Моделирование процесса вакуумно-сорбционного увлажнения кож Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНОЛОГИИ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

УДК 685.34.05

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВАКУУМНО-СОРБЦИОННОГО

УВЛАЖНЕНИЯ КОЖ

© 2012 г. Л.В. Ларина

Южно-Российский государственный South-Russian State University

университет экономики и сервиса, г. Шахты of the Economy and Service, Shahty

Рассмотрены особенности моделирования процесса вакуумно-сорбционного увлажнения кож, обеспечивающего гарантированное воздействие на микрокапиллярную структуру кожи при минимальной длительности процесса. Принципиальная возможность достижения поставленной цели вытекает из анализа основного уравнения теплопереноса А.В. Лыкова за счет реализации переноса влаги по микрокапиллярам кожи в виде пара эффузией (Кнудсеновская диффузия) в условиях вакуума, которая эффективнее вязкого течения Пуазейля, по крайней мере, на 6 порядков. Приводятся математические модели, позволяющие рассчитывать привес влаги при вакуумно-сорбционном увлажнении в коже как сумму привесов, полученных в результате капиллярно-сорбционных явлений и теплообмена.

Ключевые слова: микрокапилляры кожи; диффузия; эффузия; модель; вакуум; сорбция; теплообмен.

The paper describes specific features of modeling leather vacuum-sorption damping process ensuring a guaranteed impact on the microcapillary structure of the leather with a minimum duration of the process. The fundamental possibility of achieving this goal follows from the analysis of the basic equation of heat and mass transfer by A.V. Lykov through moisture transfer by effusion (Knudsen diffusion) in the form of vapor through microcapillaries of the skin in vacuum, which is at least six times more efficient than viscous Poiseuille flow. The paper contains mathematical models allowing to calculate the of moisture during vacuum-sorption damping of the skin as the sum of resulting from capillary-sorption phenomena and heat exchange.

Keywords: microcapillaries of the skin; diffusion; model; vacuum; sorption; heat exchange.

Анализ современных отечественных и зарубежных технологий гигротермической обработки кожаных заготовок верха обуви (увлажнения, сушки, влажно-тепловой обработки) показывает, что их существенным недостатком является невозможность гарантированного воздействия на микрокапиллярную структуру кожи для обеспечения требуемых физико-механических свойств. В настоящее время эта задача частично решается назначением длительных энергозатратных режимов обработки, основанных на диффузионном механизме переноса влаги по капиллярам кожи, при котором заполнение влагой микрокапилляров носит случайный характер. Но качество готовой продукции, как показано в работах Р.В. Луцыка, В.М. Чесунова [1, 2] и других авторов, помимо воздействия на микрокапиллярную структуру кожи, зависит и от скорости изменения ее влагосодержания, конечной влажности. Принципиальная возможность решения перечисленных проблем вытекает из анализа основного уравнения тепломассопереноса, приведенного в работе А.В. Лыкова [3] за счёт реализации переноса влаги по микрокапиллярам в виде пара эффузией (Кнудсеновская диффузия), что возможно, например, в вакууме. Такой перенос эффективнее

вязкого течения Пуазейля, по крайней мере на 6 порядков, причем проницаемость кожи резко возрастает и, пройдя через максимум, резко падает, что объясняется заполнением микрокапилляров сконденсировавшимся паром. Известно [4], что капиллярная конденсация водяного пара происходит только в мелких капиллярах с эффективным радиусом г < 10-7 м и даже в тех случаях, когда стенки капилляров гидро-фобны. Отсюда следует, что при вакуумно-сорбци-онном увлажнении привес влаги в коже происходит за счет конденсации влаги в микрокапиллярах.

Для построения математической модели этого процесса представим капилляры кожи как цилиндрические трубки, длина каждой из которых значительно больше ее диаметра, равного 2го, где го - радиус единичного капилляра.

Пусть в момент времени то начинается процесс переноса пара в трубку и его осаждение на стенках. Процесс конденсации пара можно считать равномерным, потому что, во-первых, диффузия паров, как было выяснено выше, происходит очень быстро, так как воздух из капилляров удален при вакуумировании, а во-вторых, число сконденсировавшихся молекул пара зависит от первоначальной разности температур

стенки, водяного пара и сил поверхностного натяжения, которые одинаковы по всей длине капилляра.

