CC BY
52
66.047.3:519.684.6
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТОМ ТЕЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Р.Н. ФРОЛОВ, К.Н. ЦЕБРЕНКО
Академия маркетинга и социально информационных технологий (ИМСИТ),
350010, г. Краснодар, ул. Зиповская, 5; тел./факс: (861) 278-22-82, электронная почта: [email protected],
Приведены результаты моделирования процесса тепломассопереноса в капиллярно-пористом теле. Получена система уравнений, описывающая процесс массопереноса в капиллярно-пористых телах. Разработан и реализован параллельный алгоритм расчета модели тепломассопереноса в процессе сушки семян подсолнечника. Полученная модель идентифицирована по экспериментальным данным.
Ключевые слова: тепломассоперенос, параллельное программирование, моделирование процессов.
Процессы тепловой подготовки масличного материала широко применяются в различных отраслях масложировой промышленности. Ввиду сложности описания этих процессов и необходимости учета большого количества факторов, при аналитическом решении задач термодиффузии применяется ряд допущений, снижающих точность решения.
Развитие вычислительной техники и появление кластерных многопроцессорных систем позволяет предложить новые подходы к решению таких задач, основанные на применении численных методов решения и параллельных вычислений. В этой связи моделирование процесса тепломассопереноса в капиллярно-пористом теле с использованием параллельных вычислительных процессов является актуальной задачей.
Рассмотрим процесс развития полей влажности и температуры в составных частях семян подсолнечника при ИК-обработке. Система дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса для капиллярно-пористого тела имеет вид [1, 2]
ег і
— — aV t +--------------;
дт
Ідт
amV2u
су дт 5V21,
(І)
температуры и влажности. Площадь поверхности и объем, а следовательно, и линейные размеры были выражены через безразмерную координату Задачу (1) в этом случае можно свести к одномерной системе дифференциальных уравнений следующего вида:
rn, т) = a з_
дт д,
du(,, т) д
s с,)
d%
д,
S (,)
д, _ ди(,, т)
су дт
д,
S (,)
(2)
Задача (2) для отучая пoдвoда тепла ИК-излучени-ем представляет coбoй задачу c граничными ycлoвия-ми втopoгo poдa• т. е. oгpaничивaющaя пoвepxнocть на-гpeвaeтcя пocтoянным тeплoвым пoтoкoм qc = const.
д<,Д)
д,
t(,,0) — 10 — const;-^^- + — — 0; —(—-
V' 0 ’ЯП х дх
0. (З)
Данную задачу можно свести к задаче с граничными условиями первого рода, если вместо переменной I ввести новую переменную q (плотность теплового потока), определяемую соотношением
где а — коэффициент температуропроводности, м/с; ат — коэффициент массопроводности; V — оператор Лапласа; 8 — термоградиентный коэффициент; £ — коэффициент фазового перехода; г — удельная теплота парообразования, Дж/кг; с — удельная теплоемкость ядра (лузги), Дж/кг; у — плотность ядра (лузги), кг/м3.
Данная система связывает тепло- и массообмен, одновременно протекающий в семянке подсолнечника, по общей временной координате. Для решения задачи был применен метод пробных функций [3].
Из анализа статистики различных сортов семян была определена усредненная геометрия подсолнечного семени и создана криволинейная система координат, совпадающая с изопотенциальными поверхностями
q(,,
Пpoдиффepeнциpyeм уравнений (2) no ,:
-X
д^1 д,
(4)
пepвoe уравнение ^^гемв!
