Реконструкция временных характеристик процессов изменения состояний элементов социума Текст научной статьи по специальности «Математика»

список литературы

1. Sonis, M. Discrete non-linear probabilistic chains [Текст] / M. Sonis // Functional differential equations. - 2003. -Vol. 10. -Iss. 3-4. -P. 593-639.

2. Kamarianakis, Y. Geographical competition-complementarity relationships between Greek regional economies [Текст] / Y. Kamarianakis, V. Kaslis // ERSA Working paper. -2005.

3. Nazara, S. Interregional competition and complementarity in Indonesia [Текст] / S. Nazara, M. Sonis, G.J.D. Hewings // REAL Discussion Paper. -Urbana, Illinois, University of Illinois. -2001.

4. Dall'erba, S. Competition, complementarity and increasing disparities among the regions of Spain and Portugal [Текст] / S. Dall'erba // Revue d'Economie Regionale et Urbaine. -2004. -Iss. 2. -P. 311-330.

5. Кремер, Н.Ш. Эконометрика [Текст]/ Н.Ш. Кре-мер, Б.А. Путко. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. -311 с.

6. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. -551 с.

7. Бородич, С.А Эконометрика: Учеб. пособие [Текст]/ С.А. Бородич.-Минск:Новое знание, 2001. -408 с.

УДК 51-77; 519.22; 316.4.057

Д.Н. Верзилин, Т.Г. Максимова

реконструкция временных характеристик процессов изменения состояний элементов социума

Постановка задачи

Рассматриваются объекты (элементы социума) пребывающие в заданном состоянии на момент наблюдения. Такой способ формирования статистической совокупности широко используется при организации статистических наблюдений [1]. Момент времени наблюдения принято называть критическим. Критический момент статистического наблюдения - это момент времени, по состоянию на который производится регистрация собираемых сведений в процессе статистического наблюдения [2].

Необходимо понимать, что характеристики статистической совокупности, сформированной по состоянию на критический момент наблюдения, отличаются от характеристик исходной совокупности объектов. Рассмотрим соответствующие этим совокупностям два распределения времени пребывания в заданном состоянии.

Наряду с названными распределениями критический момент времени статистического наблюдения определяет еще два распределения: распределение прошедшего времени и распределение оставшегося времени. Под распределением прошедшего времени будем понимать распределение времени, прошедшего от момента перехода объекта (элемента социума) в заданное состояние

до критического момента времени. Под распределением оставшегося времени будем понимать распределение времени от критического момента до момента изменения состояния. Таким образом, введено в рассмотрение четыре вероятностных распределения времени.

Как правило, имеющиеся статистические данные позволяют непосредственно оценить только одно из распределений - распределение времени, прошедшего от перехода в заданное состояние до критического момента времени. Задача состоит в определении взаимосвязей между распределениями и установлении способов оценки самих распределений.

Далее подробно рассмотрим ситуацию, характеризующуюся тем, что, во-первых, появление новых объектов (элементов социума) с заданным состоянием (переход объектов в заданное состояние) описывается установившимся стационарным потоком событий, т. е. математическое ожидание числа новых объектов на интервале времени зависит только от длины этого интервала, и, во-вторых, появление новых объектов является массовым в том смысле, что математическое ожидание времени между последовательными появлениями достаточно мало по сравнению с математическим ожиданием продолжительности пребывания объектов в заданном состоянии.

Для описанной ситуации можно полагать справедливым следующее допущение. Если объект переходит в пределах некоторого интервала времени в заданное состояние, то момент перехода представляет собой равномерно распределенную на данном интервале случайную величину.

