CC BY
68
V. A. Anokhin
SAMPLING THEOREMS OF KOTELNIKOF APPLICATION IN CONDITIONS OF COMPUTER-INTEGRATED MANUFACTURING SYSTEMS
Sampling theorems defining conditions with the help of which analog signals s(t) can be precisely restored by digital samples Sj = s^), s2=s(t2), ..., sk=s(tk) located within digital systems in intervals z1=t2-t1, z2=t3—t2,... are presented and brought together here.
Keywords: main samplings theorem of Kotelnikov, properties, special cases.
УДК 536.248.2
Е. Н. Васильев, А. А. Дектерев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ДВУХФАЗНОМ КОНТУРЕ ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЯ С КАПИЛЛЯРНЫМ НАСОСОМ
Рассмотрены процессы тепломассопереноса в контуре терморегулирования с капиллярным насосом. Представлена двумерная нестационарная математическая модель гидродинамических и теплофизических явлений в двухфазном потоке, движущемся в пористой среде капиллярного насоса, которая основана на численном решении уравнений теплопроводности и фильтрации. Результаты моделирования приведены в виде полей температуры, давления, скоростей и концентраций жидкостной и паровой фаз.
Ключевые слова: теплообмен, численное моделирование, ХМЬ-технология, космический аппарат.
В настоящее время прослеживается тенденция к увеличению тепловой мощности, выделяемой радиоаппаратурой на борту космических аппаратов (КА), поэтому повышается роль одной из важнейших систем обеспечения функционирования КА - системы терморегулирования (СТР). В классических СТР используются однофазные жидкостные контуры, в которых теплопередача осуществляется за счет теплоемкости теплоносителя. Разработка двухфазных тепловых контуров, использующих скрытую теплоту фазового перехода, позволит снизить расход рабочего тела, вес СТР и увеличить эффективность тепло переноса. Экспериментальный образец двухфазной СТР с механической прокачкой теплоносителя был успешно испытан на российском сегменте между народно й космической станции «Альфа» [1].
Перспективным направлением развития СТР является двухфазный контур с капиллярным насосом (ДФК КН), который отличается полной автономностью, отсутствием энергопотребления и движущихся механических частей, меньшей массой и более высокой надежностью [2]. Основным элементом таких систем является капиллярный насос, который определяет эффективность работы контура в целом, поскольку именно в нем происходит парообразование и за счет капиллярных сил, действующих в его объеме, обеспечивается циркуляция теплоносителя в контуре. Проектирование ДФК КН затруднено вследствие сложности и неопределенности механизмов парообразования, межфазового взаимодействия и передачи теплоты в гетерогенных средах. Поэтому разработка конструкции двухфазных контуров терморегулирования возможна на основе развития математических моде-
лей, позволяющих выработать оптимальные технические решения и прогнозировать эксплуатационные характеристики при различных условиях работы. В данной статье представлены две сопряженные математические модели, одна из которых предназначена для расчета параметров теплоносителя в паровом и жидкостном трактах контура, другая - для определения распределенных характеристик в пористой структуре капиллярного насоса.
Рассмотрим явления, протекающие в ДФК КН, схема которого представлена на рис. 1. Процесс тепломассопереноса в контуре можно описать следующим образом. Тепловой поток подводится на внешнюю поверхность теплообменника, который совмещает в себе функцию капиллярного насоса. В объеме КН жидкий теплоноситель испаряется, поглощая теплоту. Силы поверхностного натяжения препятствуют проникновению пара вглубь пористой структуры (ПС), поэтому газообразный теплоноситель по паровому тракту поступает в конденсатор, где снова превращается в жидкость, выделяя энергию. Образовавшаяся жидкость за счет капиллярных сил, действующих в ПС, возвращается в теплообменник. Таким образом, в контуре происходит циркуляция теплоносителя и осуществляется перенос теплоты. Характеристики процесса теплопереноса зависят от тепловой нагрузки, тепло физических свойств теплоносителя, параметров пористой структуры, сечения и протяженности парового и жидкостного трактов контура и т. д.
