CC BY
62
УДЕ621.979:621.96:073.08:681.586:711/733:004.3
100-летию со дня рождения академика В. А. Котельникова, замечательного русского ученого в области теории цифровой обработки сигналов, стоящего в среде научного сообщества наравне с X. Найквистом и К. 3. Шенноном, посвящается.
В. А. Анохин
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ КОТЕЛЬНИКОВА В УСЛОВИЯХ КОМПЬЮТЕРНО-ИНТЕГРИРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРОИЗВОДСТВА
Представлены и сведены воедино теоремы В. А. Котельникова, определяющие условия, при которых аналоговые сигналы можно точно восстановить по дискретным отсчетам Щ =5(^), щ = s^t^y, $к = 5(?4), расположенным через определенные промежутки времени =ґ,-Гр т, ... в цифровых системах.
Ключевые слова: основная теорема отсчетов Котельникова, свойства, частные случаи.
При отработке методологии технического мониторинга компьютерно-интегрированных технологических систем производства (КИТСП) для механообработки перед автором возникла проблема отсчетов и синхронизации электрических сигналов при щфкуляции информации по внешним и внутренним каналам компьютерной управляющей системы (рис. 1,2), [1; 2].
Рис. 1. Функциональная схема управляющей диагностической системы «пресс-штамп-датчик-компьютер» для чистовой вырубки, ее архитектура и аппаратное обеспечение:
А1 - блок тензодатчиков; А2 - блок пьезодатчиков;
АЗ - аналого-цифровой преобразователь (АЦП);
А4 - компьютер; А5, А6, А7 - периферийные устройства (клавиатура, монитор и принтер); ПУ - пульт управления прессом
Работа информационной составляющей КИТСП характеризуется аналоговыми, дискретными и цифровыми сигналами, на которые накладываются наводимые от
механики, электрики и электроники технологической системы помехи и шумы (рис. 3), [2; 3].
управляющей диагностической системы «пресс-штамп-датчик-компьютер» для чистовой вырубки, разработанная автором
Для теоретического решения возникшей проблемы можно использовать семейство теорем В. А. Котельникова, причем теоремы отсчета представляются аналоговым сигналом «(г) в виде выражения [4]:
«Щ к
где {ф*}, к = 1, 2,... -множество сигналов (функций вре- значения л (/) = 0, а непрерывный спектр £ (/) представ-мени), выбранных заранее независимо от вида л (/); {Г} ляется в виде ряда (рис. 6) [4]:
- множество моментов времени, на котором опре деле-ны s(í) и {фДОЬ к = 1,2,....
f(0 =
/ = -оо V
, . sin27i7l /
(2%1\ { 2Т
2Т * 2пт{ f—-
I 2Т
í(/27tAf)
sin27i7(/-/A/’)
2nT(f-lAf)
Рис. 3. Обобщенная структурная схема системы цифровой обработки сигналов
Основная теорема Котельникова. Справедлива для аналоговых сигналов s(/) с ограниченной полосой s (со), когда сигнал s (/) задан на бесконечной оси времени, -оо <t < +оо, когда (V/ є (- oo;oo))(Vx >0) (рис.4)[4]:
sin — (t-k'i)
í(f)= ---------------------=
-ít-kx)
Y
4 sin 2nF t-----
* Л V_2F
где А/
О
5>, ,
K.2F) 2%f\í-----
I 2 F,
y í { \smn(2Ft-k) _ ¿42Fj n(2Ft-k)
Рис. 5. Пример изменения формы электрического сигнала при наведении помех
(і)
= ís(— áL Ід.
sin
кл
Q t-----
Q
I Й Ь I (Ш-кп) ’
где т - интервал времени между двумя соседними равностоящими отсчетами сигнала ^(/); 2F - частота Най-квиста.
о
о
1110 0 1
Рис. 6. Графическое представление сигнала s(t) согласно основной теореме Котельникова в виде ряда
Теорема (2) является теоремой отсчетов в частотной области, когда спектр сигнала £(со) представлен дискретными отсчетами. Теорема (2) дуальна теореме (1).
Теорема 3. Справедлива для сигнала S (/), строго ограниченного на полосе частот Q0 ± nF, который можно восстановить по формулам [4]:
Теорема 1. Физический смысл которой состоит в том, s(t) = SS(t)slnQ0t + SC(t)cosQ0t, (3')
что она справедлива, когда операции дискретизации, т. e. где ss(t^ sc(t) - функции, имеющие отличные от нуля
а б в
Рис. 4. Характерная форма основных электрических сигналов: а - аналоговый; б - дискретный; в - цифровой
цифрового преобразования и восстановления сигнала, взаимно обратные, при условии
1 П
Т~2^~п'
Теорема (1) относится к гипотетической ситуации и характеризует лишь предельные возможности каналов информации, т. е. их пропускную способность (рис. 5).