Взаимосвязи между распределениями времен

Введем обозначения: Е(7) и /(7) - функция и плотность распределения (безусловная) времени пребывания в состоянии; Я(7) и г(7) - функция и плотность распределения прошедшего (до момента наблюдения) времени пребывания в состоянии; Q(t) и q(t) - функция и плотность распределения оставшегося (от момента наблюдения) времени пребывания в состоянии; Н(7) и Ь(£) - функция и плотность распределения времени пребывания в состоянии при условии, что состояние наблюдалось в некоторый произвольный, но фиксированный момент времени; и(7,, 72) и и (7-, 72) - функция и плотность совместного распределения прошедшего и оставшегося времени пребывания в состоянии.

Заметим, что доля объектов, не сменивших свое состояние среди объектов, перешедших в заданное состояние t единиц времени назад, равна 1 — Е (7). Поэтому при сделанных предположениях г (7) пропорционально 1 — Е (7), отсюда:

1с

где ц - математическое ожидание безусловного

времени пребывания в состоянии, при этом 1/ц

является нормирующим множителем г

Условная функция распределения оставшегося времени пребывания в заданном состоянии при условии, что время, прошедшее от момента перехода в состояние, равно 0 , определяется следующим образом:

С(*/е) =

/(т + 9)й?т

ГЛ1

л л-

Отсюда

(1-Е(9))

Г00 т**" I

е(0 = ^(9)6^/0)^0 = ] г(0)|

о

+оо t

[/(т + Щт (1-Е(9)

¿9 =

I 1 " ' 1

= | |/(х + = - ||/(т + одо =

^ о о ^00

1 г

Таким образом, при сделанных допущениях Q(t) тождественно равно Я (7), а q(t) тождественно равно г (7).

Приведенные соотношения позволяют выразить В(7,, 72) и и (7,, 72) . Поскольку

п п ^ п п

0 0

0 0

.z , — , —

<2^2) = | |и(9,т)гШт = - | |/(т + 9)<Шт.

М-,

о о

о о

Получаем и(7,,72) = /^ + ^ , В(7,,72) =

- л /(т+е)^е^т.

ц 0 0

Для определения Н (7) предположим, что на момент наблюдения прошло т единиц времени от перехода в заданное состояние. При этом т может принимать значения от нуля до 7 .

Тогда Н (7) = - |(Е (7) — Е (т))^т, где ц

где ц - мате-

матическое ожидание безусловного времени пребывания в заданном состоянии, 1/ ц - нормирующий множитель. ,

Далее получаем ) = Н1 (7) = —7/(7). В другой

записи

: Н (7) = -\т/ (т)Л.

Ц п

ц

Заметим, что полученные распределения Я (7), Q(t), Н(7) возникают в другом контексте при рассмотрении процессов восстановления и, в частном случае, когда Е (7) соответствует экспоненциальному распределению, при рассмотрении так называемого парадокса ожидания [3].

Легко заметить, что г(0) = q(0) > 0, г(7), q(t) -тождественно равные убывающие функции, Н(0) = 0.

Моменты распределений

Введем обозначения: ц ист2 - математическое ожидание и дисперсия безусловного времени пребывания объектов в заданном состоянии; т -математическое ожидание времени пребывания в заданном состоянии при условии, что состояние наблюдалось в некоторый произвольный, но фиксированный момент времени.

Очевидно, что математическое ожидание про-

Ц

шедшего до момента наблюдения времени пребывания в состоянии совпадает с математическим ожиданием оставшегося времени и равно т/2 .

Пользуясь равенствами о2 = |т2/(т)^т-ц2,

л -Н» О

1 Г 2 о

т = — Т /(т)^т, получаем решение m = ц+о2/ц.

V о

С другой стороны, учитывая, что Е(?) = 1 - цт(?), 1

Н(?) = Я(?)- ^(?), 0(?/6) = 1 -

получаем ц =

г (0)

, о =■

(КО))2

-. Можно заме-

тить, что

}__ г Кх) М- } х

с1х, другими словами, ве-

личина, обратная к математическому ожиданию времени (безусловного) пребывания в состоянии, равна математическому ожиданию обратной величины ко времени пребывания в состоянии, при условии, что состояние наблюдалось в некоторый произвольный, но фиксированный момент времени.