Uv (,) дt(,• т) = д д a— s (Ц — <И +^
I d, дт = а, д, v ! д, су
d,
v (,)
du(,,т) d%
д,
д,
s (,)
(5)
Toгдa cиcтeмy дифференциальные уравнений (5) мoжнo пpeдcтaвить в виде
am 5
d
am5
a
д_
дт
й
йі
йі
V (і)
я(і> т)
V (і)
йи(Ъ, т) йт
д_
дЪ
д_
"дЪ
дт
ди(і, т
(6)
, 3[ 5 (Ъ)«(Ъ,
Функция влажности в системе (6) имеет граничные условия первого рода, так как на поверхности семянки происходит испарение, т. е. фазовый переход, следовательно, содержание влаги на поверхности семянки постоянное и равно нулю. Следовательно, общие начальные и граничные условия системы (6) имеют вид
?(і,0) = 0, и(і,0) = и 0, д(1, т) = дс. и( 1, т) = 0,
— и( 0, т) = 0.
ді V > )
(7)
е(1> т) и(Ъ, т)
Е Ч
і= 1
3
Е в (
• р (і); (і).
(8)
(9)
Семейство функций Р и О выбирается таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям. При этом семейство функций А и В должно удовлетворять начальным условиям. Подставив такие функции в пробные, а пробные функции в систему дифференциальных уравнений (6), можно моделировать процесс тепло- и массопереноса в семянке.
Полиномы Лежандра нечетных степеней Р1 удовлетворяют граничным условиям плотности теплового потока (Ръ -1(0) = 0, Ръ -1(1) = 1).
Функции на основе полиномов Лежандра О,-, включающие в себя четные степени данных полиномов, удовлетворяют граничным условиям по влажности
(1 - Си(1) = 0), ^[1-С2 ді
0.
(10)
Представленные граничные условия определяют классы пробных функций временных и координатных проекций, которые могут быть использованы при решении задачи (2) методом Бубнова-Галеркина [2].
Тепловой поток в семянке в начальный момент времени (т = 0) равен нулю и может быть описан функцией Хевисайда. Влагосодержание в начальный момент времени соответствует равновесному и принято равным и0. Рассматривая изменение теплового потока, можно прийти к выводу, что геометрическая модель будет представлять монотонно возрастающую функцию. Условие симметрии функции влагосодержания в центре определяет четный класс выбираемых пробных функций.
Введем пробные функции по 9 и и, которые удовлетворяют краевым условиям и представляют произведение функций, зависящих от времени, на функцию, зависящую от координаты. Пробная функция, аппроксимирующая реальное решение, в этом случае проецируется на семейство функций, зависящих от времени (временная проекция), и семейство функций, зависящих от координаты (координатная проекция).
Временные проекции рассчитаем из условия соответствия пробной функции начальным условиям
(т = 0).
Для решения системы дифференциальных уравнений (6) с пробными функциями, с учетом начального вида этих функций, необходимо преобразовать ее к матричному виду.
Введем обозначения матриц коэффициентов и запишем систему (6) в виде системы матричных уравнений
г 1 1 а ;(т) А 1(т) в;(т)
||Г| А 2(т) = |Б| А 2(т) -|е в2(т)
1 1 1 А 3(т) А з(т) в3(т)
1 В >'(т) В 1(т) А1(т)
!|ж і1 в 2(т) = Н| В 2(т) -|і| А 2 ( т)
1 В 3(т) В з(т) Аз(т)
(11)
При увеличении членов ряда пробных функций растет точность аппроксимации начального распределения температуры и влажности в объеме семянки. Следовательно, уменьшается невязка как пробных функций на границе, так и их производных. В идеале при п ^ да пробные функции на границе раздела фаз совпадут. В то же время при уменьшении членов ряда за счет ошибок округления ухудшается точность аппроксимации.
Поэтому выбор ограниченного числа членов ряда должен быть оптимальным. Исходя из изложенного, зададим число членов ряда пробной функции, аппроксимирующей решение, равным трем.
В левой части уравнений матрицы при тепловом потоке Г и при влажности Ж; в правой части: матрица при А-Б, при производных В-Е (1-е уравнение); матрица при В-Н, матрица при А—І (2-е уравнение).
