде XML-файла;

• наборы данных могут быть экспортированы в Excel;

• для любой модели может быть сгенерирован отчет в виде PDF-файла.

Интерфейс системы представлен на рис. 4, 5.

На рис. 5 продемонстрирована ситуация прогноза по одному из параметров (изображены все виды используемых моделей, а также границы допустимых значений).

В результате проведенных исследований был составлен алгоритм и разработано программное обеспечение, позволяющее без сложных моделей решать задачи прогнозирования многопараметрических систем.

гературь1

2. Гайдышев, И.П. Анализ и обработка данных. Специальный справочник [Текст] / И.П. Гайдышев. -2002. -752 с.

УДК 519.24

Е.В. Афанасьева

моделирование процессов потребления экономических ресурсов с помощью вероятностных цепочек (на примере стран западной европы)

Понятие вероятностного вектора так или иначе возникает каждый раз, когда исследователю приходится иметь дело со статистическими данными. Такие данные могут представлять с собой, например, доли ресурса, потребляемого группой каких-либо сообществ. Распределение этого ресурса между сообществами задается с помощью вероятностного вектора, а последовательности вероятностных векторов, рассматриваемых за каждый год из некоторого промежутка времени,

образуют вероятностные цепочки, которые отражают процесс распределения ресурса между сообществами за указанный интервал и могут применяться для получения статистических оценок относительной динамики социально-экономических процессов.

Приведем строгое определение вероятностной цепочки [1]:

Дискретная вероятностная (1, и)-цепочка -это последовательность вероятностных векторов

Р,=

'/о

Рг,

Рп,

к=1

Нелинейную вероятностную цепочку можно представить набором строго положительных порождающих функций Рк(р0,р1, ...,р) - преобразований над вероятностными векторами, удовлетворяющих соотношениям

¡=1

Вероятностная цепочка, заданная порождающими функциями Рк (р), выглядит следующим образом:

Рк,+1= , £ = 1,2,...,п; У-0,1,2,...

Ё^сро.Л.-.рг)

¿=1

В зависимости от порождающих функций, которыми они задаются, выделяют различные виды вероятностных цепочек. В данной статье применяются вероятностные цепочки с логистическим ростом, где порождающими функциями являются линейные функции без свободного члена Рк(р) = Укрк, Ук > 0, к = 1, 2, ..., п, а также логарифмически-линейные вероятностные цепочки, где в качестве порождающих используются функции Кобба-Дугласа:

Рк(Р) = АкРк^Рг> ... РП

-да < а^ < +», Ак > 0, к = 1, 2,

, п; ? = 0, 1,

Т.

Вероятностные цепочки неоднократно применялись в исследованиях распределения валового регионального продукта по регионам таких стран, как Греция [2], Индонезия [3], Испания и Португалия [4]. В настоящей статье описаны результаты приложения данного инструмента моделирования к проблеме распределения социально-экономических ресурсов между странами Западной Европы.

Постановка задачи

Используя данные статистического отдела ООН о потреблении некоторых социально-экономических ресурсов странами Западной Европы, построим с помощью вероятностных цепочек модели процессов распределения ресурсов между указанными странами. В качестве потребляемых ресурсов рассмотрим электричество

(в кВт/ч на душу населения, с 1960 по 2006 г.), энергию (в кг нефтяного эквивалента на душу населения, с 1960 по 2006 г.), Интернет (число пользователей на 100 жителей, с 1992 по 2007 г.) и сотовую связь (число абонентов на 100 жителей, с 1987 по 2008 г.). Исследуем распределение описанных ресурсов между такими странами Западной Европы, как Австрия, Бельгия, Франция, Германия, Ирландия, Люксембург, Нидерланды, Швейцария и Великобритания.

После построения моделей по каждому из потребляемых ресурсов необходимо решить следующие задачи: во-первых, выявить взаимное влияние долей потребляемых ресурсов стран Западной Европы; во-вторых, поскольку в статье используются вероятностные цепочки двух видов, провести их сравнительный анализ как инструментов для моделирования процессов распределения ресурсов.

Построение моделей

Построение моделей процессов распределения ресурсов между девятью странами Западной Европы проводилось средствами приложения, специально разработанного в рамках данного исследования для работы с вероятностными цепочками описанных двух видов. При этом для обоих видов моделей соответствующие системы уравнений были сведены к таким, в которых изменение долей потребляемых ресурсов различными странами рассматривается относительно изменения доли ресурса в одной из стран. В качестве такой страны, не умаляя общности, была взята первая страна из списка - Австрия.