Расчет параметров теплоносителя в контуре. Теплофизическая модель двухфазного контура основывается на законах гидродинамики и теплообмена, применяемых как к жидкостному, так и к паровому тракту. Начальной
точкой расчета являются параметры теплоносителя в конденсаторе. Здесь значение температуры Т рассчитывается по уравнению теплового баланса, которое записано с учетом суммарной мощности тепловыделения контура <2 и условий теплообмена с окружающей средой:
т
капиллярный насос
жидкость
пар-
конденсатор
где \1 - коэффициент динамической вязкости; т - массовый расход жидкости в данном сечении;/- коэффициент гидравлического сопротивления; Яе - число Рейнольдса; А - площадь поперечного сечения тракта; Я - радиус тракта; р - плотность теплоносителя; / = 1 для параметров пара и / = 2 для жидкости.
Значения / и И.е зависят от параметров потока. При условиях, когда число Рейнольдса меньше 2 300, а число Маха меньше 0,2 (для газа), течение можно рассматривать как ламинарное и несжимаемое. В этом случае для круглых каналов значение/ • Ые = 16.
где gsb- постоянная Стефана-Больцмана; в, £- коэффициент черноты и площадь поверхности радиатора, соответственно. Величина давления рк в конденсаторе рассчитывается по кривой насыщения теплоносителя для температуры Т.
Рис. 1. Принципиальная схема двухфазного контура терморегулирования
Значения давления жидкости на входе в капиллярный насоср и пара на выходе из насосар определяются с учетом потерь давления вследствие вязкостного трения как в жидкостном, так и в паровом трактах контура:
Расход теплоносителя пг определяется величиной тепловой нагрузки <2, удельными теплоемкостью с и теплотой парообразования ту и зависимостью Т8(р), соответствующей кривой насыщения теплоносителя:
т = -------^,------. (5)
сШр^)~1[]+ъ
Таким образом, распределение параметров в контуре зависит от мощности тепловой нагрузки, характеристик радиатора, свойств теплоносителя, протяженности и поперечных размеров трактов контура. Рассчитанные с помощью выражений (1)...(5) значения давленияр ир являются граничными условиями для моделирования процессов тепломассообмена в капиллярном насосе.
Математическая модель тепломассообмена в капиллярном насосе. Основным конструктивным элементом капиллярного насоса является цилиндрическая пористая вставка, которая имеет центральный внутренний канал для подвода жидкого теплоносителя и каналы для отвода пара (рис. 2). Тепловой поток подводится на внешнюю поверхность насоса, нагрев каркаса ПС происходит за счет теплопроводности. Жидкий теплоноситель под действием капиллярных сил движется к внешней поверхности, силы поверхностного натяжения не позволяют жидкости проникать в пароотводящие каналы, поэтому нагрев и испарение теплоносителя происходит в объеме ПС. Далее образовавшийся пар выходит в контур по пароотводящим каналам. Положение и форма фронта испарения теплоносителя, распределение температуры в ПС и значение температуры на поверхности зависят от геометрических параметров насоса, физических свойств материала пористой структуры и мощности тепловой нагрузки.
(2)
т
где Ь - протяженность трактов; индексы 1 и 2 относятся к паровому и жидкостному трактам соответственно.
Величина градиента давления в установившемся режиме течения теплоносителя определяется выражением [3]
сір^ _ ц і т /К е
ИТ
(4)
При расчете характеристик такой системы в математической модели учитываются теплообмен, основанный на механизмах теплопроводности и конвекции, взаимодействие жидкого и газообразного теплоносителя с ПС и фазовые превращения. Граничными условиями являются параметры, рассчитанные по разработанной ранее модели всего контура.
Для описания движения теплоносителя в ПС использованы двухмерные уравнения фильтрации в цилиндрических координатах г и 9:
д_(др" дг 1 ц1.р1. дг
1 5 Г/,(С,)а, dp
dQ
= ±Л
пароотводные каналы
пористая структура
жидкостный канал
Рис. 2. Устройство пористой вставки капиллярного насоса
где ДС.) - относительная проницаемость фазы при данной концентрации; аг - вязкостный коэффициент сопротивления пористого материала; ц,— коэффициент динамической вязкости; J — интенсивность межфазового мас-собмена; индексы / = 1 и / = 2 относятся к паровой и жидкостной фазам соответственно.