Последовательная реконструкция данных о безусловном времени пребывания объектов

(элементов социума) в заданном состоянии

В результате статистического наблюдения формируется статистическая совокупность объектов (элементов социума), находящихся в критический момент времени в заданном состоянии. Как было показано, характеристики объектов, составляющих статистическую совокупность, могут существенно отличаться от характеристик безусловной совокупности объектов, которые находились в том же состоянии в прошлом, либо перейдут в него в будущем. Как правило, для объектов статистической совокупности известна или может быть оценена продолжительность времени, прошедшего от момента перехода в заданное состояние до критического момента времени. По имеющейся выборке необходимо оценить описанные выше вероятностные распределения.

Если вид безусловного распределения времени неизвестен, то целесообразно использовать непараметрические методы оценки плотности г (?). Заметим, что если г(?) известно, то рассмотренные выше функции распределения могут быть легко выражены следующим образом (использованы определенные выше взаимосвязи между распределениями):

0(?) = Я(?) = | г(т)Л, Е(?)

= 1 -

КО г(0) ,

г (? + 6)

г (6)

Если функция Е( ?) известна с точностью до параметров ц и ст , то, как было показано выше, достаточно оценить г(0) и т .

Целесообразно использовать следующую общую последовательность этапов, обеспечивающих реконструкцию данных о безусловном времени пребывания объектов (элементов социума) в заданном состоянии.

1. Построение модифицированной гисто-граммной оценки (оценки максимального правдоподобия) плотности г (?) на основе выборки, содержащей сведения о продолжительности пребывания в заданном состоянии на критический момент времени. Построение такой оценки не требует предварительного оценивания параметров распределения.

2. Предварительное оценивание параметра Ц = г(0) .

3. Предварительное оценивание функции Н (?).

4. Осуществление статистического моделирования полного времени пребывания объектов в заданном состоянии при условии, что оно наблюдалось в критический момент.

5. Оценивание параметра ц = г(0) на основе выборки величин, обратных к полному условному времени пребывания объектов в заданном состоянии.

6. Построение модифицированной ядерной оценки плотности г (?). В качестве параметра используются полученные оценки величины Ц = г(0).

7. Корректировка ядерной оценки плотности в нуле, окончательное оценивание ц = г (0) и ст2 = ц(ц - т), где т - удвоенное среднее значение времени, прошедшего от перехода в состояние до критического момента.

8. Определение функций распределения 0(?), Я(?), Е(?), Н(?), 0(?| 6) на основе ядерной оценки плотности г( ?), либо параметрическое оценивание Е(?) по значениям ц и ст .

Далее подробно описываются процедуры построения оценок плотности г(?), затем приводятся данные вычислительных экспериментов, иллюстрирующие реализацию перечисленных этапов реконструкции данных и подтверждающих работоспособность предложенной схемы реконструкции. Анализируется точность получаемых оценок. Рассматриваются возможные

обобщения выполненной постановки задачи об определении вероятностных характеристик безусловного времени пребывания объектов в заданном состоянии.

Процедуры оценивания плотности распределения условного времени пребывания объектов в заданном состоянии

Предлагается использовать две оценки плотности вероятностного распределения: оценку максимума правдоподобия [4] и модифицированную ядерную оценку с использованием симметризации наблюдений, предложенную в работе [6].

Выбор оценок обусловлен свойствами плотности г (7) = — (1 — Е (7)):

ц

1) г (7) определена на интервале [0,+<ю];

2) г (7) ограничена сверху и достигает максимального значения, равного 1/ ц, ц > 0 в нуле;

3) г (7) монотонная функция.

Аргументацию, обусловливающую выбор

двух оценок плотности с перечисленными свойствами, можно найти в работе [6]. Анализ точности получаемых оценок приведен ниже.