Избавляясь от матриц в левых частях уравнений, умножим первое уравнение на матрицу, обратную Г (т. е. Г-1), а второе уравнение на матрицу, обратную Ж В результате имеем преобразованную систему матричных уравнений, содержащую в левых частях вектора производных временных проекций.
А Кт) А 1(т) В 2(т)
А 2(т) = |Б||Г| 1 А 2(т) -|Е|Г| 1 в 2(т)
А 3(т) А 3(т) В 3(т)
В >'(т) в 1(т) А 1(т)
в 2(т) =ИИ-1 В 2(т) -|і||ж|-1 А 2(т)
В 3(т) В з(т) А з(т)
(12)
Избавляясь от производной в правой части первого уравнения, имеем
й
= а
а
= 1
А'(т) А И 'т)
А 2( т) ч^и1 А 2( ^т)
А з'( т) А з< 'т)
Б.(т) А 1( т)
Б 2( Т) -№-1ИИ-1 А 2( Т)
Б з( т) А з( т)
Б '( Т) Б 1( т) А 1( т)
Б 2( т) =ни-1 Б 2 ( т) -ИИ-1 А 2( т)
Б з'( т) Б з( т) А з( т)
Так как данная матричная система разрешена относительно производных, представленных векторами в левой части системы уравнений, то может быть решена любым численным методом. Определяющим параметром при использовании данного метода является выбор оптимального числа членов ряда, исходя из требуемой степени точности расчета термодиффузии. Для оценки данного параметра необходимо провести затравочный эксперимент.
Проанализируем методику реализации предложенной модели с использованием высокопроизводительных вычислительных систем. Рассмотрим алгоритм численного решения задачи на основе неявной разностной схемы. Он представляет итерационный вычислительный процесс перехода от п решения на текущем слое по времени (п) к новому приближению на последующем слое вычислений (п + 1) [4]. Для расчета искомых значений на новом уровне вычислений по уже известным (на предыдущем шаге) применяются конечно-разностные формулы.
Условием остановки вычислительного процесса является достижение заданного времени t, для которого требуется найти решение задачи.
Эффективность достигнута за счет распараллеливания численного решения системы уравнений модели между процессорными элементами. Для проведения распараллеливания расчета системы уравнений с учетом пробных функций (Р, О, А и Б), заданных в виде ряда с N членами, в ней выделены группы операций, ко-
торые могут вычисляться одновременно и независимо разными процессорными элементами.
Алгоритм численного решения представляет собой циклический процесс перехода от вычислений на текущем слое по времени (п) к новому решению на последующем слое (п + 1). Причем использование пятито-( ) чечного шаблона для вычисления разностных схем не
позволяет произвести параллельные расчеты, так как между всеми узлами вычисляемой сетки имеется информационная зависимость. В этой связи нужно использовать метод конвейера. Поэтому выделены отдельные этапы выполнения общей операции, причем результат вычислений передается от одного этапа к следующему, одновременно принимая новую порцию входных данных. Такой подход позволяет получить выигрыш в скорости обработки за счет параллельного выполнения операций.
В одной операции можно выделить несколько микроопераций, каждая из которых выполняется за одну единицу времени. Тогда если есть одно неделимое вычислительное устройство, то N пар аргументов оно обработает за Ж единиц времени, где к - количество микроопераций.
Если же каждую микрооперацию выделить в отдельную ступень конвейера, то на к-й единице времени на разной стадии обработки такого устройства будут находиться первые к пар аргументов, первый результат будет получен через к единиц времени, каждый следующий - через одну единицу после предыдущего, а весь набор из ста пар будет обработан за к +99 единиц времени, т. е. будет получено ускорение по сравнению с последовательным устройством почти в к раз (по числу ступеней конвейера). Данный показатель говорит о высокой эффективности распараллеливания вычислительного процесса. Если вычислительный конвейер содержит I ступеней, а каждая ступень обрабатывается за одну единицу времени, то время обработки п независимых операций устройством составит 1 + п - 1 единиц. Если это же устройство использовать как последовательное, то время обработки будет равно т. В результате получим ускорение почти в I раз за счет использования конвейерной обработки данных.