По решению уравнений (6) определяется поле давления теплоносителя в пористой структуре, на основе которого рассчитываются скорости обеих фаз. Согласно уравнениям Дарси, радиальные и угловые компоненты вектора скорости и и V вычисляются по следующим формулам:
_
і
h-р,-
v 1 fM'M-, r hPi
(?)
Для определения температурных полей решается двумерное уравнение энергии, которое включает слагаемые, отвечающие за теплопроводность и конвекцию: дТ 1 д ( Л дТЛ
р С---=------ГА------ +
dt г dry дг )
1 д Л дТЛ + ~~1 \ + Чк’
Г Э01 Э0
(8)
дТ
Як (^іРі^і ^гРг^г) ~ ~*~ дг
. 1 дТ
+(c1piv1+c2p2v2)-—, г 50
(9)
^ = 0
дг
дТ п — = q/X.
or
(10)
кость распределяется на некоторый температурный интервал \Т- АТ, Т + АТ], соответствующий кривой насыщения разнице давления пара в порах различного размера. Зависимость с^Т) определяется законом распределения размера пор, который не всегда известен. В данной статье использована модельная синусоидальная функция (рис. 3).
По значению концентраций теплоносителя определяются относительные фазовые проницаемости для обеих фаз. Они зависят только от вида пористой структуры и ее насыщенности каждой фазой [4] (рис. 4). Обращает на себя внимание тот факт, что при малом содержании каждой из фаз в пористом каркасе ее относительная проницаемость равна нулю, т. е. данная фаза неподвижна. Физическое объяснение этого свойства состоит в том, что при малом содержании смачивающей фазы она собирается вокруг точек контакта частиц в виде защемленных жидкостных колец. Эти кольца изолированы друг от друга и не образуют непрерывной жидкой фазы в пористом материале, поэтому жидкость и неподвижна. По мере увеличения ее содержания кольца расширяются, сливаются и образуют непрерывную жидкостную фазу, после чего ее течение становится возможным.
где р, с,Х - соответственно суммарные плотность, теплоемкость и коэффициент теплопроводности пористой структуры и теплоносителя.
На внешней границе для этих уравнений задаются условия
В центральном канале насоса заданы температура и давление, соответствующее состоянию жидкости на входе. В пароотводных каналах давление равно величине, рассчитанной по модели всего контура для пара на входе в паровой тракт.
В общем случае граница раздела «пар-жидкость» в пористой структуре не является стефановской, а имеет объемную структуру и занимает слой определенной толщины. Радиус мениска, разделяющего жидкость и пар в порах, может быть получен по выражению
*м=^, (П)
Pi-Pi
где а - коэффициент поверхностного натяжения теплоносителя. В пористой среде имеются поры различных размеров, поэтому согласно выражению (11), в объемной зоне фазовой границы поры, радиус которых R < R будут заполнены жидкостью, а в порах с R > Ru будет находиться пар. Толщина зоны фазовой границы задана функцией распределения пор по радиусам, теплофизическими свойствами теплоносителя и мощностью приложенной тепловой нагрузки.
При решении задачи Стефана теплоемкость фазового перехода с является ô-функцией на границе фазового перехода. В пространственной зоне испарения теплоем-
Рис. 3. Зависимости теплоемкости и относительной концентрации жидкой фазы С2 от температуры в окрестности температуры фазового перехода 7';
Рис. 4. Относительные фазовые проницаемости жидкости (сплошная линия) и газа (пунктир) в зависимости от насыщенности пористой среды жидкой фазой
Система уравнений (4)... (10) решается численно, дискретный аналог получен с помощью метода контрольно-
го объема, при этом использована неявная схема аппроксимации со вторым порядком точности по пространству и времени [5]. Решение систем алгебраических уравнений проводится по итерационному методу Гаусса-Зейделя с верхней релаксацией.