В результате конденсации пара на стенках радиус части трубки, не занятой паром, будет уменьшаться. Изменение этого радиуса обозначим г(т) и выясним, как он зависит от времени.

Пусть за время Дт на стенках трубки сконденсируется масса влаги Дm, для которой справедливо выражение:

Ат = АV рв, (1)

Объем сконденсированной влаги в капиллярной трубке определяется по следующему выражению:

V = V - V = ш 2L-%г 2

вл тр.нач тр.кон о о

/ ' \2 ' - -РРп (0) 2LpB

: лг2 L

1 - е

_ -Рп (0) 2 LPb

V 2

L=

(5)

где Д V - приращение объема водяного слоя, м ; рв -плотность воды, кг/м3.

Приращение объема влаги Д V равно

AV = 2nrArL .

(2)

где Дг - изменение радиуса трубки; L - длина трубки. L = §1,

где I - расстояние между торцами трубки. Масса Дт по закону Фика [3]:

Am = - Ddpn S (x)d x , dx

(3)

где рп - плотность пара; S(т) - площадь сечения трубки в момент времени Дт

S (т) = п[г (т)]2.

Подставляя выражения (3) и (2) в (1), получим

-DdPп пг 2Ат = 2лrАrLрв

Ск

или

-DdPnrAx = 2LpBAr . dx

Заменив приращение дифференциалами, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

С Рп

--С^с т=

2LРв Г

Проинтегрировав выражение (4), найдем DСРп

1п(г) =--Ск- т + С,

(4)

2LPb

или

r (x) = CLe

-Рп 2LPb

При т = 0 радиус равен г0, поэтому С1 = г0, а р'п = = Р'п(0) - градиент концентрации пара на входе в капилляр, тогда

- Ррп (0) т г(т) = г0е 21-Рв .

Для вычисления объема влаги по формуле (5) необходимо знать значения D и р'п(0), которые зависят от давления и температуры пара.

Задавшись их средними значениями, можно теоретически определить объем сконденсированной влаги. Средний градиент концентрации пара по длине трубки равен

с Рп =Рп ск х

Для установления зависимости между средним градиентом концентрации пара и градиентом концентрации на входе в капилляр рассмотрим решение уравнения диффузии с поглощением

- К1 = 0,

ск

где К] - масса пара, сконденсировавшегося за единицу времени на единице длины трубки.

Проинтегрировав дважды вышеприведенное уравнение, получим

рп = —- x2 + C1 x + C2. п 2D 12

(6)

Для определения величин С; и С2, воспользуемся начальными условиями

Рп(0) = Рпо ,

где рп0 - плотность пара на входе в капилляр.

с Рп

dx

= 0 - из условия непроницаемости.

x=L

К

Следовательно, С2 = рп , С, =--L .

л 1 ио 1 D

Подставляя найденные значения в уравнение (6), получим

К, 2 К,

Рп =-х--xL +Рп .

2D 2D 0

Отсюда

d Рп = Kl x - Kl l .

dx D

D

Тогда при х = 0 :

d Рп

dx

= -Kl L.

D

x

x=0

Найдем средний градиент пара на отрезке (0;Ь), используя формулу

d Рг

= 1L dPL dx ,

Т J

dx j ср L Q dx

из которой имеем

d pn

dx

( v 2 v \

K _ K Lx D 2 D

= I (КL - К Ь11 = - М.

L ^ D 2 D ) 2D

Следовательно, величина среднего градиента концентрации пара на отрезке (0; L) в два раза меньше градиента в точке х = 0.

Градиент концентрации пара на входе в капилляр

рп(0) = =

dx L

(7)

Подставив выражение (7) в уравнение (5), полу-

чим

(

l

_ 2DPn

1 _ e LLpn

(8)

Уравнение (8) представляет собой выражение, позволяющее математически определить объем влаги, сконденсированной в коже за счёт сорбционных явлений.

В результате теплообмена между кожей, имеющей начальную температуру Тн, и нагретым паром происходит его конденсация, что и вызывает увеличение массы кожи за счет прироста в ней влаги.

В общем случае зависимость удельной теплоемкости воды и парообразования от температуры в первом приближении является линейной. Для нахождения зависимости между температурой кожи и количеством сконденсировавшейся в ней влаги в результате теплообмена, без учета капиллярно-сорбционных процессов, составим дифференциальное уравнение процесса.