Рис. 1
1-й процессор 2-й процессор N-й процессор
ф Вычислительные узлы ф Граничные значения # Передаваемые точки
Рис. 2
При построении конвейера на каждом шаге матрица разделена на количество процессоров. Все процессоры могут вычислять доставшиеся им строки матрицы в одно и то же время.
Для реализации параллельного алгоритма необходимо передавать данные из матрицы, обрабатываемой на втором процессоре, а именно вторую строку матрицы (рис. 1), так как первая строка матрицы второго процессора является последней строкой для матрицы первого процессора и вычисляется на нем.
После того как процессор, производящий вычисления, получил строку, необходимую для расчета, он может вычислить значения на границе двух матриц и передать результат следующему процессору (рис. 2).
Следующий процессор принимает первую строку и строку, необходимую для вычисления последней строки. Затем вычисляет значения в каждой точке своей матрицы.
Последний N-й процессор принимает только первую строку, вычисляет все значения, и осуществляется переход на новый временной слой. Каждый процессор переходит на новый слой только по завершении вычислений в своей части матрицы.
Процесс расчета модели реализован на вычислительном кластере Академии ИМСИТ с помощью MPI-интерфейса дистрибутива стандарта MPI 2.0 с поддержкой языка C++.
Начальное и граничные условия заданы в виде функций:
q_uslovie_0;
q_uslovie_q;
u_uslovie_u0;
u_uslovie_t.
Все функции имеют вещественный тип double. Рассчет шагов проведен следующим образом: hx = 1/(imax + 1); hy = 1/(jmax + 1); hz = 1/(jmax + 1);
ht = 1/(2((1/(hx • hx)) + (1/(hy • hy)) + (1/(hz • hz)))) -шаг по времени.
Матрица разбита на блоки между процессорами:
koln = (jmax - 1)/size + 1 - количество строк каждому процессору;
ibeg = rank • koln - строка начала блока для каждого процессора;
iend = (rank + 1) • koln - 1 - строка конца блока для каждого процессора.
Учтены случаи, когда матрица нацело не делится: if (iend >= proc_count) iend = n - 1 - если значение iend больше значения количества элементов в массиве;
if (ibeg >= proc_count) iend = ibeg - 1 - если значение ibeg больше значения количества элементов в массиве.
В параллельной части программы определен первый процессор (rank = 0). При его определении инициализируются функции A и B для своей части массива, затем с помощью конструкции while с условием ti • ht < tLim (где ti • ht — реальное время расчета; tLim -расчеты до заданного времени) рассчитывается ^ раз главная функция значений на новом слое:
C_new[j][i] = C[j][i] + ht • a(((C[j][I + 1] - 2C[j][i] +
+ C[j][I - 1])/(hx • hx)) + ((C[j - 1][i] - 2C[j][i] +
+ C[j + 1][i])/(hy • hy)) + (((C[j][I + 1] - 2C[j][i] +
+ C[j][I - 1])/(hz • hz))).
Для вычисления в точке] + 1 принята строка из матрицы следующего процессора. Для этого использована функция
MPI_Recv(&C[iend + 1][0],imax +
+ 1,MPI_DOUBLE,nextProc,99,MCW,&stat).
После вычисления значения на новом слое рассчитываются условия q_uslovie_0, q_uslovie_q, u_uslovie_u0, u_uslovie_t.
Далее полученное новое значение копируется на старый слой - C[j][i] = C_new[j][i].
После этого происходит увеличение значения ti на единицу и отправка строки, которая является общей для обоих процессоров:
MPI_Send(&C[iend][0],imax +
+ 1,MPI_DOUBLE,nextProc,99,MCW).
На этом заканчивается работа 1-го процессора.
Алгоритм процессоров от 1 до rank — 1 аналогичен предыдущему, только вначале процессор принимает строку, вычисленную на предыдущем процессоре.