Представленная математическая модель позволяет рассчитывать распределения концентраций теплоносителя в жидкой и паровой фазах, поля температуры, давления и скорости в ПС капиллярного насоса. В качестве теплоносителя рассматривается аммиак. Геометрические размеры задачи следующие: радиус капиллярного насоса 15 мм; радиус центрального жидкостного канала 2 мм; ширина пароотводных каналов 1 мм; высота 2 мм; расстояние между канавками 4 мм. Значения плотности теплового потока, поступающего на внешнюю поверхность насоса, ц- 16 кВт/м2.
Распределение концентрации жидкой фазы теплоносителя в градациях серого цвета отображено на рис. 5. При рассматриваемой плотности теплового потока область чистого пара примыкает к внешней поверхности ПС и пароотводящим каналам, а объемная зона фазового перехода, где преобладает пар (С, < 0,5), расположена между каналами.
1 ОООЕ+ОО
Э.1 Б7Е-01
8.333Е-01
7.500Е-01
Є.ББ7Е-01
5.833Е-01
5.000Е-01
4.1 Ё7Е-01
З.ЗЗЗЕ-01
2.500Е-01
1.Є67Е-01
8.333Е-02
и 0.000Е+00
Как показывают результаты данного расчета, зона парообразования для рассматриваемой тепловой нагрузки находится вблизи внешней границы ПС. Приувеличении тепловой мощности зона раздела фаз перемещается вглубь насоса и происходит частичное осушение ПС, которое приводит к росту температуры на поверхности насоса. Математическая модель капиллярного насоса позволяет также исследовать зависимость рабочих характеристик насоса от конструктивных параметров и граничных условий.
Рис. 5. Поле концентрации жидкой фазы теплоносителя <22 (изолинии соответствуют значениям С3 = 0; 0,5; 1)
Наибольший градиент давления характерен для паровой фазы теплоносителя, когда пар в ПС движется с высокой скоростью, что и обусловливает большое гидравлическое сопротивление (рис. 6). Наоборот, изменение температуры по радиусу достаточно гладкое (рис. 7% поскольку перенос теплоты в насосе осуществляется равномерно по всему объему за счет теплопроводности каркаса ПС и конвекции теплоносителя. Максимальное значение температуры находится на внешней поверхности насоса; в окрестности па-роотводящих каналов изолинии температуры искривлены: ближе к центру ПС они имеют форму правильных окружностей. влияние каналов здесь отсутствует.
Распределение давления в ПС определяет поле скоростей теплоносителя (рис. 8). Наибольшее значение скорости наблюдается в зоне основания канала, некоторая доля теплоносителя движется по дуге, поступая в пароотводящий канал через ее боковые стороны.
Распределения концентрации фаз, температуры, давления и скорости дают полное количественное описание процессов тепломассообмена в объеме капиллярного насоса.
1.550Е+06
1.533Е+0Є
1.517Е +08
1.500Е+06
1 483Е+0Є
1.487Е+08
1.450Е+08
1.433Е+08
1.417Е+08
1.400Е+08
1.383Е+08
1.3Є7Е+08
1 350Е+08
Рис. 6. Распределение давления пара, Па
4.454Е+01
4.083Е+01
3.712Е+01
3.341 Е+01
2.9Є9Е+01
2.5Э8Е+01
2.227Е+01
1.85ЄЕ+01
1.485Е+01
1.1146+01
7.423Е+00
3.712Е+00
0.000Е+00
Рис. 7. Поле температуры, °С
Гіііпітиіі ! 111 і і і і 1 к 1 1 1 1 1 1 1 1 і і і і 1
Рис. 8. Векторы скоростей пара в области пароотводного канала
Таким образом, представленные выше математические модели, предназначенные для исследования тепловых режимов двухфазного контура терморегулирования и капиллярного насоса, позволяют рассчитать все основные характеристики процесса теплообмена и определить предельные тепловые потоки, поступающие от бортовой аппаратуры в систему терморегулирования КА. Результаты
моделирования могут служить основой для проведения оптимизации геометрических и теплофизических параметров капиллярного насоса и системы охлаждения в целом.