Оценка максимума правдоподобия Гренан-дера (модифицированная гистограммная оценка) представляет собой плотность гп, для которой максимально произведение ^^. х гп (X ), где

х, г = 1, ..., п - выборка значений времени, прошедшего от перехода в состояние до критического момента. Оптимизационная задача отыскания такой плотности имеет следующее решение [5]. 1 п

Пусть Яп (7) =— ^ Ш[хг < 7] - эмпирическая п^1

г=1

функция распределения.

Здесь !пй[хг < 7] = 1, если хг < 7 и 1пё[хг < 7] = 0 - иначе.

Пусть Оп - наименьшая вогнутая мажоранта для Яп, тогда гп (7) = С'п (7).

Очевидно, что Оп (7) представляет собой кусочно-линейную функцию, соответственно, гп (7) является кусочно-постоянной функцией (гистограммой).

Предлагается следующая процедура построения Оп (7), основанная на фильтрации

узл°вых точек (Хр у) У2% ..., (tm, Ут) графика функции Яп (7). Здесь т < п. Каждая абсцисса Хк, к = 1, ..., т совпадает с хотя бы одним х, г = 1, ..., п, (ук — ук—х) равняется числу совпадений, деленному на п. При осуществлении однократной

фильтрации точки (X.,у), г = 2, ..., т - 1 удаляются из списка узловых точек при выполнении условия

У г — У г —1 < У г+1 — У г

— X,

—1

7 +1 — 7

После однократной фильтрации оставшиеся точки графика функции Яп (7) нумеруются заново. Процедура фильтрации повторяется, если приведенное условие выполнено хотя бы для одной точки графика.

Модифицированная ядерная оценка. Основы ядерного оценивания плотностей вероятностных распределений разработаны в трудах [7, 8]. Ядерная оценка /п (х) плотности /(х) определя-

ется как

Л(*) = -ТУ]К(Х ,Х'), где К - некото-ппг~( п

рая абсолютно интегрируемая плотность (ядро).

В дополнение к отмеченным выше свойствам функции г (7) будем считать, что ее носителем является ограниченный интервал 0 ^ а. Будем оценивать функцию /(X) = аг(аХ) с носителем 0 ^ 1.

Дополнительно выполним следующую процедуру симметризации.

Пусть gn (7) - ядерная оценка, построенная по выборке У ..., У где Уг = ±Xг,г = 1,..., п. Знаки выбираются случайным образом, равновероятно. Тогда / (X) = gn (X) + Еп (—7), X > 0.

Далее полагаем, что К(х) - треугольная равнобедренная плотность на интервале -1 ^ 1,

И =

( 6Ь2 ^

1/3

у%п У

. Здесь Ь - оценка снизу для параме-

тра ц. Таким образом, для применения оценки необходимо предварительно оценить ц.

Получаем следующую последовательность соотношений для определения оценки гп (Х) плотности г(Х) :

"), /п (X) = Еп (X) + Еп (—X), X > 0,

пЬ, г-? к

1 X

гп (X) = 1 /п (~).

а а

Далее приводятся результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие особенности получения и применения оценок плотностей условного прошедшего времени пребывания в состоянии. Асимптотические свойства оценок рассматриваются ниже.

Вычислительные эксперименты

Методика организации вычислительных экспериментов рассмотрена на примере нормального распределения безусловного времени пребы-

0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04

♦

♦ ♦4

» ♦ ♦

♦ /

♦ ♦ * * F™

♦ ♦

4

♦

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Рис. 1. Последовательность оценок r(0)

вания объектов (элементов социума) в заданном состоянии с параметрами ц = 10, о2 = 3.

Математическое ожидание полного условного времени (при условии, что состояние наблюдалось в критический момент) равно 10,3 в соот-

с2

ветствии с равенством т = ц +--.