Пусть за время Дт в коже массой Мк произошла конденсация пара массой Дт, при этом коже передалось количество тепла Дq:

Aq = AmCn(T),

(9)

где Сп - удельная теплоемкость парообразования.

В результате теплообмена за время Дт температура кожи и уже сконденсированной влаги повысится на ДТ:

Ад = (МКСК + тСв)АТ , (10)

где Ск - удельная теплоемкость кожи; Св - удельная теплоемкость воды.

Приравняв правые части уравнений (9) и (10), получим дифференциальное уравнение:

АтСп(Т) = (МкСк + тСв)АТ . Заменяя приращения массы и температуры дифференциалами и разделяя переменные, получим

dm

dT

М к Ск + тСв Сп(Т) Решим полученное уравнение относительно т:

С-1п|М С + тСв\ = | + С1;

Св Сп(Т )

Св 1

dT

MC + тСв = Cie Сп(т)

или

Св

с f-d?L Cie В Сп(т) _МКСК

Если предположить, что теплоемкость парообразования в интервале температур от 20 до 80 °С изменяется линейно, то получим

( йТ , йТ 1 , , ]-= ]-— = — 1п| а + вТ|

Сп(Т) a + вТ в

Тогда

Св 1

dT

СГ(Т) _

С

Св1п a+вТ

e ' _ e

Следовательно, 1

_ (a + вТ) в .

m(T) _ — С

(a + вТ)в _ МкС,

Рассмотрим частный случай, когда Сп(Т)=а=со^. Тогда

С

ln| МкСк + тСв|_s- Т + С1,

или

т _ ■

С,

1 Г Св Т

С^а _ МкСк

Найдем постоянную С1 из начального условия т(Т н) = 0.

Тогда

Отсюда

Qe а _ Мк Ск. С _ МкСк .

Окончательно получим

т(Т) _ —

С

( сТ ^

М С —

М кСк e а _М С

V e

-в1 н а

0

L

1

m =

С

в

в

С

С Т ^в1 н

а

e

или

m(T ) =

МСг

( C

—(Т -Тн)

-1

(10)

в результате капиллярно-сорбционных явлений и теплообмена и использоваться для математического описания гигротермической обработки заготовок верха обуви [5, 6].

Задавшись средней удельной теплотой парообразования при 50 °С, равной 2382 кДж/кг [3] , теплоемкостью воды, равной 4,19 кДж/(кг. К) и подставив их значения в уравнение (10), получим

m(T ) =

МСГ

4,19

419 Л

——(Т -Тн) ? 238z - 1

(11)

Разделив обе части уравнения (11) на Мк, т.е., рассматривая влажность кожи как отношение массы влаги т к массе кожи до увлажнения, найдем:

m М,

4,19

(е°^0017б(Т-Тн) - 1)100%.

Таким образом, теоретический привес влаги в коже при вакуумно-сорбционном увлажнении может быть рассчитан как сумма привесов влаги, полученных

Литература

1. Луцык Р.В. Разработка методов изучения, анализа взаимосвязи и прогнозирования тепломассообменных и физико-механических свойств текстильных и кожевенных материалов : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Киев, 1987.

2. Чесунов В.М. Захарова А.А. Оптимизация процессов сушки в легкой промышленности. М., 1985. 113 с.

3. ЛыковА.В. Тепломассообмен. справочник. М., 1978. 480 с.

4. Кавказов Ю.Л. Взаимодействие кожи с влагой. М., 1952. 318 с.

5. Ларина Л.В., Першин В.А., Смирнов В.В. Один из методов математического описания гигротермической обработки заготовок верха обуви //Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2009. № 1. С. 123 - 127.

6. Пат. РФ № 2349238 Способ гигротермической фиксации заготовок верха обуви / Л.В. Ларина, В.В. Смирнов. За-явл. 2007. Бюл. № 8.

а

e

Поступила в редакцию 8 июня 2011 г.

Ларина Людмила Васильевна - канд. техн. наук, доцент, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. 928-139-12-23 E-mail: ludmila-larina2010@mail.ru

Larina Lyudmila Vasilevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, South-Russian State University of the Economy and Service. Ph. 928-139-12-23 E-mail: ludmila-larina2010@mail.ru