Теорема 2. Справедлива для сигнала л (/), ограниченного на (/) < Т и принимающего вне этого интервала
спектры SS(со) и £С(со) только для диапазона |со| < nF,
(3")
со є [О0 -7lF;Q + tlF],
sin nF (t - kx)
SS(t)= X SS(kx)
£=-oo
00
SC(t) = £ SC(fo)
nF(t-k%)
sin nF(t-k%) nF^t-kx)
O'")
(Ъ"")
^ / ч sm
/=-oo
[r(co-/Aco)]
Г(со-/Асо) - шаг отсчета частоты.
где 8('(кт). к = 0. +1. + 2. ...-амплитудные
отсчеты, осуществляемые через равностоящие проме-
1
жутки времени с шагом х = .
Теорема (3')...(3"") является обобщением основной теоремы Котельникова для случая произвольной полосы частот ширины і7.
Теорема 4. Справедлива для функций £(/) с конеч-
1
ным спектром +27і/'’ и х< —— согласно интерполяци-
2 г
онной формуле [4]:
СО N-1
5'(0=Х Х5(ш)фЛ^т)>
(4)
гг: sin
где фд,(/;т) = -
Nt
Nt
і1 ¡1:1 ) П
-JV—1
ш = 0,111?;/
• п ( \
Sln---------\Хк ~Тш )
Nt ’
tM = Nkx + ті,
І = ОД, 2,
,N-Ut0=0-,t,<Nz
где к = 0, +1, + 2,
1
х =----
2 ^ '
При каждом фиксированном /, выборе определенной точки т1 внутри группы отсчеты представляют собой последовательность равностоящих значений:
■■■^-21^-11^01^11^21’ ■■■■
Теорема 5. Справедлива для сигнала £ (/) с ограни-
I I 71
ченным спектром СО < 2л/' = — [4]:
ф'(0('_0
(5)
lim
2 к
= т
регулярно и не образуют скоплений и сгущений, то теорема (5) становится весьма полезной при дискретизации аналоговых сигналов в каналах информации.
Теорема 6. Справедлива для сигнала S (/), если спектр S(t) сигнала S(t) ограничен полосой \ [\ < /•’ и характерная средняя длительность интервала между отсчета-
1
ми составляет т < —, где при достаточно малых
2 F
т —>■ 0 получается предельное равенство [4] :
5(0 =
= [S(2kx) + (T-2Kx)S'(2kx)\
sin —(/-2£т)
(6)
Функция фд, (г. х) = 1 при I = 1к/. а при I = 1т1. (здесь т ф & и г ФI) обращается в нуль, так что 5 (/н) равняется правой части (4). Следовательно, ряд (4) равномерно сходится для любого I из ограниченной области.
Таким образом, теорема (4) представляет основную теорему Котельникова для неравномерных отсчетов распределенных по периодически повторяющимся группами из N отсчетов в каждой при выполнении условий:
я(0=Е
к--со
к—1 ^
где ф(0 = ,п
;=-” кт
В теореме (5) последовательность отсчетов удовлетворяет условиям:
1) 1к+1 -1к > с > 0 для всех к = 0, +1, + 2,...;
2) среднее значение интервала между отсчетами
{Ч ~^-к)
моментов
Теорема (5) является обобщением теоремы (4) для неравномерных отсчетов, на которые наложены достаточно общие необременительные условия. К тому же если отсчеты разбросаны по оси времени достаточно
Таким образом, хотя версии основной теоремы Котельникова (1) уже были известны в работах Найквиста, Уиттеккера, Ватсона, Гончарова и др., но лишь В. А. Котельников смог увидеть в ней физический смысл и указал ее инженерное применение в современных условиях цифровых систем, включая КИТСП, с точки зрения теории сигналов и теории информации. Теорема (1) и ее версии (2)...(6) определяют условия, при которых аналоговый сигнал л (/) точно восстанавливается по дискретным отсчетам, заданных на конечных подмножествах временной оси I с требуемой точностью при наличии стационарных случайных помех. Они позволяют обеспечить большую информационную емкость каналов, а также организовать многоканальный режим их работы с временным делением каналов.
С математической точки зрения, основная теорема Котельникова и ее версии считаются частным случаем теоремы интерполяции в теории целых функций.
Библиографический список
1. Анохин, В. А. Основные методы технического мониторинга сложных компьютерно-интегрированных технологических систем производства / В. А. Анохин // Автоматизация и энергосбережение машиностроительного производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования : материалы Третьей Междунар. науч.-техн. конф. В 2 т. Т. 1. Вологда, 2007. С. 26-40
2. Анохин, В. А. Информационная оценка компьютерно-интегрированных технологических систем производства/В. А. Анохин//Науч. вестн. Норил. индустр. ин-та. Норильск, 2007. № 1. С. 59-66.