Ц

Статистическое моделирование условного времени пребывания в заданном состоянии осуществлялось следующим образом. На основе применения программного датчика случайных чисел было получено 10 000 реализаций нормально распределенной случайной величины с параметрами ц = 10, о2 = 3. Из полученной выборки отобрано 2000 чисел, распределение которых приблизительно соответствует условному прошедшему времени пребывания объектов в заданном состоянии при условии, что состояние наблюдалось в критический момент. Использовалась простейшая процедура случайного отбора с возможностью повторного выбора того же числа в соответствии с которой вероятность выбора числа пропорциональна этому числу. Далее полученная выборка Х1, ..., Хп (п = 2000) использовалась как исходная выборка наблюдений условного прошедшего времени пребывания в состоянии.

Таким образом, задача заключалась в моделировании по исходной выборке теоретически известных вероятностных распределений (в т. ч. Е (?)) с последующей оценкой точности моделирования.

График эмпирической функции распределения условного прошедшего времени пребывания в заданном состоянии содержал около 2000 узло-

вых точек. Принято, что носителем функции r(t) является интервал 0 ^ 14. В результате применения описанной выше процедуры фильтрации количество узловых точек сократилось до 25, включая точки, для которых t = 0 и t = 14 (границы интервала-носителя r(t)). Оставшиеся узловые точки использованы для построения наименьшей вогнутой мажоранты эмпирической функции распределения.

Получена кусочно-линейная оценка Г (t) функции r(t).

Как показано ниже, полученная оценка является приемлемой в смысле метрики

Щг,?)- Jl Я(0 - r(t) I dt - 0,0295.

о

Заметим, что важный для оценки параметрических распределений параметр r (0) (теоретическое значение 0,1) не может быть непосредственно оценен по значению r(0) = 0,132 .

Сложность непосредственного оценивания r(0) по выборке X1, ..., Xn иллюстрирует рис. 1, на котором показана последовательность оценок r (0), получаемых по k ближайшим к нулю значениям Xk, k = 1, ..., 100. При правильном выборе k или окрестности нуля, может быть получена точная оценка (близкая к 0,1). Предлагается следующий метод поэтапного оценивания r(0). Вначале определяется функция распределения H (t) полного условного времени пребывания в заданном состоянии, затем осуществляется статистическое моделирование полного условного времени. После этого в качестве оценки для r(0) выбирается среднее значение обратных величин.

л

/7

<►• 1 1 1 •

0 2 4 б 8 10 12 14 16

Рис. 2. Узловые точки оценки И(()

Использовано соотношение И (() = Л(? ) -?г(?). Полученные узловые точки оценки И (() функции И (() показаны на рис. 2.

Для сравнения приведен теоретический график И'(?). В качестве И (() использовалась кусочно-линейная интерполяция, выполненная по узловым точкам.

Выборка случайных значений полного условного времени пребывания в состоянии построена с помощью метода обратной функции. Очередное значение времени (^ выбиралось в соответствии с условием Е = И ((г-), где Е - случайное число, подчиняющееся равномерному распределению на интервале 0 ^ 1.

Применение описанного метода обеспечило получение оценки г (0) = 0,1014 и ц = 9,862.

С учетом того, что оценкой для т является удвоенное среднее значение X элементов X^, 1 = 1,..., п и исходной выборки, получаем:

т = X х 2 = 10,256; с2 = (т -ц)ц = 3,89.

Полученное значение ц позволило в качестве нижней границы Ь для параметра ц при построении ядерной оценки плотности принять Ь = 9.

Построены графики функций, последовательно реконструируемых при построении оценки гп (() плотности г ((). График функции распределения Яп (() восстановлен по плотности. Гисто-граммная и ядерная оценки взаимно дополняют друг друга. Функция г() претерпевает разрыв в нуле. Получено гп (0) = 0,05. Это значение под-

лежит замене. В то же время, вблизи нуля гп (() очень близко к теоретическому значению, равному 0,1. Гистограммная оценка точнее с точки зрения метрики и лучше при приближении к правой границе интервала-носителя г (().

Более подробно полученные оценки анализируются ниже при рассмотрении их точности.