Библиографический список
1. Двухфазный контур терморегулирования - перспективное направление совершенствования СТР космических аппаратов / С. М. Беднов, П. Д. Вежневец, Ю. М. Лукоянов и др. //Полет. 2003. № 3. С. 37-40.
2. Development of a Two-Phase Capillary Pumped Heat Transport for Spacecraft Central Thermal Bus / T. Hoang,
M. Brown, R. Baldauff, and S. Cummings //Proceeding of2003 Space Technology and Applications International Forum, February 2003. Albuquerque, New Mexico, 2003. P. 49-54.
3. Чи, С. Тепловые трубы. Теория и практика / С. Чи. М. Машиностроение, 1981.
4. Поляев, В. М. Гидродинамика и теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов / В. М. Поляев, В. А. Майоров, JI. JI. Васильев. М.: Машиностроение. 1988.
5. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. М.: Энер-шатомиздат, 1984.
E. N. Vasilev, A. A. Dekterev
MATHEMATICAL SIMULATION OFTHE HEAT AND MASS TRANSFER PROCESSES IN THE TWO-PHASE THERMO CONTROL CIRCUITS WITH CAPILLARY PUMP
Heat and mass transfer processes in the two-phase thermo control circuits with capillary pump are considered. Two-dimensional unsteady mathematical model of the hydrodynamic and thermo physics phenomena in the two-phase flow moved in porous media of the capillary pump is based on the numerical solution heat conduction andfiltration equations. Temperature, pressure, velocity, liquid and vapors phase concentrations fields are simulation results.
Keywords: heat transfer, numerical simulation, XML technology, spacecraft.
УДК534.322
А. С. Орлов
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗНОГО ПОЛЯ В АКУСТИЧЕСКИХ РЕВЕРБЕРАЦИОННЫХ КАМЕРАХ БОЛЬШОГО ОБЬЕМА
Рассмотрено построение конечно-элементной модели диффузного поля для акустическихреверберационных камер большого объема. Модель построения с использованием трехмерных акустических элементов и различного вида демпфирования.
Ключевые слова: моделирование, диффузное поле, акустические расчеты, реверберационные камеры.
При проведении наземной экспериментальной отработки космических аппаратов (КА) испытания на акустические воздействия в частотном диапазоне до 4...6 кГц являются общепринятой процедурой. Цель данного вида испытаний состоит в подтверждении прочности конструкции КА и способности аппаратуры выполнять свои функции по время и после акустического воздействия. В то же время это один из самых дорогостоящих видов испытаний. Уменьшить затраты на такие испытания можно за счет предварительного численного моделирования акустического воздействия на КА. В настоящее время сформировалось несколько общепризнанных подходов к такому анализу: замена акустического поля статическим или пульсирующим давлением и решение собственно сопряженной задачи, рассматривающей взаимодействие акустической среды с конструкцией [1]. В работе [2] на примере расчета сотовой панели проведено сравнение этих трех подходов и показано, что результаты, совпадающие с экспериментальными данными, дает только реше-
ние сопряженной задачи «акустическая среда-конструкция».
В акустических расчетах сложных конструкций используются два основных метода: конечно-элементное моделирование (КЭМ) [3] и статистический энергетический анализ (СЭА). Использование КЭМ предъявляет высокие требования к ресурсам (высокопроизводительные компьютеры, подробная модель среды и объекта исследования и т. д.) и наиболее часто применяется для акустического анализа в низкочастотной области. Для решения акустических задач в области средних и высоких частот применяется СЭА в котором прогноз основан на обширной статистической базе, позволяющей оценить реакцию в любом элементе, присутствующем в базе, при прохождении потока энергии, создаваемого акустическим воздействием и, как следствие, в любой системе, состоящей из таких элементов. Этот метод не требователен к вычислительным ресурсам, но чем сложней система, тем больше должна быть база данных, чтобы она смогла обеспе-