3. Нефедов, В. И. Основы радиоэлектроники и связи: учебник для вузов / В. И. Нефедов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 2002.
4. Вишневский, В. М. Широкополосные беспроводные сети передачи информации / В. М. Вишневский, А. И. Ляхов, С. Л. Портной, И. В. Шахнович. М.: Техносфера, 2005.
V. A. Anokhin
SAMPLING THEOREMS OF KOTELNIKOF APPLICATION IN CONDITIONS OF COMPUTER-INTEGRATED MANUFACTURING SYSTEMS
Sampling theorems defining conditions with the help of which analog signals s(t) can be precisely restored by digital samples Sj = s^), s2=s(t2), ..., sk=s(tk) located within digital systems in intervals z1=t2-t1, z2=t3—t2,... are presented and brought together here.
Keywords: main samplings theorem of Kotelnikov, properties, special cases.
УДК 536.248.2
Е. Н. Васильев, А. А. Дектерев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ДВУХФАЗНОМ КОНТУРЕ ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЯ С КАПИЛЛЯРНЫМ НАСОСОМ
Рассмотрены процессы тепломассопереноса в контуре терморегулирования с капиллярным насосом. Представлена двумерная нестационарная математическая модель гидродинамических и теплофизических явлений в двухфазном потоке, движущемся в пористой среде капиллярного насоса, которая основана на численном решении уравнений теплопроводности и фильтрации. Результаты моделирования приведены в виде полей температуры, давления, скоростей и концентраций жидкостной и паровой фаз.
Ключевые слова: теплообмен, численное моделирование, ХМЬ-технология, космический аппарат.
В настоящее время прослеживается тенденция к увеличению тепловой мощности, выделяемой радиоаппаратурой на борту космических аппаратов (КА), поэтому повышается роль одной из важнейших систем обеспечения функционирования КА - системы терморегулирования (СТР). В классических СТР используются однофазные жидкостные контуры, в которых теплопередача осуществляется за счет теплоемкости теплоносителя. Разработка двухфазных тепловых контуров, использующих скрытую теплоту фазового перехода, позволит снизить расход рабочего тела, вес СТР и увеличить эффективность тепло переноса. Экспериментальный образец двухфазной СТР с механической прокачкой теплоносителя был успешно испытан на российском сегменте между народно й космической станции «Альфа» [1].
Перспективным направлением развития СТР является двухфазный контур с капиллярным насосом (ДФК КН), который отличается полной автономностью, отсутствием энергопотребления и движущихся механических частей, меньшей массой и более высокой надежностью [2]. Основным элементом таких систем является капиллярный насос, который определяет эффективность работы контура в целом, поскольку именно в нем происходит парообразование и за счет капиллярных сил, действующих в его объеме, обеспечивается циркуляция теплоносителя в контуре. Проектирование ДФК КН затруднено вследствие сложности и неопределенности механизмов парообразования, межфазового взаимодействия и передачи теплоты в гетерогенных средах. Поэтому разработка конструкции двухфазных контуров терморегулирования возможна на основе развития математических моде-
лей, позволяющих выработать оптимальные технические решения и прогнозировать эксплуатационные характеристики при различных условиях работы. В данной статье представлены две сопряженные математические модели, одна из которых предназначена для расчета параметров теплоносителя в паровом и жидкостном трактах контура, другая - для определения распределенных характеристик в пористой структуре капиллярного насоса.
Рассмотрим явления, протекающие в ДФК КН, схема которого представлена на рис. 1. Процесс тепломассопереноса в контуре можно описать следующим образом. Тепловой поток подводится на внешнюю поверхность теплообменника, который совмещает в себе функцию капиллярного насоса. В объеме КН жидкий теплоноситель испаряется, поглощая теплоту. Силы поверхностного натяжения препятствуют проникновению пара вглубь пористой структуры (ПС), поэтому газообразный теплоноситель по паровому тракту поступает в конденсатор, где снова превращается в жидкость, выделяя энергию. Образовавшаяся жидкость за счет капиллярных сил, действующих в ПС, возвращается в теплообменник. Таким образом, в контуре происходит циркуляция теплоносителя и осуществляется перенос теплоты. Характеристики процесса теплопереноса зависят от тепловой нагрузки, тепло физических свойств теплоносителя, параметров пористой структуры, сечения и протяженности парового и жидкостного трактов контура и т. д.
Расчет параметров теплоносителя в контуре. Теплофизическая модель двухфазного контура основывается на законах гидродинамики и теплообмена, применяемых как к жидкостному, так и к паровому тракту. Начальной