Последний процессор отсылает предыдущему данные из второй строки и принимает от него значение для первой строки, после чего выводит итоговый массив в файл.
В результате получена компьютерная модель процесса массопереноса. На модели проведен затравочный эксперимент и определено оптимальное значение членов ряда. Модель идентифицирована по данным, полученным на опытно-экспериментальной установке.
ВЫВОДЫ
1. Разработан параллельный алгоритм, реализующий модель тепломассопереноса в капиллярно-пористых телах.
2. Создана параллельная программа для моделирования на вычислительном кластере процессов тепломассопереноса в капиллярно-пористых телах; программа написана на языке C с применением технологии MPI; исходная задача корректно решена проекци-
онным методом с использованием параллельных вычислений и может применяться в дальнейшем для моделирования процесса тепломассопереноса.
3. Полученное решение идентифицировано по экспериментальным данным; критерием определения оптимальной продолжительности теплового воздействия является момент времени т, при котором наступит наибольшая разность влажности между ядром и лузгой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кошевой Е.П., Косачев B.C., Фролов Р.Н. Постановка и решение задач тепломассопереноса в семени подсолнечника // Продовольственная индустрия Юга России. Ч. II. - Краснодар, 2000. - С. 193-194.
2. Белобородов B.B., Забровский Г.П., Вороненко Б.А.
Процессы массо- и теплопереноса масложирового производства. -СПб.: ВНИИЖ, 2000. - 429 с.
3. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галер-кина: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 352 с.
4. Цебренко К.Н. Применение распределенных вычислений для моделирования процесса экстракции в маслоэкстракционных установках // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Материалы 9-й Междунар. конф.-семи-нара. - Владимир: ВГУ, 2009. - С. 406-408.
Поступила 22.11.11 г.
MODELLING PROCESS OF HEAT AND MASS TRANSFER IN CAPILLARY-POROUS BODY
WITH USE OF PARALLEL CALCULATIONS
R.N. FROLOV, K.N. TSEBRENKO
Academy of Marketing and Social Information Technology,
5, Zipovskaya st., Krasnodar, 350010; ph./fax: (861) 278-22-82, e-mail: [email protected], [email protected]
The results of the modeling process of heat and mass transfer into capillary-porous body are discussed. The system of equations describing the process of heat and mass transfer into capillary-porous bodies was gotten. The parallel algorithm of counting model of heat and mass transfer during the process of drying out sunflower seeds was developed and carried out. This model is identified according to experiment data.
Key words: heat and mass transfer, parallel programming, processes modeling.
664.854
РАДИАЦИОННО-КОНВЕКТИВНАЯ СУШКА ГРУШЕВЫХ ЧИПСОВ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ЭНЕРГОПОДВОДЕ
А.Н. ОСТРИКОВ, Е.Ю. ЖЕЛТОУХОВА
Воронежский государственный университет инженерных технологий,
394036, г. Воронеж, пр-т Революции, 19; факс: (4732) 55-35-54, электронная почта: [email protected]
Исследована возможность применения переменного теплоподвода при сушке грушевых чипсов, позволяющая интенсифицировать процесс сушки, сократить его продолжительность, применять щадящие температурные режимы. Использование ступенчатого режима радиационно-конвективной сушки грушевых чипсов способствует улучшению качества готового продукта и повышению тепловой эффективности процесса.
Ключевые слова: радиационно-конвективная сушка, грушевые чипсы, кинетика процесса, скорость сушки, прогрев продукта.
Производство фруктовых чипсов - новое направле- рая исключает внесение консервантов и сохраняет все ние в пищевой промышленности России. Фруктовые полезные свойства свежих фруктов. чипсы изготавливают из кусочков яблок, груш, перси- Использование переменного теплоподвода при
ков, хурмы и др. по инновационной технологии, кото- сушке груши позволит интенсифицировать процесс