Кроме того, при построении модели на основе логарифмически-линейных вероятностных цепочек процедура нахождения неизвестных параметров модели свелась к оценке коэффициентов системы внешне не связанных уравнений [5] методом наименьших квадратов [6]. Применение данного метода требует выполнения условий Гаусса-Маркова для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок коэффициентов [6]. Таким образом, средствами приложения была проведена проверка отсутствия автокорреляции случайных остатков, равенства нулю их математического ожидания, отсутствия корреляций с объясняющими переменными, постоянства дисперсии, а также нормальности распределения случайных остатков [7].

Для оценки взаимного влияния долей потребляемых ресурсов стран Западной Европы была построена матрица взаимного влияния на основе найденных оценок параметров логарифмически-линейной цепочки.

Кроме того, исходные данные по каждому из ресурсов интерполировались на исследуемых интервалах времени, и была проведена экстраполяция на последующие годы.

Первичные результаты и анализ матриц взаимного влияния

Как показал первичный анализ построенных моделей, лидирующие позиции по потреблению всех исследуемых ресурсов, кроме Интернет, занимает Люксембург (максимальная доля пользователей Интернет - в Нидерландах), что неудивительно, поскольку Люксембург является одной из богатейших стран Европы и занимает второе место в мире по уровню ВВП на душу населения по данным Международного валютного фонда за 2010 г. Ирландия, в свою очередь, является отстающей практически по всем исследуемым ресурсам на начало рассматриваемых промежутков времени, но достаточно быстро догоняет по уровню потребления остальные страны Западной Европы.

Анализ матриц взаимного влияния, построенных на основе логарифмически-линейной цепочки, позволил выявить закономерности в рас-

пределении ресурсов, которые представлены в табл. 1. Каждая клетка таблицы разделена на четыре части, соответствующие четырем рассматриваемым ресурсам в порядке обхода по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла клетки. Знак «+» в к-й части клетки с координатами (г, у) означает, что увеличение доли ресурса к у страны г ведет к увеличению данного ресурса у страны у, и данное влияние значимо на уровне а = 0,05. Знак «++» говорит об аналогичной закономерности, значимой на уровне а = 0,01. Знаки «-» и «-- » означают наличие закономерности, противоположной описанной выше, т. е. не положительное, а отрицательное входное влияние доли ресурса к у страны г на долю этого ресурса у страны у.

Как видно из приведенной таблицы, доля Швейцарии по таким ресурсам, как электричество и сотовая связь, получает отрицательное входное влияние от долей этих ресурсов большинства других стран. Доля электричества Нидерландов, напротив, получает положительное входное влияние долей электричества других стран. Кроме того, доля потребляемой энергии Австрии отрицательно влияет на изменение доли данного ресурса у Бельгии, Франции, Германии, Ирландии, Нидерландов и Великобритании. Что касается Люксембурга, изменение долей потребляемых им ресурсов не зависит от изменения долей этих ресурсов у других стран Западной Европы.

Таблица 1

Взаимное влияние долей потребляемых ресурсов странами Западной Европы

А. Б. Ф. Г. И. Л. Н. Ш. В.

А. -- -- -- -- -- - --

- + -- +

Б. ++ + --

Ф. + + ++

+

Г. ++ + ++ -

++ +

И. ++ ++ -- --

__ - -

Л. + ++ -

++ + __ + - - -

Н. + ++ + ++

+ - -

Ш. + ++ ++ - ++

В. + ++

+ + -

Таблица 2

Сравнение коэффициентов корреляции для моделей на основе вероятностных цепочек с логистическим ростом и логарифмически-линейных вероятностных цепочек

Вид модели / Ресурс Электричество Энергия Интернет Сотовая связь

Цепочки с логистическим ростом 0,99495 0,99644 0,98228 0,97269

Логарифмически-линейные цепочки 0,99898 0,99863 0,99640 0,99779

Сравнение построенных моделей

Поскольку в настоящей статье проводится построение моделей с использованием двух видов вероятностных цепочек, это дает возможность оценить и сравнить данные виды вероятностных цепочек в качестве инструментов моделирования. Для определения тесноты связи между эмпирическими данными и построенными моделями были вычислены коэффициенты корреляции, которые приведены в табл. 2.