Анализ точности реконструированных сведений о времени пребывания элементов социума в заданном состоянии

Как было показано выше, для реконструкции сведений о времени пребывания (объектов) элементов социума в заданном состоянии ключевые значения имеют точности оценивания плотности г (() распределения прошедшего условного времени пребывания объектов в состоянии.

Имеются данные об асимптотическом поведении использованных оценок при увеличении объема использованной выборки.

Рассмотрим вначале поведение гистограмм-ной (максимума правдоподобия) оценки Гренан-дера [4] /п плотности / по выборке их п элементов. В работе [9] показано, что если / строго убывает на 0 ^ 1, имеет непрерывную и ограниченную производную, то

птЕ{ \\т -т\|/и'(01 -м)т*.

о о

Здесь Е - знак математического ожидания.

Рис. 3. График разности теоретической функции r(t) и ее гистограммной оценки

, где b -

Для использованной выше модифицированной ядерной оценки справедливо -к» ✓ , v/з

lim supnl3E( il rn(î)-r(t) I dt)<\ — »->+- r J {b ,

описанный выше параметр оценки, sup берется по всем r рассмотренного класса.

К сожалению, приведенные сведения о сходимости оценок не обеспечивают построение доверительных интервалов для расстояния

+оо

Ly {rn ,r)= Jl rn {t) - r{t) I dt и для математического о

ожидания расстояния.

Заметим, что основным объектом оценки является функция распределения F (t) = 1 -цг (t). Таким образом, даже если имеется оценка точности Zj (rn, r), то она позволяет оценить точность представления F(t) в той же метрике L1. Однако для функции распределения интегральная оценка не представляет большой ценности, более важна оценка в метрике Чебышева: max \FJt)-F(t)\.

Приведенные соображения свидетельствуют о необходимости проведения вычислительных экспериментов по оцениванию различных вероятностных распределений времени пребывания объектов в заданном состоянии.

Теоретическим обоснованием эффективности вычислительных экспериментов может служить весьма общий результат, полученный в работе [10]. Для достаточно широкого класса оценок fn плотности f показано, что значение расстояния L1(fn, f) не подвержено существенной вариабельности, т. е. для получения оценок E(L1( fn, f) нет необходимости проводить многочисленные вычислительные эксперименты.

В частности, показано, что

var( I fn (t) — f(t)\ dt) < — для гистограммных

о "

и ядерных оценок (с обычным положительным

ядром).

На рис. 3 и 4 приведены результаты вычислительных экспериментов, характеризующие точность полученных оценок плотности распределения времени пребывания в заданном состоянии.

До сих пор рассматривалась ситуация, в которой появление новых объектов в заданном состоянии (переход объектов в заданное состояние) характеризуется установившимся стационарным потоком событий. Рассмотрим следующее обобщение. Будем считать, что известна функция С(?) распределения времени, прошедшего от

( iiii1

; - i i i i i iiii ! 1 о\ 1 2 1 4

Рис. 4. График разности теоретической функции г(/) и ее ядерной оценки г (?)

перехода объекта в заданное состояние до момента наблюдения (критического момента). Рассматриваются все случаи перехода в состояние независимо от того, остается объект в заданном состоянии в критический момент времени или нет. Если объект переходил в заданное состояние несколько раз, то все случаи рассматриваются независимо друг от друга, как если бы речь шла о разных объектах.

Заметим, что значения плотности распределения g(?) пропорциональны интенсивности (как функции времени) перехода объектов в заданное состояние.

Введенные выше соотношения легко обобщаются для рассматриваемого случая:

(1-^(0)^(0

т=

■too

- F(t))dG(t)

Q(t 10) = -

i

Jf(T + e)g(t + e)dx

t

¡№g(i)dx

■Toa

<2(0= \r(&)Q{t I Q)dQ,

l

J(F(í)-F(T))*(T)rfc

H(t) =

_ o

T™

J(F(0-F(T))g(x)¿T

Заметим, что в рассматриваемой ситуации Q(t) и могут не совпадать.