Как видно из таблицы, логарифмически-линейные цепочки более точно отражают реальное распределение ресурсов между странами Западной Европы на протяжении рассматриваемых промежутков времени. Проиллюстрируем данную особенность графиками распределения электричества между странами Западной Европы (рис. 1-3).

Основные результаты

Результаты проведенного исследования позволяют сделать вывод о преимуществе логарифмически-линейных цепочек как инструментов моделирования перед цепочками с логистическим ростом.

Нельзя не отметить и следующую закономерность: хотя изменение долей ресурсов, потребляемых Люксембургом, может влиять на изменение долей ресурсов, потребляемых другими странами Западной Европы, Люксембург, в свою очередь, не испытывает аналогичного влияния со стороны остальных стран.

Таким образом, в результате исследования построены модели распределения ресурсов между странами Западной Европы на основе вероятностных цепочек двух видов; проведено сравнение этих вероятностных цепочек как инструментов моделирования, а также анализ взаимного влияния долей потребляемых ресурсов.

Рис. 1. Эмпирическая динамика распределения электричества между странами Западной Европы

Рис. 2. Динамика распределения электричества между странами Западной Европы с логистическим ростом

Рис. 3. Логарифмически-линейная динамика распределения электричества между странами Западной Европы

список литературы

1. Sonis, M. Discrete non-linear probabilistic chains [Текст] / M. Sonis // Functional differential equations. - 2003. -Vol. 10. -Iss. 3-4. -P. 593-639.

2. Kamarianakis, Y. Geographical competition-complementarity relationships between Greek regional economies [Текст] / Y. Kamarianakis, V. Kaslis // ERSA Working paper. -2005.

3. Nazara, S. Interregional competition and complementarity in Indonesia [Текст] / S. Nazara, M. Sonis, G.J.D. Hewings // REAL Discussion Paper. -Urbana, Illinois, University of Illinois. -2001.

4. Dall'erba, S. Competition, complementarity and increasing disparities among the regions of Spain and Portugal [Текст] / S. Dall'erba // Revue d'Economie Regionale et Urbaine. -2004. -Iss. 2. -P. 311-330.

5. Кремер, Н.Ш. Эконометрика [Текст]/ Н.Ш. Кре-мер, Б.А. Путко. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. -311 с.

6. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. -551 с.

7. Бородич, С.А Эконометрика: Учеб. пособие [Текст]/ С.А. Бородич.-Минск:Новое знание, 2001. -408 с.

УДК 51-77; 519.22; 316.4.057

Д.Н. Верзилин, Т.Г. Максимова

реконструкция временных характеристик процессов изменения состояний элементов социума

Постановка задачи

Рассматриваются объекты (элементы социума) пребывающие в заданном состоянии на момент наблюдения. Такой способ формирования статистической совокупности широко используется при организации статистических наблюдений [1]. Момент времени наблюдения принято называть критическим. Критический момент статистического наблюдения - это момент времени, по состоянию на который производится регистрация собираемых сведений в процессе статистического наблюдения [2].

Необходимо понимать, что характеристики статистической совокупности, сформированной по состоянию на критический момент наблюдения, отличаются от характеристик исходной совокупности объектов. Рассмотрим соответствующие этим совокупностям два распределения времени пребывания в заданном состоянии.

Наряду с названными распределениями критический момент времени статистического наблюдения определяет еще два распределения: распределение прошедшего времени и распределение оставшегося времени. Под распределением прошедшего времени будем понимать распределение времени, прошедшего от момента перехода объекта (элемента социума) в заданное состояние

до критического момента времени. Под распределением оставшегося времени будем понимать распределение времени от критического момента до момента изменения состояния. Таким образом, введено в рассмотрение четыре вероятностных распределения времени.

Как правило, имеющиеся статистические данные позволяют непосредственно оценить только одно из распределений - распределение времени, прошедшего от перехода в заданное состояние до критического момента времени. Задача состоит в определении взаимосвязей между распределениями и установлении способов оценки самих распределений.

Далее подробно рассмотрим ситуацию, характеризующуюся тем, что, во-первых, появление новых объектов (элементов социума) с заданным состоянием (переход объектов в заданное состояние) описывается установившимся стационарным потоком событий, т. е. математическое ожидание числа новых объектов на интервале времени зависит только от длины этого интервала, и, во-вторых, появление новых объектов является массовым в том смысле, что математическое ожидание времени между последовательными появлениями достаточно мало по сравнению с математическим ожиданием продолжительности пребывания объектов в заданном состоянии.