Если О(?), g(?) - известные функции времени, то по плотности г (?) можно восстановить остальные распределения. Применявшиеся выше подходы по-прежнему актуальны. Наибольшую сложность составляет сбор данных о О (?).

Представленные материалы в совокупности составляют методику реконструкции временных характеристик процессов изменения состояний элементов социума по данным выборочных наблюдений в фиксированный момент времени.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках госконтракта 02.740.11.0437.

список литературы

1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика. Основы шалкин. -М.: Финансы и статистика, 1983.-471 с.

моделирования и первичная обработка данных: Справ. издание [Текст]/С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Ме-

2. Статистика: Учебник [Текст]/Под ред. В.С. Мхтаряна. -М.: Экономист, 2006.-671 с.

3. Феллер, В. Введение в теорию вероятности и ее приложения [Текст]/ В. Феллер; Пер. с англ. -М.: Мир, 1984. В 2-х т. Т.2.- 738 с.

4. Айвазян, С.А. Теория вероятностей и прикладная статистика [Текст]/С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - М.: Юнити, 2001. -Т. 1. -656 с.

5. Grenander, U. On the theory of mortality measurement [Текст] / U. Grenander // Skandinavise Aktuarietid-skrift. -1956. -P. II. -Vol.39. -P. 125-153.

6. Деврой, Л. Непараметрическое оценивание плотности [Текст]/Л. Деврой, Л. Дьердж//Ъ1-подход; Пер. с англ. -М.: Мир, 1988. - 408с.

7. Rosenblatt, M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function [Текст]/М. Rosenblatt// Ann. Math. Statist. -1956. -Vol.27.-P. 832-837.

8. Parzen, E. On the estimation of a probability density function and mode [Текст]/Е. Parzen// Ann. Math. Statist. -1962. -Vol.33. -P.1056-1076.

9. Groenebom, P. Estimating a monotone density [Текст] / P. Groenebom //Proc. of the Neyman Kiefer Conference. -1983.

10. Devroye, L. An application of the Efron-Stein inequality in density estimation [Текст] /L. Devroye// The Annals of Statistics. -1987. -Vol.15. -№.3. -P.1317-1320.

УДК 681.3.016

Д.Е. Бортяков, С.В. Мещеряков нерекурсивная модель иерархии объектов

транспортных и технологических систем

Постановка задачи

В [2, 3] рассмотрены традиционные методы организации иерархии данных и их недостатки, главный из которых - наличие рекурсии в реляционной модели и запросах к базе данных (БД). Попытки избавиться от рекурсивности приводят к появлению избыточности (дополнительных полей) в модели данных и ограничениям в ее практической реализации по глубине вложенности и количеству объектов-потомков. В данной статье

поставлена задача разработки новой иерархической структуры данных, которая не содержит рекурсию и превосходит существующие модели по общепринятым критериям ресурсов занимаемой памяти, времени доступа к БД, ее масштабируемости [1].

Моделирование иерархии транспортных и технологических систем (ТТС) в объектно-реляционной СУБД (табл.) имеет специфику и связано с определенными трудностями. В про-

Пример иерархической структуры объектов ТТС

№ Наименование объекта

1.0 Цех первичной переработки продукции

1.1 Участок загрузки и обработки сырья

1.2 Участок отгрузки готовой продукции

1.2.1 Нагревательная установка

1.2.2 Установка вакуумной упаковки

1.2.3 Установка сортировки и складирования

2.0 Цех 2

6.0 Ремонтно-механический цех

6.1 Здания и сооружения

6.2 Металлорежущие станки и инструмент

6.3 Трубопроводная и запорно-регулирующая арматура

6.4 Насосы и компрессоры

6.5 Грузоподъемные машины и механизмы

6.5.1 Надземные краны

6.5.1.1 Мостовые подвесные краны

6.5.2 Мостовые перегружатели

6.5.3 Грузовые лифты

6.5.4 Автокары

6.6 Компьютерное и электрооборудование